1、2022 年长沙中考数学押题年长沙中考数学押题试试卷卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2022长沙一模）下列四个数中，最小的数是（ ） A0 B12022 C2022 D2022 2 （3 分） （2022开福区校级模拟）下列运算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2x3x5 C （3x2）39x6 Dx6x3x2 3 （3 分） （2021锡山区一模）下面 4 个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分） （2022重庆模拟）下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A调查本班同学
2、的体育达标情况 B了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况 C疫情期间，了解全校师生入校时体温情况 D调查黄河的水质情况 5 （3 分） （2022长沙一模）如图，点 D，E 分别在ABC 的边 BA，BC 上，DEAB，过 BA 上的点 F（位于点 D 上方作 FGBC，若AFG42，则DEB 的度数为（ ） A42 B48 C52 D58 6 （3 分） （2022开福区校级模拟）菱形不具备的性质是（ ） A四条边都相等 B是轴对称图形 C对角线一定相等 D是中心对称图形 7 （3 分） （2021雨花区一模）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是
3、（ ） Am0 Bm14 Cm14 Dm14 8 （3 分） （2022重庆模拟）ABC 的边 BC 经过圆心 O，AC 与圆相切于点 A，若B20，则C 的大小等于（ ） A50 B25 C40 D20 9 （3 分） （2022长沙一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（4，1） ，以原点 O 为位似中心，将OAB 扩大为原来的 4 倍，则点 A 的对应点的坐标是（ ） A （12，1） B （12，1） C （8，16）或（16，8） D （8，16）或（8，16） 10 （3 分） （2022开福区校级模拟）如图，AB 是O 的弦，OCAB，垂足为点 C，将劣弧沿弦
4、 AB 折叠交于 OC 的中点 D，若 = 210，则O 的半径为（ ） A22 B23 C32 D33 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分） （2021邵武市三模）把多项式 ax24ax+4a 因式分解的结果是 12 （3 分） （2022长沙模拟）若分式23有意义，则 x 的取值范围是 13（3分）（2022长沙一模） 已知m是方程x22x10的一个根， 则代数式2m24m+2020的值为 14 （3 分） （2022开福区校级模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一点，AE 交 BD 于 F，
5、若 BE3，EC2，则= 15 （3 分） （2021开福区模拟）将一列有理数1，2，3，4，5，6如图所示有序排列，4 所在位置为峰 1，9 所在位置为峰 2 （1）处在峰 5 位置的有理数是 ； （2）2022 应排在 A，B，C，D，E 中 的位置上 16 （3 分） （2022长沙模拟）如图，矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 分别落在 x、y 轴上，顶点 C、D 位于第一象限， 且 OA6， OB4， 对角线 AC、 BD 交于点 G， 若曲线 y=（x0） 经过点 C、 G， 则 k 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分） （2022长
6、沙一模）计算：(1)2022+ 8 445 | 2| 18 （6 分） （2022开福区校级模拟）先化简，再求值： （11+1）22+2+1，从1，0，1，2 中选择一个合适的数代入求值 19 （6 分） （2021开福区模拟）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由 45改为 30，已知原传送带 AB 长为 4 米 （1）求新传送带 AC 的长度； （结果保留根号） （2）如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断距离 B 点 5 米的货物 DEFG 是否需要挪走，并说明理由（结果精确到 0.1 米参考数据：2 1.41
7、，3 1.73，6 2.45） 20 （8 分） （2022长沙模拟）为积极相应“五项管理”政策，加强学生体育锻炼，某校开设羽毛球、篮球、乒乓球兴趣小组，为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求参与调查的学生中，喜爱乒乓球运动的学生人数，并补全条形图 （2）该校七年级共有 880 名学生，请你估计该校七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？ （3） 若从喜爱羽毛球运动的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生，确定为该校羽毛球运动员的重点培养对象，请用列表法或画
8、树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率 21 （8 分） （2022长沙一模）直线 yx+5 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过A、B 两点，顶点为 P （1）求抛物线的解析式； （2）求ABP 的面积 22 （9 分） （2021饶平县校级模拟）某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个，B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 种品牌的足球多花 30 元 （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？ （2）学校为了响应习总书记
