1、2021-2022 学年广东省广州市黄埔区九年级学年广东省广州市黄埔区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30分 ）分 ） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数 yx2+x2的图象与 y轴的交点坐标是（ ） A. （2，0） B. （1，0） C. （0，2） D. （0，2） 3. 平面内有两点 P，O，O 的半径为 5，若 PO4，则点 P 与O的位置关系是（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 圆上或圆外 4. 下列函数中，y是关于 x 的反
2、比例函数的是（ ） A. y3x+6 B. y=x2 C. y25x D. y6x 5. 下列式子为一元二次方程的是（ ） A. 5x21 B. 4a281 C. 14 (2)25xx D. （3x2） （x+1）8y3 6. 下列事件是必然事件的为（ ） A. 购买一张体育彩票， 中奖 B. 经过有交通信号灯的路口， 遇到红灯 C. 2022 年元旦是晴天 D. 在地面上向空中抛掷一石块， 石块终将落下 7. 下列各点中，关于原点对称的两个点是（ ） A. （5，0）与（0，5） B. （0，2）与（2，0） C （2，1）与（2，1） D. （2，1）与（2，1） 8. 下列是对方程 2x
3、222x+10实根情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 9. 如图，四边形 ABCD内接于O，AC平分BAD，则下列结论正确的是（ ） A. AB=AD B. BC=CD C. ABAD D. BCA=DCA 10. 正比例函数 y=x 与反比例函数 y=1x的图象相交于 A、 C 两点， ABx轴于点 B， CDx 轴于点 D （如图） ，则四边形 ABCD的面积为（ ） A. 1 B. 32 C. 2 D. 52 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 1
4、8 分）分） 11. 方程 x23x+20两个根的和为 _，积为 _ 12. 在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 1个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随机任取一球，取到红球的概率是 _ 13. 直线 yx+2关于原点中心对称的直线的方程为 _ 14. 把一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面朝下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽出的牌上的数小于 5的概率为 _ 15. 在O中，圆心角AOC120 ，则O内接四边形 ABCD 的内角ABC_ 16. 如图，在 Rt ABC中，C=90 ，A=30 ，BC=2，C半径为 1，点 P 是斜边 AB上的点，过点 P作C的一条切线 PQ（点 Q是
5、切点） ，则线段 PQ的最小值为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的 ABC，请画出将 ABC绕点 C旋转 180 得到的 ABC （需写出 ABC各顶点的坐标） 18. 解方程：x2+142x 19. 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 y轴相交于点 A，y与 x的部分对应值如表： x 1 0 1 2 3 y 0 4 3 0 （1）直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标； （2）在给出的坐标系中
6、画出该函数图象的草图 20. 如图，AB、CD是O两条弦，ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别为 E、F求证：OEOF 21. 一个不透明的口袋中有 4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率： （1）两次取出的小球标号和为奇数； （2）两次取出的小球标号和为偶数 22. 参加足球联赛每两队之间都进行两场比赛共要比赛 90 场共有多少个队参加比赛？ 23. 如图所示，已划 A（1，0） ，B（0，1） ，直线 AB 与反比例函数 ymx（m0）的图象在第一象限交于C点，CD 垂置于 x轴，垂足为 D，且 OD1 （
7、1）当 y1时，求反比例函数 ymx对应 x 的值； （2）当 1y4 时，求反比例函数 ymx对应 x的取值范围 24. 如图，AB、CD是O中两条互相垂直的弦，垂足为点 E，且 AECE，点 F 是 BC 的中点，延长 FE 交AD 于点 G，已知 AE1，BE3，OE2 （1）求证：AEDCEB； （2）求证：FGAD； （3）若一条直线 l到圆心 O距离 d5，试判断直线 l是否是圆 O的切线，并说明理由 25. 如图，抛物线 ymx24mx5m（m0）与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于 C点 （1）求抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示） ，A，B两点的坐标； （2）
8、证明 BCM与 ABC的面积相等； （3）是否存在使 BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由 2021-2022 学年广东省广州市黄埔区九年级上期末数学试卷学年广东省广州市黄埔区九年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30分 ）分 ） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案 【详解】A、不是中心对称图形，
