1、20222022 年山东省威海市环翠区中考一模数学试卷年山东省威海市环翠区中考一模数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 36 分 ）分 ） 1. 数轴上表示数为 a 和 a4的点到原点的距离相等，则 a的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 不存在 2. 由一个大正方体切掉一个小正方体所形成的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资81.023 10元资金数据81.023
2、 10可表示为（ ） A. 0.1023 亿 B. 1.023亿 C. 10.23亿 D. 102.3 亿 4. 下列运算结果正确的是（ ） A 632mmm B. 2m nmmnm C. 2239mm D. 22121mmm 5. 如图，BD 是ABC 的角平分线，AEBD，垂足为 M若ABC30 ，C38 ，则CDE 的度数为（ ） A. 68 B. 70 C. 71 D. 74 6. 已知关于 x，y二元一次方程组123axbyaxby的解为11xy ，那么代数式 a2b的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 7. 如图，把两个含 30 角的两个直角三角板按如图所示拼接在一
3、起，点 N 是 AB 边的中点，连接 DN交 BC于点 M，则CMCB的值为（ ） A. 925 B. 25 C. 1125 D. 1225 8. 下列运算中，正确的是（ ） A 223946mnnnm B. 212233nnmnm C. 11223mmm D. 2112111mmm 9. 对于任意的实数 k，关于 x的方程221225504xkxkk的根的情况为（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 AOBD 的边 OB与 x轴的正半轴重合，DBx 轴，对角线 AB与 OD交于 C 点已
4、知:1:3AD OB，ACD 的面积为 3若反比例函数kyx的图象恰好经过点 C，则k 的值为（ ） A. 20 B. 814 C. 40 D. 812 11. 如图，已知 BC是O的直径，半径 OABC，点 D 在劣弧 AC上（不与点 A，点 C重合） ，BD 与 OA交于点 E设AED，AOD，则（ ） A. 3+180 B. 2+180 C. 390 D. 290 12. 小明研究二次函数21yxmm（m为常数）性质时，得出如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线 yx1上；存在两个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；点11,A x y与点22,B x y
5、在函数图象上，若12xx，122xxm，则12yy；当13x- 时，y 随x 的增大而减小，则 m 的取值范围为3m其中错误结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分只要求填出最后结果）分只要求填出最后结果） 13. 分解因式：21233a babb_ 14. 计算：2421 tan601 _ 15. 在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别为1,3，,2n，若直线 yx 与线段 AB有公共点，则 n的取值范围为_ 16. 如图，在矩形 ABCD中，A90 ，AB10cm，AD6cm，以 AB长为半
6、径画弧，交 AD的延长线于点E，以 CB长为半径画弧，交 CD 于点 H，两弧交于点 B，则图中形成的阴影部分的面积是_ 17. 如图， 在四边形 ABCD中， ABBC， ABC60 ， ADC30 ， 且 AD4， CD5， 则 BD的长为_ 18. 如图，在平面直角坐标系中，点1A，2A，3A，和点1B，2B，3B，分别在直线13yxb 和 x轴上直线13yxb 与 x 轴交于点 M，11OAB，122B A B，233B A B，都是等腰直角三角形，如果点11,1A ，那么点2022A的纵坐标是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19
7、. 求下列不等式（组） ，并将解集表示在数轴上513(1)2151132xxxx . 20. 科学研究表明，核酸检测时采集的“咽试子”样本必须在 4 小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效 A、 B 两个采样点到检测中心的路程分别为 30千米、 45千米 A、 B 两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：B 采样点送检车的平均速度是 A采样点送检车的 1.5 倍； 信息二：A、B 两个采样点送检车行驶的时间之和为 1.5小时 若 B 采样点从开始采集样本到送检车出发用了 3.2小时，则 B采样点采集的样本会不会失效？ 21. 为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程
