1、浙江省宁波市江北区浙江省宁波市江北区 2021-2022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1. 已知25ab，则aab（ ） A. 25 B. 35 C. 27 D. 37 2. 如图是某几何体的表面展开图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 直三棱柱 3. 下列事件中是不可能事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中任抽一张牌恰好是“红桃” B. 在装有白球和黑球的袋中摸球，摸出了红球 C. 2022年大年初一早晨艳阳高照 D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
2、 4. 如图，在 RtABC中，190cos3CA，则sinB的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 2 23 D. 2 2 5. 关关于二次函数 y=-2（x-2）2+1 的图像，下列叙述不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 x=2 B. 顶点坐标为（-2，1） C. 开口向下 D. 与 x轴有两个交点 6. 已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为 4，则该圆的半径可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 下列与相似有关的命题中，正确的是（ ） 所有的等腰三角形都相似；所有的矩形都相似；所有的正六边形都相似 A. B. C. D. 8. 如图，AB是半圆O直径，
3、CD、是半圆上两点， 且满足1201ADCBC， 则BC的长为 （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 23 9. 如图，点I是ABC的重心，9ABCS，将BAC平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 10. 如图， 在等边ABC中，4AB ， 点D为AB的中点， 动点EF、分别在ADBC、上， 且2 3EF ，作BEF的外接圆O，交AC于点GH、当动点E从点D向点A运动时，线段GH长度的变化情况为（ ） A. 一直不变 B. 一直变大 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小 试题卷试题卷 II 二、填空题（每小题二、填空题（每
4、小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11. 请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是_， （选择，中的一项）选择理由是_ 12. 圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm，则该圆柱的侧面积为_2cm 13. 某企业对其生产的产品进行抽检，抽检结果如下表： 抽检件数 5 50 100 500 1000 2000 3000 5000 不合格件数 0 1 2 9 21 40 60 100 不合格频率 0 0.02 0.02 0.018 0.021 0.02 0.02 0.02 则该产品不合格的概率约为_ 14. 如图， 正五边形的外接圆半径为 1cm， 则边长 AB_cm（精
5、确到0.1cm）（参考数据： sin360.6，cos360.8，tan360.7） 15. 将二次函数2yxmxn （m，n 为常数）的图象，先向左平移 1个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，得到的图象顶点为0 4，则mn的值为_ 16. 如图，在 RtABC中，90BAC，点D为AC上一点，连结BD，若45DBC，则ADCD的最大值为_ 三、解答题三、解答题(本大题有本大题有 8 小题，共小题，共 80 分分) 17. 计算：3tan302cos602sin45 18. 面对新冠疫情，宁波教育人同心战“疫”因有不少师生居家健康监测，无法到校工作、学习，各校师生通过“云端”相连，停课不
6、停教，停课不停学某校在疫情期间的教学方式主要包括直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式为了了解学生的需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查（每人只选其中的一种） ，并根据调查结果绘制成如下图所示的统计图 （1）本次调查人数是_人； （2）请补全条形统计图； （3）明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表表示所有可能的情况，并求明明和强强选择同一种教学方式的概率 19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x图象与二次函数 y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点 A坐标为（3，m） （1）求 m值以及二次
7、函数的表达式； （2）若点 P为抛物线的顶点，连结 OP，AP，求POA 的面积 20. 某小区门口安装了汽车出入道闸 道闸关闭时， 如图 1， 四边形 ABCD为矩形， AB长 3米， AD长 1米，点 D 距地面为 0.2米道闸打开的过程中，边 AD固定，连杆 AB，CD分别绕点 A，D 转动，且边 BC始终与边 AD 平行 （1）如图 2，当道闸打开至ADC45 时，边 CD上一点 P 到地面的距离 PE为 1.2 米，求点 P 到 MN的距离 PF 的长 （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽 1.8米，高 1.6 米当道闸打开至ADC36 时，轿车能否驶入小区？请说明理由 （参考数据：si
8、n360.59，cos360.81，tan360.73） 21. 如图 1，AB是O的直径，点 C是O上异于点 A，B 的一点，连接 AC，BC，并延长 BA 至点 E，使得ECA=B （1）求证：CE是O的切线； （2）如图 2，若B=30 ，请写出三个你认为正确的结论（注：不另外添加辅助线） 22. 某琴行销售一种笛子，每支进价为 56元当售价每支为 80元时，月平均销售量为 60支为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低 1 元时，月平均销售量将增加 3 支 （1）若设销售单价为x元/支，则销售量为_支（用含x的代数式表示