9、故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选 D 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义 2. 函数 yx2+x2的图象与 y轴的交点坐标是（ ） A. （2，0） B. （1，0） C. （0，2） D. （0，2） 【答案】C 【解析】 【分析】函数图象与 y轴的交点即令 x=0，即可解题 【详解】解：令 x=0， yx2+x2=-2 即函数 yx2+x2的图象与 y轴的交点坐标是（0，-2） 故选：C 【点睛】本题考查函数图象与坐标轴的交点，是基础考点，掌握相关知识是解题关
10、键 3. 平面内有两点 P，O，O 的半径为 5，若 PO4，则点 P 与O的位置关系是（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 圆上或圆外 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离小于半径即可判断点 P 在O的内部 【详解】O 的半径为 5，PO4， 点 P 在O 的内部 故选 A 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键 4. 下列函数中，y是关于 x 的反比例函数的是（ ） A. y3x+6 B. y=x2 C. y25x D. y6x 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义判断即可得到正确答案 【详解】解：A、36yx 是一次函数
11、，不符合题意； B、y=x2，不符合题意； C、25=yx中，未知数的次数是2次，不是反比例函数，不符合题意； D、6yx是反比例函数，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数的定义，牢记定义内容是解题关键 5. 下列式子为一元二次方程的是（ ） A. 5x21 B. 4a281 C. 14 (2)25xx D. （3x2） （x+1）8y3 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛
12、】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数的最高次数为 1的整式方程称为一元二次方程是解题的关键 6. 下列事件是必然事件的为（ ） A. 购买一张体育彩票， 中奖 B. 经过有交通信号灯路口， 遇到红灯 C. 2022 年元旦是晴天 D. 在地面上向空中抛掷一石块， 石块终将落下 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义分析判断即可 【详解】A、购买彩票中奖是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； C、2022 年元旦是晴天是随机事件，不符合题意； D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终
13、将落下是必然事件，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的区分，牢记相关的内容并能灵活应用是解题关键 7. 下列各点中，关于原点对称的两个点是（ ） A. （5，0）与（0，5） B. （0，2）与（2，0） C. （2，1）与（2，1） D. （2，1）与（2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案 【详解】解：A、 （5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故 A错误； B、 （0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相
14、反数，纵坐标互为相反数的特征，故 B 错误； C、 （2，1）与（2，1）关于 x轴对称，故 C错误； D、关于原点对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故 D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数 8. 下列是对方程 2x222x+10实根情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出根的判别式24bac的值， 根据0有两个不相等实数根， =0有两个相等实数根， 0没有实数根作出判断即可 【详解】根的
15、判别式224( 2 2)4 2 10bac ， 方程有两个相等的实数根 故选 C 【点睛】此题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握根的判别公式为24bac是解答本题的关键 9. 如图，四边形 ABCD内接于O，AC平分BAD，则下列结论正确的是（ ） A. AB=AD B. BC=CD C. ABAD D. BCA=DCA 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系对各选项进行逐一判断即可 【详解】解：A、ACB 与ACD的大小关系不确定， AB与 AD不一定相等，故此选项不符合题意； B、AC平分BAD， BAC=DAC， BC=CD， ，故此选项符合题意； C、ACB与
16、ACD的大小关系不确定， AB与AD不一定相等，不符合题意； D、BCA 与DCA的大小关系不确定，不符合题意 故答案为：B 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 10. 正比例函数 y=x 与反比例函数 y=1x的图象相交于 A、 C 两点， ABx轴于点 B， CDx 轴于点 D （如图） ，则四边形 ABCD的面积为（ ） A. 1 B. 32 C. 2 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到 A 点和 C 点的坐标，然后根据题
