1、山东省济南市章丘区山东省济南市章丘区 2020-2021 学年度八年级下期末考试数学试卷学年度八年级下期末考试数学试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若ab，则下列各式中一定成立的是（ ） A. 22ab B. 22acbc C. 22ab D. 22ab 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. x22x3（x1）22 B. 15x2y3x5xy C. 2（xy）2x2y D. x26x9（x3）2 4. 分式
2、22x可变形为（ ） A. 22x B. 22x C. 22x D. 22x 5. 已知不等式组36xax 有解，则 a 的取值范图是（ ） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 6. 能判定四边形 ABCD是平行四边形的是（ ） A. ABCD,ABCD B. ABBC,ADCD C. ACBD,ABCD D. ABCD,ADCB 7. 如图，在 RtABC 中，B90 ，ED是 AC的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E已知BAC5BAE，则C的度数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 8. 如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90
3、，得到ABC，连接 AA，若1=25，则BAA的度数是（ ） A. 70 B. 65 C. 60 D. 55 9. 若 9x22（k3）x16 是完全平方式，则 k的值为（ ） A. 15 B. 15 或15 C. 39 或33 D. 15 或9 10. 已知 ab3，ab1，则多项式 a2bab2值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 11. 如图，将ABC 放在每个小正方形边长均为 1的网格中，点 A、B、C均落在格点上，若点 B 的坐标为（2，1） ，则到ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ） A. （0，1） B. （3，1） C. （1，1） D. （0，0） 12.
4、已知等边ABC的边长为 4，点 P是边 BC上的动点，将ABP 绕点 A 逆时针旋转 60 得到 ACQ，点D 是 AC边的中点，连接 DQ，则 DQ 的最小值是（ ） A. 2 B. 5 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13. 分解因式：x29_ 14. 若分式211xx值为 0，则 x 的值为_ 15. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 36cm，对角线 AC、BD相交于点 O，AC12cm若点 E 是 AB 的中点，则 AOE的周长为_； 16. 如图， 已知函数3yxb和3yax的图象交于
5、点2, 5P ， 则根据图象可得不等式33xbax的解集是_ 17. 如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D为 AB的中点，连接 DF延长交 AC 于点 E若AB20，BC32，则线段 EF的长为_； 18. 如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90 ，四边形 ACDE是平行四边形，连接 CE交 AD于点 F，连接 BD 交 CE 于点 G，连接 BE下列结论中： CEDB；ADC 是等腰直角三角形；ADBAEB；CDEF；S四边形BCDE12BD CE；BC2DE2BE2CD2；其中一定正确的是_（把所有正确结论的序号填在模线上） 三、解答题（本大题
6、共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 78分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步疆）分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步疆） 19. 解不等式组：3242113xxxx ，并写出不等式组的所有整数解 20. 因式分解： （1）a3b2a2b2ab3 （2） （x24）216x2 21. 如图，在ABC中，D是 BC边上的中点，F、E 分别是 AD及其延长线上的点，CF/BE请连接 BF、CE，试判断四边形 BECF是何种特殊四边形，并说明理由 22. （1）化简2111122xxxx （2）解方程：13244xxx 23. 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面
7、直角坐标系， ABC的位置如图所示，先作ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1，再把A1B1C1向上平移 4 个单位长度得到A2B2C2 （1）画出A1B1C1和A2B2C2 （2）A2B2C2与 ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标_； （3）已知 P为 x 轴上一点若ABP 的面积为 3，直接写出点 P 的坐标_； 24. 疫情期间，为满足市民的防护需求，某医药公司想要购买 A、B 两种口罩，在进行市场调研时发现：A型口罩比 B型口罩每包进价多了 10 元，用 68000 元购买 A型口罩的包数是用 32000 元购买 B型口罩包数的2 倍 （1）A、B型口罩进价分别为
