1、20222022 年长春市中考数学年长春市中考数学模拟模拟试题试题 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知点 A 在数轴上表示的数是3，则距离 A 点 3 个单位的点所表示的数是（ ） A0 B1，0 C0 或6 D0， 1 2 （3 分）北京的故宫占地面积约为 720000 平方米，数据 720000 用科学记数法表示为（ ） A0.72 104 B7.2 105 C72 105 D7.2 106 3 （3 分）下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（ ） A B C D 4 （3 分）如果不等式（a
2、3）xa3 的解集是 x1，那么 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca3 Da3 5 （3 分）某公司用 3000 元购进两种货物货物卖出后，一种货物的利润率是 10%，另一种货物的利润率是 11%，两种货物共获利 315 元，如果设该公司购进这两种货物所用的费用分别为 x 元，y 元，则列出的方程组是（ ） A B C D 6 （3 分）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC100 米，PCA30 ，则小河宽 PA 等于（ ） A50 B米 C米 D200 米 7 （3 分）如图，点 C 在 x 轴上，OAOC，分
3、别以点 A，C 为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 OE，交 AC 于点 B，在射线 OE 上任取一点 D，连接 DC若 BOAC8，CD5，则点D 的坐标为（ ） A （，4） B （，4） C （，4） D （） 8 （3 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上，点 D 为对角线 OB 的中点，点 E（6，n）在边 AB 上，反比例函数 y（k0）在第二象限内的图象经过点 D，E，且 tanBOA0.5，若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形 OABC 折叠，使得点 O 与点 F 重合，折痕分别与 x 轴负
4、半轴，y 轴正半轴交于点 H，G，则线段 CG 的长为（ ） A2 B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）化简3的结果为 10 （3 分）分解因式：a2+3a 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 12 （3 分） 如图， 直线 MNPQ， 点 A、 B 分别在 MN、 PQ 上， MAB33 过线段 AB 上的点 C 作 CDAB交 PQ 于点 D，则CDB 的大小为 度 13 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC10现将纸片折叠
5、，折痕与矩形 AB、BC 边的交点分别为 E、F，折叠后点 B 的对应点 B始终在 AD 边上，若折痕 EF 始终与边 AB，BC 有交点，则点 B运动的最大距离是 14 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx2（a0）的对称轴为直线 x，该抛物线交 y 轴于点 A，交过点 A且平行于 x 轴的直线于另一点 B，过点 M（0，2）且平行于 x 轴的直线交该抛物线于 C、D 两点（点 C在点 D 右边） ，连接 AC若点 B 关于直线 AC 的对称点 B恰好落在线段 MC 上，则 CD 的长为 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值：
6、 （a+3）2（a+1） （a1）2（2a+4） ，其中 a 16 （6 分）在一个不透明的盒子里有红球、黄球、绿球各一个，它们除了颜色外其余都相同，小颖从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色请用列表法或画树状图法，求小颖两次摸出的球颜色相同的概率 17 （6 分）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 1.5 倍，甲队改造 240 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 2 天 （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为 7 万元，乙队工作一天的
7、改造费用为 5 万元，如需改造的道路全长为1800 米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 18 （7 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 AB 为直径作O，点 E 在 BC 边上，连接 AE 交O 于点F，连接 BF 并延长交 CD 于点 G （1）求证： ABEBCG； （2）若AEB55 ，OA3，求劣弧的长 （结果保留 ） 19 （7 分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻随着冬奥会的脚步越来越
8、近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、 了解冰雪运动知识 某校在距离冬奥会开幕倒计时 300 天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有 200 名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整） 收集数据 七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 整理、描述数