9、） ； （2）求月平均销售利润y(单位：元)关于销售单价x(单位：元/支)的函数表达式； （3）当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？ 23. 利用网格图，可以仅用无刻度的直尺来完成几何作图 （注：以下点A BMN、 、 、均在格点上 ） 【赏析】 （1） 提出问题： 下列图是由边长为 1 的小正方形构成的网格图 在网格图 1中的线段AB上， 求作一点P，使得2BPAP （2）观察欣赏：在图 2 中，24AMBN，且AMBN连结MN交AB于点P，点P即为所求作之点，此时2BPAP （3）求证：在图 3 中，点P也为所求作之点，即2BPAP 【尝试】 （4）作图：下列图是由边长为 1
10、的小正六边形构成的网格图请在线段AB上求作点P 在图 4中，过格点M作线段MN与AB交于点P，使得25APBP 在图 5中，求作点P，使得25APBP （要求：方法与有别，不写作法但保留作图痕迹） 24. 如图， 等腰ABC内接于O， AB=AC， 连结 OC， 过点 B作 AC的垂线， 交O于点 D， 交 OC于点 M，交 AC于点 E，连结 AD （1）若D=，请用含 代数式表示OCA； （2）如图 1 求证：CE2=EMEB； 若 BM=3，DM=2，求 tanBAC 的值 （3）如图 2，连结 CD，若ABCDBMCSDMxyBMS四边形，求 y关于 x 的函数表达式 浙江省宁波市江北
11、区浙江省宁波市江北区 2021-2022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1. 已知25ab，则aab（ ） A. 25 B. 35 C. 27 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得出 b=52a，再代入要求的式子进行计算即可得出答案 【详解】解：25ab， b=52a， 2572aaabaa 故选：C 【点睛】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出 b与 a 的关系解题的关键 2. 如图是某几何体的表面展开图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 直三棱柱 【
12、答案】C 【解析】 【分析】根据常见立体图形的展开图特点，结合展开图进行解答 【详解】解：一个圆与一个扇形可围成圆锥 故选：C 【点睛】本题考查几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键注意一个扇形与一个圆也可围成圆锥 3. 下列事件中是不可能事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中任抽一张牌恰好是“红桃” B. 在装有白球和黑球的袋中摸球，摸出了红球 C. 2022年大年初一早晨艳阳高照 D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可 【详解】解：A从一副扑克牌中任抽一张牌恰好“红
13、桃”，这是随机事件，故 A 不符合题意； B在装有白球和黑球的袋中摸球，摸出了红球，这是不可能事件，故 B符合题意； C2022 年大年初一早晨艳阳高照，这是随机事件，故 C不符合题意； D从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，这是必然事件，故 D 不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键 4. 如图，在 RtABC中，190cos3CA，则sinB的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 2 23 D. 2 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由于C=90 ， 得出A+B=90 ， 根据互余角的三角函数间
14、的关系： sin （90 -） =cos， cos （90 -）=sin解答即可 【详解】解：90C ， A+B=90 ， 1sincos3BA 故选：B 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当A+B=90 时， sinB= cosA 是解题的关键 5. 关关于二次函数 y=-2（x-2）2+1 的图像，下列叙述不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 x=2 B. 顶点坐标为（-2，1） C. 开口向下 D. 与 x 轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【详解】解：由二次函数 y=-2（x-2）2+1可知：a=-20， 所以
15、开口向下，顶点坐标为（2，1） ，对称轴为 x=2，二次函数的图像与 x 轴有两个交点，故 A、C、D正确，B错误， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图像及其性质，解题的关键是熟悉二次函数的图像. 6. 已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为 4，则该圆的半径可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案 【详解】解：圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为 4， 该圆的半径4， 故选：D 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的
16、关系是解题的关键 7. 下列与相似有关的命题中，正确的是（ ） 所有的等腰三角形都相似；所有的矩形都相似；所有的正六边形都相似 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项 【详解】解：所有的等腰三角形都不一定相似，故原说法错误，不符合题意； 所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不都相似，故原命题错误，不符合题意； 所有的正六边形都相似，正确，符合题意， 故选：D 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义 8. 如图，AB是半圆O的直径，CD、是半圆上两点， 且满足1201ADCBC， 则BC的长为 （
17、） A. 3 B. 4 C. 6 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理求出 OCB=OBC=B=60 ，再根据弧长公式进行计算即可 【详解】解：如图，连接 OC ADC=120 ， ABC=60 ， OB=OC， OCB=OBC=B=60 ， OB=OC=BC=1， BC的长为60111803 ， 故选：A 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键 9. 如图，点I是ABC的重心，9ABCS，将BAC平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C.
