1、 江苏省南通市江苏省南通市 2020-2021 学年高一下期末质量检测数学试题学年高一下期末质量检测数学试题 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分 ）分 ） 1设集合 Ax|0 x2，Bx|x1，则 AB（ ） A （，1 B （，2 C0，1 D1，2 2设复数 z 满足 zi12i（i 是虚数单位） ，则 z（ ） A2+i B2i C2+i D2i 3 “ab0”是“”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 4设 a20.3，blog0.32，clog32，则（
2、 ） Acab Bbac Cacb Dbca 5德国天文学家，数学家开普勒（JKepier，15711630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的 2 倍，土星的公转时间约为 10753d则天王星的公转时间约为（ ） A4329d B30323d C60150d D90670d 6已知 m，n 是两条不重合的直线，a， 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A若 mn，ma，则 na B若 a，m，则 ma C若 ma，m，则 a D若 ma，na，则 mn 7甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概
3、率为 0.3，乙译出密码的概率为 0.4，则密码被破译的概率为（ ） A0.88 B0.7 C0.58 D0.12 8英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中 n！1234n根据该公式可知，与的值最接近的是（ ） Acos57.3 Bcos147.3 Csin57.3 Dsin（32.7） 二、二、 多项选择题多项选择题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 共计共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9在复平面内，复数 z
4、 对应的点为（1，3） ，则（ ） Az+ 2 Bz210 Cz 10 D 10一只袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个白球和 2 个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出 2个球，甲表示事件“两次都摸到黑球” ，乙表示事件“两次都摸到白球” ，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球” ，丁表示事件“至少有一次摸到白球” ，则（ ） A甲与乙互斥 B乙与丙互斥 C乙与丁互斥 D丙与丁互斥 11已知 O 是ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A若，则ABC 为等腰三角形 B若，则ABC 为锐角三角形 C若，则 O，B，C 三点共线 D若，则 12已知圆台上、下底面的圆心分别
5、为 O1，O2，半径为 2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为 3，P 为 O1O2上一点，则（ ） A圆台的母线长为 6 B当圆锥 PO1圆锥 PO2的体积相等时，PO14PO2 C圆台的体积为 56 D当圆台，上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为 80 三、填空题三、填空题（本大题共（本大题共 4 小题，小题， 每小题每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13今年 5 月 1 日，某校 5 名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为 43，49，50，52，56，则这5 个数据的方差是 14已知角 的终
6、边经过点 P（1，2） ，则 15已知 a，b 是非零实数，若关于 x 的不等式 x2+ax+b0 恒成立，则的最小值是 16已知函数 f（x）|x|x2|，则 f（x）的值域是 ，不等式 f（x）f（2x）的解集是 四、解答题四、解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知函数 f（x）log3（3+x）+log3（3x） （1）求证：f（x）为偶函数； （2）求 f（x）的最大值 18 （本小题满分 1
7、2 分） 在（a+b+c） （a+bc）3ab，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足_ （1）求角 C 的大小； （2）若 D 为边 BC 上一点，且 AD6，BD4，AB8，求 AC 19 （本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，DAB60，求： （1）； （2）cosEAF 20 （本小题满分 12 分） 某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了 100 户居民的月平均用水量（单位：t） ，得到如下频率分布表：
