1、无锡市新吴区2020-2021学年八年级下期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 圆3. 下列事件中的必然事件是（ ）A. 一箭双雕B. 守株待兔C. 水中捞月D. 旭日东升4. 下列分式中属于最简分式的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点，则下列结论中错误的是（ ）A. 当时，它是菱形B. 当时，它是正方形C. 当时，它是矩形D. 当时，它是菱形6. 在
2、“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（）A 抽取乙校初二年级学生进行调查B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查C. 随机抽取150名老师进行调查D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查7. 在中，分别为边上的中点，连接到，使得，连接，则长为（ ）A. 2B. C. 4D. 8. 已知一次函数的图像经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数的描述，其中正确的是（ ）A. 图像在一、三象限B. 随的增大而减小C. 随的增大而增大D. 当时，9. 已知：，则的值为（ ）A. B. 3C. D. 510. 如图，
3、在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图像经过上的点、，且，的面积为18，则的值为（ ）A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11. 给出下列3个分式：，它们的最简公分母为_12. 当x_时，分式的值为零13. 一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有16的点数，抛掷这枚骰子，若抛到偶数的概率记作，抛到奇数的概率记作，则与的大小关系是_14. 已知实数、满足，则的值为_15. 如图，面积为5的矩形的一个顶点在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则的值为_16. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连
4、接，若，则菱形的面积为_17. 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为_18. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MNAE，则AM+NE的最小值为_三、解答题（本大题共9小题，共74分）19. 计算：（1）；（2）20. （1）计算：；（2）解方程：21. 化简代数式，并求当时此代数式值22. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：根据图中提供的信息，解答下列问
5、题：（1）补全频数分布直方图（2）求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数23. 如图，中，延长到点，使得，连接、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求四边形面积24. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？25. 如图1，在
6、矩形中，是边上一点，将沿着直线折叠，得到（1）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹），此时的长为_；（2）请在图3上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），此时EPB的面积为_26. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点（1）若，求点的坐标；（2）连接，若的面积为24，求的值；是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由27. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有
7、一点，将绕着点顺时针旋转60得到（1）点的坐标为_；连接，若轴，则的值为_；（2）如果当点落在上时，求的长；请直接写出最小值无锡市新吴区2020-2021学年八年级下期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件建立不等式求解即可【详解】根据被开方数为非负数得：，解得：，故选：A【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟记基本性质是解题关键2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 圆【答案】A【解析
8、】【详解】试题解析：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、只是中心对称图形，不合题意；C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意故选A考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形3. 下列事件中的必然事件是（ ）A. 一箭双雕B. 守株待兔C. 水中捞月D. 旭日东升【答案】D【解析】【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件进行逐一判断即可【详解】解：A、一箭双雕这是不一定会发生的事件，故不符合题意；B、守株待兔这是不一定会发生的事件，故不符合题意；C、水中捞月这是不可能发生的事件，故不符合题意；D、旭日东升这是必然会发生的事件，故符合题意；故选D【点
9、睛】本题主要考查了必然事件，解题的关键在于能够熟练掌握必然事件的定义4. 下列分式中属于最简分式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的概念是解题关键5. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点，则下列结论中错误的是（ ）A. 当时，
