1、浙江省绍兴市越城区浙江省绍兴市越城区 20212021- -20222022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题一、选择题 1. 正多边形的每一个内角都是 120 ，那么这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 2. 已知O的半径为 4，点 P 是O 外一点，连结 OP，那么 OP 的长可能是（ ） A. 3.5 B. 3.9 C. 4 D. 4.1 3. 如图， 在ABC 中， DE/BC， DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E， 若 AE=4， EC=2， 则ADAB的值为 （ ） A. 23 B. 12 C. 1
2、3 D. 14 4. 二次函数2(1)1yx的图象向下平移一个单位后，得到新的图象表达式为（ ） A. y=x2-2x+1 B. y=x2-2x+3 C. y=x2-4x+5 D. y=x2+1 5. 下列三个关于位似图形的表述： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 6. 如图，ACB=BDC=Rt，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你
3、认为该添加的一个条件是_ 7. 如图， 正五边形形 ABCDE 的边长为 2， 分别以点 C、 D 为圆心， CD长为半径画弧， 两弧交于点 F， 则BF的长为_ （结果保留） 8. 如图，把抛物线 y=12x2平移得到抛物线 m，抛物线 m经过点 A（6，0）和原点 O（0，0） ，它顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y=12x2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 9. 如图，在ABC 中，AB=AC ，点 D、E在边 BC上，DAE=B=30 ，且32ADAE，那么DEBC的值是_ 三、解答题三、解答题 10. 已知二次函数表达式y=x2-4x+1 （1）求出这个二次函数图象的对称轴； （2
4、）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标 11. 如图，ABC中，点 D边 AC上，且ABDC （1）求证：ADBABC； （2）若 AD4，AC9，求 AB的长 12. 不透明的袋子中装有 2 个红球、一个白球，这些球除颜色外无其他差别 （1）从袋子中摸出 1个球，求摸出的球是红球的概率； （2）从袋子中摸出 1个球，记下颜色后放回并据匀，再摸出 1 个球求两次摸出都是红球的概率； （3）从袋子中摸出 1个球，记下颜色后放回并摇匀，再摸出 1 个球求两次摸出是不同颜色球的概率 13. 学习完垂径定理这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下
5、四等分圆弧问题的操作： 小亮的作法如下： 如图， （1）连接 AB； （2）作 AB的垂直平分线 CD 交弧 AB于点 M，交 AB 于点 T； （3）分别作线段 AT，线段 BT 的垂直平分线 EF，CH，交弧 AB 于 N，P两点； 那么 N，M，P 三点把弧 AB 四等分 （1）小明否定了小亮四等分弧 AB 作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由； （2）请你利用直尺和圆规四等分所给的弧 AB（仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹） 14. 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长50m） ，中间用一道墙隔开（如图） 已知计划中的建筑材料可建围墙的总
6、长为 50m，设两间饲养室合计长 x（m） ，总占地面积为 y（m2） （1）求 y关于 x的函数表达式和自变量的取值范围； （2）在所给出坐标系中画出函数的图象； （3）利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到 200m2，则各道墙的长度为多少? 15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 分别作 AD、AB 的垂线，交边 AD、AB 的延长线于点 E、F （1）求证：CDECBF； （2）求证：AD DE=AB BF； （3）连结 AC，如果CFACDECD，求证22ACAFBCBF 16. 如图，已知抛物线2yxbxc 与x轴、y轴分别相交于点 A（1，0）和 B（0，3）
7、，其顶点为 D （1）求这条抛物线解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为 E，求ODE 的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P 使得PAB 的周长最短若存在请求出点 P 的坐标，若不存在说明理由 17. 如图，ABC 中，AB=AC，O是ABC的外接圆，BO 的延长交边 AC 于点 D （1）求证：BAC=2ABD； （2）当BCD是等腰三角形时，求BCD的大小； （3）当 AD=2，CD=3时，求边 BC的长 浙江省绍兴市越城区浙江省绍兴市越城区 20212021- -20222022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题一、选择题 1. 正多边形的每一