9、据 成绩 x/分数 七年级成绩统计情况 八年级成绩统计情况 频数 频率 频数 频率 50 x59 1 0.05 0 0 60 x69 2 0.10 3 0.15 70 x79 6 0.30 80 x89 m 10 0.50 90 x100 1 0.05 1 0.05 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，6079 分为合格，60 分以下为不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.5 79 80 八年级 77.4 n 74 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a ，m ，n ； （2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前 5
10、0%，在八年级只能排在后 50%，那么估计小冬的成绩可能是 ； （3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为 20 （7 分）如图，点 A，B，C 是 6 6 的网格上的格点，连接点 A，B，C 得 ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图 （画图时保留画图痕迹） （1）在图中，在 AC 上找一点 M，使 S BCMS ABC； （2）在图中，在 ABC 内部（不含边界）找一点 N，使 S BCNS ABC 21 （8 分）为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过 6m3时，水费按每立方米 1.1 元收费，超过 6m3时，超过部分每立方米按 1.6
11、 元收费，设每户每月用水量为 xm3，应缴水费为 y 元 （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2） 如果有两户家庭某月份需缴纳水费为 5.5 元和 9.8 元时， 求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？ 22 （9 分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容 例 2 如图，在 ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的中点，AD、CE 相交于点 G，求证： 证明 连结 ED 请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程 结论应用：在 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为边 BC 的中点，AE、BD 交于点 F （1）如图，若 ABCD 为正方形
12、，且 AB6，则 OF 的长为 （2）如图，连接 DE 交 AC 于点 G，若四边形 OFEG 的面积为，则 ABCD 的面积为 23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与点 C 和点 A 重合） ，连接 PB，过点 P 作 PFPB 交射线 DA 于点 F，连接 BF，已知 AD3，CD3，设 CP 的长为 x （1）线段 PB 的最小值为 （2）如图，当动点 P 运动到 AC 的中点时，AP 与 BF 的交点为 G，FP 的中点为 H，求线段 GH 的长度； （3）当点 P 在运动的过程中：试探究FBP 是否会发生变化？若不改变，请求出FBP
13、大小； 若改变，请说明理由；当 x 为何值时， AFP 是等腰三角形？ 24 （12 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧） ，点 B 坐标是（3，0） 抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是抛物线的顶点，连接 PC （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点 P 的坐标 （2）直线 BC 与抛物线对称轴交于点 D，点 Q 为直线 BC 上一动点 当 QAB 的面积等于 PCD 面积的 2 倍时，求点 Q 的坐标； 在的条件下，当点 Q 在 x 轴上方时，过点 Q 作直线 l 垂直于 AQ，直线 y
14、x交直线 l 于点 F，点 G 在直线 yx上，且 AGAQ 时，请直接写出 GF 的长 答案与解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知点 A 在数轴上表示的数是3，则距离 A 点 3 个单位的点所表示的数是（ ） A0 B1，0 C0 或6 D0， 1 【答案】C 【解析】画出数轴，标注原点和3 表示的点，观察数轴上的点到原点的距离等于 3 个单位长度的点应该在3 的左右各有一个，左边的是6，右边的是 0 故选：C 2 （3 分）北京的故宫占地面积约为 720000 平方米，数据 720000 用科学记数法表示为（
15、 ） A0.72 104 B7.2 105 C72 105 D7.2 106 【答案】B 【解析】将 720000 用科学记数法表示为 7.2 105元 故选：B 3 （3 分）下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】A主视图是 3 个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是 5 个正方形，故本选项不合题意； B主视图是 2 个正方形，左视图是 3 个正方形，俯视图是 4 个正方形，故本选项不合题意； C三视图都相同，都是有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题意； D俯视图有两列，从左到右正方形的个数分别为：2、1；左视图有两
16、列，从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意 故选：C 4 （3 分）如果不等式（a3）xa3 的解集是 x1，那么 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca3 Da3 【答案】D 【解析】（a3）xa3 的解集是 x1， a30， 解得 a3， 故选：D 5 （3 分）某公司用 3000 元购进两种货物货物卖出后，一种货物的利润率是 10%，另一种货物的利润率是 11%，两种货物共获利 315 元，如果设该公司购进这两种货物所用的费用分别为 x 元，y 元，则列出的方程组是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】依题意得： 故选：D 6 （3 分）如图，要测量小河两岸相对