18、8 D. 8.5 【答案】C 【解析】 【分析】延长 AI交 BC于 D，如图，根据三角形的重心性质得到13IDAD，再利用平移的性质得到EIF=BAC，IEF=B，则可判断IEFABC，利用相似三角形的性质得到119IEFABCSS，从而得到图中阴影部分的面积 【详解】解：延长 AI交 BC于 D，如图， 点 I是ABC 的重心， AI=2ID， 13IDAD， BAC平移使其顶点与点 I 重合， EIF=BAC，IEF=B， IEFABC， 2211()( )39IEFABCSDISDA， 119IEFABCSS， 图中阴影部分的面积=9-1=8 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的重心：
19、三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1也考查了平移的性质和相似三角形的判定与性质 10. 如图， 在等边ABC中，4AB ， 点D为AB的中点， 动点EF、分别在ADBC、上， 且2 3EF ，作BEF的外接圆O，交AC于点GH、当动点E从点D向点A运动时，线段GH长度的变化情况为（ ） A. 一直不变 B. 一直变大 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可求 ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点 O在以点 B为圆心，2 为半径的圆上运动，由勾股定理可求 GH， 即可求解 【
20、详解】如图，连接 BO， EO， FO， GO， HO，过点 O作 ONEF于 N， OPGH 于 P， ABC是等边三角形， ABC=60 EOF= 120， OE= OF， ONEF， OEF=OFE= 30 EN= FN=3， OF= 2ON， FN =3ON， ON= 1，FO= 2， OB=GO=OH=2， 点 O在以点 B 为圆心，2 为半径的圆上运动， OG = OH， OPGH， GH = 2PH， PH=2224OHOPOP 22 4GHOP 动点 E 从点 D 向点 A 运动时，OP的长是先变小再变大， GH的长度是先变大再变小， 故选： D 【点睛】本题考查了三角形的外接
21、圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点 O的运动轨迹是解题的关键 试题卷试题卷 II 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11. 请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是_， （选择，中的一项）选择理由是_ 【答案】 . . 既是轴对称图形，又是中心对称图形 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可 【详解】解：我最为欣赏的图标是，选择理由是既是轴对称图形，又是中心对称图形 是轴对称图形，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，是轴对称图形 故答案为：；既是轴对称图形，又是中心对称图形 【点睛】
22、本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键 12. 圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm，则该圆柱的侧面积为_2cm 【答案】10 【解析】 【分析】根据已知中圆柱的底面半径为 1cm，母线长为 5cm，代入圆柱侧面积公式，可得答案 【详解】解：圆柱的底面半径为 1cm，母线长为 5cm， 圆柱的侧面积 S=2rl=215=10cm2， 故答案为：10 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的侧面积公式， ，直接代入运算即可 13. 某企业对其生产的产品进行抽检，抽检结果如下表： 抽检件数 5 50 100 500 1000 2000 3000 5000 不合格件数 0 1 2
23、 9 21 40 60 100 不合格频率 0 0.02 0.02 0.018 0.021 0.02 0.02 0.02 则该产品不合格的概率约为_ 【答案】0.02 【解析】 【分析】大量重复试验下，数据的频率可以估计概率 【详解】解：观察表格发现，随着实验次数的增多，不合格的频率逐渐稳定在 0.02， 所以该产品不合格的概率约为 0.02 故答案为：0.02 【点睛】本题考查了利用频率估计概率及概率的计算，是统计在实际生活中应用，问题的生活化可激发学生的兴趣和求知欲望，同样这样的问题也影响学生的思维方式，学会用数学的视野关注身边的数学 14. 如图， 正五边形的外接圆半径为 1cm， 则边