8、个内角都是 120 ，那么这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，计算出多边形的外角的度数，再根据外角和 外角度数边数可得答案 【详解】解：正多边形的每个内角都是 120 ， 每个外角是 180 120 60 ， 这个正多边形的边数是 360 60 6， 这个正多边形是正六边形， 故选：B 【点睛】 本题考查了多边形外角和是 360这一知识点， 根据题意求出， 每个外角的度数是解决本题的关键。 2. 已知O的半径为 4，点 P 是O 外一点，连结 OP，那么 OP 的长可能是（ ） A. 3.5 B. 3.9
9、 C. 4 D. 4.1 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的对称性、点和圆的位置关系的性质分析，即可得到答案 【详解】O的半径为 4，点 P是O外一点， 4OP ， 4.14， 4.1OP符合题意， 故选：D 【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、点和圆的位置关系的性质，从而完成求解 3. 如图， 在ABC 中， DE/BC， DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E， 若 AE=4， EC=2， 则ADAB的值为 （ ） A. 23 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值 【详解】解
10、：DEBC， ADAEABAC， 42423ADAB， 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，用此定理写出比例线段是解题关键 4. 二次函数2(1)1yx的图象向下平移一个单位后，得到新的图象表达式为（ ） A. y=x2-2x+1 B. y=x2-2x+3 C. y=x2-4x+5 D. y=x2+1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得出平移后的二次函数解析式，再变为一般式即可选择 【详解】二次函数2(1)1yx的图象向下平移一个单位后，得到新的图象表达式为2(1)1 1yx ， 即22(1
11、)21yxxx 故选 A 【点睛】 本题考查二次函数图象的平移，二次函数的顶点式改为一般式 掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键 5. 下列三个关于位似图形的表述： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系和区别去判断即可 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故错误； 位似图形一定有位似中心，是对应点连线的
12、交点，故正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故正确； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故错误； 正确答案为： 故选：B 【点睛】本题考查了位似图形与相似图形之间的联系和区别，如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比 二、填空题二、填空题 6. 如图，ACB=BDC=Rt，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似请你添加一个
13、条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是_ 【答案】A=CBA（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定可求解 【详解】解：添加A=CBA， A=CBA，ACB=BDC=Rt， ACBBDC， 故答案：A=CBA（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键 7. 如图， 正五边形形 ABCDE 的边长为 2， 分别以点 C、 D 为圆心， CD长为半径画弧， 两弧交于点 F， 则BF的长为_ （结果保留） 【答案】815 【解析】 【分析】连接 CF，DF，则CFD 是等边三角形，求出BCF，根据弧长公式计算即可 【详解
14、】解：连接 CF，DF， 则CFD 是等边三角形， FCD=60 ， 在正五边形 ABCDE 中，BCD=108 ， BCF=48 ， BF的长=482818015 故答案为815 【点睛】本题考查了弧长公式，正五边形性质，等边三角形性质，熟知相关公式、定理是解题关键 8. 如图，把抛物线 y=12x2平移得到抛物线 m，抛物线 m经过点 A（6，0）和原点 O（0，0） ，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y=12x2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 【答案】272 【解析】 【分析】根据点 O 与点 A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点 P 的坐标，过点 P 作 PMy轴于点