17、的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC100 米，PCA30 ，则小河宽 PA 等于（ ） A50 B米 C米 D200 米 【答案】C 【解析】PAPB，PC100 米，PCA30 ， 小河宽 PAPCtanPCA100tan30100（米） 故选：C 7 （3 分）如图，点 C 在 x 轴上，OAOC，分别以点 A，C 为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 OE，交 AC 于点 B，在射线 OE 上任取一点 D，连接 DC若 BOAC8，CD5，则点D 的坐标为（ ） A （，4） B （，4） C （，4） D （） 【答
18、案】D 【解析】由作法得 OD 平分AOC， OAOC， ODAC，ABCBAC 84， 在 Rt CBD 中，BD3， 在 Rt OBC 中，OC4， 作 DHx 轴于 H，如图， COBDOH，OBCOHD， OBCOHD， ，即， OH，DH， D 点坐标为（，） 故选：D 8 （3 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上，点 D 为对角线 OB 的中点，点 E（6，n）在边 AB 上，反比例函数 y（k0）在第二象限内的图象经过点 D，E，且 tanBOA0.5，若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形 OABC 折叠，使得点
19、 O 与点 F 重合，折痕分别与 x 轴负半轴，y 轴正半轴交于点 H，G，则线段 CG 的长为（ ） A2 B C D 【答案】D 【解析】连接 FG，由折叠可得 GFGO， 点 E（6，n）在边 AB 上，矩形 ABCO， OABC6， 又tanBOA0.5， 0.5，OA6， AB3， 又D 是矩形 ABCO 的对角线 OB 的中点， D（3，） ， 把 D（3，）代入 y， k， 把 x6 代入得，y （）， E（6，） ， 把 y3 代入得，x 3， F（，3） ， FC， 设 CGx，则 GFGO3x， 在 Rt FCG 中，由勾股定理得， FC2+CG2FG2， 即（）2+x2（
20、3x）2， 解得，x， 即：CG， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）化简3的结果为_ 【答案】 【解析】原式2 故答案为： 10 （3 分）分解因式：a2+3a_ 【答案】a（a+3） 【解析】a2+3aa（a+3） 故答案为：a（a+3） 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_ 【答案】k1 且 k0 【解析】由已知得：， 即， 解得：k1 且 k0 故答案为：k1 且 k0 12 （3 分） 如图， 直线 MNPQ， 点 A、 B 分别在
21、MN、 PQ 上， MAB33 过线段 AB 上的点 C 作 CDAB交 PQ 于点 D，则CDB 的大小为_度 【答案】57 【解析】直线 MNPQ， MABABD33 ， CDAB， BCD90 ， CDB90 33 57 13 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC10现将纸片折叠，折痕与矩形 AB、BC 边的交点分别为 E、F，折叠后点 B 的对应点 B始终在 AD 边上，若折痕 EF 始终与边 AB，BC 有交点，则点 B运动的最大距离是_ 【答案】4 【解析】当 F 与 C 重合时，如图 1， 由折叠得：BCBC10， 四边形 ABCD 是矩形， D90 ， ABDC
22、6， 在 Rt BDC 中，BD， AB1082； 当 E 与 A 重合时，如图 2， 由折叠得：ABAB6， 综上所述，AB的取值范围是：2AB6， 点 B运动的最大距离为 624 14 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx2（a0）的对称轴为直线 x，该抛物线交 y 轴于点 A，交过点 A且平行于 x 轴的直线于另一点 B，过点 M（0，2）且平行于 x 轴的直线交该抛物线于 C、D 两点（点 C在点 D 右边） ， 连接 AC 若点 B 关于直线 AC 的对称点 B恰好落在线段 MC 上， 则 CD 的长为_ 【答案】11 【解析】设 AC 与 BB交于点 N，连接 AB，BC， BC
23、AB， BCNBAN， 又BNBN，BNCBNA， BNCBNA（AAS） ， BCAB， 四边形 ABCB为菱形， 抛物线对称轴为直线 x， ABABBCBC2 5， 又MA2（2）4， 在 Rt AMB中， MB3， MCMB+BC3+58， CD2 （8）11 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值： （a+3）2（a+1） （a1）2（2a+4） ，其中 a 【答案】见解析 【解析】原式a2+6a+9（a21）4a8 2a+2， a， 原式1+23 16 （6 分）在一个不透明的盒子里有红球、黄球、绿球各一个，它们除了颜色外
24、其余都相同，小颖从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色请用列表法或画树状图法，求小颖两次摸出的球颜色相同的概率 【答案】见解析 【解析】画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，小颖两次摸出的球颜色相同的结果有 3 个， 小颖两次摸出的球颜色相同的概率为 17 （6 分）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 1.5 倍，甲队改造 240 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 2 天 （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为 7 万元，乙队工作