24、长 AB_cm（精确到0.1cm）（参考数据： sin360.6，cos360.8，tan360.7） 【答案】1 2 【解析】 【分析】根据正五边形的的性质得到AOB=3605=72 ，解直角三角形即可得到结论 【详解】解：O是正五边形的外接圆， AOB=3605=72 ， OCAB于 C，OA=OB， AOC=12AOB=36 ， AO=1cm， AC=OAsin36=10.6=0.6（cm） ， AB=2AC=1.2cm， 故答案为：1.2 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，属于基础性知识，比较简单 15. 将二次函数2yxmxn （m，n 为常数）的图象，先向左平移 1个单位长度，
25、再向上平移 2 个单位长度后，得到的图象顶点为0 4，则mn的值为_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”得到原抛物线顶点坐标，将其代入二次函数 y=-x2+mx+n，即可求得 m、n的值 【详解】解：根据题意知，原抛物线的顶点坐标是（0+1，4-2） ，即（1，2） ，则原抛物线解析式为 y=-（x-1）2+2=-x2+2x+1 故 m=2，n=1 所以 m+n=2+1=3 故答案是：3 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移前后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待
26、定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 16. 如图，在 RtABC中，90BAC，点D为AC上一点，连结BD，若45DBC，则ADCD的最大值为_ 【答案】212 【解析】 【分析】作BCD的外接圆O，作 OEAC于点 E，作 OFAB于点 F，连结 OB，先证明四边形 OFAE是矩形，因为 CD，CE的长为定值，所以当 AE 最大时，则 AD的长最大，则 AD的值最大，ADCD的值也最大； 因为垂线段最短， 所以当点 B与点 F重合时， 则 AE=OB， 此时 AE 最大， 连结 OD、 OC， 设 DE=CE=m，则 CD=2m，根据勾股定理可求得 AE=OB=O
27、D=2m，即可求出ADCD的值 【详解】解：如图 1，作BCD 的外接圆O，作 OEAC于点 E，作 OFAB 于点 F，连结 OB， AEO=AFO=BAC=90 ， 四边形 OFAE是矩形， AE=OF， DE=CE=12CD， CD=2CE， CD，CE 的长度不变，当 OF 最大时，则 AE 最大，此时 AD 最大， ADCD的值也最大， OFOB， 当 OF=OB 时，OF 的最大， 此时，点 B与点 F重合， 如图 2，当点 B 与点 F 重合时，连结 OD、OC， 设 DE=CE=m，则 CD=2m， DBC=45 ， DOC=2DBC=90 ， OD=OC， OE=12CD=D
28、E=m， AE=OB=OD=22222DEOEmmm， AD=AE-DE=2m-m， 22122ADmmCDm， 故答案为：212 【点睛】此题重点考查圆周角定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键 三、解答题三、解答题(本大题有本大题有 8 小题，共小题，共 80 分分) 17. 计算：3tan302cos602sin45 【答案】1 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可 【详解】解：3tan302cos602sin45 312322322 1 1 1 1 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题
29、的关键 18. 面对新冠疫情，宁波教育人同心战“疫”因有不少师生居家健康监测，无法到校工作、学习，各校师生通过“云端”相连，停课不停教，停课不停学某校在疫情期间的教学方式主要包括直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式为了了解学生的需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查（每人只选其中的一种） ，并根据调查结果绘制成如下图所示的统计图 （1）本次调查的人数是_人； （2）请补全条形统计图； （3）明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，请用树状图或列表表示所有可能的情况，并求明明和强强选择同一种教学方式的概率 【答案】 （1）80 （2）见解析 （3）
