1、202绝密启封并使用完毕前2022年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。第卷1、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D. 2.复数满足（为虚数单位），则实数A. B. C. D.3.命题：，则为A.， B.， C. ， D.，4.抛物线的焦点为，点在抛物线上若，则直线的斜率为A. B. C. D. 5.已知，则A. B. C. D.或6.圆锥被过顶点的一个截面截取部分后所剩几何体的三视图如图所示，则截取部分几何体的体积
2、为A. B.C. D.7.我国唐代著名的数学家僧一行在著作大衍历中给出了近似计算的“不等间距二次插值算法”,用数学语言可表述为：若，则在闭区间上函数可近似表示为：，其中，.已知函数，分别取，则用该算法得到A. B. C. D. 8.已知函数，（）的最小正周期为，将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象关于直线对称，则实数的最小值为A B C D9.已知，分别是双曲线（，）的右顶点和左焦点，是坐标原点. 点在第一象限且在的渐近线上，满足.若平分，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 10.已知等比数列，公比为，其中，均为正整数，且，成等差数列，则等于A.96 B.48 C.16 D.811.
3、棱长为的正方体中， ，分别是棱，的中点，下列命题中错误的是A. B. /平面 C. 平面 D. 四面体的体积等于 12.若存在两个正实数x，y使得等式成立，则实数a的取值范围是A.B.C.D.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，为单位向量，若，垂直，则，的夹角为 .14.立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）近似服从正态分布，正态曲线如图所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段内抽取学生，并确定，且.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图所示.若该班抽取学生分数在分数段内的人数为，则等于 ；这名
4、学生的人均分为 .(第1空2分，第2空3分）（附：，）第16题图 15.已知定义在区间上的函数，满足，当时，.则满足不等式的实数的范围为 .16.如图，在中，点在边上，垂直于，则的面积为 .三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足，.（I）求的通项公式；（）若，求的前项和.18.（本小题满分12分）如图，四边形是梯形，/，是等腰三角形，且平面平面.（I）求证：；（）如果直线与平面所成角的大小为45，求平面与
5、平面所成锐二面角的余弦值. 19.（本小题满分12分）2022年2月4日，第24届北京冬奥会在国家体育馆隆重开幕，本届冬奥会吸引了全球91个国家和地区的2892名冰雪健儿前来参赛.各国冰雪运动健儿在“一起向未来”的愿景中，共同诠释“更快、更高、更强、更团结”的奥林匹克新格言，创造了一项又一项优异成绩，中国队9金4银2铜收官，位列金牌榜第三，金牌数和奖牌数均创历史新高.中国健儿在赛场上努力拼搏，激发了全国人民参与冰雪运动的热情，憨态可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外壳的吉祥物“冰墩墩”备受大家喜爱.某商场举行“玩摸球游戏，领奥运礼品”的促销活动，活动规定：顾客在该商场一次性消费满300元以上即可参
6、加摸球游戏.摸球游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有10个大小相同、四种不同颜色的的小球，其中白色、红色、蓝色、绿色小球分别有1个、2个、3个、4个，每个小球上都标有数字代表其分值，白色小球上标30、红色小球上标20、蓝色小球上标10、绿色小球上标5.摸球时一次只能摸一个，摸后不放回.若第一次摸到蓝色或绿色小球，游戏结束，不能领取奥运礼品；若第1次摸到白色小球或红色小球，可再摸2次.若摸到球的总分不低于袋子中剩下球的总分，则可免费领取奥运礼品.（I）求参加摸球游戏的顾客甲能免费领取奥运礼品的概率；（）已知顾客乙在第一次摸球中摸到红色小球，设其摸球所得总分为，求的分布列与数学期望.20.（本小
7、题满分12分）已知曲线，其离心率为，焦点在轴上.（I）求的值；（）若与轴交于两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，直线与直线交于点.求证：当时，三点共线21.（本小题满分12分）已知函数，.（I）求函数的最值；（）当时，证明：函数有两个零点.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知直线（其中常数，为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线相切于点. （I）求的值；（）若点为曲线上一点，求的面积取最大值时点的坐