17、意即可求解 【详解】解：解方程组1yxyx得：1111xy，2211xy ， 即：正比例函数 y=x 与反比例函数 y=1x的图象相交于两点的坐标分别为 A（1，1） ，C（1，1） ， 所以 D点的坐标为（1，0） ，B 点的坐标为（1，0） 因为，ABx 轴于点 B，CDx 轴于点 D 所以， ABD与 BCD均是直角三角形 则：S四边形ABCD=12BDAB+12BDCD=12 2 1+12 2 1=2， 即：四边形 ABCD的面积是 2 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解 二、填
18、空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11. 方程 x23x+20两个根的和为 _，积为 _ 【答案】 . 3 . 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：1212,bcxxx xaa 解题 【详解】解：方程 x23x+20 1,3,2abc 12123,2bcxxx xaa 故答案为：3，2 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 12. 在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 1个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随机任取一球，取到红球的概率是 _ 【答案】
19、112 【解析】 【分析】由题意可知，共有 12 个球，取到每个球的机会均等，根据概率公式解题 【详解】解：P（红球）=112 故答案为：112 【点睛】本题考查简单事件的概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 13. 直线 yx+2关于原点中心对称的直线的方程为 _ 【答案】2yx 【解析】 【分析】先解得直线 yx+2与坐标轴的交点 A，B，再求得 A，B关于原点的对称点 C，D，最后利用待定系数法解得直线 CD的解析式即可 【详解】解：令 y=0，得 x=-2，即直线与 x 轴的交点为 A(-2，0)， 令 x=0，得 y=2，即直线与 y轴的交点为 B（0，2） ， 点 A(-2，0
20、)，B（0，2）关于原点对称的点为 C（2，0） ，D（0，-2） ， 设直线 CD的解析式：ykxb，代入 C（2，0） ，D（0，-2）得 202kbb 12kb 2yx 直线 yx+2关于原点中心对称的直线的方程为2yx 故答案为：2yx 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、中心对称等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 14. 把一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面朝下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽出的牌上的数小于 5的概率为 _ 【答案】413 【解析】 【分析】抽出的牌的点数小于 5 有 1，2，3，4 共 4个，总的样本数目为 13，由此可以容易知道事件抽
21、出的牌的点数小于 5 的概率 【详解】解：抽出的牌的点数小于 5有 1，2，3，4共 4 个，总的样本数目为 13， 从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于 5的概率是：413 故答案为：413 【点睛】此题主要考查了概率的求法用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 15. 在O中，圆心角AOC120 ，则O内接四边形 ABCD 的内角ABC_ 【答案】120 #120度 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出D，然后根据圆内接四边形的性质求解即可 【详解】解：AOC120 D=12AOC60 O内接四边形 ABCD ABC180-D=120 故答案是 120 【点睛】本题主要考查了圆周角
22、定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键 16. 如图，在 Rt ABC中，C=90 ，A=30 ，BC=2，C 的半径为 1，点 P是斜边 AB上的点，过点 P作C的一条切线 PQ（点 Q是切点） ，则线段 PQ的最小值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 当PCAB时，线段 PQ最短；连接 CP、CQ，根据勾股定理知PQ2=CP2CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案 【详解】连接 CP、CQ；如图所示： PQ是C的切线，CQPQ，CQP=90 ，根据勾股定理得：PQ2=CP2CQ2，当PCAB时，线段PQ 最短 在 RtACB中，A=30 ，B
23、C=2，AB=2BC=4，AC=23，CP=AC BCAB=2 324=3，PQ=22CPCQ=3 12 ，PQ的最小值是2 故答案为2 【点睛】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当 PCAB 时，线段PQ 最短是关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的 ABC，请画出将 ABC绕点 C旋转 180 得到的 ABC （需写出 ABC各顶点的坐标） 【答案】A（-1，-3） ，B（1，-1） ，C