30、14 【解析】 【分析】 （1）根据录播授课的人数和所占的百分比求出调查的总人数即可； （2）用总人数减去其它方式的人数求出自主学习的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有 16种等可能情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有 4种，再由概率公式求解即可 【小问 1 详解】 解：本次调查的人数有 20 25%=80（人） ， 故答案为：80； 【小问 2 详解】 解：自主学习的人数有：80-35-20-15=10（人） ， 补全条形统计图如下： 【小问 3 详解】 解：把直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式分别记为 A、B、C、D， 画树状图如下： 共有 16种等可能
31、情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有 4 种， 明明和强强选择同一种教学方式的概率为41=164 【点睛】本题考查了树状图法以及条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x 的图象与二次函数 y=-x2+bx（b 为常数）的图象相交于O，A两点，点 A坐标为（3，m） （1）求 m的值以及二次函数的表达式； （2）若点 P为抛物线的顶点，连结 OP，AP，求POA 的面积 【答案】
32、（1）m的值为 3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x； （2）POA的面积为 3 【解析】 【分析】 （1）把点 A的坐标为（3，m）代入 y=x 可求出 m 的值，然后再把 A点坐标代入二次函数表达式即可解答； （2）过点 P作 PCx轴，垂足为 C，交 OA 于点 D，然后把OPD的面积与APD 的面积相加即可 【小问 1 详解】 解：把点 A坐标为（3，m）代入一次函数 y=x 中可得： m=3， A（3，3） ， 把点 A坐标为（3，3）代入二次函数 y=-x2+bx 中可得： 3=-9+3b， 解得：b=4， y=-x2+4x， 答：m的值为 3，二次函数的表达式为：y=-x2+
33、4x； 【小问 2 详解】 解：过点 P作 PCx 轴，垂足为 C，交 OA于点 D，过点 A作 AEPC，垂足为 E， y=-x2+4x=-（x-2）2+4， 顶点 P（2，4） ， 把 x=2代入 y=x 中得： y=2， D（2，2） ， PD=4-2=2， POA的面积=OPD 的面积+APD的面积， POA的面积=12PDOC+12PDAE =12PD（OC+AE） =12 2 3 =3， 答：POA 的面积为 3 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把POA的面积分成OPD的面积与APD 的面积之和是解题的关键 20. 某小区门口安装了汽
34、车出入道闸 道闸关闭时， 如图 1， 四边形 ABCD为矩形， AB长 3米， AD长 1米，点 D 距地面为 0.2米道闸打开的过程中，边 AD固定，连杆 AB，CD分别绕点 A，D 转动，且边 BC始终与边 AD 平行 （1）如图 2，当道闸打开至ADC45 时，边 CD上一点 P 到地面的距离 PE为 1.2 米，求点 P 到 MN的距离 PF 的长 （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽 1 8米，高 1.6 米当道闸打开至ADC36 时，轿车能否驶入小区？请说明理由 （参考数据：sin360.59，cos360.81，tan360.73） 【答案】 （1）2PF 米 （2）轿车能驶入小区；
35、理由见解析 【解析】 【分析】 （1）在 RtPDQ中，由PDQ45 ，DQPQ1，进而求出 FP 即可； （2）当ADC36 ，PE1.6 米时，求出 PF，与 1.8 米比较即可得出答案 【小问 1 详解】 解： （1）过点 D作 DQPE，垂足为 Q，如图所示： 由题意可知，ADC45 ，PE1.2米，QE0.2米， 在 RtPDQ中，PDQ45 ，PQ1.20.21 米， 904545DPQ ， 45PDQDPQ ， DQPQ1（米） ， PFEN=ABDQ312（米） 【小问 2 详解】 当ADC36 ，PE1.6米时，则DPQ36 ，PQ1.60.21.4（米） ， DQPQtan