15、 M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形 NPMO的面积，然后求解即可. 【详解】过点 P 作 PMy轴于点 M，设 PQ交 x 轴于点 N， 抛物线平移后经过原点 O和点 A（6，0） ， 平移后的抛物线对称轴为 x=3. 平移后的二次函数解析式为：y=12（x+3）2+h， 将（6，0）代入得出：0=12（6+3）2+h，解得：h=92. 点 P 的坐标是（3，92） 根据抛物线对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积， S=9273=22 9. 如图，在ABC 中，AB=AC ，点 D、E在边 BC上，DAE=B=30 ，且32ADAE，那么DEBC的值是_ 【答
16、案】13 3118 【解析】 【分析】由已知可得ABEDAE，从而可知32ABADBEAE，2AEBE DE， 设 AB=3x，则 BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性质用 x 表示 DE 和 BC，从而解答 【详解】解：BAE=DAE+BAD，ADE=B+BAD， 又DAE=B=30 ， BAE=ADE， ABEDAE， 32ABADBEAE，2AEBE DE， 过 A 点作 AHBC，垂足为 H， 设 AB=3x，则 BE=2x， B=30 ， 1322AHABx，3 33 322BHABx， 3 322EHBHBEx， 在Rt AHE中，22222233 32136 322AEAHE
17、Hxxxx， 又2AEBE DE， 213 6 32xx DE， 136 32DEx， AB=AC，AHBC， 23 3BCBHx， 1313631833213xDEBCx， 故答案为：1313631833213xDEBCx . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用三角形相似得到 AB与 BE的关系是解题的关键 三、解答题三、解答题 10. 已知二次函数表达式为 y=x2-4x+1 （1）求出这个二次函数图象的对称轴； （2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标 【答案】 （1）直线 x=2 （2）与 x轴的交点坐标为(2+3,0)和(2-3,0)，
18、与 y轴的交点坐标为（0，1） 【解析】 【分析】 （1）将抛物线函解析式配成顶点式，即可得出抛物线对称轴； （2）令 x=0，求出 y 值即可得到抛物线与 y轴的交点坐标，令 y=0，求出 x值，即可得出抛物线与 x轴的交点坐标 【小问 1 详解】 解：y=x2-4x+1=(x-2)2-3， 抛物线的对称轴为直线 x=2， 答：这个二次函数图象的对称轴为直线 x=2； 【小问 2 详解】 解：令 x=0，则 y=1， 这个二次函数图象与 y轴的交点坐标为(0,1)， 令 y=0，则 x2-4x+1=0， 解得：x1=2+3，x2=2-3， 这个二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为(2+3,0
19、)和(2-3,0) 【点睛】本题考查二次函数图象性质和图象与坐标轴交点，将函数解析式化成顶点式是解题的关键 11. 如图，ABC中，点 D在边 AC 上，且ABDC （1）求证：ADBABC； （2）若 AD4，AC9，求 AB的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）6. 【解析】 【分析】1）根据相似三角形的判定即可得到结论； （2）由（1）知ABCADB，根据相似三角形的性质得到，即 AB2ACAD 即可求得 AB. 【详解】 （1）证明：ABDC，AA， ADBABC； （2）解：ADBABC， ，即 AB2ACAD， AD4，AC9， AB24 936， AB6 【点睛】本题考查了相
20、似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 12. 不透明的袋子中装有 2 个红球、一个白球，这些球除颜色外无其他差别 （1）从袋子中摸出 1个球，求摸出的球是红球的概率； （2）从袋子中摸出 1个球，记下颜色后放回并据匀，再摸出 1 个球求两次摸出都是红球的概率； （3）从袋子中摸出 1个球，记下颜色后放回并摇匀，再摸出 1 个球求两次摸出是不同颜色球的概率 【答案】 （1）摸出的球是红球的概率为23 （2）两次摸出都是红球概率为49 （3）两次摸出是不同颜色球的概率为49 【解析】 【分析】 （1）结合题意，根据概率公式的性质计算，即可得到答案； （2）结合