8、供学生选择：A趣味数学；B经典阅读；C开心英语；D硬笔书法某年级共有 150 名学生选择了 A 课程，为了解本年级选择 A课程学生的学习情况，从这 150 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图 （1）已知7080 x这组的数据为 74，76，75，72，73，76，79则这组数据的中位数、众数分别是多少； （2）根据题中信息，估计该年级选择 A 课程学生成绩在8090 x的总人数； （3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程 C，那么他俩第二次同时选择课程 A或课程 B 的概率是多少？请用列表法
9、或画树状图的方法加以说明 22. 如图，AC 是O直径，D 是AB的中点，连接 CD交 AB于点 E，点 F 在 AB延长线上且 FCFE （1）求证：CF是O的切线； （2）若 BF6，3sin5A ，求O的半径 23. 某小区门口安装了汽车出入道闸 道闸关闭时， 如图， 四边形 ABCD为矩形， AB长 6米， AD长 2米，点 D 距地面为 0.4米道闸打开的过程中，边 AD固定，连杆 AB，CD分别绕点 A，D 转动，且边 BC始终与边 AD 平行 （1）如图，当道闸打开至ADC60 时，边 CD上一点 P 到地面的距离 PE为 2.4 米，求点 P 到 MN的距离 PF 的长； （2
10、）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽 2.1米，高 3.2 米当道闸打开至ADC53 时，货车能否驶入小区？请说明理由 （参考数据：sin530.80 ，cos530.60 ，tan531.33 ） 24. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线2410yaxaxa （1）抛物线对称轴是直线_； （2）如果当13x 时，y的最大值为 5，试求当13x 时，y 的最小值； （3）已知直线 yx3与抛物线2410yaxaxa存在两个交点，设左侧的交点为11,P x y，当121x 时，求 a的取值范围 25. 如图， 在正方形 ABCD中， 点 N、 M分别在边 BC、 CD 上， 连接 AM
11、、 AN、 MN MAN45 ， 将 AMD绕点 A顺时针旋转 90 ，点 D 与点 B 重合，得到 ABE易证： ANMANE，从而得 DMBNMN 【实践探究】 （1）在图条件下，若 CN6，CM8，则正方形 ABCD 的边长是_ （2）如图，点 M、N分别在边 CD、AB上，且 BNDM点 E、F分别在 BM、DN 上，EAF45 ，连接 EF，猜想三条线段 EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由 （3） 【拓展应用】如图，在矩形 ABCD中，AB6，AD8，点 M、N 分别在边 DC、BC 上，连接 AM，AN，已知MAN45 ，BN2，求 DM 的长 20222022 年山
12、东省威海市环翠区中考一模数学试卷年山东省威海市环翠区中考一模数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 36 分 ）分 ） 1. 数轴上表示数为 a 和 a4的点到原点的距离相等，则 a的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据表示数 a和 a4的点到原点的距离相等，得 a和 a4的点互为相反数，由此解答即可 【详解】数轴上表示数为 a和 a4的点到原点的距离相等 a+a-4=0 a=2 故选：B 【点睛】此题主要考查了数轴，根据数轴上原点两侧的点到原点距离相等即互为相反数是解题关键 2.
13、由一个大正方体切掉一个小正方体所形成的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从左面看是正方形，看不到的用虚线，即可得到答案 【详解】解：从左面看是正方形，但切掉的小正方体后除了上面的棱外，在左视图中其余棱是看不到的，故是大正方形中去掉一个小正方形，且位于大正方形内的两条边是虚线，故答案是 D； 故选：D 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看到的是左视图，注意看得到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示 3. 全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投
14、资81.023 10元资金数据81.023 10可表示为（ ） A. 0.1023 亿 B. 1.023亿 C. 10.23亿 D. 102.3亿 【答案】B 【解析】 【分析】把 1.023的小数点向右移动八位即得到科学记数法表示的原数，再改写为以亿为单位的数即可 【详解】81.023 10=102300000=1.023 亿， 故选：B 【点睛】本题考查了把用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握当科学记数法表示的数10 (110)naa中的指数 n 为正整数时，把数 a 的小数点向右移动 n 位即得原数 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. 632mmm B. 2m nmmnm