8、每包多少元? （2）若该公司计划购买 A、B型口罩共 200 包，其中 A 型口罩的包数不大于 B 型口罩的包数，且用于购买A 型口罩的钱数多于购买 B 型口罩的钱数设购买 A 型口罩 x包，则符合条件的进货方案共多少种?（包数均为整数，不用列出方案） （3）在（2）的条件下，已知该公司 A 型口罩的售价为 240元/包，B型口罩的售价为 220元/包假设所有口罩均能全部售出，请求出采用哪种方案时，该公司获得的收益最大?最大收益为多少? 25. 如图， 在 Rt ABC 中， ACB90 ， A30 ， BC1， 将三角板中 30 角顶点 D 放在 AB边上移动，使这个 30 角的两边分别与A
9、BC 的边 AC、BC相交于点 E、F，且使 DE始终与 AB垂直 （1）如图 1，求证： BDF 是等边三角形； （2）如图 2，当 DF通过点 C（即点 F 与点 C 重合时） ，求 DE 的长； （3）若移动点 D当 EF/AB 时，求 AD的长 26. 已知 Rt ABC 中，ACB90 ，CACB4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在 C处，CPCQ2，将三角板 CPQ 绕点 C旋转（保持点 P在 ABC内部） ，连接 AP、BP、BQ （1）如图 1，求证：APBQ； （2）如图 2，当 PQBQ时，求 AP的长； （3）如田 3，设射线 AP与射线 BQ 相交于点 E，连接 E
10、C，写出旋转过程中 EP、EQ、EC 之间的数量关系，并简述理由 27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y12x32与 yx相交于点 A，与 x 轴交于点 B （1）求点 A，B的坐标； （2）在平面直角坐标系 xOy中，是否存在一点 C，使得以 O，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点 C的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）在直线 OA上，是否存在一点 D，使得DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件点 D的坐标，如果不存在，请说明理由 山东省济南市章丘区山东省济南市章丘区 2020-2021 学年度八年级下期末考试数学试卷学年度八
11、年级下期末考试数学试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对
12、称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2. 若ab，则下列各式中一定成立的是（ ） A. 22ab B. 22acbc C. 22ab D. 22ab 【2 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案 【详解】解：A、不等式的两边都减去 2，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意； B、若 c=0，则22acbc，原变形错误，故此选项不符合题意； C、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意； D、不等式的两边都加上 2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意
13、 故选：D 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. x22x3（x1）22 B. 15x2y3x5xy C. 2（xy）2x2y D. x26x9（x3）2 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断 【详解】解：A. x22x3（x1）22，结果不是积
14、的形式，故不是因式分解； B. 15x2y3x5xy，单项式没有因式分解概念，故不是因式分解； C. 2（xy）2x2y，是整式的乘法，故不是因式分解； D. x26x9（x3）2，是因式分解 故选 D 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是把多项式分解成几个整式积的形式，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算 4. 分式22x可变形为（ ） A. 22x B. 22x C. 22x D. 22x 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据分式的性质，分子分母都乘以1，分式的值不变，可得答案： 分式22x的分子分母都乘以1，得22x. 故选 D 考点：分式的基本性质 5
15、. 已知不等式组36xax 有解，则 a 的取值范图是（ ） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先化简各个不等式，再根据不等式组有解，即可得到 a的范围 【详解】解：36x， x2， 不等式组36xax 有解， ax2， a2， 故选 D 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式以及不等式组的解，理解不等式组有解的意义，是解题的关键 6. 能判定四边形 ABCD是平行四边形的是（ ） A. ABCD,ABCD B. ABBC,ADCD C. ACBD,ABCD D. ABCD,ADCB 【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据平
16、行四边形的判定方法，结合举反例即可判断 【详解】解：A.AB/CD，ABCD， 四边形是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ， 故 A能判定四边形 ABCD是平行四边形； B.如图 1，筝形 ABCD中，满足 ABBC，ADCD，但四边形 ABCD不是平行四边形； C.如图 2，等腰梯形 ABCD中，满足 ACBD，ABCD，但四边形 ABCD 不是平行四边形； D.如图 3，等腰梯形 ABCD中，满足 ABCD，ADCB，但四边形 ABCD不是平行四边形； 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 一
