1、20222022 年山东省济南市长清区中考二模数学试题年山东省济南市长清区中考二模数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48分 ）分 ） 1. 2 的相反数是（ ） A. 2 B. 2 C. 12 D. 12 2. 图中立体图形的俯视图是( ) A. B. C. D. 3. 南沙新区的面积为 80 300 000 平方米，用科学记数法可表示为（ ）平方米 A. 48.03 10 B. 58.03 10 C. 68.03 10 D. 78.03 10 4. 如图，直线 AB CD， B=50 ， C=40 ，则E 等于（ ） A
2、. 70 B. 80 C. 90 D. 100 5. 2017 年 12 月 15 日，北京 2022 年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 6. 实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 0ab B. 0ab C. 0ab D. | |ab 7. 化简22ababab结果为（ ） A. a b B. ab C. abab D. abab 8. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同 2 张卡片，分别标有数字 1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的
3、数字之和为奇数的概率为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 34 9. 函数yaxa与0ayax在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，活动课小明利用一个锐角是 30 的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离 BE为9m，AB为 1.5m（即小明的眼睛距地面的距离） ，那么这棵树高是（ ） A. 33m B. 273m C. 33 32m D. 327 32m 11. 如图，在 RtABC中，C=90 ，以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 AC、AB 于点 M、N，再分别以点 M、 N为圆心， 大于12MN长为半径画弧，
4、两弧交于点 P， 作射线 AP交边 BC于点 D， 若 CD=2，AB=6，则ABD 的面积是( ) A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 12. 二次函数265(0)yaxaxa， 当56x时， 对应的 y的整数值有4个， 则a的取值范围是 （ ） A. 3455a B. 4355a C. 3455a或4355a D. 3455a或4355a 第第卷卷 非选择题（非选择题（102 分）分） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 24 分 ）分 ） 13. 因式分解：23xx_. 14. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并
5、随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是_ 15. 小明发现交通指示牌中“停车让行标志”可以看成是正八边形，如图所示，则1 _ . 16. 已知方程240 xxk的一个根是11x ，则方程的另一根2x _ 17. A，B两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数如图，直线1l、2l分别表示甲、乙骑车S与t之间关系的图象结合图象提供的信息，经过_小时两人相遇 18. 如图，矩形 OABC的边 OC在 y轴上，边 OA在 x轴上，C点坐标为（0，3
6、） ，点 D是线段 OA上的一个动点，连结 CD，以 CD为边作矩形 CDEF，使边 EF过点 B连结 OF，当点 D与点 A重合时，所作矩形CDEF的面积为 12在点 D的运动过程中，当线段 OF有最大值时，则点 F的坐标为_ 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 计算：101tan605132； 20. 解不等式组：53299232xxxx，并把其解集在数轴上表示出来 21. 已知，如图：在矩形 ABCD 中，点 M、N 在边 AD上，且 AM=DN，
7、求证：BN=CM 22. 央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注 我市某校就“中华文化我传承地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两 副尚不完整的统计图请你根据统计图所提供的信息解答下列问题： 图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢” 1被调查的总人数是 人； 2补全条形统计图； 3扇形统计图中，B部分对应的扇形圆心角是 度； 4若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中C类有多少人？ 23. 如图，O是ABC的外接圆，其切线 AE与直径 BD 的延长线相交于点 E，且60ACB （1）求证：AEAB； （
8、2）若2DE ，求O的半径 24. 第 24届冬季奥林匹克运动会将于 2022年 02月 04日至 2022年 02月 20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买 2个小套装和购买 1 个大套装，共需 220 元；购买 3 个小套装和 2个大套装，共需 390 元 （1）求这两种套装的单价分别为多少元？ （2）太原市某校计划用不多于 1350 元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共 20 个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 25. 如图，已知直线12yx与双曲线0kykx交于