36、361.40.731.022（米） ， PF31.0221.98（米） ， 1.981.8， 能通过 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键 21. 如图 1，AB是O的直径，点 C是O上异于点 A，B 的一点，连接 AC，BC，并延长 BA 至点 E，使得ECA=B （1）求证：CE是O的切线； （2）如图 2，若B=30 ，请写出三个你认为正确的结论（注：不另外添加辅助线） 【答案】 （1）见解析 （2）正确的结论有：AB=2AC，E=30 ，EA=AC 等 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，由圆周角定理得出ACB=90 ，由等腰三角形的性质
37、得出CAO=ACO，证出ECO=90 ，则可得出结论； （2）由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出结论 【小问 1 详解】 证明：连接 OC， AB 是O的直径， ACB=90 ， B+CAB=90 ， OA=OC， CAO=ACO， B+ACO=90 ， B=ECA， ECA+ACO=90 ， ECO=90 ， ECOC， OC为圆的半径， CE是O的切线； 【小问 2 详解】 解：B=30 ， CAB=60 ，AB=2AC， ECA=B=30 ， E=30 ， EA=AC 正确的结论有：AB=2AC，E=30 ，EA=AC等 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定
38、，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键 22. 某琴行销售一种笛子，每支进价为 56元当售价每支为 80元时，月平均销售量为 60支为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下)经市场调查表明，当每支笛子的售价每降低 1 元时，月平均销售量将增加 3 支 （1）若设销售单价为x元/支，则销售量为_支（用含x的代数式表示） ； （2）求月平均销售利润y(单位：元)关于销售单价x(单位：元/支)的函数表达式； （3）当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大？ 【答案】 （1） （-3x+300） （2）y=-3x2+468x-16800； （3）当销售单价定
39、为每支 78 元时，所得月平均利润最大 【解析】 【分析】 （1）根据售价每支为 80元时，月平均销售量为 60支，当每支笛子的售价每降低 1元时，月平均销售量将增加 3支，列出销售量代数式； （2）根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求函数最值即可 【小问 1 详解】 根据题意，当销售单价为 x 元/支时，销量为：60+3（80-x）=-3x+300， 销售量为（-3x+300）支， 故答案为： （-3x+300） ； 【小问 2 详解】 设销售单价为 x 元/盏，月销售利润 y 元，根据题意得： y=（x-56） （-3x+300）=-3x2+468
40、x-16800， 月平均销售利润 y 关于销售单价 x 的函数表达式为 y=-3x2+468x-16800； 【小问 3 详解】 由（2）知：y=-3x2+468x-16800=-3（x-78）2+1452， -30，56x80， 当 x=78 时，y有最大值，最大值为 1452， 当销售单价定为每支 78元时，所得月平均利润最大 【点睛】此题主要考查了二次函数应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系 23. 利用网格图，可以仅用无刻度的直尺来完成几何作图 （注：以下点A BMN、 、 、均在格点上 ） 【赏析】 （1） 提出问题： 下列图是
41、由边长为 1 的小正方形构成的网格图 在网格图 1中的线段AB上， 求作一点P，使得2BPAP （2）观察欣赏：在图 2 中，24AMBN，且AMBN连结MN交AB于点P，点P即为所求作之点，此时2BPAP （3）求证：在图 3 中，点P也为所求作之点，即2BPAP 【尝试】 （4）作图：下列图是由边长为 1 的小正六边形构成的网格图请在线段AB上求作点P 在图 4中，过格点M作线段MN与AB交于点P，使得25APBP 在图 5中，求作点P，使得25APBP （要求：方法与有别，不写作法但保留作图痕迹） 【答案】 （1）见解析； （3）见解析； （4）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用平行