17、组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形 7. 如图，在 RtABC 中，B90 ，ED是 AC的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E已知BAC5BAE，则C的度数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设BAEx，则BAC5x，根据线段垂直平分线的性质得出 AECE，根据等腰三角形的性质得出CEAC，求出C4x，根据直角三角形的性质得出CBAC90，求出 x 即可 【详解】解：设BAEx，则BAC5x， E
18、D是 AC垂直平分线， AECE， CEAC5xx 4x ， B90， CBAC90， 4x5x90， 解得：x10， 即C40， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出 AECE是解此题的关键 8. 如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到ABC，连接 AA，若1=25，则BAA的度数是（ ） A. 70 B. 65 C. 60 D. 55 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得 AC=AC，然后判断出ACA是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CAA=4
19、5，再根据三角形的内角和定理可得结果 【详解】RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到ABC， AC=AC， ACA是等腰直角三角形， CAA=45，CAB=20=BAC BAA=180-70-45=65， 故选：B 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键 9. 若 9x22（k3）x16 是完全平方式，则 k的值为（ ） A. 15 B. 15 或15 C. 39 或33 D. 15 或9 【9 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 k
20、的值 【详解】解：9x22（k3）x16 是完全平方式， k312， 解得：k15或 k9， 故选：D 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键 10. 已知 ab3，ab1，则多项式 a2bab2的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【10 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可 【详解】解：ab3，ab1， a2bab2= ab(ab)=31=3 故选 B 【点睛】本题主要考查代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键 11. 如图，将ABC 放在每个小正方形边长均为 1的网格中，点 A、B、C均落在格点
21、上，若点 B 的坐标为（2，1） ，则到ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ） A. （0，1） B. （3，1） C. （1，1） D. （0，0） 【11 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】到ABC三个顶点距离相等的点即为 AB与 AC的垂直平分线的交点，找到该点即可 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，AB与 AC的垂直平分线的交点为点 O， 到ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0） ， 故选：D 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键 12. 已知等边ABC的边长为 4，点 P是边 BC上的动点，将ABP 绕点 A 逆时针旋
22、转 60 得到 ACQ，点D 是 AC边的中点，连接 DQ，则 DQ 的最小值是（ ） A. 2 B. 5 C. 2 D. 3 【12 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，即可得到BCQ120，当 DQCQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到 DQ的最小值 【详解】解：由旋转可得ACQB60， 又ACB60 BCQ120， 点 D是 AC边的中点， CD2， 当 DQCQ时，DQ的长最小， 此时，CDQ30， CQ12CD1， DQ22213， DQ最小值是3 故选：D 【点睛】本题主要考查了旋转的性质,等边三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质，掌握对应点到旋转
23、中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13. 分解因式：x29_ 【13 题答案】 【答案】(x3)(x3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3） （x-3） ， 故答案为： （x+3） （x-3）. 14. 若分式211xx的值为 0，则 x 的值为_ 【14 题答案】 【答案】1 【解析】 【详解】根据分式的值为零的条件得到210 x 且1x ， 解得1x 故答案为：1 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零 15.
