1、广东省梅州市平远县广东省梅州市平远县 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 1. 下列各代数式是分式的是（ ） A. x+1 B. 12x C. 12xx D. 22 2. 若 xy0，则（ ） A. x3y3 B. 2x2y C. xy0 D. xy0 3. 将某个图形的各个顶点的横坐标都减去 2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ） A. 向左平移 2 个单位 B. 向右平移 2个单位 C. 向上平移 2个单位 D. 向下平移 2 个单位
2、4. 下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. 2161x B. 221xx C. 214xx D. 2224aabb 5. 如图1,2,3 是五边形ABCDE的三个外角，若230 ,AB 则123 =（ ） A. 140 B. 180 C. 230 D. 320 6. 在ABC 中，若2()()abc bc，则ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 若关于 x 的分式方程6122axxx 有增根，则 a 的值为（ ） A 3 B. 3 C. 2 D. 72 8. 如图，直线(0)ykxb k经过点 P（2，1） ，当12k
3、xbx时，则 x取值范围为（ ） A. x2 B. x1 C. x1 D. x2 9. 如图，ABC 是等边三角形，AB10，点 D 是 BC边上任意一点，DEAB于点 E，DFAC 于点 F，则BE+CF的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分DAB和CBA如果5cmAD，8cmAP ，则ABP的面积等于（ ）2cm A. 24 B. 30 C. 6 7 D. 12 7 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11. 若分式32xx的值为 0
4、，则x的值为_ 12. 在等腰ABC 中，A：B：C=1：m：4，则 m 的值是_ 13. 若23mn，则22446mmnn的值为_ 14. 若关于x的不等式a2xa2（）解集为x1，则 a的取值范围是_. 15. 如图，把ABC绕点C逆时针方向旋转 90，得到CDE，2AC ，那么AE _ 16. 如图，EF 过平行四边形 ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于点 E，交 BC于点 F，若平行四边形 ABCD的周长是 30，OE=3，则四边形 ABFE的周长是_ 17. 四个命题中：等边三角形是中心对称图形；如果 ab0，那么 a0，b0；十边形内角和是1080 ；两条平行线之间的距离处处
5、相等其中真命题有_（填序号） 三、解答题（一） ：本大题三、解答题（一） ：本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6分，共分，共 18 分分 18. 因式分解：3m2n+18mn+27n 19. 解不等式组3(2)451214xxxxx ，并写出它的非负整数解 20. 如图，ABBC，BADBCD90 ，点 DEF上一点，AEEF 于 E，CFEF 于 F，AECF，求证：RtADERtCDF 四、解答题（二） ：本大题四、解答题（二） ：本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8分，共分，共 24 分分 21. 先化简222442111aaaaaa，再从 1，-1，2，-2 四个数中选取一个合
6、适的数代入求值 22. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是 A（2，1） ，B（4，4） ，C（1，3） （1）把ABC向右平移 4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把ABC绕原点 O旋转 180后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）成中心对称 23. 某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 360万平方米自 2018年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5倍，这样可提前 4 年完成任务 （1）实际每年绿化面积为
7、多少万平方米？ （2）为加大创建力度，市政府决定从 2021年起加快绿化速度，要求不超过 3年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 五、解答题（三） ：本大题五、解答题（三） ：本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20分分 24. 如图，点 E 为ABCD的边 AD 上的一点，连接 EB 并延长，使 BFBE，连接 EC并延长，使 CGCE，连接 FGH为 FG的中点，连接 DH，AF （1）若BAE70 ，DCE20 ，求DEC度数； （2）求证：四边形 AFHD为平行四边形； （3）连接 EH，交 BC于点 O，若 OCOH，求证：EFEG 25.