24、（-2,0） ，画图见解析 【解析】 【分析】先画出点 A，B关于点 C中心对称的点 A，B，再连接 A，B，C 即可解题 【详解】解： A 关于点 C中心对称的点 A（-1，-3） ，B关于点 C中心对称的点 B（1，-1） ，C 关于点 C中心对称的点 C（-2,0） ，如图， ABC即为所求作图形 【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 18. 解方程：x2+142x 【答案】121,3xx 【解析】 【分析】移项后配方即可解题 【详解】解：原方程可化 x2+2x-3=0 x2+2x+1-1-3=0 2(1)4x 12x 121,3xx 【点睛】本题考查解一元二
25、次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 19. 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 y轴相交于点 A，y与 x的部分对应值如表： x 1 0 1 2 3 y 0 4 3 0 （1）直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标； （2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图 【答案】 （1）二次函数图象开口向上，对称轴为1x ，顶点坐标为(1，-4)，点 A的坐标为(0，-3)； （2）图象见解析 【解析】 【分析】 （1）根据表格可知因变量 y 的值随自变量 x 的值的增大而先减小在增大，即可知该二次函数图象开口向上；根据表格可知该二次函数图象与 x轴的交点坐
26、标，再根据二次函数的对称性即可求出其对称轴；根据二次函数的顶点在对称轴处，即可得出答案；根据二次函数的对称轴结合表格数据即可求出 A点坐标 （2）在坐标系中描绘出各点，再用光滑的曲线顺次连接即可 【小问 1 详解】 解：根据表格可知该二次函数自变量 x的值逐渐增大的过程中，因变量 y的值先减小后增大， 该二次函数图象开口向上； 该二次函数图象与 x轴的交点坐标为 (-1，0)、(3，0)， 该二次函数的对称轴为1 312x ； 该二次函数在1x 时，有最小值，且根据表格可知当1x 时，4y ， 该二次函数的顶点坐标为(1，-4)； 该二次函数对称轴为：直线1x ， 当0 x和3x 时，y的值相
27、等，且根据表格可知此时 y=-3， 点 A的坐标为(0，-3) 【小问 2 详解】 该函数图象如图， 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键 20. 如图，AB、CD 是O的两条弦，ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别为 E、F求证：OEOF 【答案】见解析 【解析】 【分析】分别连接 OA、OC，证明 RtAEORtCFO，可得 OEOF 【详解】分别连接 OA、OC， ABCD， ABCD， OEAB，OFCD， AE12 AB，CF12 CD，AEOCFO90 ， AECF ， 又OAOC， RtOAERtOCF（HL） ， O
28、EOF 【点睛】本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 21. 一个不透明的口袋中有 4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率： （1）两次取出的小球标号和为奇数； （2）两次取出的小球标号和为偶数 【答案】 （1）23； （2）13 【解析】 【分析】 （1）列出表格展示所有可能的结果，根据表格即可知共有 12 种可能的情况，再找到两次取出的小球标号和为奇数的情况数，利用概率公式，即可求解； （2）找出两次取出的小球标号和为偶数的情况数，再利用
29、概率公式，即可求解 【小问 1 详解】 解：根据题意列出表格，如下表： 根据表格可知：共有 12 种可能的情况，其中两次取出的小球标号和为奇数的情况有 8种， 故两次取出的小球标号和为奇数的概率为82=123； 【小问 2 详解】 根据表格可知：两次取出的小球标号和为偶数的情况有 4 种 故两次取出的小球标号和为偶数的概率为41=123 1 2 3 4 1 1+2=3，奇数 1+3=4，偶数 1+4=5，奇数 2 2+1=3，奇数 2+3=5，奇数 2+4=6，偶数 3 3+1=4，偶数 3+2=5，奇数 3+4=7，奇数 4 4+1=5，奇数 4+2=6，偶数 4+3=7，奇数 【点睛】本题
30、考查列表法或画树状图求概率，正确的列出表格或画出树状图是解题的关键 22. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛共要比赛 90 场共有多少个队参加比赛？ 【答案】共有 10 个队参加比赛 【解析】 【分析】设共有 x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90 场即可得出关于 x的一元一次方程，解之即可得出结论 【详解】设共有 x个队参加比赛， 根据题意得：212x（x1）90， 整理得：x2x900， 解得：x10或 x9（舍去） 故共有 10 个队参加比赛 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90 场列出关于 x的一元一次方程是解题
31、的关键 23. 如图所示，已划 A（1，0） ，B（0，1） ，直线 AB 与反比例函数 ymx（m0）的图象在第一象限交于C点，CD 垂置于 x轴，垂足为 D，且 OD1 （1）当 y1时，求反比例函数 ymx对应 x 的值； （2）当 1y4 时，求反比例函数 ymx对应 x的取值范围 【答案】 （1）2 （2）12x2 【解析】 【分析】（1） 利用待定系数法解得直线 AB的解析式为1yx， 再结合 OD1， 解得点 C的坐标为(12)C ，继而解得反比例函数的解析式为 y2x，据此解题； （2）根据反比例函数的增减性解题：反比例函数 y2x在第一象限内，y随 x的增大而减小 【小问 1