15、C. 2239mm D. 22121mmm 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算及整式的乘法法则即可完成 【详解】A、636 33mmmm，故运算结果错误； B、2m nmmnm，故运算结果错误； C、2239mm ，故运算结果正确； D、22121mmm，故运算结果错误； 故选：C 【点睛】本题考查了幂的运算：同底数幂的除法与积的乘方，单项式乘多项式及乘法公式中的完全平方公式，熟悉这些计算法则，掌握完全平方公式的特征是解题的关键，注意运算中符号不要出错 5. 如图，BD 是ABC 的角平分线，AEBD，垂足为 M若ABC30 ，C38 ，则CDE 的度数为（ ） A. 68 B. 70
16、 C. 71 D. 74 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出BAC=112，利用全等三角形的性质证明BED=BAD 即可解决问题 【详解】解：ABC=30，C=38， BAC=112， 在BMA 和BME中， 90ABMEBMBMBMBMABME BMABME（ASA） ， BA=BE， 在BDA和BDE 中， BABEABDEBDBDBD， BDABDE（SAS） ， BED=BAD=112， CED=68， CDE=180-C-CED=74， 故选：D 【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型
17、 6. 已知关于 x，y 的二元一次方程组123axbyaxby的解为11xy ，那么代数式 a2b 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把11xy 代入方程组，得出关于 a、b 的方程组，再根据方程组中未知数的系数特点解答即可 【详解】解：把11xy 代入方程组123axbyaxby， 得：231abab ， -，得 a-2b=2 故选：B 【点睛】 本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解， 能得出关于 a、 b 的方程组是解此题的关键 7. 如图，把两个含 30 角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点 N 是 AB 边的中点，连接
18、 DN交 BC于点 M，则CMCB的值为（ ） A. 925 B. 25 C. 1125 D. 1225 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 CN， 设 AC=2a， 则可得 AB、 CN、 BC、 CD及 BD的长， 且 CNDB， 则可得CMNBMD，可求得CMBM的值，从而求得结果的值 【详解】如图，连接 CN，设 AC=2a ACB=CDB=90 ，ABC=CBD=30 ， AB=2AC=4a，12CDBC，ABD=ABC+CBD=60 由勾股定理得：22221642 3BCABACaaa， 12 332CDaa 由勾股定理得：2222= 1233BDBCCDaaa N 是 AB 的
19、中点，则 CN是RtACB斜边 AB上的中线， 122CNANABa AC=CN=AN CAN是等边三角形 ANC=ABD=60 CNDB CMNBMD 2233CMCNaBMBDa 即32BMCM 3522BCBMCMCMCMCM， 25CMCB 故选：B 【点睛】本题考查了含 30度角直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，本题涉及的知识点较多，有一定的综合性，但题目难度不大 8. 下列运算中，正确的是（ ） A. 223946mnnnm B. 212233nnmnm C. 11223mmm D. 2112
20、111mmm 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的四则运算法则逐项判断即可 【详解】A、2294613mnnmn，故运算错误，不符合题意； B、22312133261nmmnmmnnn，故运算错误，不符合题意； C、12312mmm，故运算错误，不符合题意； D、2112111mmm，故运算正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了分式的加、减、乘、除运算，解题的关键是掌握运算法则 9. 对于任意的实数 k，关于 x的方程221225504xkxkk的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】
21、直接利用一元二次方程根的判别式求解判断即可 【详解】解：由题意得2221=4=242554backkk 2244255kkkk 21kk 213024k ， 方程没有实数根， 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键 10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 AOBD 的边 OB与 x轴的正半轴重合，DBx 轴，对角线 AB与 OD交于 C 点已知:1:3AD OB，ACD 的面积为 3若反比例函数kyx的图象恰好经过点 C，则k 的值为（ ） A. 20 B. 814 C. 40 D. 812 【答案】D 【解析】 【分析】过点