8、 综合与实践探究特殊三角形中的相关问题 问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含 60 角的直角三角板 ABC 和 AFE按如图 1所示位置放置现将 Rt AEF 绕 A点按逆时针方向旋转（0 90 ） ，如图 2，AE与 BC 交于点M，AC与 EF交于点 N，BC与 EF交于点 P （1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角= 时， AMC是等腰三角形； （2）深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中如果连接 AP，CE，那么 AP 所在的直线是线段 CE的垂直平分线，请帮他们证明； （3）拓展延伸：在旋转过程中， CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角的度
9、数；若不能，请说明理由 广东省梅州市平远县广东省梅州市平远县 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 1. 下列各代数式是分式的是（ ） A. x+1 B. 12x C. 12xx D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可 【详解】解：x+1，12x ，22的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，故 A、B、D 选项不符合题意； 12xx的分母中含有字母，因此是分式，故 C 符合题意， 故选：C 【点睛】本题
10、考查了分式，解题的关键是掌握分式的定义 2. 若 xy0，则（ ） A. x3y3 B. 2x2y C. xy0 D. xy0 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质对每个式子进行变形，即可找出答案 【详解】解：A、xy0， xy， x3y3，故此选项符合题意； B、xy0， xy， xy， 2x2y，故此选项不符合题意； C、xy0， xy，当 x和 y同号时，无法得到xy0，故此选项不符合题意； D、xy0， xy，当 x和 y异号或有一个为 0时，无法得到 xy0，故此选项不符合题意 故选：A 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质 3. 将某个图形的各个
11、顶点的横坐标都减去 2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ） A. 向左平移 2 个单位 B. 向右平移 2 个单位 C. 向上平移 2 个单位 D. 向下平移 2 个单位 【答案】A 【解析】 【分析】纵坐标不变则图形不会上下移动，横坐标减 2，则说明图形向左移动 2个单位 【详解】由于图形各顶点的横坐标都减去 2， 故图形只向左移动 2 个单位， 故选 A 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，要知道，上下移动，横坐标不变，左右移动，纵坐标不变. 4. 下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. 2161x B. 221xx C. 214xx D. 2224aabb 【答案】C
12、【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】2161x 不能用完全平方公式，故 A不符合题意； 221xx不能用完全平方公式，故 B不符合题意； 221142xxx，能用完全平方公式，故 C符合题意； 2224aabb不能用完全平方公式，故 D不符合题意； 故答案选 C 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键 5. 如图1,2,3 是五边形ABCDE的三个外角，若230 ,AB 则123 =（ ） A. 140 B. 180 C. 230 D. 320 【答案】C 【解析】 【分析】先求出五边形的内角和，结合230AB ，即可求出答案. 【详解】解：根
13、据题意，五边形的内角和为：5218540(0) ， 123(180)(180)(180)BCDCDEAED 540()BCDCDEAED ， 540()BCDCDEAEDAB ， 123540(540230 )230 ； 故选：C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 6. 在ABC 中，若2()()abc bc，则ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平方差公式整理，再结合勾股定理逆定理判断即可 【详解】由 a2=(b+c)(b-c)，
14、得 a2=b2-c2， 即 a2+c2=b2， 所以这个三角形是直角三角形 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形形状的判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键 7. 若关于 x 的分式方程6122axxx 有增根，则 a 的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 2 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根 x=2 代入整式方程即可求得 【详解】解：6122axxx ， 去分母，得：6(2)xax 分式方程有增根， 增根为 x=2， 将 x=2代入整式方程，得：6(2)xax ， 得：6(22)2a 解得3a 故选 A 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，熟
15、练掌握增根的定义是解题的关键 8. 如图，直线(0)ykxb k经过点 P（2，1） ，当12kxbx时，则 x的取值范围为（ ） A x2 B. x1 C. x1 D. x2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得直线 OP 的解析式，再根据两函数图象及交点，即可求解 【详解】解：设直线 OP的解析式为110yk x k 把 P（2，1）代入得：12 =1k 解得11=2k 故直线 OP的解析式为12yx 由图象可知：当12kxbx时，则 x的取值范围为x2 故选：A 【点睛】 本题考查了利用两个一次函数的交点求不等式的解集， 采用数形结合的思想是解决此类题的关键 9. 如图，ABC 是等边