9、“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球共 50 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元，B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的 70%，且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个，则这次学校有哪几种购买方案？ 23 （9 分） （2021开福区模拟）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题： 如图，分别以 RtABC 的
10、三边为边长，向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI （1）连接 BI、CE，求证：ABIAEC； （2）过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M，交 IH 于点 N 试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等； 请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积 的面积，即在 RtABC 中，AB2+BC2 24 （10 分） （2022长沙模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点” 如图 1，ABC 中
11、，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“好点” （1）如图 2，ABC 的顶点是 43 网格图的格点，请仅用直尺画出 AB 边上的一个“好点” （2）ABC 中，BC9，tanB=43，tanC=23，点 D 是 BC 边上的“好点” ，求线段 BD 的长 （3）如图 3，ABC 是O 的内接三角形，OHAB 于点 H，连接 CH 并延长交O 于点 D 求证：点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 若O 的半径为 9，ABD90，OH6，请直接写出的值 25 （10 分） （2022长沙一模）如图，BC 为O 的一条弦，D 为弦
12、 BC 所对的劣弧的中点，A 为弦 BC 所对的优弧上的点，连接 AD 交 BC 于点 E； （1）如图 1，过 D 作O 的切线 MN，求证：MNBC； （2）如图 2，若 BC 为O 的直径，连接 AB，AC，DB； 求证：DB2DEDA； 若 DE9，AE7，点 F 为ABC 的内心，求 OF 的长 2022 年长沙中考数学终极押题密卷年长沙中考数学终极押题密卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2022长沙一模）下列四个数中，最小的数是（ ） A0 B12022 C20
13、22 D2022 【考点】有理数大小比较 【专题】实数；数感 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：|12022|=12022，|2022|2022，而120222022， 20221202202022， 最小的数是2022 故选：D 【点评】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键 2 （3 分） （2022开福区校级模拟）下列运算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2x3x5 C （3x2）39x6 Dx6x3x2 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底
14、数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】整式；运算能力 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可 【解答】解：A、x2与 x3不属于同类项，不能合并，故 A 不符合题意； B、x2x3x5，故 B 符合题意； C、 （3x2）327x6，故 C 不符合题意； D、x6x3x3，故 D 不符合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 3 （3 分） （2021锡山区一模）下面 4 个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考
15、点】轴对称图形 【专题】常规题型 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故正确 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 4 （3 分） （2022重庆模拟）下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A调查本班同学的体育达标情况 B了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况 C疫情期间，了解全校师生入校时体温情况 D调查黄河的水质情况 【考点】全面调查与抽样调查 【专题】数据的收集与整理；应用意识 【分析】根据普查得到的调查结果比较
16、准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可 【解答】解：A，B，C 三个选项均适合采用全面调查方式，不符合题意； 调查黄河的水质情况，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查 5 （3 分） （2022长沙一模）如图，点 D，E 分别在ABC 的边 BA，BC 上，DEAB，过 BA 上的点 F（位于点 D 上方作 FG
17、BC，若AFG42，则DEB 的度数为（ ） A42 B48 C52 D58 【考点】平行线的性质；垂线 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力 【分析】根据 FGBC，得AFGDBE42，由 DEAB，得BDE90，DEB180DBEBDE，由此求得即可 【解答】解：FGBC，AFG42， DBEAFG42， DEAB， BDE90， DEB180DBEBDE 1804290 48 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键 6 （3 分） （2022开福区校级模拟）菱形不具备的性质是（ ） A四条边都相等 B是轴对称图形 C对角线一定相