8、分组 频数 频率 1.5，4.5） 22 0.22 4.5，7.5） 31 0.31 7.5，10.5） x 0.16 10.5，13.5） 10 0.10 13.5，16.5） y z 16.5，19.5） 5 0.05 19.5，22.5） 5 0.05 22.5，25.5） 3 0.03 25.5，28.5） 2 0.02 合计 100 1 （1）求表中 x，y，z 的值； （2）试估计该区居民的月平均用水量； （3）从上表月平均用水量不少于 22.5t 的 5 户居民中随机抽取 2 户调查，求 2 户居民来自不同分组的概率 21 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中
9、，PD平面 ABCD，ABCD，BAD60，ABAD2，E 为棱PD 上的一点，且 DE2EP2 （1）求证：PB平面 AEC； （2）求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 （1）若 （0，） ，求 的值； （2）将函数 yf（x）的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到曲线 C，再把 C上所有的点横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 yg（x）的图象若函数在区间（0，n） （nN*）上恰有 2021 个零点，求 m，n 的值 参考答案参考答案 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题
10、 5 分，共计分，共计 40 分 ）分 ） 1设集合 Ax|0 x2，Bx|x1，则 AB（ ） A （，1 B （，2 C0，1 D1，2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|0 x2，Bx|x1， AB0，1 故选：C 【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题 2设复数 z 满足 zi12i（i 是虚数单位） ，则 z（ ） A2+i B2i C2+i D2i 【分析】直接利用复数的除法运算法则求解即可 【解答】解：因为复数 z 满足 zi12i， 所以 故选：D 【点评】本题考查了复数的除法运算法，考查了运算能力，属于基础题 3 “a
11、b0”是“”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 【分析】先通过转化分式不等式化简条件，再判断 ab0 成立是否推出成立；条件成立是否推出 ab0 成立，利用充要条件的定义判断出 ab0 是成立的什么条件 【解答】解：条件：，即为 若条件：ab0 成立则条件一定成立； 反之，当条件成立不一定有条件：ab0 成立 所以 ab0 是成立的充分非必要条件 故选：A 【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断 4设 a20.3，blog0.32，clog32，则（ ） Acab Bbac Cacb
12、 Dbca 【分析】由对数函数、指数函数的单调性及特殊值确定各数的范围，从而比较大小 【解答】解：2020.321，1a2， log0.32log0.310，b0， log31log32log33，0c1， 故 acb，故选：C 【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性的应用，属于基础题 5德国天文学家，数学家开普勒（JKepier，15711630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的 2 倍，土星的公转时间约为 10753d则天王星的公转时间约为（ ） A4329d B30323d C60150d D90
13、670d 【分析】结合即可求解 【解答】解：设天王星的公转时间为 T，距离太阳平均距离为 r， 土星的公转时间为 T，距离太阳平均距离为 r， 由题意可知 r2r，T10753， 所以 故选：B 【点评】本题考查函数的实际应用问题，考查数学建模的核心素养，属于基础题 6已知 m，n 是两条不重合的直线，a， 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A若 mn，ma，则 na B若 a，m，则 ma C若 ma，m，则 a D若 ma，na，则 mn 【分析】对于 A，na 或 n；对于 B，ma 或 m；对于 C，a 与 相交或平行；对于 D，由线面垂直的性质得 mn 【解答】解：m，n
14、 是两条不重合的直线，a， 是两个不重合的平面， 对于 A，若 mn，ma，则 na 或 n，故 A 错误； 对于 B，若 a，m，则 ma 或 m，故 B 错误； 对于 C，若 ma，m，则 a 与 相交或平行，故 C 错误； 对于 D，若 ma，na，则由线面垂直的性质得 mn，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题 7甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为 0.3，乙译出密码的概率为 0.4，则密码被破译的概率为（ ） A0.88 B0.7 C0.58 D0.12 【分析】利用相互独立
15、事件概率计算公式、对立事件概率计算公式直接求解 【解答】解：甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为 0.3，乙译出密码的概率为 0.4， 则密码被破译的概率为： P1（10.3） （10.4）10.70.60.58 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中 n！1234n根据 该公式可知，与的值最接近的是（ ） Acos57.3 Bcos147.3 Csin57.3 Dsin（32.7） 【分析】 利用已知公式， 将公式两边分别求导， 结合诱导公式， 即可得到