10、它是菱形B. 当时，它是正方形C. 当时，它是矩形D. 当时，它是菱形【答案】B【解析】【分析】利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、当ABC=90时，可以得到平行四边形ABCD是矩形，不能得到正方形，故错误，C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；故选：B【点睛】本题考查了矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键6. 在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命
11、安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（）A. 抽取乙校初二年级学生进行调查B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查C. 随机抽取150名老师进行调查D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查【答案】D【解析】【分析】根据抽样调查的代表性和广泛性逐项进行判断即可得【详解】A. 抽取乙校初二年级学生进行调查，不具有广泛性；B. 在丙校随机抽取600名学生进行调查，不具有代表性；C. 随机抽取150名老师进行调查，与考查对象无关，不可取；D. 在四个学校各随机抽取150名学生进行调查，具有代表性和广泛性，合理，故选D【点睛】本题考查了抽样调查，样本的确定，解题的关键是要明确抽样
12、调查的样本要具有代表性和广泛性.7. 在中，分别为边上的中点，连接到，使得，连接，则长为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，进而求出AE、EB，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到AED=AED=60，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可【详解】解：在RtABC中，C=90，A=30，BC=4，AB=2BC=8，ABC=60，E为AB边上的中点，AE=EB=4，D、E分别为AC、AB边上的中点，DEBC，AED=AED=60，BEF=ABC=60，在RtAED中，A=30，AE=2DE，EF=2DE，AE=EF，BEF为等边三角形，
13、BF=BE=4，故选：C【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键8. 已知一次函数的图像经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数的描述，其中正确的是（ ）A. 图像在一、三象限B. 随的增大而减小C. 随的增大而增大D. 当时，【答案】A【解析】【分析】先根据一次函数的图像经过的象限即可得到k0，b0，则，由此即可判断反比例函数图像的性质【详解】解：一次函数的图像经过一、二、四象限，k0，b0，反比例函数经过一、三象限，当时，函数在第一象限随的增大而减小，在第三象限随的增大而减小，故只有A选
14、项符合题意，故选A【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够准确根据一次函数图像的性质得到9. 已知：，则的值为（ ）A. B. 3C. D. 5【答案】A【解析】【分析】首先进行配方，得出a+b以及a-b的值，进而求出答案【详解】解：ab0，a2+b2=3ab，（a-b）2=ab，（a+b）2=5ab，a+b0，a-b0，的值为，故选：A【点睛】本题主要考查了配方的使用求分式的值，正确配方是解题关键10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图像经过上的点、，且，的面积为18，则的值为（ ）A.
15、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接BD，OF，过点A作ANOE于N，过点F作FMOE于M证明BDAE，推出SABESAOE18，推出SEOFSAOE9，可得SFME3，由此即可解决问题【详解】解：如图，连接BD，OF，过点A作ANOE于N，过点F作FMOE于MANFM，AFFE，MNME，FMAN，A，F在反比例函数的图象上，SAONSFOM，ONANOMFM，ONOM，ONMNEM，MEOE，SFMESFOE，AD平分OAE，OADEAD，四边形ABCD是矩形，OAOD，OADODADAE，AEBD，SABESAOE，SAOE18，AFEF，SEOFSAOF9，SFME3，SF
16、OMSFOESFME936，点F在第二象限，k-12故选：B【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明BDAE，利用等积法求出三角形面积二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11. 给出下列3个分式：，它们的最简公分母为_【答案】a2bc【解析】【详解】解：观察得知，这三个分母都是单项式，确定这几个分式最简公分母时，相同字母取次数最高的，不同字母连同它的指数都取着，系数取最小公倍数，所以它们的最简公分母是a2bc故答案为：a2bc12. 当x_时，分式值为零【答案】2【解析】【详解】由题意得： ，解得：x=2. 故答案为213. 一枚质地均匀
17、的骰子的六个面上分别刻有16的点数，抛掷这枚骰子，若抛到偶数的概率记作，抛到奇数的概率记作，则与的大小关系是_【答案】【解析】【分析】直接利用概率公式求出P1，P2的值，进而得出答案【详解】解：由题意可得出：一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有16的点数，偶数有2、4、6共3个，奇数有1、3、5共3个，抛到偶数的概率为P1=；抛到奇数的概率为P2=，故P1与P2的大小关系是：P1=P2故答案为：P1=P2【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式求出是解题关键如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=14. 已知实数、满足，
18、则的值为_【答案】【解析】【分析】由绝对值与算术平方根的非负性可得：且 再把求解得到的的值代入，分母有理化后可得答案.【详解】解： ，且 故答案为：【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，二次根式的除法运算，熟悉分母有理化是解题的关键.15. 如图，面积为5的矩形的一个顶点在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则的值为_【答案】【解析】【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|【详解】解：面积为5的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图像上，S=|k|=5，k=5，又反比例函数位于第四象限，k0，k=-5故答案为：-5【点睛】主要考查了反比