21、题意，根据树状图求概率的性质计算，即可得到答案； （3）结合题意，根据树状图求概率性质计算，即可得到答案 【小问 1 详解】 根据题意，摸出的球是红球的概率为：23； 【小问 2 详解】 两次摸球，总共 9 种情况，其中两次都是红球的情况共 4种 两次摸球都是红球的概率4=9； 【小问 3 详解】 两次摸球，总共 9 种情况，两次摸出是不同颜色球的情况共 4种 两次摸出是不同颜色球的概率4=9 【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率公式、树状图求概率的性质，从而完成求解 13. 学习完垂径定理这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学
22、做如下四等分圆弧问题的操作： 小亮的作法如下： 如图， （1）连接 AB； （2）作 AB的垂直平分线 CD 交弧 AB于点 M，交 AB 于点 T； （3）分别作线段 AT，线段 BT 的垂直平分线 EF，CH，交弧 AB 于 N，P两点； 那么 N，M，P 三点把弧 AB 四等分 （1）小明否定了小亮四等分弧 AB 作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由； （2）请你利用直尺和圆规四等分所给的弧 AB（仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹） 【答案】 （1）EF、CH平分的不是弧 AM 、弧 BM所对的弦； （答案不唯一） ， （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）
23、直线 EF，GH不是平分弦AM，BM的弦； （2）作图见解析部分 【小问 1 详解】 EF、CH平分的不是弧 AM 、弧 BM所对的弦； （答案不唯一） ， 【小问 2 详解】 如图，点 E，F，G是四等分点 作法步骤：作 AB 的垂直平分线交AB于点 F，连接 AF、BF， 分别作线段 AF，线段 BF的垂直平分线交AB于点 E，G， 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 14. 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长50m） ，中间用一道墙隔开（如图） 已知计划中的建筑材料可建围
24、墙的总长为 50m，设两间饲养室合计长 x（m） ，总占地面积为 y（m2） （1）求 y关于 x的函数表达式和自变量的取值范围； （2）在所给出的坐标系中画出函数的图象； （3）利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到 200m2，则各道墙的长度为多少? 【答案】 （1）215033yxx 其中 0 x50 （2）画函数图象见解析 （3）各道墙的长度分别为 20m，10m或者 30m，20m3时，总面积达到 200m2 【解析】 【分析】 （1）根据题意用含 x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长 宽计算即可； （2）确定特殊点位置，继而可得函数图象； （3）构建方程即可解决问题
25、【小问 1 详解】 解：围墙的总长为 50 m，2间饲养室合计长 x m， 饲养室的宽=503x m， 总占地面积为 y=x503x=-13x2+503x（0 x50） ； 【小问 2 详解】 解：y=-13x2+503x=216252533x， 顶点坐标为（25，6253） ， 当 y=200 时，216252520033x， 解得 x=20 或 30， 图象经过点（20，200）和（30，200） ， 当 y=0时，2162525033x， 解得 x=0 或 50， 图象经过点（0，0）和（50，0） ， 描点，连线，函数图象如图所示 【小问 3 详解】 解：当两间饲养室占地总面积达到 2
26、00 m 2时，则-13x2+503x=200， 解得：x=20或 30； 答：各道墙长分别为 20 m、10 m或 30 m、203 m时，总面积达到 200 m 2 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题 15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 分别作 AD、AB 的垂线，交边 AD、AB 的延长线于点 E、F （1）求证：CDECBF； （2）求证：AD DE=AB BF； （3）连结 AC，如果CFACDECD，求证22ACAFBCBF 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析
27、】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得 CD / AB，AD / BC，CDE=DAB，可得CDE=CBF，CBF=DAB，又 CEAE，CFAF进而即可证明CDECBF； （2）根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质列出比例式，即可证明 AD DE=AB BF （3）根据已知条件证明ACFCDE，根据相似三角形的传递性可得ACFCBF，根据相似三角形的性质可得22ACFCBFSACSBCVV，根据CFCF，则ACFCBFSAFSBFVV，即可得证 【小问 1 详解】 四边形 ABCD是平行四边形， CD / AB，AD / BC，CDE=DAB，CBF=DAB， CDE=CBF， C