24、 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 36cm，对角线 AC、BD相交于点 O，AC12cm若点 E 是 AB 的中点，则 AOE的周长为_； 【15 题答案】 【答案】15cm 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出 ABBC18cm，再结合已知得出 EO 是ABC 的中位线，进而得出答案 【详解】解：平行四边形 ABCD 的周长为 36cm， ABBC18cm， 四边形 ABCD是平行四边形， O 是 AC 的中点， AO12AC6cm， 又点 E 是 AB 的中点， EO是ABC的中位线， EO12BC，AE12AB， AEEOAO1218615（cm） 故答案是：15cm 【
25、点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理， 正确得出 EO是ABC的中位线是解题关键 16. 如图， 已知函数3yxb和3yax的图象交于点2, 5P ， 则根据图象可得不等式33xbax的解集是_ 【16 题答案】 【答案】2x 【解析】 【分析】根据函数 y=3x+b 和 y=ax-3 的图象交于点 P（-2，-5） ，然后根据图象即可得到不等式 3x+bax-3的解集 【详解】解：函数 y=3x+b和 y=ax-3 的图象交于点 P（-2，-5） 不等式 3x+bax-3 的解集是 x-2 故答案为：x-2 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答
26、本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 17. 如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D为 AB的中点，连接 DF延长交 AC 于点 E若AB20，BC32，则线段 EF的长为_； 【17 题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】延长 AF 交 BC 于 G，证明ABFGBF，根据全等三角形的性质得到 BGAB20，AFFG，根据三角形中位线定理解答即可 【详解】解：延长 AF 交 BC于 G， BF 平分ABC， ABFGBF， 在ABF和GBF中， ABFGBFBFBFAFBGFB， ABFGBF（SAS） ， BGAB20，AFFG， G
27、CBCBG12， D 为 AB 的中点， DF是ABG的中位线， DEBC， EF 是ACG的中位线， EF12CG6， 故答案为：6 【点睛】 本题考查的是三角形中位线定理、 全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 18. 如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90 ，四边形 ACDE是平行四边形，连接 CE交 AD于点 F，连接 BD 交 CE 于点 G，连接 BE下列结论中： CEDB；ADC 是等腰直角三角形；ADBAEB；CDEF；S四边形BCDE12BD CE；BC2DE2BE2CD2；其中一定正确的是_（把所有正
28、确结论的序号填在模线上） 【18 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】用 SAS 证明BADCAE，可得到 CEBD； 利用平行四边形的性质可得AECD， 再结合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形； 利用 SAS证明BAEBAD 可得到ADBAEB； 由四边形 ACDE 是平行四边形， 得 EFCF， AFDF， 结合直角三角形斜边大于直角边， 即可得到结论； 利用已知得出GFDAFE，以及GDFGFD90，得出CGD90，进而利用面积公式解答即可； 根据勾股定理解答即可 【详解】解：BACDAE90， BACDACDAEDAC， 即：BADCAE， ABC和ADE都是等腰直
29、角三角形， ABAC，AEAD， BADCAE（SAS） ， CEBD， 故正确； 四边形 ACDE 是平行四边形， EADADC90，AECD， ADE是等腰直角三角形， AEAD， ADCD， ADC是等腰直角三角形， 故正确； ADC 是等腰直角三角形， CAD45， BAD9045135， EADBAC90，CAD45， BAE360909045135 ， 又 ABAB，ADAE， BAEBAD（SAS） ， ADBAEB； 故正确； 四边形 ACDE 是平行四边形， EFCF，AFDF， 又由得：ADC是等腰直角三角形， CFD 为直角三角形且CDF90， CDCF，即 CDEF，
30、故CDEF错误； BADCAE，BAEBAD， CAEBAE， BEACEABDA， AEFAFE90， AFEBEA90， GFDAFE，ADBAEB， ADBGFD90， CGD90， BDCE， S四边形BCDE12BD CE， 故正确； CGD90， BC2CG2BG2，DE2GD2GE2，CD2CG2DG2，BE2BG2GE2， BC2DE2BE2CD2 故正确； 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，是解决问题的关键 三、解答题（本大题共