16、三角形，AB10，点 D 是 BC边上任意一点，DEAB于点 E，DFAC 于点 F，则BE+CF的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先设 BD=x，则 CD=10-x，根据ABC是等边三角形，得出B=C=60 ，再利用含 30度角的直角三角形的性质求出 BE和 CF的长，即可得出 BE+CF的值 【详解】解：设 BD=x，则 CD=10-x， ABC是等边三角形， B=C=60 ， DEAB，DFAC， DEB=DFC=90 ， EDB=FDC=30 ， BE=12BD= 2x， 同理可得，CF= 102x， BE+CF= 10522xx 故
17、选：A 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含 30度角的直角三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分DAB和CBA如果5cmAD，8cmAP ，则ABP的面积等于（ ）2cm A. 24 B. 30 C. 6 7 D. 12 7 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形性质得出 ADCB， ABCD， 推出DAB+CBA=180 ， 求出PAB+PBA=90 ，在APB中求出APB=90 ，由勾股定理求出 BP，证出 AD=DP=5cm，BC=PC=5cm，
18、得出 DC=10cm=AB，再利用直角三角形面积求法即可得出答案 【详解】解：过点 P 作 PQAD，交 AB于 Q， 四边形 ABCD是平行四边形， ADCB，ABCD， DAB+CBA=180 ， 又AP 和 BP 分别平分DAB 和CBA， PAB+PBA=12（DAB+CBA）=90 ， 在APB中，APB=180 -（PAB+PBA）=90 ； AP 平分DAB， DAP=PAB， ABCD， PAB=DPA， DAP=DPA， ADP 是等腰三角形， AD=DP=5cm， 同理：PC=CB=5cm， 即 AB=DC=DP+PC=10cm， 在 RtAPB中，AB=10cm，AP=8
19、cm， BP=22ABAP=6cm， ABP 的面积=12 AP BP=24cm2， 故选：A 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，正确得出 BP 的长是解题关键 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11. 若分式32xx值为 0，则x的值为_ 【答案】0 【解析】 【分析】分式的值为 0的条件是：分子=0且分母0，两个条件需同时具备，由此得出答案 【详解】解：由题意可得 x=0且 3x+20， 解得 x=0 故答案为 0 【点睛】本题考查了分式的值为
20、零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，正确列出方程是解题的关键 12. 在等腰ABC 中，A：B：C=1：m：4，则 m 的值是_ 【答案】1 或 4 【解析】 【分析】 因为是等腰三角形， 没有说明哪两个角是底角， 这里应分两种情况求解： A 与B 是底角； B与C是底角 【详解】解：ABC是等腰三角形，A：B：C=1：m：4， 分两种情况： A与B是底角时，则A：B：C=1：1：4，此时1m； B 与C 是底角时，则A：B：C=1：4：4，此时4m， 故答案为：1或 4 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键 13. 若23mn，则22446mmnn的值
21、为_ 【答案】3 【解析】 【分析】先将待求式根据完全平方公式整理，再整体代入求值即可 【详解】222446(2 )6mmnnmn 因为 m=2n-3， 所以 m-2n=-3 原式=(-3)2-6=9-6=3 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握整体代入思想是解题的关键 14. 若关于x的不等式a2xa2（）解集为x1，则 a的取值范围是_. 【答案】a2 【解析】 【分析】根据不等式的解法，两边都除以（a-2） ，不等号的方向改变，a-20 计算即可得解 【详解】解：（a-2）xa-2 两边都除以（a-2）得 x1， a-20， a2 故答案为 a2 【点睛】本题考查的是解
22、一元一次不等式，先根据不等式的解集为 x1得出关于 a 的不等式是解答此题的关键 15. 如图，把ABC绕点C逆时针方向旋转 90，得到CDE，2AC ，那么AE _ 【答案】2 2 【解析】 【分析】先根据旋转的性质可得2,90CEACACE，再根据勾股定理即可得 【详解】解：由旋转的性质得：2,90CEACACE， 则222 2AEACCE， 故答案为：2 2 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键 16. 如图，EF 过平行四边形 ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于点 E，交 BC于点 F，若平行四边形 ABCD的周长是 30，OE=3，则四边形 AB
23、FE的周长是_ 【答案】21 【解析】 【分析】先由 ASA 证明AOECOF，得 OE=OF，AE=CF，再求得 AB+BC=15，由平行四边形 ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE，即可求得答案 【详解】解：四边形 ABCD 为平行四边形，对角线的交点为 O， AB=CD，AD=BC，OA=OC，ADBC， EAO=FCO， 在AOE和COF 中， EAOFCOOAOCAOECOF ， AOECOF(ASA)， OE=OF，AE=CF， 平行四边形 ABCD的周长为 30， AB+BC=12 30=15， 四边形
24、 ABFE 的周长为： AB+AE+BF+EF =AB+BF+CF+2OE =AB+BC+2 3 =15+6 =21， 故答案为：21 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键 17. 四个命题中：等边三角形是中心对称图形；如果 ab0，那么 a0，b0；十边形内角和是1080 ；两条平行线之间的距离处处相等其中真命题有_（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】根据已经学过的性质定理对每个命题逐一判断即可求解 【详解】解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，原命题是假命题； 如果 ab0，那么 a0，b0或 a0，b