9、 A，B两点，且点 A 的横坐标为 4 （1）求 k的值； （2）根据图象，写出使一次函数值大于反比例函数值的 x 的取值范围； （3）若双曲线0kykx上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC的面积 26. （1）问题发现:如图（1） ，在OAB 和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD36 ，连接 AC，BD 交于点 MACBD的值为 ；AMB的度数为 ； （2）类比探究 :如图（2） ，在OAB和OCD中，AOBCOD90 ，OABOCD30 ，连接 AC，交 BD的延长线于点 M请计算ACBD的值及AMB的度数 （3）拓展延伸:在（2）的条件下，将OCD绕点 O在平面内旋转，AC，BD
10、所在直线交于点 M若 OD1，OB13，请直接写出当点 C与点 M 重合时 AC 的长 27. 如图，已知抛物线23yxmx 与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C，点 B的坐标为3,0 （1）求 m的值及抛物线的顶点坐标； （2）点 P 是抛物线对称轴 l上一个动点，当PA PC的值最小时，求点 P的坐标； （3）设点 F 是抛物线上一点，其横坐标为2，在抛物线上是否存在一点 M，使得 AM被直线 BF平分？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，说明理由 20222022 年山东省济南市长清区中考二模数学试题年山东省济南市长清区中考二模数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题
11、共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48分 ）分 ） 1. 2 的相反数是（ ） A. 2 B. 2 C. 12 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义“只有符号不相同的两个数互为相反数”即可得 【详解】由相反数定义得：2的相反数是 2 故选：B 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键 2. 图中立体图形的俯视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应该在俯视图中 【详解】根据图形可得俯视图为： 故选 B 【点睛】此题考查简单组合的三视图，难度不大 3. 南沙新区的
12、面积为 80 300 000 平方米，用科学记数法可表示为（ ）平方米 A. 48.03 10 B. 58.03 10 C. 68.03 10 D. 78.03 10 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1时，n 是负数 【详解】解：将 80300000用科学记数法可表示为 8.03 107 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|
13、10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4. 如图，直线 AB CD， B=50 ， C=40 ，则E 等于（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据平行线的性质得到1=B=50 ， 由三角形的内角和定理可得E=180 B1=90 ， 故选 C 【点睛】本题考查平行线的性质 5. 2017 年 12 月 15 日，北京 2022 年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可 【详解】A不
14、是轴对称图形，本选项错误； B是轴对称图形，本选项正确； C不是轴对称图形，本选项错误； D不是轴对称图形，本选项错误 故选 B 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 6. 实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 0ab B. 0ab C. 0ab D. | |ab 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的位置确定 a，b的正负和绝对值大小，再根据实数运算法则判断即可 【详解】解：根据实数 a，b在数轴上对应点的位置可知，0a ，0b| 1 |ab ， 所以，0ab，0ab ，0ab，| |ab， 故选：D
15、 【点睛】本题考查了实数在数轴上表示和实数的运算法则，解题关键是树立数形结合思想，熟练运用实数运用法则判断式子符号 7. 化简22ababab的结果为（ ） A. a b B. ab C. abab D. abab 【答案】B 【解析】 【分析】根据同分母的分式减法法则进行化简即可得到结果 【详解】解：22ababab 22abab ()()ab abab ab， 故选：B 【点睛】此题主要考查同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键 8. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同 2 张卡片，分别标有数字 1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字
16、之和为奇数的概率为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】利用列表法或树状图法找出所有出现的可能结果，再找出两次摸出的数字之和为奇数出现的可能结果即可求解 【详解】 1 2 1 1+1=2 1+2=3 2 2+1=3 2+2=4 从表中可知，共有 4 种等可能的结果，其中两次摸出的数字之和为奇数的有 2 种，所以两次摸出的数字之和为奇数的的概率是2142， 故选：C 【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，正确地列出表格或树状图是解题的关键注意：从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张 9. 函数yaxa与0ayax在同一平面直角坐标系中的