16、sin （90147.3） ，求解即可 【解答】解：原式sin（1）sin（57.3）sin（90147.3）cos147.3 故选：B 【点评】本题考查了推理的应用，考查了三角函数诱导公式的应用、角度与弧度互化的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题 二、二、 多项选择题多项选择题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 共计共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9在复平面内，复数 z 对应的点为（1，3） ，则（ ）
17、Az+ 2 Bz210 Cz 10 D 【分析】先利用复数的几何意义求出 z，然后对四个选项逐一判断即可 【解答】解：由题意，z1+3i， 对于 A，故选项 A 正确； 对于 B，z28+6i，故选项 B 错误； 对于 C，故选项 C 正确； 对于 D，故选项 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运算法则以及复数模的运算性质，属于基础题 10一只袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个白球和 2 个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出 2个球，甲表示事件“两次都摸到黑球” ，乙表示事件“两次都摸到白球” ，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球” ，
18、丁表示事件“至少有一次摸到白球” ，则（ ） A甲与乙互斥 B乙与丙互斥 C乙与丁互斥 D丙与丁互斥 【分析】利用互斥事件的定义直接求解 【解答】解：甲与乙不能同时发生，甲与乙是互斥事件，故 A 正确； 乙与丙不能同时发生，乙与丙是互斥事件，故 B 正确； 丁与乙可以同时发生，乙与丁不是互斥事件，故 C 错误； 丙与丁可以同时发生，丙与丁不是互斥事件，故 D 错误 故选：AB 【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件等基础知识，是基础题 11已知 O 是ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A若，则ABC 为等腰三角形 B若，则ABC 为锐角三角形 C若，则 O，B，C 三点共
19、线 D若，则 【分析】A，由0 即可判断； B，可得A 是锐角，但不一定是锐角三角形，即可判断； C，可得，即可判断； D，由于，则 O 是垂心，即可判断 【解答】解：对于 A，0，cb，故 A 正确； 对于 B，由于，则A 是锐角，但不一定是锐角三角形，故 B 错误； 对于 C，则 O，B，C 三点共线，故 C 正确； 对于 D，由于，则 O 是垂心，故 D 正确； 故选：ACD 【点评】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量的性质，属于中档题 12已知圆台上、下底面的圆心分别为 O1，O2，半径为 2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为 3，P 为 O1O2上一点，则（ ） A圆台的母
20、线长为 6 B当圆锥 PO1圆锥 PO2的体积相等时，PO14PO2 C圆台的体积为 56 D当圆台，上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为 80 【分析】 转化求解圆台的母线长判断 A； 利用比例关系判断 B； 求解体积判断 C； 取得球的表面积判断 D 【解答】解：圆台上、下底面的圆心分别为 O1，O2，半径为 2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为 3，P 为 O1O2上一点， h3（42）6， 母线，与圆台的母线长为 6 矛盾，所以 A 错误； ，B 正确； ，C 正确； 设球心到上底面的距离为 x，则 22+x2（6x）2+42，解得 x4，S80，D 正确； 故选：
21、BCD 【点评】本题考查旋转体中的圆台的有关知识的应用，球的表面积的求法，考查分析问题解决问题的能力，命题的真假的判断，是中档题 三、填空题三、填空题（本大题共（本大题共 4 小题，小题， 每小题每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13今年 5 月 1 日，某校 5 名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为 43，49，50，52，56，则这5 个数据的方差是 18 【分析】根据题意求出平均数，再利用方差公式求出方差 【解答】解： 50， ， 故答案为：18 【点评】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题 14已知角
