1、2022北京丰台高一（下）期中数学试卷（A）第I部分（选择题 共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 2. 已知向量，且，那么向量可以是（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量，点的坐标为，那么点的坐标为（ ）A. B. C. D. 4. 复数，则等于（ ）A. B. 3C. 5D. 5. 在中，则（ ）A. B. C. 1D. 26. 已知是方程的两个根，且为锐角，则的值为（ ）A. B. C. D. 7. 已知，那么的大小关系为（ ）A. B. C. D. 8. 已
2、知非零向量满足，且，那么与夹角为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在直角梯形中，是的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 210. 的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 第II部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11. 如图，复平面内，向量与复数对应，则_.12. 已知单位向量与单位向量夹角为，则=_.二、填空题13. 在中，且，则_.14. 一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小
3、每分钟_米；当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要_分钟.15. 已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数.若，以下四个函数中：； ； .所有是在上生成的函数的序号为_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16 已知向量.（1）求；（2）求与夹角的大小；（3）若向量与互相平行，求的值.17. 如图，在平行四边形中，点是中点，是的三等分点（，）.设，.（1）用表示；（2）如果，用向量的方法证明：.18. 已知，.（1）求，的值；（2）求的值.19. 大海中有一座小岛，周围3海里处有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东60；海轮航
4、行4海里后，望见该岛在北偏东45.求：（1）此时海轮与小岛的距离为多少海里？（2）如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？请说明理由.20. 在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，条件：；条件：.求：（1）值；（2）角的大小和的面积.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.21. 向量，向量与向量的夹角为，且.（1）求向量的坐标；（2）若向量，且向量与向量共线，其中是的内角，若，试求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B
5、【解析】【分析】直接由复数虚部定义求解即可【详解】因为复数，故的虚部为，故选：B2. 已知向量，且，那么向量可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出向量的坐标表示，然后利用数量积的坐标表示得出方程，将答案代入等式验证即可.【详解】设 即 将四个选项代入验证，只有选项A满足上式.故选：A.3. 已知向量，点的坐标为，那么点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设点的坐标为，解方程即得解.【详解】解：设点的坐标为，由题得，所以，所以点的坐标为.故选：D4. 复数，则等于（ ）A. B. 3C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】根据共轭复数的定义
6、，结合复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：A5. 在中，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】已知两边和其中一边的对角求另外一边，运用余弦定理即可.【详解】在中，由余弦定理得： 又则 解得 或（舍去）故选：D.6. 已知是方程的两个根，且为锐角，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可,【详解】因为是方程的两个根，所以，因此有，因为为锐角，所以，因此，故选：D7. 已知，那么的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角差的余弦公式求
7、，利用二倍角的正弦公式求，利用二倍角的余弦公式求，然后比较大小即可.【详解】， 故选：A8. 已知非零向量满足，且，那么与夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据求出，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：由题得，所以=0，所以，所以=，因为，所以与的夹角为.故选：B9. 如图，在直角梯形中，是的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算把用表示后可得【详解】是的中点，又，不共线，所以，所以故选：C10. 的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角形内心的性
8、质，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为所以由平面向量的加法的几何意义可知是的中点，因为的外接圆圆心为， 所以是以为斜边直角三角形，设的外接圆半径为因，所以，因此，过作，垂足为，因此，而，所以向量在向量上的投影向量为，故选：C第II部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11. 如图，在复平面内，向量与复数对应，则_.【答案】#【解析】【分析】根据复数在复平面的对应点定义，结合复数的除法运算法则进行求解即可.【详解】因为点的坐标为，所以，由题意可知中：，所以有，故答案为：12. 已知单位向量与单位向量的夹角为，则=_.【答案】【解析】【分析】根据单位向量
9、和夹角计算得到，得到向量模长.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题13. 在中，且，则_.【答案】#30【解析】【分析】先由余弦定理求出A，再由正弦定理求出.【详解】因为，所以由余弦定理得：.因为,所以.因为，所以由正弦定理得：，所以.因为，所以,所以.故答案为：14. 一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟_米；当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要_分钟.【答案】 . 24； . 20.【解析】【分
10、析】（1）求出即得解；（2）求出他游到河对岸的速度即得解.【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为，他实际前进速度的大小每分钟24米.（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为，所以他游到河对岸的需要分钟.故答案为：24；20.15. 已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数.若，以下四个函数中：； ； .所有是在上生成的函数的序号为_.【答案】【解析】【分析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可.【详解】.：，因此有，所以本函数是在上生成的函数；：，因此有，本函数是在上生成的函数；：，因此有，本
11、函数是在上生成的函数；：，显然不存在实数，使得成立，因此本函数不是在上生成的函数，故答案为：三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知向量.（1）求；（2）求与夹角的大小；（3）若向量与互相平行，求的值.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示直接代入求解即可；（2）利用向量夹角公式带入求解即可；（3）首先求出两向量的坐标，再利用向量平行的坐标表示代入求解即可.【小问1详解】【小问2详解】， 由（1）知： 【小问3详解】依题意得：，向量与互相平行 解得 17. 如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.（
12、1）用表示；（2）如果，用向量的方法证明：.【答案】（1），. （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用数量积为0证明.【小问1详解】因为点是的中点，所以.因为，,所以.所以，.【小问2详解】由（1）可得： ，.因为，所以，所以.18. 已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）先由已知条件利用同角三角函数的关系求出，然后利用二倍角公式可求出，的值；（2）由求出的值，然后利用两角差的正弦公式求解即可【小问1详解】因为，所以，；【小问2详解】因为，所以；所以.19. 大海中有一座小岛，周围3海里处有暗礁.一艘海轮由西
13、向东航行，望见该岛在北偏东60；海轮航行4海里后，望见该岛在北偏东45.求：（1）此时海轮与小岛的距离为多少海里？（2）如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？请说明理由.【答案】（1）海里； （2）没有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合圆的性质进行求解即可.【小问1详解】如下图所示：，在中，由正弦定理可知中：，所以此时海轮与小岛的距离为海里；【小问2详解】由正弦定理可知：，所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.20. 在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，条件：；条件：.求：（1）的值；（2）角的大小和的面积
14、.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）若选条件，利用余弦定理即可求得c边；若选条件，利用同角三角函数和正弦定理即可求得c边.（2）利用同角三角函数和正弦定理可得角B,利用面积公式求解面积即可.【小问1详解】条件：当时，整理得，解得或（负值舍去）故.条件：,所以由正弦定理得整理得解得.【小问2详解】条件：由正弦定理得整理得解得因，所以，则.条件：,所以,所以，则.21. 向量，向量与向量的夹角为，且.（1）求向量的坐标；（2）若向量，且向量与向量共线，其中是的内角，若，试求的取值范围.【答案】（1）（1，0）或（0，1）； （2）.【解析】【分析】（1）设（x，y），解方程组即得解；（2）求出（1，0），再利用三角函数的图象和性质求解.【小问1详解】解：设（x，y），由题得解得（1，0）或（0，1）都满足题意.所以（1，0）或（0，1）【小问2详解】解：因为向量，且向量与向量共线，所以（1，0）.因为，所以.所以，所以因为，所以，所以.所以的取值范围为. 17 / 17
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