18、等 D是中心对称图形 【考点】中心对称图形；菱形的性质；轴对称图形 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观 【分析】根据菱形的性质解答即可 【解答】解：A菱形的四条边都相等，故本选项不合题意； B菱形是轴对称图形，故本选项不合题意； C菱形的对角线不相等，故本选项符合题意； D菱形是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质以及轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键 7 （3 分） （2021雨花区一模）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm14 Cm14 Dm14 【考点】
19、根的判别式 【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力 【分析】由方程有实数根即b24ac0，从而得出关于 m 的不等式，解之可得 【解答】解：根据题意得，b24ac（2m1）24m24m+10， 解得：m14， 故选：B 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键 8 （3 分） （2022重庆模拟）ABC 的边 BC 经过圆心 O，AC 与圆相切于点 A，若B20，则C 的大小等于（ ） A50 B25 C40 D20 【考点】切线的性质；圆周角定理 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力 【分析】连接 OA，根据圆周角定理求出AOC，根据切线的性
20、质得到OAC90，根据直角三角形的性质计算，得到答案 【解答】解：连接 OA， B20， AOC2B40， AC 与圆相切于点 A， OAC90， C904050， 故选：A 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 9 （3 分） （2022长沙一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（4，1） ，以原点 O 为位似中心，将OAB 扩大为原来的 4 倍，则点 A 的对应点的坐标是（ ） A （12，1） B （12，1） C （8，16）或（16，8） D （8，16）或（8，16） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【专题】
21、图形的相似；模型思想 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标 【解答】解：点 A（2，4） ，B（4，1） ，以原点 O 为位似中心，将OAB 扩大为原来的 4 倍， 点 A 的对应点的坐标是： （8，16）或（8，16） 故选：D 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键 10 （3 分） （2022开福区校级模拟）如图，AB 是O 的弦，OCAB，垂足为点 C，将劣弧沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D，若 = 210，则O 的半径为（ ） A22 B23 C32 D33 【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题） ；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
22、【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【分析】连接 OA，设半径为 x，用 x 表示 OC，根据勾股定理建立 x 的方程，便可求得结果 【解答】解：连接 OA，设半径为 x， 将劣弧沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D， OC=23x，OCAB， AB210， AC=12AB= 10， OA2OC2AC2， x2(23)2= (10)2， 解得，x32或 x32（舍去） ， 故选：C 【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分） （202
23、1邵武市三模）把多项式 ax24ax+4a 因式分解的结果是 a（x2）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】整式；符号意识 【分析】直接提取公因式 a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案 【解答】解：ax24ax+4a a（x24x+4） a（x2）2 故答案为：a（x2）2 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键 12 （3 分） （2022长沙模拟）若分式23有意义，则 x 的取值范围是 x3 【考点】分式有意义的条件 【分析】分式有意义，分母不等于零 【解答】解：依题意，得 3x0， 解得，x3 故答案是：x3 【点评】本题考查了分式
24、有意义的条件从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零 13（3分）（2022长沙一模） 已知m是方程x22x10的一个根， 则代数式2m24m+2020的值为 2022 【考点】一元二次方程的解 【专题】整体思想；一元二次方程及应用；运算能力 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 m22m1，再把 2m24m 表示为 2（m22m） ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：m 是方程 x22x10 的一个根， m22m10， m22m1， 2m24m+20202（m22m）+20202+2020202
25、2 故答案为：2022 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 14 （3 分） （2022开福区校级模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一点，AE 交 BD 于 F，若 BE3，EC2，则= 35 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【专题】图形的相似；推理能力 【分析】根据平行四边形的性质求出 AD，证明DAFBEF，求出相似比即可得出答案 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，ADBCBE+CE5， DAFBEF，ADFEBF， DAFBEF， =35， 故答案为：35 【点评】本题