32、 详解】 设直线 AB的解析式为：ykxb，代入 A（1，0） ，B（0，1） ， 01kbb 11kb 1yx 当 OD1时， 1 1=2 y (12)C， 反比例函数 y2x 当1y 时，2x 【小问 2 详解】 在 y2x中 当1y 时，2x ，当4y 时，12x ， 反比例函数 y2x在第一象限内，y 随 x 的增大而减小 当 1y4 时，12x2 【点睛】本题考查待定系数法解一次函数的解析式、一次函数与反比例函数等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键 24. 如图，AB、CD是O中两条互相垂直的弦，垂足为点 E，且 AECE，点 F 是 BC 的中点，延长 FE 交AD
33、 于点 G，已知 AE1，BE3，OE2 （1）求证：AEDCEB； （2）求证：FGAD； （3）若一条直线 l到圆心 O的距离 d5，试判断直线 l是否是圆 O的切线，并说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）直线 l是圆 O 的切线，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由圆周角定理得AC，由 ASA 得出AEDCEB； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得 EF12BCBF，由等腰三角形的性质得FEBB，由圆周角定理和对顶角相等证出AAEG90 ，进而得出结论； （3）作 OHAB于 H，连接 OB，由垂径定理得出 AHBH12AB2，则 EHAHAE1，由勾股定理求
34、出 OH1，OB5，由一条直线 l到圆心 O的距离 d5等于O的半径，即可得出结论 【详解】 （1）证明：由圆周角定理得：AC， 在AED和CEB 中， ACAECEAEDCEB ， AEDCEB（ASA） ； （2）证明：ABCD， AEDCEB90 ， C+B90 ， 点 F是 BC的中点， EF12BCBF， FEBB， AC，AEGFEBB， A+AEGC+B90 ， AGE90 ，FGAD； （3）解：直线 l是圆 O 的切线，理由如下：作 OHAB 于 H，连接 OB，如图所示： AE1，BE3， ABAE+BE4， OHAB， AHBH12AB2， EHAHAE1， OH22OE
35、EH22( 2)11， OB22BHOH22215，即O的半径为5， 一条直线 l到圆心 O的距离 d5O的半径， 直线 l是圆 O的切线 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键 25. 如图，抛物线 ymx24mx5m（m0）与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于 C点 （1）求抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示） ，A，B两点的坐标； （2）证明 BCM与 ABC的面积相等； （3）是否存在使 BCM为直角三角形的
36、抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）M（2，-9m） ，(1 , 0 ) , ( 5 , 0 )AB； （2）见解析； （3）存在，见解析 【解析】 【分析】 （1）将解析式配方成顶点式即可解题； （2）分别解出 BCM与 ABC 的面积，再证明其相等； （3）用含 m的代数式分别表示 BC2，CM2，BM2，再根据 BCM为直角三角形，分三种情况讨论：当=90BMC时，或当=90BCM时，或当=90CBM时，结合勾股定理解题 【小问 1 详解】 解：ymx24mx5m m（x24x5） m（x24x+4-45） m（x-2）29 m 抛物线顶点 M坐标（2，-9m）
37、, 令 y=0, m（x-2）29 m=0 解得（x-2）2=9 3 2x 125,1xx ( 1,0), (5,0)AB 【小问 2 详解】 令 x=0, y=m（0-2）29 m=-5m (0, 5 )Cm 115 15m15 (0)22CABCSAB ym m V 过点 M 作 EFy轴于点 E，过点 B 作EF于点 F，如图， MCEFBBCMECMBFSSSSVVV梯形 ()11222CEBFEFCE EMBF MF ()11()()222CMMBCMMMBMMyyyxyyyxxxy 5(49 )11429(52)222mmmm 6527422mmm 15 (0)m m BCMABC
38、SSVV 【小问 3 详解】 存在使 BCM 为直角三角形的抛物线， 过点 M 作DMx轴于点 D，过点 C作CN DM于点 N， 在tRCMNV中，2,5CNODDNOCm 4MNDMDNm 22224 16CMCNMNm 在Rt OBC中，22222525BCOBOCm 在tRBDMV中，2222981BMBDDMm 若 BCM为直角三角形,且=90BMC时，222CMBMBC 2224 169812525mmm 解得66m 0m 66m 存在抛物线262 65 6636yxx使得 BCM 为直角三角形； 若 BCM为直角三角形且=90BCM时，222BCCMBM 22225254 16981mmm 22m 0m 22m 存在抛物线225 22 222yxx使得 BCM 为直角三角形； 222225254 16,9814 16mmmmQ 以CBM为直角的直角三角形不存在， 综上所述，存在抛物线262 65 6636yxx和225 22 222yxx，使得 BCM 为直角三角形 【点睛】本题考查二次函数的顶点式、二次函数与一元二次方程、勾股定理、含参数 m 的代数式表示各边长，运用分类思想是解题关键
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