22、 C作 CEOB于 E首先利用相似三角形的性质求出OBC的面积=27，再证明 OE=34OB，求出COE的面积即可 【详解】过点 C作 CEOB于 E ADOB， ADCBOC， 21=()9ADCBOCSADSOB，13DCADOCOB SADC=3， SBOC=27， DBOB，CEOB， CEDB， 34OCOBOEOD， OE=34OB， SCOE=34 SOBC=81142k， ， 812k ， 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出OCE的面积 11. 如图，已知 BC是O的直径，半径 OABC，点 D 在
23、劣弧 AC上（不与点 A，点 C重合） ，BD 与 OA交于点 E设AED，AOD，则（ ） A. 3+180 B. 2+180 C. 390 D. 290 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直角三角形两锐角互余性质， 用 表示CBD， 进而由圆心角与圆周角关系， 用 表示COD，最后由角的和差关系得结果 【详解】解：OABC， AOBAOC90 ， DBC90 BEO 90 AED 90 ， COD2DBC 180 2， AOD+COD90 ， +180290 ， 290 ， 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键 12
24、. 小明研究二次函数21yxmm（m为常数）性质时，得出如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线 yx1上；存在两个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；点11,A x y与点22,B x y在函数图象上，若12xx，122xxm，则12yy；当13x- 0 y10 m 的取值范围为 m3 故结论正确 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分只要求填出最后结果）分只要求填出最后结果） 13
25、. 分解因式：21233a babb_ 【答案】21(3)3b a 【解析】 【分析】先提取公因式13b，再根据完全平方公式进行二次分解 【详解】解：21233a babb =21(69)3b aa =21(3)3b a 故答案为：21(3)3b a 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底，完全平方公式：2222()aabbab 14. 计算：2421 tan601 _ 【答案】3 3 【解析】 【分析】按二次根式的除法、特殊角三角函数计算，再去绝对值并化简即可 【详解】2421 tan601 12131 2 33 1 1 3 3
26、 故答案为：3 3 【点睛】本题考查了二次根式的除法与加法，特殊角的三角函数值，化简绝对值等，掌握这些知识是关键 15. 在平面直角坐标系中，点 A，B坐标分别为1,3，,2n，若直线 yx 与线段 AB 有公共点，则 n的取值范围为_ 【答案】n2 【解析】 【分析】画出图象，由点 B 坐标知，点 B 在直线 y=2 上，结合图象知直线 y=x与线段 AB有公共点时的取值范围 【详解】由点 B坐标知，点 B 在与 x轴平行的直线 y=2上，如图所示，设直线 y=x与直线 y=2 交于点 C，则C(2，2)，结合图象知，当点 B 与点 C 重合或在点 C的右边时，直线 y=x 与线段 AB有公
27、共点，此时 n2 故答案为：n2 【点睛】本题考查了线段与直线的公共点问题，数形结合是解题的关键 16. 如图，在矩形 ABCD中，A90 ，AB10cm，AD6cm，以 AB长为半径画弧，交 AD的延长线于点E，以 CB长为半径画弧，交 CD 于点 H，两弧交于点 B，则图中形成的阴影部分的面积是_ 【答案】3460 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论 【详解】在矩形 ABCD中，AB=10，AD=6，A=C=90 ， CD=AB=10，AD=BC=6， 图中阴影部分的面积= ()ABCDABECBHSSS矩形扇形扇形 22(10 690109063603 0)6
28、(6025)9 6340， 故答案为：3460 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键 17. 如图， 在四边形 ABCD中， ABBC， ABC60 ， ADC30 ， 且 AD4， CD5， 则 BD的长为_ 【答案】41 【解析】 【分析】连接,AC以AD为边向外作等边ADE，连接,CE证明ABDACE 得,BDCE再证明90 ,CDE最后根据勾股定理求解即可 【详解】连接,AC以AD为边向外作等边ADE，连接,CE如图， ABBC，ABC60 ， ABC是等边三角形， ,60 ,ABACBAC ADE是等边三角形， ,60 ,ADAEDAE ,BADC