31、三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 78分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步疆）分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步疆） 19. 解不等式组：3242113xxxx ，并写出不等式组的所有整数解 【19 题答案】 【答案】1x4，不等式组的所有整数解为 1，2，3 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可，进而即可得到整数解 【详解】解：3242113xxxx， 解不等式，得 x1； 解不等式，得 x4 原不等式组的解集为 1x4， 不等式组的所有整数解为 1，2，3 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
32、小找不到”的原则是解答此题的关键 20. 因式分解： （1）a3b2a2b2ab3 （2） （x24）216x2 【20 题答案】 【答案】 （1）ab(a-b)2； （2） （x-2）2（x2）2 【解析】 分析】 （1）先提取公因式 ab，再利用完全平方公式即可分解因式； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式，即可分解因式 【详解】解： （1）原式=ab(a22abb2) = ab(a-b)2； （2）原式=（x24-4x） （x24+4x） =（x-2）2（x2）2 【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键 21. 如图，在ABC中，D是 BC边
33、上的中点，F、E 分别是 AD及其延长线上的点，CF/BE请连接 BF、CE，试判断四边形 BECF是何种特殊四边形，并说明理由 【21 题答案】 【答案】见详解 【解析】 【分析】利用 CFBE 和 D 是 BC 边的中点可以得到全等条件证明BDECDF，从而得 DFDE，DCDB进而即可证明四边形 BECF是平行四边形 【详解】解：四边形 BECF 是平行四边形，理由： 连接 BF、CE， CFBE， FCDEBD D 是 BC 的中点， CDBD FDCEDB， CDFBDE（ASA） DFDE，DCDB 四边形 BECF 是平行四边形 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行
34、四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键 22. （1）化简2111122xxxx （2）解方程：13244xxx 【22 题答案】 【答案】 （1）4x； （2）原方程无解 【解析】 【分析】 （1）先算分式的减法，再算除法，即可求解； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为 1，检验，即可求解 【详解】解： （1）原式=111111211xxxxxxxxx =2111111xxxxxxx =4x； （2）13244xxx， 去分母得：12 43xx ， 去括号，移项合并得：312x ， 解得：x=4， 经检验：x=4使分母为零， x=4 不是原
35、方程的解， 原方程为无解 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算以及解分式方程， 掌握解分式方程的基本步骤和分式的通分和约分，是解题的关键 23. 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， ABC的位置如图所示，先作ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1，再把A1B1C1向上平移 4 个单位长度得到A2B2C2 （1）画出A1B1C1和A2B2C2 （2）A2B2C2与 ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标_； （3）已知 P为 x 轴上一点若ABP 的面积为 3，直接写出点 P 的坐标_； 【23 题答案】 【答案】 （1）见详解； （2） （0
36、，2） ； （3） （1，0）或（5，0） 【解析】 【分析】 （1）利用中心对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，描点得到A1B1C1，利用点平移的坐标特征写出 A2、B2、C2的坐标，然后描点得到A2B2C2； （2）连接 AA2、BB2、CC2，它们相交于 Q点，则 Q点为对称中心，进而即可得到坐标； （3）设 P 点坐标为（t，0） ，利用三角形面积公式得到12 |t3| 33，然后解得 P 点坐标 【详解】解： （1）如图，A1B1C1和A2B2C2即为所作； （2）如图，A2B2C2与ABC关于 Q点成中心对称，Q 点的坐标为（0，2） ， 故答案为（0，2） ； （3）