17、图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数及反比例函数的性质分开讨论：当 a0 时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，然后与选项作比较即可得出结果 当 a0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限， 【详解】解：当 a0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限， 当 a0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限， A、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，故选项错误； B、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故选项正确； C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲
18、线经过第二、四象限，故选项错误； D、图中直线经过第二、四象限，双曲线经过第一、三象限，故选项错误 故选 B 【点睛】本题考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题 10. 如图，活动课小明利用一个锐角是 30 的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离 BE为9m，AB为 1.5m（即小明的眼睛距地面的距离） ，那么这棵树高是（ ） A. 33m B. 273m C. 33 32m D. 327 32m 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得出 AD 的长，在Rt ACD中利用锐角三角函数的定义求出 CD 的长，由 CE=CD+DE即可得出结论
19、【详解】ABBE，DEBE，ADBE， 四边形 ABED 是矩形， BE=9m，AB=1.5m， AD=BE=9m，DE=AB=1.5m， 在 RtACD中， CAD=30，AD=9m， 33093 33CDAD tan ， 3 3 1.5CECDDE(m) 故选：C 【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键 11. 如图，在 RtABC中，C=90 ，以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 AC、AB 于点 M、N，再分别以点 M、 N为圆心， 大于12MN的长为半径画弧， 两弧交于点 P， 作射线 AP交边 BC 于点 D， 若 CD
20、=2，AB=6，则ABD 的面积是( ) A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】作 DEAB于 E，根据角平分线的性质得到 DE=DC=2，根据三角形的面积公式计算即可 【详解】解：作 DEAB于 E，如图所示， 由图可知，AP 平分CAB， C=90 ，DEAB， DE=DC=2， 162ABDABDSE， 故选 B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、三角形的面积等知识以及基本作图的能力，属于中考常考题型 12. 二次函数265(0)yaxaxa， 当56x时， 对应的 y的整数值有4个， 则a的取值范围是 （ ） A 3455a B. 4355a
21、 C. 3455a或4355a D. 3455a或4355a 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式确定函数的对称轴，然后分两种情况讨论：当 a0时，开口向上；当 a0时，开口向上， 当 x3时，y 随 x 的增大而增大， 当 x=5时，y=25a-30a-5=-5a-5， 当 x=6时，y=36a-36a-5=-5， -5a-5y-5， y的整数值有 4个， -9-5a-5-8， 解得：3455a； 当 a3时，y 随 x 的增大而减小， 当 x=5时，y=25a-30a-5=-5a-5， 当 x=6时，y=36a-36a-5=-5， -5y-5a-5， y的整数值有 4个， -2-5
22、a-5-1， 解得：4355a ； 综上：4355a 或3455a， 故选：D 【点睛】题目主要考查了二次函数的性质、不等式组的整数问题，解题的关键是掌握相应的运算法则 第第卷卷 非选择题（非选择题（102 分）分） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 24 分 ）分 ） 13. 因式分解：23xx_. 【答案】3x x 【解析】 【分析】直接利用提公因式法求解即可. 【详解】解：利用提公因式法分解，原式3x x. 故答案为：3x x. 【点睛】本题考查的知识点是因式分解，属于容易题. 出错的原因是没有熟练掌握提公因式法分解因式。
23、 14. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是_ 【答案】59 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值 【详解】解：观察这个图可知：黑砖（5 块）的面积占总面积（9 块）的59 小球最终停留在黑砖上的概率是59 故答案为：59 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A的概率 P（A）=mn，掌握概率的求法是解题的关键 15. 小明发现交通指示牌中“停车让行标志”可以