29、AE 在ABD和ACE中， ,ABACBADCAEADAE ,ABDACE ,BDCE 30 ,60 ,ADCADE 90 ,CDE 4,5,ADDECD 2241,CECDDE 41BDCE 故答案为：41 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 18. 如图，在平面直角坐标系中，点1A，2A，3A，和点1B，2B，3B，分别在直线13yxb 和 x轴上直线13yxb 与 x 轴交于点 M，11OAB，122B A B，233B A B，都是等腰直角三角形，如果点11,1A ，那么点2022A的纵坐标是_ 【答案】22
30、021 【解析】 【分析】设点 A2，A3，A4，A2022坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题 【详解】解：如图， A1（-1，1）在直线13yxb 上， b=23， 13yxb ， 设 A2（x2，y2） ，A3（x3，y3） ，A4（x4，y4） ，A2022（x2022，y2022） ， 则有2212,33yx ， 3312,33yx 2022202212,33yx 又OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形， -x2=2y1+y2， -x3=2y1+2y2+y3， -x2022=2y1+2y2+2y3+2y2021+y2022， 将点坐标依次代入直线解析式
31、得到： 0112y 1211=1+1=2=2 ,yy 231211+2+1=4=2 ,yyy 34123 1124 182yyyy y2022=22021， 故答案为：22021 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19. 求下列不等式（组） ，并将解集表示在数轴上513(1)2151132xxxx . 【答案】-1x2，数轴见详解 【解析】 【分析】将不等式通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1等步骤解得 x 的取
32、值范围，利用同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了得出不等式组的解集. 【详解】513(1)2151132xxxx 由得 5x-13x+3 即 2x4 解得 x2， 由得 2(2x-1)-3(5x+1)6即 4x-2-15x-36 解得 x-1 即方程组的解为-1x2 数轴表示为： 【点睛】本题考查了解不等式组及用数轴表示解集，解本题的关键是注意计算过程中符号不要出错，并且注意是否取等于在数轴上的不同表示. 20. 科学研究表明，核酸检测时采集的“咽试子”样本必须在 4 小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效 A、 B 两个采样点到检测中心的路程分别为 30千米、 45千米 A
33、、 B 两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：B 采样点送检车的平均速度是 A采样点送检车的 1.5 倍； 信息二：A、B 两个采样点送检车行驶的时间之和为 1.5小时 若 B 采样点从开始采集样本到送检车出发用了 3.2小时，则 B采样点采集的样本会不会失效？ 【答案】不会失效 【解析】 【分析】设 A采样点送检车的平均速度是 x km/h，根据“A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为 1.5小时”列分式方程，解方程，然后求出 B 采样点送检车行驶时间，再进行比较即可 【详解】设 A 采样点送检车的平均速度是 x km/h， 根据题意，得451.51.350 xx， 解得 x=40， 经检
34、验，x=40 是分式方程的根， B采样点送检车的平均速度为 40 1.5=60（km/h） ， B采样点送检车的行驶时间为 45 60=0.75（h） ， 3.2+0.75=3.954， B采样点采集的样本不会失效 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立分式方程是解题的关键 21. 为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A趣味数学；B经典阅读；C开心英语；D硬笔书法某年级共有 150 名学生选择了 A 课程，为了解本年级选择 A课程学生的学习情况，从这 150 名学生中随机抽取了 30 名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制
35、成频数分布直方图 （1）已知7080 x这组的数据为 74，76，75，72，73，76，79则这组数据的中位数、众数分别是多少； （2）根据题中信息，估计该年级选择 A 课程学生成绩在8090 x的总人数； （3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程 C，那么他俩第二次同时选择课程 A或课程 B 的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明 【答案】 （1）中位数、众数分别是 75,76 （2）45 （3）29 【解析】 【分析】 （1）直接根据中位数、众数定义求解即可； （2）用总人数乘以样本中成绩在 80 x90 的人数所占比例； （3）画树