26、考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键 15 （3 分） （2021开福区模拟）将一列有理数1，2，3，4，5，6如图所示有序排列，4 所在位置为峰 1，9 所在位置为峰 2 （1）处在峰 5 位置的有理数是 24 ； （2）2022 应排在 A，B，C，D，E 中 A 的位置上 【考点】规律型：数字的变化类 【专题】规律型；猜想归纳；实数；整式 【分析】观察题中数列的规律：奇数前面是负号，偶数前面是正号，峰 n 中，A 位置的绝对值可以表示为：5n3；B 位置的绝对值可以表示为：5n2；C 位置的绝对值可以表示为：5n1；D 位置的绝对值可以表
27、示为：5n；E 位置的绝对值可以表示为：5n+1；注意先判断绝对值的位置再判断符号，根据规律求解即可 【解答】解： （1）观察发现：峰 n 中，A 位置的绝对值可以表示为：5n3； B 位置的绝对值可以表示为：5n2； C 位置（峰顶）的绝对值可以表示为：5n1； D 位置的绝对值可以表示为：5n； E 位置的绝对值可以表示为：5n+1； 处在峰 5 位置的有理数是 55124； （2）根据规律，202254053， 2022 应排在 A 的位置 故答案为： （1）24； （2）A 【点评】此题主要考查数列的规律探索，认真观察数列的规律，并熟练运用常见的数列表示方法是解题的关键 16 （3 分
28、） （2022长沙模拟）如图，矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 分别落在 x、y 轴上，顶点 C、D 位于第一象限， 且 OA6， OB4， 对角线 AC、 BD 交于点 G， 若曲线 y=（x0） 经过点 C、 G， 则 k 14 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质 【专题】数形结合；待定系数法；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识 【分析】 分别过 C、 G 两点作 x 轴的垂线， 交 x 轴于点 E、 F， 作 CHy 轴于 H， 则 CEGF， 设 C （m n） ，利用矩形的性质可得 AGCG，根据平行线得性质则可求得 G 点横坐标，且可求得 G
29、（3+12m，12n） ，根据反比例函数系数 kxy，得到 mn（3+12m）12n，求得 m2，通过证得AOBBHC，求得 CE，得出 C 得坐标（2，7） ，即可求得 k 【解答】解：如图，分别过 C、G 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 E、F，作 CHy 轴于 H， CEGF， 设 C（mn） ， 四边形 ABCD 是矩形， AGCG， GF=12CE，EF=12（6m） ， OF=12（6m）+m3+12m， G（3+12m，12n） ， 曲线 y=（x0）经过点 C、G， mn（3+12m）12n， 解得 m2， CH2， ABC90， CBH+ABO90， OAB+ABO90
30、， OABCBH， AOBBHC90， AOBBHC， =，即6=24， BH3， OH3+47， C（2，7） ， k2714； 故答案为：14 【点评】本题考查了矩形的性质、三角形相似的判定和性质以及反比例函数 k 的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （6 分） （2022长沙一模）计算：(1)2022+ 8 445 | 2| 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【专题】实数；运算能力 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、有理数的乘方运算法则、二次根式的性质分别化简，进而利用
31、实数的混合运算法则计算得出答案 【解答】解：原式1+22 4222 1+22 22 2 1 【点评】 此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、 有理数的乘方运算、 二次根式的性质，正确化简各数是解题关键 18 （6 分） （2022开福区校级模拟）先化简，再求值： （11+1）22+2+1，从1，0，1，2 中选择一个合适的数代入求值 【考点】分式的化简求值 【专题】分式；运算能力 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式， 再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式（+1+11+1）(1)(+1)2 =+1(+1)2(1) =+11， 当 x2 时，原
32、式=2+121=3 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 19 （6 分） （2021开福区模拟）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由 45改为 30，已知原传送带 AB 长为 4 米 （1）求新传送带 AC 的长度； （结果保留根号） （2）如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断距离 B 点 5 米的货物 DEFG 是否需要挪走，并说明理由（结果精确到 0.1 米参考数据：2 1.41，3 1.73，6 2.45） 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】解直角
33、三角形及其应用 【分析】 （1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在 RtACM 中，求出 AC 的长 （2）通过解直角三角形，可求出 BM、CM 的长，进而可求出 BC、DC 的长然后判断 DC 的值是否大于 2 米即可 【解答】解： （1）如图， 在 RtABM 中，AMABsin4522（米） 在 RtACM 中， ACM30， AC2AM42（米） 即新传送带 AC 的长度约为 42米； （2）结论：货物 DEFG 不用挪走 解：在 RtABM 中，BMABcos4522（米） 在 RtACM 中，CM= 3AM26（米） CBCMBM26 22 2.08（