24、看成是正八边形，如图所示，则1 _ . 【答案】45 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和为360即可求得其中一个外角1的度数. 【详解】正多边形的外角和为360 1 360845 故答案为：45. 【点睛】本题考查了正多边形的外角，熟练掌握外角和为360是解题的关键. 16. 已知方程240 xxk的一个根是11x ，则方程的另一根2x _ 【答案】5 【解析】 【分析】利用根与系数的关系解答 【详解】方程240 xxk的根是 x1、x2， 124xx， 11x ， 2x 5， 故答案为：5 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式并应用是解题的关键 17. A
25、，B两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数如图，直线1l、2l分别表示甲、乙骑车S与t之间关系的图象结合图象提供的信息，经过_小时两人相遇 【答案】207 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线 l1、l2的解析式，利用两函数相等进而求出相遇的时间 【详解】设 l1的关系式为：s1kt，则 30k2，解得：k15，故 s115t； 设 s2atb，将（0，100） ， （2，60） ， 则100260bab， 解得：20100ab ， 故 l2的关系式为 s220t100； 15
26、t20t100， t207 即他们经过207小时两人相遇 故答案为：207 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式，并注意利用数形结合的思想解决问题 18. 如图，矩形 OABC的边 OC在 y轴上，边 OA在 x轴上，C点坐标为（0，3） ，点 D是线段 OA上的一个动点，连结 CD，以 CD为边作矩形 CDEF，使边 EF过点 B连结 OF，当点 D与点 A重合时，所作矩形CDEF的面积为 12在点 D的运动过程中，当线段 OF有最大值时，则点 F的坐标为_ 【答案】 （4 13213，6 1313+3） 【解析】 【分析】 连接 BD， 由矩形
27、的性质得出 S矩形CDEF=2SCBD=12， S矩形OABC=2SCBD， 得出 S矩形OABC=12， 由 OC=3，得出 OA=4，由CFB=90 ，C、B 均为定点，F 可以看作是在以 BC 为直径的圆上，取 BC 的中点 M，则OF的最大值=OM+12BC=13+2，即 O、M、F三点共线，设点 F的横坐标为 2x，则纵坐标为 3x，由勾股定理得出方程求解即可得出结果 【详解】解：当点 D与点 A重合时，如图： S矩形CDEF=2SCBD=12，S矩形OABC=2SCBD， S矩形OABC=12， C 点坐标为（0，3） ， OC=3， OA=4， CFB=90 ，C、B均为定点，
28、F可以看作是在以 BC为直径圆上，取 BC 的中点 M， 则 MF=12BC=2，OM=22OCCM=13， OF的最大值=OM+12BC=13+2，即 O、M、F三点共线， 设点 F的横坐标为 2x，则纵坐标为 3x， （2x）2+（3x）2=（13+2）2， 解得：x=1313213（负值舍去） 2x=4 1313+2，3x=6 1313+3 点 F坐标（4 13213，6 1313+3） 故答案为： （4 13213，6 1313+3） 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形 OABC 的面积是解题的关键
29、三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19. 计算：101tan605132； 【答案】3 【解析】 【分析】由负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案 【详解】解：101tan605132 =2313 =3 【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题 20. 解不等式组：53299232xxxx，并把其解集在数轴上表示出来 【答案】14x；数轴解析 【解析】
30、 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【详解】解：不等式组53299232xxxx， 解不等式得4x 解不等式得1x 原不等式组的解集是：14x 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，主要考查学生的计算能力 21. 已知，如图：在矩形 ABCD 中，点 M、N 在边 AD上，且 AM=DN，求证：BN=CM 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 首先根据 AM=DN得到 AN=MD， 再由矩形的性质得到 AB=CD， A=D， 进而得到ABNDCM，于是得出结论 【详解】解：AM=DN， AM+MN=M
31、N+ND， AN=MD， 四边形 ABCD是矩形， AB=CD，A=D， 在ABN和DCM中， A= DAN=MDABCD， ABNDCM（SAS） ， BN=CM 【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质,比较基础 22. 央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注 我市某校就“中华文化我传承地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两 副尚不完整的统计图请你根据统计图所提供的信息解答下列问题： 图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢” 1被调查的总人数是 人； 2补全条形统计图； 3扇形统计图中，B部分对应的扇形圆心角
32、是 度； 4若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中C类有多少人？ 【答案】 （1）50， （2）见解析， （3）72， （4）1080人 【解析】 【分析】 （1）用 A 类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数， （2）计算 B类的人数后补全条形统计图； （3）用 360乘以 B部分人数所占比例可得； （4）用总人数乘以样本中类别人数所占百分比可得； 【详解】解： （1）510%=50， 所以被调查的总人数是 50人， 故答案为：50 （2）B类的人数为 50-5-30-5=10（人） ， 补全条形统计图为： （3）扇形统计图中，B部分对应的扇形圆心角是1036072