19、例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义16. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为_【答案】96【解析】【分析】由菱形的性质得OA=OC=8，OB=OD，ACBD，则AC=16，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可【详解】解：四边形ABCD是菱形，OA=OC=8，OB=OD，ACBD，AC=16，DHBC，BHD=90，BD=2OH=26=12，菱形ABCD的面积=ACBD=1612=96，故答案为：
20、96【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键17. 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为_【答案】或【解析】【分析】先求出反比例函数和一次函数的解析式，然后根据反比例函数的对称性求出另一个交点坐标，最后利用图像法求解即可【详解】解：正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，由反比例函数的对称性可知，一次函数与反比例函数的另一个交点为（-3，1），两者的函数图像如下所示，关于的不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数上图
21、上方的x的取值，由函数图像可知当或时一次函数图像在反比例函数上图上方，关于的不等式的解集为或，故答案为：或【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，利用图形法解不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解18. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MNAE，则AM+NE的最小值为_【答案】【解析】【分析】过点E作EFMN，过点M作MFEN交EF于点F，证得当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长，过点M作MGAB于点G，证明RtABERtMGN，得到AEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理
22、即可求解【详解】解：过点E作EFMN，过点M作MFEN交EF于点F，连接AF，如图：则四边形MNEF为平行四边形，MN=EF，MF=NE，MNEF，AM+NE=AM+ MFAF，当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF长，过点M作MGAB于点G，MN与AE相交于点O，如图：四边形ABCD是正方形，MNAE，AON=B=90，AB=BC=MG，1+3=2+3=90，1=2，RtABERtMGN，AE=MN，MN=EF，MNEF，AE=MN=EF，AEEF，AEF是等腰直角三角形，AB=3BE=6，BE=2，由勾股定理得AE=，AF=，即AM+NE的最小值为故答案为：【点睛】本
23、题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，正确的确定当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长是解题的关键三、解答题（本大题共9小题，共74分）19. 计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分别计算：，再合并同类二次根式即可；（2）先分母有理化化简再计算，再合并即可.【详解】解：（1）原式（2）原式 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减乘除及混合运算，熟悉二次根式运算的运算法则与运算顺序是解题的关键.20. （1）计算：；（2）解方程：【答案】（1）；（2）原方程无解【解析】【分析】
24、（1）先通分，最简公分母为，再按照同分母分式的加法进行运算即可；（2）方程两边都乘以 去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可得到答案.【详解】解：（1）原式（2）解：去分母得：整理得： 解得：经检验为原方程的增根原方程无解【点睛】本题考查的是分式的加法运算，分式方程的解法，熟悉通分，计算分式的加法，熟悉去分母把分式方程化为整式方程是解题的关键.21. 化简代数式，并求当时此代数式的值【答案】，【解析】【分析】先通分计算括号内的分式的加法运算，再把能够分解因式的分子或分母分解因式，同时把除法转化为乘法，约分后可得结果，再把代入化简后的代数式可得答案.【详解】解：原式当时，原式【点睛】本题考查
25、的是分式的化简求值，熟悉分式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键.22. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图（2）求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数【答案】略；m=40， 144；870人【解析】【详解】试题分析：根据A组的人数和比例得出总人数，然后得出D组的人数，补全条形统计图；根据C组的人数和总人数得出m的值，根据E组的人
26、数求出E的百分比，然后计算圆心角的度数；根据D组合E组的百分数总和，估算出该校的每周的课外阅读时间不小于6小时的人数试题解析：（1）补全频数分布直方图，如图所示（2）1010%=100 40100=40% m=404100=4% “E”组对应的圆心角度数=4%360=144（3）3000（25%+4%）=870（人）答：估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人考点：统计图23. 如图，在中，延长到点，使得，连接、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求四边形的面积【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积为【解析】【分析】（1）先根据四边形是平行四边形，得到，即可证，由