34、米） DCDBCB52.082.92（米）2（米） ， 货物 DEFG 不应挪走 【点评】考查了坡度坡角问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路 20 （8 分） （2022长沙模拟）为积极相应“五项管理”政策，加强学生体育锻炼，某校开设羽毛球、篮球、乒乓球兴趣小组，为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求参与调查的学生中，喜爱乒乓球运动
35、的学生人数，并补全条形图 （2）该校七年级共有 880 名学生，请你估计该校七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？ （3） 若从喜爱羽毛球运动的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生，确定为该校羽毛球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；随机事件 【专题】统计的应用；概率及其应用；应用意识 【分析】 （1）用喜欢羽毛球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再利用喜欢乒乓球的人数所占的百分比乘以总人数得到喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）用 880
36、乘以喜欢篮球人数的百分比可估计该校七年级学生中喜爱篮球运动的学生数； （3）画树状图展示所有 9 种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）由题意可知调查的总人数1220%60（人） ， 所以喜爱乒乓球运动的学生人数6035%21（人） ， 补全条形图如图所示： （2）该校七年级共有 880 名学生， 该校七年级学生中喜爱篮球运动的学生有 880（135%20%）396 名； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为 8， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为812=23 【点评】本
37、题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率也考查了统计图 21 （8 分） （2022长沙一模）直线 yx+5 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过A、B 两点，顶点为 P （1）求抛物线的解析式； （2）求ABP 的面积 【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力 【分析】 （1）由直线 yx+5 求
38、出其与坐标轴的交点坐标，再代入抛物线解析式，求出待定系数的值； （2）求得抛物线的顶点 P，进而求得直线 AB 交对称轴的交点 C，然后根据 SPABSPAC+SPBC即可求得 【解答】解： （1）直线 yx+5，当 y0 时，由x+50，得 x5；当 x0 时，y5， A（5，0） 、B（0，5） ， 将 A（5，0） 、B（0，5）代入 yx2+bx+c，得25 + 5 + = 0 = 5，解得 = 4 = 5， 抛物线的解析式为 yx2+4x+5 （2）yx2+4x+5（x2）2+9， 抛物线的顶点 P 为（2，9） ，如图， 设 AB 交对称轴于 C，则 C（2，3） ， PC936，
39、 SPABSPAC+SPBC=12 6 5 =15 【点评】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键 22 （9 分） （2021饶平县校级模拟）某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个，B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 种品牌的足球多花 30 元 （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？ （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球共 50 个，正好赶上商场对商品价格进行调
40、整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元，B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的 70%，且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个，则这次学校有哪几种购买方案？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】 （1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“总费用买 A 种足球费用+买 B 种足球费用，以及 B 种足球单价比 A 种足球贵 30 元”可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B
41、种足球（50m）个，根据“总费用买 A 种足球费用+买B 种足球费用，以及 B 种足球不小于 23 个”可得出关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组可得出 m的取值范围，由此即可得出结论 【解答】解： （1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元， 依题意得： 50 + 25 = 4500 = + 30， 解得： = 50 = 80 答：购买一个 A 种品牌的足球需要 50 元，购买一个 B 种品牌的足球需要 80 元 （2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 种足球（50m）个， 依题意得：(50 + 4) + 80 0.9(50 ) 4500 70%
42、50 23， 解得：25m27 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买 A 种足球 25 个，B 种足球 25 个； 方案二：购买 A 种足球 26 个，B 种足球 24 个； 方案三：购买 A 种足球 27 个，B 种足球 23 个 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）根据数量关系找出关于 x、y 的二元一次方程组； （2）根据数量关系找出关于 m 的一元一次不等式组本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键 23 （9 分） （2021开福区模拟）勾股定理是数学史上非常重要的一