42、线分线段成比例定理解决问题即可； （3）利用平行线分线段成比例定理证明即可； （4）取点 M，J，连接 MJ 交 AB 于点 P，点 P 即为所求； 取点 G，T，连接 GT交 AB 于点 P，点 P即为所求 【详解】解： （1）如图 1中，点 P 即为所求； （3）证明：观察图象可知，AMBN，BN=2AM， 1 2APAMPBBN， PB=2PA； （4）如图 4 中，点 P即为所求 如图 5中，点 P 即为所求 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理解决问题 24. 如图， 等腰ABC内接于O， AB=AC， 连结 OC， 过点 B作 AC的垂线，
43、交O于点 D， 交 OC于点 M，交 AC于点 E，连结 AD （1）若D=，请用含 的代数式表示OCA； （2）如图 1 求证：CE2=EMEB； 若 BM=3，DM=2，求 tanBAC 的值 （3）如图 2，连结 CD，若ABCDBMCSDMxyBMS四边形，求 y关于 x 的函数表达式 【答案】 （1）OCA=90 -； （2）见解析；tanBAC=73； （3）22221xxyx 【解析】 【分析】 （1）连接 OA，OB，可证得AOBAOC，从而OAB=OAC=12BAC，结合ACB=D=，ABC=ACB=，进一步可求得结果； （2）可证明CEMBEC，进而命题得证； 连接 AO并
44、延长交 BD于 N，连接 CN，CD，可先证 AO 垂直平分 BC，所以 BN=CN，可证 OCAD，所以DMC=ABD=ACB，进而证明 CD=DM=2，可证AENAED，进而可得 AC 垂直平分 DN，BN=CN=CD=2，于是求得 MN=1，根据 EN=DE 求得 EM=12，EB=72，DE=32，由知：CE2=EMEB 求得CE=72，证DECAEB，从而得出 AE 的值，进一步求得结果； （3）BM=a，DM=ax，由得 BN=CN=CD=DM=ax，求得 MN=BM-BN=a-ax，由知：EN=ED，从而求得EM=22axa，由知：OCAD，得出ACCE，进一步求得函数关系式 【
45、小问 1 详解】 解：如图 1， 连接 OA，OB， 在AOB和AOC中，ABACOBOCAOAO， AOBAOC（SSS） ， OAB=OAC=12BAC， AB=AB， ACB=D=， AB=AC， ABC=ACB=， BAC=180 -2， OAC=90 -， OA=OC， OCA=OAC=90 -； 【小问 2 详解】 证明：BDAC， BEC=90 ， CBE=90 -ACB=90 -， OCA=CBE， CEM=CEB， CEMBEC， CEEMBECE， CE2=EMEB； 解：如图 2， 连接 AO 并延长交 BD 于 N，连接 CN，CD， AB=AC，OAB=OAC， AO
46、垂直平分 BC， BN=CN， OCA=DAC， OCAD， DMC=ABD=ACB， BC=BC， BAC=CDM， DCM=ABC， DCM=DMC， CD=DM=2， ACBD， AED=AEN， OAC=DAC，AE=AE， AENAED（ASA） ， EN=ED， AC垂直平分 DN， CN=CD=2， BN=CN=2， MN=BM-BN=3-2=1， 由 EN=DE得， MN+EM=DM-EM， 1+EM=2-EM， EM=12， EB=BM+EM=3+12=72，DE=DM-EM=2-12=32， 由知：CE2=EMEB=1272=74， CE=72， BAC=BDC，DEC=A
47、EB， DECAEB， DECEAEBE， AE=373227272DE BECE， RtABE 中，tanBAC=737(7)223BEAE； 【小问 3 详解】 解：如图 3， 设 BM=a，DM=ax， 由得 BN=CN=CD=DM=ax， MN=BM-BN=a-ax， 由知：EN=ED， MN+EM=DM-EM， EM=()2222DMMNaxaaxaxa， DMBM=x， 1DMBMxBM， 即：1BDxBM， 由知：OCAD， AEDECEEM， 22212ACDMaxxaxaCEEMx， 212222(1)121212ABCDBMCAC BDSBDACxxxyxSBMCExxBM CE四边形 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，比例性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，发现特殊性以及利用前面解答出的结果
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