33、.50 故答案为：72. （4）301800108050， 所以根据上述调查结果估计该校学生中 C类有 1080人； 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键 23. 如图，O是ABC的外接圆，其切线 AE与直径 BD 的延长线相交于点 E，且60ACB （1）求证：AEAB； （2）若2DE ，求O的半径 【答案】 （1）见解析； （2）半径为 2 【解析】 【分析】 （1）连接 OA，AD，根据切线及圆周角定理可得BAD=EAO，利用各角之间的数量关系得出BAO=EAD，再由圆周角定理可得AOB=120 ，结合图形及各角之间的关系可得ABE=E，利
34、用等角对等边即可证明； （2） 设圆 O的半径为r， 先根据圆周角定理得出90BAD， 再根据直角三角形的性质可得3ABr，从而可得3AEr，然后在Rt AOE中，利用勾股定理求解即可得 【小问 1 详解】 证明：如图，连接 OA，AD， AE 是圆 O 的切线， OAAE，即90OAE， BD为圆 O的直径， BAD=90 ， BAD=EAO， BAD-OAD=OAE-OAD， 即BAO=EAD， ACB=60 ， AOB=120 ， AOD=60 ， OA=OD， OAD为等边三角形， ADO=60 ， ADE=120 ， 180 -AOB-BAO=180 -ADE-EAD， 即ABE=E
35、， AB=AE； 【小问 2 详解】 解：设圆 O的半径为r，则,2OAODr BDr， 2DE ， 2OEODDEr ， BD 是圆 O的直径， 90BAD， 由（1）可知，ADO=60 ， 30ABD， 则在RtABD中， 221,32ADBDr ABBDADr， 3AEr， 在Rt AOE中， 由勾股定理得：222OAAEOE，即222( 3 )(2)rrr， 解得2r 或23r （不符题意，舍去） ， 则圆 O的半径为 2 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2） ，通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键 24. 第 24届冬季
36、奥林匹克运动会将于 2022年 02月 04日至 2022年 02月 20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买 2个小套装和购买 1 个大套装，共需 220 元；购买 3 个小套装和 2个大套装，共需 390 元 （1）求这两种套装的单价分别为多少元？ （2）太原市某校计划用不多于 1350 元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共 20 个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 【答案】 （1）小套装单价 50 元，大套装单价 120 元； （2）最多可以购买 5 个大套装 【解
37、析】 【分析】 （1）设小套装的单价为 x元，大套装的单价为 y 元，根据“购买 2个小套装和购买 1个大套装，共需 220 元；购买 3 个小套装和 2 个大套装，共需 390 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出这两种套装的单价； （2）设该校购买大套装 m个，则购买小套装（20m）个，利用总价单价数量，结合总价不多于 1350元，即可得出关于 m的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买大套装的数量 【小问 1 详解】 ）设小套装的单价为 x元，大套装的单价为 y 元， 依题意得：222032390 xyxy， 解得
38、：50120 xy 答：小套装单价为 50元，大套装的单价为 120 元 【小问 2 详解】 设该校购买大套装 m个，则购买小套装（20m）个， 依题意得：120m50（20m）1350， 解得：m5 m 的最大值为 5 答：该校最多可以购买大套装 5 个 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 25. 如图，已知直线12yx与双曲线0kykx交于 A，B两点，且点 A 的横坐标为 4 （1）求 k的值； （2）根据图象，写出使一次函数值大于反比例函数值的
39、x 的取值范围； （3）若双曲线0kykx上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC的面积 【答案】 （1）4； （2）440 xx或 （3）15 【解析】 【分析】 （1）求出点 A 代入解析式得到 k 即可解答； （2）根据图象交点确定点 B 坐标，然后结合图象即可确定不等式解集； （3）求出点 C，作出相应图形，再根据割补法即可求三角形的面积 【小问 1 详解】 解：在12yx中，当4x 时，2y ， A点的坐标是（4,2） 把（4,2）代入kyx得， 2 48k ； 【小问 2 详解】 解：由（1）可得两个函数的交点关于原点对称， A（4,2） ，B（-4，-2） ， 结合图象可得一次函数大
40、于反比例函数的取值范围为： 4x或40 x . 【小问 3 详解】 解：由（1）得8k =， 8yx中， 当8y 时1x ，C（1,8） ， AOCCODAOECDOFCFEASSSSS矩形梯形 1111 8284 18 14 2222 23 4 4 =15 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，利用交点确定不等式解集，求三角形面积等，理解题意，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键 26. （1）问题发现:如图（1） ，在OAB 和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD36 ，连接 AC，BD 交于点 MACBD的值为 ；AMB的度数为 ；