22、的终边经过点 P（1，2） ，则 3 【分析】根据三角函数的定义，可得 tan2，再结合正切函数的两角差公式，即可求解 【解答】解：角 的终边经过点 P（1，2） ， tan， 故答案为：3 【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，以及正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题 15已知 a，b 是非零实数，若关于 x 的不等式 x2+ax+b0 恒成立，则的最小值是 1 【分析】依题意可得，a24b0，再利用基本不等式直接求解即可 【解答】解：依题意，a24b0， ，当且仅当，时取等号 的最小值是 1 故答案为：1 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查
23、运算求解能力，属于基础题 16已知函数 f（x）|x|x2|，则 f（x）的值域是 2，2 ，不等式 f（x）f（2x）的解集是 （0，2） 【分析】 （1）分 x0，0 x2，x2 三种情况讨论，即可求解 f（x）的值域 （2）当 x0 或 x2 时，f（x）f（2x） ，显然不成立，分 0 x1，1x2 两种情况讨论，取其并集，即可求解 【解答】 （1）f（x）|x|x2|， 当 x0 时，f（x）x（2x）2，当 0 x2 时，f（x）x（2x）2x2，当 x2 时，f（x）x（x2）2， f（x）的值域为2，2 （2）当 x0 或 x2 时，f（x）f（2x） ，显然不成立， 当 0
24、x1 时， f（x）2x24x2f（2x） ，解得 x0， 0 x1， 当 1x2 时， f（x）2x2，f（2x）2， 当 f（x）f（2x）时，即 2x22，解得 x2， 1x2， 综上所述，不等式 f（x）f（2x）的解集为（0，2） 【点评】本题考查了绝对值不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于基础题 四、解答题四、解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知函数 f（x）log3（3+x）+
25、log3（3x） （1）求证：f（x）为偶函数； （2）求 f（x）的最大值 【分析】 （1）先求出函数 f（x）的定义域，然后利用偶函数的定义证明即可； （2）利用对数的运算性质将函数 f（x）化简变形，然后利用二次函数的性质以及对数函数的性质求解最值即可 【解答】 （1）证明：函数 f（x）log3（3+x）+log3（3x） ， 所以 f（x）的定义域为（3，3） ， 因为 f（x）log3（3x）+log3（3+x）f（x） ， 所以 f（x）为偶函数； （2）解：f（x）log3（3+x） （3x）， 因为 9x2（0，9，所以（，2， 故当 x0 时，f（x）取得最大值 2 【点评
26、】本题考查了函数最值的求解，主要考查了对数型函数的性质的应用，偶函数定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题 18 （本小题满分 12 分） 在（a+b+c） （a+bc）3ab，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足_ （1）求角 C 的大小； （2）若 D 为边 BC 上一点，且 AD6，BD4，AB8，求 AC 【分析】若选： （1）利用平方差公式化简已知的等式，由余弦定理求出 cosC，即可得到角 C 的值； （2）在ABD 中，利用余弦定理求出 cosADB，由同角三角函数关系求出 sinAD
27、CsinADB，再利用正弦定理求解 AC 即可 若选： （1）利用两角和的正切公式以及三角形内角定理，求出 tanC，即可得到角 C 的值； （2）在ABD 中，利用余弦定理求出 cosADB，由同角三角函数关系求出 sinADCsinADB，再利用正弦定理求解 AC 即可 若选： （1）利用两角和差公式以及三角形内角和公式求出 cosC 的值，即可得到角 C 的值； （2）在ABD 中，利用余弦定理求出 cosADB，由同角三角函数关系求出 sinADCsinADB，再利用正弦定理求解 AC 即可 【解答】解：若选： （a+b+c） （a+bc）3ab，则（a+b）2c23ab， 即 a2+
28、b2c2ab， 所以， 又 C 为ABC 的内角， 所以； （2）因为 AD6，BD4，AB8， 所以 cosADB， 则 sinADC， 由正弦定理可得，解得 若选： 因为，则， 所以 tan（A+B）， 又 tanCtan（A+B）tan（A+B）， 因为 C 为ABC 的内角， 所以； （2）因为 AD6，BD4，AB8， 所以 cosADB， 则 sinADC， 由正弦定理可得，解得 若选： 因为， 则 sinCcosA2sinBcosCsinAcosC， 所以 sinCcosA+sinAcosC2sinBcosC， 即 sinB2sinBcosC， 又 B（0，） ， 所以 sinB
29、0， 则 cosC， 因为 C 为ABC 的内角， 所以； （2）因为 AD6，BD4，AB8， 所以 cosADB， 则 sinADC， 由正弦定理可得，解得 【点评】本题考查了解三角问题，涉及了正弦定义与余弦定理的应用，两角和差公式以及三角形内角和定理的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题 19 （本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，DAB60，求： （1）； （2）cosEAF 【分析】 （1）利用 （+）即可计算； （2）利用 cosEAF，即可计算 【解答】解： （1）+（）+， （+） + （+）+4+ （2）cosEAF， 【点评】本题考查了