25、0，故原命题是假命题； 十边形的内角和是1021801440，不是1080，故原命题是假命题； 两条平行线之间距离处处相等，是真命题， 故答案为： 【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握已经学过的知识是解题的关键 三、解答题（一） ：本大题三、解答题（一） ：本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6分，共分，共 18 分分 18. 因式分解：3m2n+18mn+27n 【答案】3n（m+3）2 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【详解】解：原式3n（m2+6m+9） 3n（m+3）2 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式法和公式法分解因式
26、. 19. 解不等式组3(2)451214xxxxx ，并写出它的非负整数解 【答案】不等式组解集为1x1，不等式组的非负整数解为 0，1 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出非负整数解即可 【详解】解：3(2)451214xxxxx ， 由得：x1， 由得：x1， 不等式组的解集为1x1， 则不等式组的非负整数解为 0，1 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握同大取大，同小取小，一大一小中间找的规律是解本题的关键 20. 如图，ABBC，BADBCD90 ，点 D是 EF 上一点，AE
27、EF 于 E，CFEF 于 F，AECF，求证：RtADERtCDF 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接 BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得 RtABDRtCBD，根据全等三角形的性质得到 ADCD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得 RtADERtCDF 【详解】解：连接 BD， BADBCD90 ， 在 RtABD和 RtCBD 中， ABBCBDBD， RtABDRtCBD（HL） ， ADCD， AEEF 于 E，CFEF于 F， EF90 ， 在 RtADE 和 RtCDF中， AECFADCD， RtADERtCDF（HL） 【点睛】本题主要考查了直角三角形
28、全等的判定，正确作出辅助线，根据全等三角形的性质证得 AD=CD 是解决问题的关键 四、解答题（二） ：本大题四、解答题（二） ：本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8分，共分，共 24 分分 21. 先化简222442111aaaaaa，再从 1，-1，2，-2 四个数中选取一个合适的数代入求值 【答案】1aa ，23 【解析】 【分析】利用分式的运算法则，先化简得1aa ，再根据化简过程中分式的分母不为零，a只能取2，代入求值即可 【详解】解：222442111aaaaaa 22(2)11(1)(1)2aaaaaa 2211aaa 1aa ， 分式中分母不能为零，即1a且2a ， a只能
29、取2， 当2a 时，原式222 13 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的相关运算法则和分式分母不为零是解决问题的关键 22. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是 A（2，1） ，B（4，4） ，C（1，3） （1）把ABC向右平移 4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把ABC绕原点 O旋转 180后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）成中心对称 【答案】 （1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）2,0 . 【解析】 【分析】（1） 分别确定, ,A B
30、C向右平移 4 个单位后的对应点111,A B C 再顺次连接111,A B C即可得到答案； （2）分别确定, ,A B C绕原点 O旋转 180 后的对应点222,A B C 再顺次连接222,A B C即可得到答案； （3）连接12,CC与12A A的交点坐标为2,0 , 结合图形特点可得答案 【详解】解： （1）如图，A1B1C1即为所求作的三角形， （2）如图，A2B2C2，即为所求作的三角形， （3）连接12,CC与12A A的交点坐标为2,0 , 所以A1B1C1与A2B2C2关于点2,0成中心对称 故答案为：2,0 . 【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，确定对称中
31、心，掌握以上知识是解题的关键 23. 某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 360万平方米自 2018年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.5倍，这样可提前 4 年完成任务 （1）实际每年绿化面积为多少万平方米？ （2）为加大创建力度，市政府决定从 2021年起加快绿化速度，要求不超过 3年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 【答案】 （1）实际每年绿化面积 45 万平方米 （2）平均每年绿化面积至少增加 30 万平方米 【解析】 【分析】 （1）设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.5x