8、标.23. 选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数.（I）求不等式的解集；（）设函数的最小值为，正实数满足，求证：.参考答案1、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案CCDBAADBABCD1.C.【解析】，.选C.2.C.【解析】设，则，有，由复数相等得到.选C.3.D.【解析】“”的否定为“”，故选D.4.B.【解析】设点，则，故，故点坐标为或，所以直线的斜率为.选B.另解：设直线的倾斜角为，点，在抛物线准线 上的射影分别为，.则，又，所以，得，所以选B.5.A.【解析】由已知
9、，平方得，由于，解得或（舍），所以，故.选A.6.A.【解析】解：如图，圆锥底面半径为2，高为3，截取的几何体的体积.选A.7.D.【解析】根据条件可知，所以，所以.故选D.8.B.【解析】，由其最小正周期为，有，所以，将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象对应函数为，其图象关于对称，则有，由，实数的最小值为.选B.9.A.【解析】由已知，而，故，由可得，整理可得.另解：根据题意可得点的坐标为，点的坐标为，其中，所以直线的方程为，即，所以坐标原点到直线的距离等于. 因为，所以点到直线的距离等于， 由平分，得，变形为.因为离心率，又，所以，解得. 故选A.10.B.【解析】由，有，即，由于，均
10、为正整数，故（不合题意，舍去）或，得.所以.选B.11.C.【解析】，A正确；如图，取的中点，连接，易知四边形是平行四边形，所以/，所以/平面，B正确；若平面，则，可得，不成立，C不正确；计算可知D正确.选C.12.D.解析：因为x，y均为正数，所以等式可化为，即，即.令，则，令，解得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，且当时，所以，故选D.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【解析】由于，故，故，所以，的夹角为.14.【解析】随机变量，由，可得.故该班在内抽取了10人，人均分为分.15.【解析】设，则，故为偶函数，由，有，故，由于函数在上为减函数，故，解得.
11、16.【解析】在中，因为，设，则在中，由余弦定理得，在中，因为，故，所以，解得.所以， 则的面积.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题满分12分）【解析】（I）时，解得. 1分时，故，所以， 3分故.符合上式故的通项公式为，. 6分（），. 12分18.（本小题满分12分）【解析】（I）如图，取的中点，连接. 因为，/，所以四边形是矩形，所以.在中，所以. 连接，则是等边三角形. 取的中点，连接，则. 连接，因为，所以，因为，所以平面，所以. 6分（）因为平面平面
12、，所以平面. 连接，则就是直线与平面所成的角，所以，所以.在中，所以，所以. 8分如图，以为坐标原点，、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，则， . 由，可得.所以，. 设平面的一个法向量为，由，得.可取，则.因为平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分19.（本小题满分12分）【解析】（I）因所有小球的总分为120分，若甲第1次摸到白球，再摸两个球的颜色若都是红色，或者一红一蓝即可领取奥运礼品，其概率为； 2分若甲第1次摸到红球，再摸2个球的颜色若是一白一红，一白一蓝即可领取奥运礼品，其概率为； 所以顾客甲能免费领取奥运礼品的概率为. 5分（）由
13、条件可知， 6分，,， 9分于是的分布列为：7060555045403530其数学期望为.12分20.（本小题满分12分）【解析】（I）由于是焦点在轴上的椭圆，则其方程可化为，所以必须满足：，解得.因的离心率为，则，解得. 5分（）由（I）可知的方程为，所以，.把代入，整理得.设，则，. 7分因为点，所以直线的方程为：.令，得，所以.因为点，所以直线的斜率为，直线的斜率为.所以.，当时，上式等于0，即，这说明，三点共线12分21.（本小题满分12分）【解析】（I）， 1分由于，所以，设，则，故函数在区间上单调递减，由于，故存在，使. 3分故当，则，当时，则，从而存在，的单增区间为，单减区间为.
14、函数的最大值为， 4分由于，所以，故.所以函数的最大值为,没有最小值. 6分（）设1），则，当时，故在上单调递增，故，即.当时，由（I）知，由于，由（I）知，且，故，即，所以，9分且，而，故函数有两个零点. 12分（说明：若采用极限证明，扣3分.）22. 选修44：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）【解析】()由已知可得直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为，根据点到直线的距离公式可知，解得或，又，所以. 5分()由（）可知直线的方程为，而且弦的长度一定，要使的面积最大，只需点到直线的距离最大，设，则点到直线的距离为，所以当即时，距离最大，此时点的坐标为. 10分23. 选修45：不等式选讲（本小题满分10分）【解析】（）由条件可知原不等式可化为，解得；解得；解得，所以原不等式的解集为. 5分（）因， 所以当时，函数的最小值为，于是，由于，而，于是.因为所以，原不等式得证. 10分
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