43、个定理早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题： 如图，分别以 RtABC 的三边为边长，向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI （1）连接 BI、CE，求证：ABIAEC； （2）过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M，交 IH 于点 N 试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等； 请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积 正方形 ACHI 的面积，即在 RtABC 中，A
44、B2+BC2 AC2 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力 【分析】 （1）由正方形的性质得出 ABAE，ACAI，BAECAI90，得出EACBAI，即可得出ABIAEC（SAS） ； （2）证 BMAI，得出四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积，同理：正方形 ABDE 的面积2AEC的面积，由ABIAEC，即可得出四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等 易证CPHABC（AAS） ，四边形 CMNH 是矩形，得 PHBC，由BCH 的面积=12CHNH=12BCPH，得 CHNHBC2，即可得出结论； （3
45、）由（2）得即可得出答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABDE、四边形 ACHI 是正方形， ABAE，ACAI，BAECAI90， EACBAI， 在ABI 和AEC 中， = = = ， ABIAEC（SAS） ； （2）证明：BMAC，AIAC， BMAI， 四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积， 同理：正方形 ABDE 的面积2AEC 的面积， 又ABIAEC， 四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等 解：四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等，理由如下： 连接 BH，过 H 作 HPBC 于 P，如图所示： 易证CPHABC（AAS） ，四边形 CMNH 是
46、矩形， PHBC， BCH 的面积=12CHNH=12BCPH， CHNHBC2， 四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等； （3）解：由（2）得：正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积正方形 ACHI 的面积； 即在 RtABC 中，AB2+BC2AC2； 故答案为：正方形 ACHI，AC2 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键 24 （10 分） （2022长沙模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平
47、方，则称这个点为三角形该边的“好点” 如图 1，ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“好点” （1）如图 2，ABC 的顶点是 43 网格图的格点，请仅用直尺画出 AB 边上的一个“好点” （2）ABC 中，BC9，tanB=43，tanC=23，点 D 是 BC 边上的“好点” ，求线段 BD 的长 （3）如图 3，ABC 是O 的内接三角形，OHAB 于点 H，连接 CH 并延长交O 于点 D 求证：点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 若O 的半径为 9，ABD90，OH6，请直接写出的值 【考点】圆的综合题
48、 【专题】压轴题；新定义；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力；创新意识 【分析】 （1）根据题意知，CD2ADBD，据此作图； （2）作 AEBC 于点 E，由 =43， =23可利用方程求得 BE3，CE6，AE4，设 DEa， 需要分两种情况解答：点 D 在点 E 左侧；点 D 在点 E 右侧，根据三角形该边的“好点”的定义得到：AD2BDCD，将相关线段的长度代入，列出方程，通过解方程求得答案； （3）首先证得AHCDHB，则该相似三角形的对应边成比例：=，即 AHBHCHDH，然后利用等量代换推知 BH2CHDH，即点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点”
49、 =521理由：如答图 4，连接 AD，BD根据圆周角定理推知 AD 是直径，故 AD18然后由已知条件推知：OH 是ABD 的中位线，则 BD2OH12在直角ABD 和直角BDH 中，由勾股定理求得线段 AB 和 DH 的长度，由知，BH2CHDH，代入求得 CH=5217；将 CH、DH 的长度代入所求的式子求值即可 【解答】解： （1）如答图 1，当 CDAB 或点 D 是 AB 的中点是，CD2ADBD； （2）作 AEBC 于点 E，由 =43， =23可设 AE4x， 则 BE3x，CE6x， BC9x9，x1， BE3，CE6，AE4， 设 DEa， 如答图 2，若点 D 在点
50、E 左侧， 由点 D 是 BC 边上的“好点”知，AD2BDCD， a2+42（3a） （6+a） ，即 2a2+3a20， 解得1=12，a22（舍去） ， = 3 = 3 12=52 如答图 3，若点 D 在点 E 右侧， 由点 D 是 BC 边上的“好点”知，AD2BDCD， a2+42（3+a） （6a） ，即 2a23a20， 解得 a12，2= 12（舍去） BD3+a3+25 =52或 5 （3）如答图 4，连接 AD，BD， CHABHD，ACHDBH AHCDHB， =，即 AHBHCHDH， OHAB， AHBH， BH2CHDH 点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点”
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