37、设 P 点坐标为（t，0） ， ABP的面积为 3， 12 |t3| 33，解得 t11，t25， P点坐标为（1，0）或（5，0） 故答案为（1，0）或（5，0） 【点睛】本题考查了图形与坐标旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了平移变换 24. 疫情期间，为满足市民的防护需求，某医药公司想要购买 A、B 两种口罩，在进行市场调研时发现：A型口罩比 B型口罩每包进价多了 10 元，用 68000 元购买 A型口罩的包数是用 32000 元购买 B型口罩包数的2
38、 倍 （1）A、B型口罩进价分别为每包多少元? （2）若该公司计划购买 A、B型口罩共 200 包，其中 A 型口罩的包数不大于 B 型口罩的包数，且用于购买A 型口罩的钱数多于购买 B 型口罩的钱数设购买 A 型口罩 x包，则符合条件的进货方案共多少种?（包数均为整数，不用列出方案） （3）在（2）的条件下，已知该公司 A 型口罩的售价为 240元/包，B型口罩的售价为 220元/包假设所有口罩均能全部售出，请求出采用哪种方案时，该公司获得的收益最大?最大收益为多少? 【24 题答案】 【答案】 （1）A 型口罩每件的进价为 170 元，B 型口罩每件的进价为 160元； （2）符合条件的进
39、货方案共 4种； （3）当购买 A 型口罩 100件，B型口罩 100 件时，该公司获得的收益最大，最大收益为 13000 元 【解析】 【分析】 （1）设 B 型口罩每件的进价为 y 元，则 A型口罩每件的进价为（y10）元，根据用 68000元购买A 型口罩的件数是用 32000 元购买 B型口罩件数的 2 倍，即可得出关于 y的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买 A 型口罩 x 件，则购买 B型口罩（200 x）件，根据“A 型口罩的件数不大于 B 型口罩的件数，且用于购买 A 型口罩的钱数多于购买 B 型口罩的钱数”，即可得出关于 x的一元一次不等式组，解之即可得出 x
40、 的取值范围，再结合 x为正整数即可得出符合条件的进货方案的数量； （3）设该公司捐献后获得的收益为 w元，根据获得的收益销售每件的收益销售数量，即可得出 w关于x 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【详解】解： （1）设 B 型口罩每件的进价为 y 元，则 A 型口罩每件的进价为（y10）元， 依题意得：6800010y 232000y，解得：y160， 经检验，y160 是原方程的解，且符合题意， y10170 答：A 型口罩每件的进价为 170 元，B 型口罩每件的进价为 160元； （2）设购买 A 型口罩 x 包，则购买 B型口罩（200 x）包， 依题意得：200
41、170160 200 xxxx， 解得：963233x100， 又x 为正整数， x可以取 97，98，99，100， 符合条件进货方案共 4种； （3）设该公司获得的收益为 w 元， 则 w（240170）x（220160） （200 x）10 x12000 k100， w 随 x 的增大而增大， 当 x100 时，w 取得最大值，最大值10 1001200013000 答：当购买 A 型口罩 100件，B 型口罩 100 件时，该公司获得的收益最大，最大收益为 13000元 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确
42、列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组； （3）根据各数量之间的关系，找出 w关于 x 的函数关系式 25. 如图， 在 Rt ABC 中， ACB90 ， A30 ， BC1， 将三角板中 30 角的顶点 D 放在 AB 边上移动，使这个 30 角的两边分别与ABC 的边 AC、BC相交于点 E、F，且使 DE始终与 AB垂直 （1）如图 1，求证： BDF 是等边三角形； （2）如图 2，当 DF通过点 C（即点 F 与点 C 重合时） ，求 DE 的长； （3）若移动点 D当 EF/AB 时，求 AD的长 【25 题答案】 【答案】 （1）见详解； （2）3
43、3； （3）65 【解析】 【分析】 （1）根据充足定义求出FDB60，根据直角三角形的性质得到B60，根据等边三角形的判定定理证明结论； （2）根据含 30的直角三角形的性质求出 AB，根据等边三角形的性质求出 BD，从而得 AD ,进而根据勾股定理计算即可求解； （3）根据平行线的性质得到CEFA30，FEDEDA90，根据含 30的直角三角形的性质、等边三角形的性质计算，得到答案 【详解】 （1）证明：EDAB，EDF30， FDB60， A30，ACB90， B60， BDF是等边三角形； （2）解：在 RtABC 中，A30，BC1， AB2BC2， 由（1）可知，BCD为等边三角形