32、万平方米，根据题意可列出关于 x的分式方程，解出 x，并验证，即可求出答案； （2）设平均每年绿化面积增加 a 万平方米，根据题意即可列出关于 a的一元一次不等式，解出 a 的解集即可 【小问 1 详解】 设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.5x万平方米， 根据题意得：36036041.5xx， 解得：x30， 经检验，x30 是原分式方程的解， 1.5x45 答：实际每年绿化面积 45万平方米 【小问 2 详解】 设平均每年绿化面积增加 a 万平方米， 根据题意得：45 3+3（45+a）360， 解得：a30 答：平均每年绿化面积至少增加 30 万平方米 【点睛
33、】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用根据题意找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键 五、解答题（三） ：本大题五、解答题（三） ：本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20分分 24. 如图，点 E 为ABCD的边 AD 上的一点，连接 EB 并延长，使 BFBE，连接 EC并延长，使 CGCE，连接 FGH为 FG的中点，连接 DH，AF （1）若BAE70 ，DCE20 ，求DEC的度数； （2）求证：四边形 AFHD为平行四边形； （3）连接 EH，交 BC于点 O，若 OCOH，求证：EFEG 【答案】 （1）50 ； （2）见解析； （3）见解析 【解析
34、】 【分析】 （1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可； （2） 由平行四边形的性质得出 ADBC， ADBC； 证明 BC是EFG的中位线， 得出 BCFG， BC12FG，证出 ADFH，ADFH，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接 EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论 【详解】明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， BAEBCD70 ，ADBC， DCE20 ， ABCD， CDE180 BAE110 ， DEC180 DCECDE50 ； （2）四边形 ABCD是平行四边形， ADBC，ADBC，BAEBCD， B
35、FBE，CGCE， BC是EFG的中位线， BCFG，BC12FG， H 为 FG的中点， FH12FG， BCFH，BCFH， ADFH，ADFH， 四边形 AFHD是平行四边形； （3）连接 EH，CH， CECG，FHHG， CH12EF，CHEF， EBBF12EF， BECH， 四边形 EBHC是平行四边形， OBOC，OEOH， OCOH， OEOBOC12BC， BCE是直角三角形， FEG90 ， EFEG 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 25. 综合与
36、实践探究特殊三角形中的相关问题 问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含 60 角的直角三角板 ABC 和 AFE按如图 1所示位置放置 现将 RtAEF绕 A点按逆时针方向旋转（0 90 ） ， 如图 2， AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC与 EF交于点 P （1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角= 时，AMC是等腰三角形； （2）深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中如果连接 AP，CE，那么 AP 所在的直线是线段 CE的垂直平分线，请帮他们证明； （3）拓展延伸：在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角的度
37、数；若不能，请说明理由 【答案】 （1）60 或 15 （2）见解析 （3）能，30 或 60 【解析】 【分析】 （1）分 AM=CM和 AC=CM 两种情况进行讨论求解即可； （2）由题意可知，AB=AF，B=F，E=C，AE=AC，根据旋转的性质得到BAM=FAN，根据全等三角形的性质得到 AM=AN，证明MPENPC，得 PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）当CNP=90 时，依据对顶角相等可求得ANF=90 ，然后依据F=60 可求得FAN的度数，由旋转的定义可求得 的度数；当CPN=90 时由C=30 ，CPN=90 ，可求得CNP 的度数，然后依据对顶角相等可
38、得到ANF的度数，然后由F=60 ，依据三角形的内角和定理可求得FAN 的度数，于是可得到的度数 【小问 1 详解】 解：当 AM=CM，即CAM=C=30 时，AMC是等腰三角形； BAC=90 ， =9030=60； 当 AC=CM，即CAM=CMA 时，AMC是等腰三角形， C=30 ， CAM=AMC=75 ， BAC=90 ， =15 ， 综上所述，当旋转角 =60 或 15 时，AMC是等腰三角形， 故答案为：60 或 15 ； 【小问 2 详解】 证明：由题意可知，AB=AF，B=F，E=C，AE=AC， 将 RtAEF绕 A 点按逆时针方向旋转（0 90 ） ， BAM=FAN
39、， 在ABM 与AFN中， BFABAFBAMFAN ， ABMAFN(ASA)， AM=AN， AE=AC， EM=CN， 在MPE 与NPC中， MEPNCPMPENPCEMCN ， MPENPC(AAS)， PE=PC， 点 P在 CE的垂直平分线上， AE=AC， 点 A在 CE的垂直平分线上， AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线； 【小问 3 详解】 解：CPN 能成为直角三角形 如图 1 所示：当CNP=90 时， CNP=90 ， ANF=90 又AFN=60 ， FAN=180 -60 -90 =30 =30 如图 2 所示：当CPN=90 时， C=30 ，CPN=90 ， CNP=60 ， ANF=60 ， 又F=60 ， FAN=60 ， =60 综上所述，=30 或 60 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题
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