28、EAE，CFAF CED=CFB=90 CDECBF 【小问 2 详解】 CDECBF， BCCDBFDE 四边形 ABCD是平行四边形， BC=AD、CD=AB， 即ADABBFDE， AD DE=AB BF 【小问 3 详解】 如图，连接AC， CFACDECD，CDE=CFB=90 ACFCDE， 又CBFCDE， ACFCBF 22ACFCBFSACSBCVV ACF 与CBF 等高，则 ACFCNFSAFSBF， 22=ACAFBCBF， 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键 16. 如图，已知抛物线2yxbxc 与x轴、
29、y轴分别相交于点 A（1，0）和 B（0，3） ，其顶点为 D （1）求这条抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为 E，求ODE 的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P 使得PAB 的周长最短若存在请求出点 P 的坐标，若不存在说明理由 【答案】 （1）y=x2+2x+3； （2）SODE=6； （3）点 P 坐标（1，2）. 【解析】 【分析】 （1）将 A（-1，0） 、B（0，3）分别代入 y=-x2+bx+c，解方程组求得 b、c 的值，即可求得抛物线的解析式； （2）先求得点 D、点 E 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）连接 BE 交直线 x=1
30、于点 P，此时 PA+PB的值最小，由此求得点 P 的坐标即可. 【详解】 （1）解：根据题意得，解得 ， 抛物线解析式为 y=x2+2x+3 （2）解：当 y=0 时，x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3，则 E（3，0） ； 抛物线 y=（x1）2 + 4的顶点坐标 D（1，4） ， SODE=12 3 4=6； （3）连接 BE 交直线 x=1于点 P，如图， 由对称性知 PA=PE， PA+PB=PE+PB=BE， 此时 PA+PB的值最小， 求得直线 BE 的解析式为 y=x+3 当 x=1时，y=x+3=3， 点 P 坐标（1，2）. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数
31、解析式、抛物线与 x轴的交点坐标、三边形面积的求法及最短路径问题（轴对称） ，题目综合性较强，是二次函数部分典型题目 17. 如图，ABC 中，AB=AC，O是ABC的外接圆，BO 的延长交边 AC 于点 D （1）求证：BAC=2ABD； （2）当BCD是等腰三角形时，求BCD的大小； （3）当 AD=2，CD=3时，求边 BC的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）BCD的值为 67.5或 72； （3）5 22 【解析】 【分析】(1)连接 OA利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可 (2)分三种情形：若 BD=CB，则C=BDC=ABD+BAC=3ABD若 CD=CB，则CBD
32、=CDB=3ABD若 DB=DC，则 D与 A重合，这种情形不存在分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可 (3) 如图3中， 作AE/BC交BD的延长线于E 则23AEADBCDC， 进而得到34AOAEOHBH， 设OB=OA=4a，OH=3a，根据 BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出 a即可解决问题 【详解】解：(1)连接 OA，如下图 1 所示： AB=AC， AB=AC， OABC， BAO=CAO OA=OB， ABD=BAO， BAC=2ABD (2)如图 2 中，延长 AO交 BC 于 H 若 BD=CB，则C=BDC=ABD+BAC=3ABD AB=AC，
33、ABC=C， DBC=2ABD DBC+C+BDC=180 ， 8ABD=180 ， C=3ABD=67.5 若 CD=CB，则CBD=CDB=3ABD，C=4ABD DBC+C+CDB=180 ， 10ABD=180 ， BCD=4ABD=72 若 DB=DC，则 D与 A重合，这种情形不存在 综上所述：C的值为 67.5 或 72 (3)如图 3 中，过 A点作 AE/BC 交 BD 的延长线于 E 则AEBC=ADDC=23，且 BC=2BH， AOOH=AEBH=43， 设 OB=OA=4a，OH=3a 则在 RtABH和 RtOBH中， BH2=AB2AH2=OB2OH2， 25 - 49a2=16a29a2， a2=2556， BH=5 24， BC=2BH=5 22 故答案为：5 22 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型
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