36、状图，可能的结果共有 9种，小张同时选择课程 A 或课程 B的情况共有 2 种，再由概率公式求解即可 【小问 1 详解】 把 74，76，75，72，73，76，79 按从小到大重新排列后为 72，73，74，75，76，76，79，所以中位数为75， 76 出现的次数最多，所以众数为 76 【小问 2 详解】 观察直方图，抽取的 30 名学生，成绩在 80 x90范围内选取 A课程的有 9 人，所占比为310， 该年级选择 A课程学生成绩在8090 x的总人数为31504510（人） ， 所以估计该年级选取 A 课程的总人数为 30人； 【小问 3 详解】 因该年级每名学生选两门不同的课程，
37、第一次都选了课程 C，列树状图如下： 等可能结果共有 9种，他俩第二次同时选择课程 A或课程 B 的有 2种， 所以，他俩第二次同时选择课程 A 或课程 B的概率是29 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比也考查了中位数和众数 22. 如图，AC 是O直径，D 是AB的中点，连接 CD交 AB于点 E，点 F 在 AB延长线上且 FCFE （1）求证：CF是O的切线； （2）若 BF6，3sin5A ，求O的半径 【
38、答案】 （1）证明见解析 （2）203 【解析】 【分析】 （1）连接 BC，利用直径所对圆周角是直角，可得ABC=90 ，然后利用等腰三角形的性质，以及等弧所对的圆周角是直角证明FCB=A，即可解答； （2）在 RtFBC 中先求出 BC和 FC的长，然后证明FBCFCA，利用相似三角形的性质即可解答 【小问 1 详解】 连接 BC， AC是O的直径， ABC=90 ， A+ACB=90 ， FC=FE， FCE=FEC， FCB+DCB=A+ACD， D 是AB的中点， ADBD， ACD=DCB， FCB=A， FCB+ACB=90 ， OCF=90 ， OC是O的半径， CF是O的切线
39、； 【小问 2 详解】 在 RtFBC 中，BF=6，3sinsin5ABCF， 35BFCF，即635CF CF10， 228BCCFBF， CBF=ACF=90 ，F=F， FBCFCA， FBBCFCCA， 6810CA， 403CA ， O的半径为：203 【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键 23. 某小区门口安装了汽车出入道闸 道闸关闭时， 如图， 四边形 ABCD为矩形， AB长 6米， AD长 2米，点 D 距地面为 0.4米道闸打开的过程中，边 AD固定
40、，连杆 AB，CD分别绕点 A，D 转动，且边 BC始终与边 AD 平行 （1）如图，当道闸打开至ADC60 时，边 CD上一点 P 到地面距离 PE为 2.4 米，求点 P 到 MN的距离 PF 的长； （2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽 2.1米，高 3.2 米当道闸打开至ADC53 时，货车能否驶入小区？请说明理由 （参考数据：sin530.80 ，cos530.60 ，tan531.33 ） 【答案】 （1）62 3 （2）能驶入小区，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）过点 D作 DQPE，垂足为 Q，在 RtPDQ 中，由PDQ=30 ，PQ=2，进而求出 DQ和 FP长
41、度即可； （2）当ADC=53 ，PE=3.2米时，求出 PF的长度，与 2.1米比较即可得出答案 【小问 1 详解】 如图，过点 D 作 DQPE，垂足为 Q， 由题意可知，ADC=60 ，PE=2.4米，QE=0.4米， 在 RtPDQ中，PDQ=30 ，PQ=2.4-0.4=2米， 32 3DQPQ（米） ， PF=AB-DQ=62 3（米） ， 【小问 2 详解】 当ADC=53 ，PE=3.2米时， 则DPQ=53 ，PQ=3.2-0.4=2.8（米） ， tantan53DQDPQPQ DQ=PQtan531.332.8=3.724（米） ， PF=6-3.7242.276（米）
42、， 2.2762.1， 能驶入小区 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提 24. 平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线2410yaxaxa （1）抛物线的对称轴是直线_； （2）如果当13x 时，y的最大值为 5，试求当13x 时，y 的最小值； （3）已知直线 yx3与抛物线2410yaxaxa存在两个交点，设左侧的交点为11,P x y，当121x 时，求 a的取值范围 【答案】 （1）x=2 （2）4 （3）3156a 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论； （2）根据抛物线的对称轴为直线 x=2，可得顶点在13x 范围内，结