30、平面向量的数量积运算，考查了运算能力，属于中档题 20 （本小题满分 12 分） 某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了 100 户居民的月平均用水量（单位：t） ，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 1.5，4.5） 22 0.22 4.5，7.5） 31 0.31 7.5，10.5） x 0.16 10.5，13.5） 10 0.10 13.5，16.5） y z 16.5，19.5） 5 0.05 19.5，22.5） 5 0.05 22.5，25.5） 3 0.03 25.5，28.5） 2 0.02 合
31、计 100 1 （1）求表中 x，y，z 的值； （2）试估计该区居民的月平均用水量； （3）从上表月平均用水量不少于 22.5t 的 5 户居民中随机抽取 2 户调查，求 2 户居民来自不同分组的概率 【分析】由频率频数总数，频数总数频率进行求解 平均数用每组数据的中点频率的结果相加得到 【解答】解： （1）由图表可知，7.5，10.5）区间内，居民用水量的频率为 0.16， x1000.1616 则 y100（22+31+16+10+5+5+3+2）6， 频率 z61000.06 （2）270.029.27 （3）10， 从上表月平均用水量不少于 22.5t 的 5 户居民中随机抽取 2
32、户的基本事件共 10 件， 来自同一分组的可能事件共 1+4 种，来自不同分组的可能事件共 6 种 记事件 A：2 户居民来自不同分组， 则 P（A） 【点评】该题考查利用频率求频数及利用频率求平均数，并考查概率的计算，属于基础题型 21 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD，BAD60，ABAD2，E 为棱PD 上的一点，且 DE2EP2 （1）求证：PB平面 AEC； （2）求直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值 【分析】 （1）连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF证明 EFPB，然后证明 PB面 AEC （2）作 AGDC，垂足
33、为 G，说明直线 AE 与面 PCD 所成角为AEG然后求解即可 【解答】 （1）证明：连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF因为 ABCD，所以， 所以 EFPB，又 EF面 AEC，PB面 AEC，所以 PB面 AEC （2）解：作 AGDC，垂足为 G，PD面 ABCD，AG面 ABCD，所以 AGPD， 又 PDCDD，所以 AG面 PCD，所以直线 AE 与面 PCD 所成角为AEG 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 （1）若 （0，） ，求 的值； （2）将函数 yf（x）的图象向右平移个单
34、位长度，向下平移个单位长度得到曲线 C，再把 C上所有的点横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 yg（x）的图象若函数 在区间（0，n） （nN*）上恰有 2021 个零点，求 m，n 的值 【分析】 （1）先利用三角恒等变换化简函数 f（x）的解析式，然后利用特殊角的三角函数值，求解三角方程即可； （2）利用三角函数的图象变换，求出 g（x）的解析式，然后将函数 F（x）的零点转化为方程的根，对根的可能情况进行分类讨论，分别分析求解即可 【解答】解： （1）因为 （1cos2x）+sin2x+3 sin2x+cos2x+2 ， 因为， 又 （0，） ，所以， 所以； （2）将函
35、数 yf（x）的图象向右平移个单位长度， 向下平移个单位长度得到曲线 C， 再把 C 上所有的点横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 得到函数 yg（x）的图象，则 g（x）2sinx， 所以令 F（x）2cos2x+2msinx2（12sin2x）+2msinx0， 令 tsinx1，1，则 2t2mt10（*） ， 当 t0 时，方程不成立， 若（*）式中，其中一根为 1，则 m1，另一根为， 所以 F（x）在（0，）上 1 个零点， （，2）上 2 个零点， 即 F（x）在（0，1346）上共 2019 个零点， （1346，1347）上 1 个零点， （1347，1348）2 个
36、零点， 所以不存在 n 使得（0，n）有 2021 个零点； 若（*）式中，其中一根为1，则 m1，另一根为， 所以 F（x）在（0，）上 2 个零点， （，2）上 1 个零点，即 F（x）在（0，1346）上共 2019 个零点， （1346，1347）上 2 个零点， 所以 n1347； 若（*）式中，在（1，1）上只有一根， 则 F（x）在（k， （k+1）上要么 2 个零点，要么 0 个， 所以（0，n）上零点个数只能是偶数， 因为 2021 是奇数， 所以不符题意 综上所述，ml，n1347 【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，三角函数图象变换的应用，函数零点的求解，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有： （1）方程法（直接解方程得到函数的零点） ； （2）图象法（直接画出函数的图象分析得解） ； （3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解） 属于难题
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