25、一天的改造费用为 5 万元，如需改造的道路全长为1800 米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 【答案】见解析 【解析】 （1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 1.5x 米， 根据题意得：2， 解得：x40， 经检验，x40 是所列分式方程的解，且符合题意， 1.5x60 答：甲工程队每天能改造道路的长度为 60 米，乙工程队每天能改造道路的长度为 40 米 （2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要 m 天完成， 由题意得：60m+40m1800， 解得：m18， 则 18 7+18 5216（万元） ， 答：甲、
26、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为 216 万元 18 （7 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 AB 为直径作O，点 E 在 BC 边上，连接 AE 交O 于点F，连接 BF 并延长交 CD 于点 G （1）求证： ABEBCG； （2）若AEB55 ，OA3，求劣弧的长 （结果保留 ） 【答案】见解析 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，AB 为O 的直径， ABEBCGAFB90 ， BAF+ABF90 ，ABF+EBF90 ， EBFBAF， 在 ABE 与 BCG 中， ABEBCG（ASA） ； （2）解：连接 OF， ABEAFB90 ，AEB5
27、5 ， BAE90 55 35 ， BOF2BAE70 ， OA3， 的长 19 （7 分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、 了解冰雪运动知识 某校在距离冬奥会开幕倒计时 300 天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有 200 名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20名学生的成绩进行调查分
28、析，过程如下（数据不完整） 收集数据 七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 整理、描述数据 成绩 x/分数 七年级成绩统计情况 八年级成绩统计情况 频数 频率 频数 频率 50 x59 1 0.05 0 0 60 x69 2 0.10 3 0.15 70 x79 6 0.30 80 x89 m 10 0.50 90 x100 1 0.05 1 0.05 （说明：成绩 80 分及以上为优
29、秀，6079 分为合格，60 分以下为不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.5 79 80 八年级 77.4 n 74 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a_，m_，n_； （2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后 50%，那么估计小冬的成绩可能是_； （3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为_ 【答案】见解析 【解析】 （1）（66+70+71+78+71+78+75+78+58+a+63+90+80+85+80+89+85+86+80+87）77.5， 解得 a80， 七
30、年级这 20 名同学的成绩在 80 x90d 的有 9 人，即 m9 200.45， 将八年级 20 名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是 80， 因此中位数是 80， 即 n80， 故答案为：80，0.45，80； （2）七年级低于 80 分的有 10 人，大于或大于 80 分的有 10 人，而八年级低于 80 分的有 9 人，高于或等于 80 分的有 11 人， 因此在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后 50%，他的成绩可能是 80 分， 故答案为：80； （3）200 （0.45+0.05）+200 （0.50+0.05） 100+110 210（人） ， 故答案为
31、：210 20 （7 分）如图，点 A，B，C 是 6 6 的网格上的格点，连接点 A，B，C 得 ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图 （画图时保留画图痕迹） （1）在图中，在 AC 上找一点 M，使 S BCMS ABC； （2）在图中，在 ABC 内部（不含边界）找一点 N，使 S BCNS ABC 【答案】见解析 【解析】 （1）在图 1 中，点 M 即为所求； （2）在图 2 中，点 N 即为所求 21 （8 分）为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过 6m3时，水费按每立方米 1.1 元收费，超过 6m3时，超过部分每立方米按 1.6
32、元收费，设每户每月用水量为 xm3，应缴水费为 y 元 （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2） 如果有两户家庭某月份需缴纳水费为 5.5 元和 9.8 元时， 求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？ 【答案】见解析 【解析】 （1）由题意可得， 当 0 x6 时，y1.1x， 当 x6 时，y1.1 6+（x6） 1.61.6x3， 即 y 与 x 之间的函数表达式是 y； （2）5.51.1 6， 缴纳水费为 5.5 元的用户用水量不超过 6m3， 将 y5.5 代入 y1.1x，解得 x5； 9.81.1 6， 缴纳水费为 9.8 元的用户用水量超过 6m3， 将 y9.8 代