27、此即可证明；（2）先根据三线合一定理得到，得到是矩形，利用勾股定理求出，由此求解即可【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形；（2）解：，（舍去）是矩形，【点睛】本题主要考查了平行四边形性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解24. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少
28、于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折【解析】【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，则第一批购进本，第二批购进本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元由题意得：解之得：经检验为原方程的解答：第一批笔记本每本进价为8元（2）设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，由题意得：解
29、之得：答：剩余的笔记本每本最低打七五折【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.25. 如图1，在矩形中，是边上一点，将沿着直线折叠，得到（1）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹），此时的长为_；（2）请在图3上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），此时EPB的面积为_【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；【解析】【分析】（1）如图（以为圆心，长为半径作弧，此弧与交于点）过B为圆心BP长为
30、半径画弧交CP于H，在分别以P、H为圆心，以BP长为半径画弧，两弧交于F，连结BF，交PC于E，证明APB沿BP折叠后与EPB重合，可得点P，E，C在同一直线上，可求BE=AB=6，PC=BC=10，设AP=，则PE=，CE=10-,在RtBCE中，即解方程即可；（2）如图（以为边向右作等边三角形，作的角平分线与交于点）证明BE平分PBC，由ABP=30，BAP=90，可得BP=2AP，在RtABP中，即，解得AP=即可【详解】（1）如图（以为圆心，长为半径作弧，此弧与交于点）过B为圆心BP长为半径画弧交CP于H，在分别以P、H为圆心，以BP长为半径画弧，两弧交于F，连结BF，交PC于E，四边
31、形ABCD为矩形，ADBC，A=90，PEB=90，APB=PBC，A=PEB，BC=PC，PBC=BPE=APB，在APB和EPB中，APBEPB（AAS），AP=EP ,AB=EB,APB沿BP折叠后与EPB重合，点P，E，C在同一直线上，BE=AB=6，PC=BC=10，设AP=，则PE=，CE=10-在RtBCE中，即解得故答案为2；（2）如图（以为边向右作等边三角形，作的角平分线与交于点）ABE为等边三角形，ABE=60，BP平分ABE，ABP=EBP=四边形ABCD为矩形，ABC=90，EBC=90-ABE=90-60=30=PBE，BE平分PBC，ABP=30，BAP=90，BP
32、=2AP，在RtABP中，即，解得AP=，折叠，PE=AP=，BE=AB=6，SPBE=故答案为【点睛】本题考查尺规作图，勾股定理，三角形全等判定与性质，等边三角形性质，矩形性质，掌握尺规作图，勾股定理，三角形全等判定与性质，等边三角形性质，矩形性质，尺规作图，勾股定理，三角形全等判定与性质，等边三角形性质，矩形性质是解题关键26. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点（1）若，求点的坐标；（2）连接，若的面积为24，求的值；是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（
33、1）点的坐标为；（2）；（3）不存在理由见解析【解析】【分析】（1）先求出A点的坐标，然后代入反比例函数中求出k，再求出，代入反比例函数解析式即可；（2）设，则可推出，然后由得到，即可求出，从而求解；当，可证，得到，则由可知，则点则，得，由此求解即可【详解】（1）在正方形中，A点的纵坐标为4，A在直线上，OB=2，在的图像上，反比例函数解析式为，将代入中，得：，点的坐标为；（2）设，解得，；不存在，理由：四边形ABCD是正方形，AB=AD，由可知，则点，得，不符合题意，不存在【点睛】本题主要考查了正方形的性质，一次函数，反比例函数，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行
34、求解27. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60得到（1）点的坐标为_；连接，若轴，则的值为_；（2）如果当点落在上时，求的长；请直接写出最小值【答案】（1），；（2）的长为；最小值为2【解析】【分析】（1）如图，连接 过作于 证明是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理可得的坐标，如图，当轴于时，而再利用等边三角形的性质与勾股定理求解 从而可得答案；（2）如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于 则 结合 利用含的直角三角形的性质与勾股定理求解 再求解 从而可得答案；如图，作直线 交于 过作于 过作于 先证明在直线上运动，
35、再求解直线的解析式，可得为则 当旋转到与重合时，最短，画出图形，再由旋转可得： 再利用直角三角形的性质可得 从而建立方程求解 从而可得答案.【详解】解：（1）如图，连接 过作于 是等边三角形， 如图，当轴于时，而同理可得：为等边三角形， 故答案为：（2）如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于 则 解得： （负根舍去） 如图，作直线 交于 过作于 过作于 由旋转与矩形的性质可得： 点旋转后落在直线上，由矩形 四边形是矩形， 设 则 设为 则 解得： 为 结合问可得点在直线上， 为则 当旋转到与重合时，最短，如图，由旋转可得： 所以的最小值为：【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，含的直角三角形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，本题综合性强，难度大，要求基础知识扎实，对学生的思维发散要求较高.
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