41、（2）类比探究 :如图（2） ，在OAB和OCD中，AOBCOD90 ，OABOCD30 ，连接 AC，交 BD的延长线于点 M请计算ACBD的值及AMB的度数 （3）拓展延伸:在（2）的条件下，将OCD绕点 O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点 M若 OD1，OB13，请直接写出当点 C与点 M 重合时 AC 的长 【答案】 （1）1；36 ； （2）ACBD=3，AMB=90 ； （3）33或 43 【解析】 【分析】 （1）由AOB=COD 推出COA=DOB，利用边角边即可证COA与DOB全等，即可求出结果； 先证出CAO与DBO相等，分别加AOB，AMB，结果仍相等，即可得到AO
42、B=AMB=36 ； （2） 证明DOB与COA相似即可求出AC： BD的值， 再通过对顶角相等及OBD=CAO即可证出AMB的度数为 90 ； （3）分点 M 在直线 OA 的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在 RtAMB中利用勾股定理构造方程即可求出 AC 的长 【详解】解： （1）AOB=COD=36 ， AOB+DOA=COD+DOA， COA=DOB， 又OA=OB，OC=OD， COADOB（SAS） ， AC=BD， ACBD=1， 故答案为：1； 设 AO与 BD交于点 E， 由知，COADOB， CAO=DBO， AOB+DBO=DEO， AMB+C
43、AO=DEO， AOB=AMB=36 ， 故答案为：36 ； （2）在OAB和OCD 中， AOB=COD=90 ，OAB=OCD=30 ， tan30 =33ODOBOCOA， AOB+DOA=COD+DOA， 即DOB=COA， DOBCOA， 3ACOCBDOD， DBO=CAO， DBO+OEB=90 ，OEB=MEA， CAO+MEA=90 ， AMB=90 ， ACBD=3，AMB=90 ； （3）如图 3-1，当点 M在直线 OB左侧时， 在 RtOCD中，OCD=30 ，OD=1， CD=2， 在 RtOAB中，OAB=30 ，OB=13， AB=213， 由（2）知，AMB=
44、90 ，且ACBD=3， 设 BD=x，则 AC=AM=3x， 在 RtAMB 中， AM2+MB2=AB2， （3x）2+（x+2）2=（213）2， 解得，x1=3，x2=-4（舍去） ， AC=AM=33； 如图 3-2，当点 M在直线 OB右侧时， 在 RtAMB 中， AM2+MB2=AB2， （3x）2+（x-2）2=（213）2， 解得，x1=4，x2=-3（舍去） ， AC=AM=43， 综上所述，AC的长为 33或 43 【点睛】此题考查旋转的性质，相似的判定与性质，勾股定理，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征 27. 如图，已知抛物线23yx
45、mx 与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C，点 B的坐标为3,0 （1）求 m的值及抛物线的顶点坐标； （2）点 P 是抛物线对称轴 l上的一个动点，当PA PC的值最小时，求点 P 的坐标； （3）设点 F 是抛物线上一点，其横坐标为2，在抛物线上是否存在一点 M，使得 AM被直线 BF平分？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1）m=2，抛物线的顶点坐标为： （1，4） ； （2）P点坐标（1，2） ； （3）点1411341,22M或1411341,22M 【解析】 【分析】 （1）将点 B的坐标为（3，0）代入解析式中，即可求得 m的值，然后利用顶点坐
46、标公式求得抛物线的顶点坐标； （2）根据 A、B关于抛物线的对称轴对称，先连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，则此时 PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线 BC 的解析式，从而求出 P点坐标； （3）先确定点 F 的坐标，然后即可确定直线 BF 的解析式，设点2,23M mmm，得出线段 AM的中点坐标，然后代入直线 BF求解即可得出结果 【小问 1 详解】 解：B 的坐标为（3，0）代入解析式中得： 20333m ， 解得：m=2， 故抛物线的解析式为：2yx2x3 ， 顶点坐标的横坐标为：21221bxa ，代入解析式中得 y=4， 抛物线的顶点坐标为： （1，4） ； 【小问
47、 2 详解】 根据 A、B 关于抛物线的对称轴对称， PA=PB， 连接 BC交抛物线对称轴于点 P，则此时 PA+PC的值最小， 将 x=0代入到2yx2x3 中，得：3y ， 点 C的坐标为（0，3） ， 设直线 BC的解析式为：y=kx+b， 将 B、C 的坐标分别代入得： 033kbb， 解得：13kb ， 所以直线 BC 的解析式为：y=-x+3， 将 x=1代入到 y=-x+3 得：y=2， P点坐标为（1，2） ； 【小问 3 详解】 解：点 F是抛物线上一点，其横坐标为2， 将 x=-2 代入函数解析式可得：y=-4-4+3=-5， F(-2,-5)， 设直线 BF的解析式为
48、y=kx+b，将点 B，F 代入可得： 3025kbkb ， 解得：13kb ， y=x-3， 由点 B（3，0）及对称轴为 x=1， 点 A（-1，0） ， 设点2,23M mmm， 线段 AM 的中点2123,22mmmG ， 直线 BF平分线段 AM， 直线 BF经过点 G， 代入可得：2231322mmm ， 解得：11412m，21412m， 当1412m时，21341232mm ， 当1412m时，21341232mm ， 点1411341,22M或1411341,22M 【点睛】此题考查的是待定系数法求二次函数的解析式；求两条线段之和最小时确定动点的位置问题；线段中点坐标及一次函数解析式的确定等，理解题意，熟练掌握运用一次函数及二次函数的基本性质是解题关键
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