33、入 y1.6x3，解得 x8； 答：这两户家庭这个月的用水量分别是 5m3，8m3 22 （9 分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容 例 2 如图，在 ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的中点，AD、CE 相交于点 G，求证： 证明 连结 ED 请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程 结论应用：在 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为边 BC 的中点，AE、BD 交于点 F （1）如图，若 ABCD 为正方形，且 AB6，则 OF 的长为_ （2）如图，连接 DE 交 AC 于点 G，若四边形 OFEG 的面积为，则 ABCD 的面积为
34、_ 【答案】见解析 【解析】教材呈现： 证明：如图，连接 ED 在 ABC 中，D，E 分别是边 BC，AB 的中点， DEAC，DEAC， DEGACG， 2， 3， ； 结论应用： （1）解：如图 四边形 ABCD 为正方形，E 为边 BC 的中点，对角线 AC、BD 交于点 O， ADBC，BEBCAD，BOBD， BEFDAF， ， BFDF， BFBD， BOBD， OFOBBFBDBDBD， 正方形 ABCD 中，AB6， BD6， OF 故答案为； （2）解：如图，连接 OE 由（1）知，BFBD，OFBD， 2 BEF 与 OEF 的高相同， BEF 与 OEF 的面积比2，
35、同理， CEG 与 OEG 的面积比2， CEG 的面积+ BEF 的面积2（ OEG 的面积+ OEF 的面积）2 1， BOC 的面积， ABCD 的面积4 6 故答案为 6 23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与点 C 和点 A 重合） ，连接 PB，过点 P 作 PFPB 交射线 DA 于点 F，连接 BF，已知 AD3，CD3，设 CP 的长为 x （1）线段 PB 的最小值为_ （2）如图，当动点 P 运动到 AC 的中点时，AP 与 BF 的交点为 G，FP 的中点为 H，求线段 GH 的长度； （3）当点 P 在运动的过程中：试
36、探究FBP 是否会发生变化？若不改变，请求出FBP 大小； 若改变，请说明理由；当 x 为何值时， AFP 是等腰三角形？ 【答案】见解析 【解析】 （1）四边形 ABCD 是矩形，AD3，CD3， ABCD3，BCAD3，ABCD90 ， AC6， 当 BPAC 时，BP 最小，此时 BP 为 Rt ABC 斜边 AC 上的高， S ABCABBCACBP，即 3 36 BP， BP， 故答案为：； （2）如图： P 运动到 AC 的中点，AC6， AP3AB， Rt ABC 中，tanBAC， BAC60 ， ABP 是等边三角形， ABBP3， 又BAFBPF90 ，BFBF， BAFB
37、PF（HL） ， AFPF， BF 是 AP 的垂直平分线， G 是 AP 中点， H 是 PF 中点， GHAF， ABP 是等边三角形，G 是 AP 中点， PBFPBA30 ， 在 Rt PBF 中，tanPBF， tan30 得 PF， AF， GH； （3）FBP 不会发生变化，FBP30 ，理由如下： 过 P 作 MNAD 于 M，交 BC 于 N，如图： MNAD，四边形 ABCD 是矩形， MNBC，MNAB3， Rt ABC 中，tanACB， ACB30 ， Rt CPN 中，CPx， PNCPsin30 x，CNCPcos30 x， BNBCCN3x，PMMNPN3x，
38、BPF90 ， FPM90 BPNPBN， 而PMFBNP90 ， PMFBNP， ， 在 Rt BPF 中，tanFBP， tanFBP， FBP30 ； 当 F 在 A 右侧时，过 P 作 MNAD 于 M，交 BC 于 N，如图： 由知： PMFBNP，PNx，BN3x，PM3x， ， FMx， AFAMFMBNFM3x， Rt PFM 中，PF， 而 APACCP6x， AFP 是等腰三角形，分三种情况： （一）APAF，则 6x3x，解得 x3（舍去） ， （二）APPF，则 6x，解得 x9（大于 6，舍去）或 x（此时 AF0，舍去） ， （三）AFPF，则 3x，解得 x3 或
39、 x6（P 与 A 重合，舍去） ， 当 F 在 A 左侧时，如图： 此时 AFFMAM， 同理可得 x3， 综上所述， AFP 是等腰三角形，x3 或 x3 24 （12 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧） ，点 B 坐标是（3，0） 抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是抛物线的顶点，连接 PC （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点 P 的坐标 （2）直线 BC 与抛物线对称轴交于点 D，点 Q 为直线 BC 上一动点 当 QAB 的面积等于 PCD 面积的 2 倍时，求点 Q 的坐标
40、； 在的条件下，当点 Q 在 x 轴上方时，过点 Q 作直线 l 垂直于 AQ，直线 yx交直线 l 于点 F，点 G 在直线 yx上，且 AGAQ 时，请直接写出 GF 的长 【答案】见解析 【解析】 （1）由题意得， ， b2， yx2+2x+3 （ （x1）2+4， P（1，4） （2）如图 1， 作 CEPD 于 E， C （0，3） ，B （3，0） ， 直线 BC：yx+3， D（1，2） ，可设 Q（a，3a） ， CEPEDE， PCD 是等腰直角三角形， S PCDPDCE 2 11， AB|3a|2， 4|3a|2， a2 或 a4 Q（2，1）或（4，1） 如图 2， 设 G（m，m） ， 由 AG2AQ2得， （m+1）2+（2+1）2+12， 化简，得 5m2+2m160， m12，m2， G1（2，3） ，G2（，） ， 作 QHAB 于 H， AQQF， AHQQHM， QH2AHHM， 即：123HM， HM， M（，0） ， 设直线 QM 是：ykx+b， ， k3，b7， y3x+7， 由得， x，y F（，） G1F， G2F
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