44、， BDBC1， ADABBD1， DEAB，A30， 设 DE=x，则 AE=2x， 22212xx ，解得：x=33， DE=33； （3）解：EFAB， CEFA30，FEDEDA90， CF12EF，EF12DF， BDF为等边三角形， DFBFBD， BF4CF， BF45， ADABBD24565 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，平行线的性质，熟记在直角三角形中，30角的直角边是斜边的一半是解题的关键 26. 已知 Rt ABC 中，ACB90 ，CACB4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在 C处，CPCQ2，将三角板 CPQ 绕点 C旋转（保持点 P在
45、 ABC内部） ，连接 AP、BP、BQ （1）如图 1，求证：APBQ； （2）如图 2，当 PQBQ时，求 AP的长； （3）如田 3，设射线 AP与射线 BQ 相交于点 E，连接 EC，写出旋转过程中 EP、EQ、EC 之间的数量关系，并简述理由 【26 题答案】 【答案】 （1）见详解； （2）142； （3）EPEQ2EC或 EP-EQ2EC 【解析】 【分析】 （1）欲证明 PABQ，只要证明ACPBCQ即可； （2）如图 2中，作 CHPQ 于 H首先证明 A、P、Q 共线，利用勾股定理求出 AH，PH 即可解决问题； （3）分两种情况：当点 E 在线段 BQ上时，如图 3中，作
46、 CMBQ于 M，CNEP于 N，设 BC 交 AE 于O只要证明CNPCMQ，CEMCEN，即可得到 EP+EQ2EC；当点 E 在 BQ 的延长线上时，同法可得：EPEQ2EC 【详解】 （1）证明：CACB，CPCQ，ACBPCQ90， ACPBCQ， ACPBCQ， PABQ； （2）解：如图 2中，作 CHPQ于 H PQBQ， PQB90， CQPCPQ45， CQB135， ACPBCQ， APCCQB135， APCCPQ180， A、P、Q 共线， PC2， CHPH2， 在 RtACH 中，AH22ACCH=224214， PAAHPH142； （3）解：结论：EPEQ2E
47、C或 EP-EQ2EC 理由：当点 E在线段 BQ上时， 如图 3 中，作 CMBQ于 M，CNEP 于 N，设 BC交 AE于 O ACPBCQ， CAOOBE， AOCBOE， OEBACO90， MCNEMEN90， MCNPCQ90， PCNQCM， PCCQ，CNPM90， CNPCMQ， CNCM，QMPN， CECE， CEMCEN， ENEM，CEMCEN45 EPEQENPNEMMQ2EN，EC2EN， EPEQ2EC 当点 E 在 BQ 的延长线上时，同法可得：EPEQ2EC 综上所述：EPEQ2EC或 EP-EQ2EC 【点睛】本题考查旋转变换综合题、等腰直角三角形的性质
48、、全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y12x32与 yx相交于点 A，与 x 轴交于点 B （1）求点 A，B的坐标； （2）在平面直角坐标系 xOy中，是否存在一点 C，使得以 O，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点 C的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）在直线 OA上，是否存在一点 D，使得DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点 D的坐标，如果不存在，请说明理由 【27 题答案】 【答案】 （1）A（1，1） ，B
49、（3，0） ； （2）存在一点 C，C（2，1）或（4，1）或（2，1） ； （3）在直线OA 上，存在一点 D， D（3 22，3 22）或（3 22，3 22）或（3，3）或（32，32） ，使得DOB是等腰三角形 【解析】 【分析】 （1）直线 y12x32与 yx联立方程组求解，即可求出点A坐标，把 y=0代入直线 y12x32即可求出点 B坐标； （2）分 AO为对角线、AB 为对角线、OB为对角线三种情况讨论，即可求出点 C 坐标； （3）分 OBOD、ODOB、OBDB 三种情况讨论，结合勾股定理即可求出点 D 坐标 【详解】 （1）直线 y12x32与 yx 相交于点 A， 联
50、立得1322yxyx ，解得11xy， 点 A（1，1） ， 直线 y12x32与 x 轴交于点 B， 令 y0，得12x320，解得 x3， B（3，0） ， （2）存在一点 C，使得以 O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形 如图 1，过点 A作平行于 x轴的直线，过点 O 作平行于 AB的直线，两直线交于点 C， ACx 轴，OCAB， 四边形 CABO 是平行四边形， A（1，1） ，B（3，0） ，ACOB3， C（2，1） ， 如图 2，过点 A作平行于 x轴的直线，过点 B 作平行于 AO的直线，两直线交于点 C， ACx 轴，BCAO， 四边形 CAOB是平行四边形， A（1
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