43、合 y的最大值为 5，得顶点坐标为（2，5） ，把顶点（2，5）代入 y=ax2-4ax+1，可得 a的值，进而可得 y的最小值； （3）当 x=-2 时，P（-2，-1） ，把 P（-2，-1）代入 y=ax2-4ax+1，当 x=-1 时，P（-1，-2） ，把 P（-1，-2）代入 y=ax2-4ax+1，分别求出 a的值，再根据函数的性质即可得 a的取值范围 【小问 1 详解】 抛物线的对称轴为：422axa ， 故答案为：x=2； 【小问 2 详解】 抛物线的对称轴直线为 x=2，0a 顶点在13x 范围内， y的最大值是 5， 顶点坐标为（2，5） 把（2，5）代入2410yaxa
44、xa得：25242 1aa 解得1a 函数解析式为241yxx 0a ，开口向下，且1 232 在13x 范围内，当1x时，函数有最小值，最小值为4y 【小问 3 详解】 当 x=-2 时，代入3yx 得，P（-2，-1） ， 把 P（-2，-1）代入 y=ax2-4ax+1， 4a+8a+1=-1， 解得16a ， 当 x=-1 时，代入3yx 得，P（-1，-2） ， 把 P（-1，-2）代入 y=ax2-4ax+1， a+4a+1=-2， 解得35a ， 3156a 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二
45、次函数的图象和性质 25. 如图， 在正方形 ABCD中， 点 N、 M分别在边 BC、 CD 上， 连接 AM、 AN、 MN MAN45 ， 将AMD绕点 A顺时针旋转 90 ，点 D 与点 B 重合，得到ABE易证：ANMANE，从而得 DMBNMN 【实践探究】 （1）在图条件下，若 CN6，CM8，则正方形 ABCD 的边长是_ （2）如图，点 M、N分别在边 CD、AB上，且 BNDM点 E、F分别在 BM、DN 上，EAF45 ，连接 EF，猜想三条线段 EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由 （3） 【拓展应用】如图，在矩形 ABCD中，AB6，AD8，点 M、N 分
46、别在边 DC、BC 上，连接 AM，AN，已知MAN45 ，BN2，求 DM 的长 【答案】 （1）12 （2）猜想：222BEDFEF，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】 （1）由旋转的性质可得ABEADM， 易证：ANMANE，从而得 DMBNMN则可得MN+CM+CN=2BC，从而可求得正方形的边长； （2）过点 D作 DPDF，且 DP=BE，连接 PF、AP，可证明APDAEB，则可得 AP=AE，EAP=90 ；再证明APFAEF，可得 EF=FP，在 RtPDF中，由勾股定理即可得三条线段 EF、BE、DF 之间满足的数量关系； （3）把矩形 ABCD补成正方形 AEFD，
47、延长 AN交 EF于 G，连接 GN由ABNAEG，可求得 EG、FG的长，设 DM=x，则可得 FM，由（1）的证明知，GM=EG+DM，由勾股定理建立方程即可求得 x 的值，即DM的长 【小问 1 详解】 四边形 ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD，BAD=ABC=C=D=90 由旋转得：ABEADM， AE=AM，BE=DM，ABE=D=90 ，EAB=MAD ABE+ABC=180 E、B、N 在同一直线上 MAN=45 ，BAD=90 ， BAN+MAD=45 BAN+EAB=45 即EAN=45 EAN=MAN 在ANM 与ANE 中 AMAEMANEANANAN， ANM
48、ANE MN=EN EN=BE+BN=DM+BN， MN=DM+BN MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC 在 RtCMN中，由勾股定理得：22226810MNCNCM， 10+8+6=2BC BC=12 故答案为：12 【小问 2 详解】 三条线段 EF、BE、DF之间满足的数量关系为222BEDFEF； 理由如下： 如图，过点 D作 DPDF，且 DP=BE，连接 PF、AP 则PDA+ADF=ADF+NDM=90 PDA=NDM 四边形 ABCD是正方形， BNDM BN=DM， 四边形 BNDM 是平行四边形 EBA=NDM PDA=EBA 在APD与AEB中
49、PDBEPDAEBAADAB， APDAEB AP=AE，PAD=EAB EAP=EAD+PAD=EAD+EAB=BAD=90 ，EAF=45 ， PAF=EAF=45 在APF与AEF中 APAEPAFEAFAFAF ， APFAEF EF=FP 在 RtPDF 中，由勾股定理得：222PDDFFP， 即222BEDFEF 【小问 3 详解】 如图，把矩形 ABCD补成正方形 AEFD，延长 AN交 EF于 G，连接 GN，则 AE=EF=DF=AD=8 四边形 ABCD是矩形， BNEG ABNAEG 68BNABEGAE 4833EGBN 163FGEFEG 设 DM=x，则 FM=DFDM=8x， 四边形 AEFD 是正方形，GAM=45 ， 由（1）的证明知，8+3GMEGDMx 在 RtGMF中，勾股定理得：222FMFGGM， 即222168(8)33xx， 解得：x=4 即 DM 的长为 4 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，综合性较强，证明三角形全等及由勾股定理得出方程是关键
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