1、2020-2021 学年威海市乳山市八年级下学年威海市乳山市八年级下期末数学试卷（五四学制）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1. 下列二次根式中，与5是同类二次根式是（ ） A. 25 B. 15 C. 10 D. 50 2. 若25ab，则aba（ ） A 23 B. 32 C. 43 D. 34 3. 用配方法解方程2680 xx时，配方结果正确的是（ ） A. 2(3)17x B. 2(3)14x C. 2(6)44x D. 2(3)1x 4. 如果72xx在实数范围内有意义，则 x的取
2、值范围是（ ） A. x2 B. x7 C. x2 D. x7且 x2 5. 如图，在ABC中，/DEBC，9AD，3DB ，2CE ，则AC的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，点 E，F 是菱形 ABCD 边 AB，BC 的中点，BABD，EF3，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A. 23 B. 43 C. 26 D. 32 7. 若关于 x 的一元二次方程(k1)x24x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k5 B. k5 8. 如图，在ABC中，D为 AC边上一点，DBCA，BC6，AC3，则 AD（ ） A. 2 B. 1 C.
3、 32 D. 52 9. 如图，在矩形 ABCD中，AB=2，BC=4，对角线 AC的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8 10. 已知点 P是线段 AB 的黄金分割点，APPB，若 AB2，则 PB（ ） A. 512 B. 512 C. 35 D. 51 11. 如图，BD为矩形 ABCD的对角线，点 E，F 分别在边 AB，BC上，AE13AB，将矩形沿 EF折叠，点 B落在边 AD上的点 P 处，BP交 EF于点 Q，连接 PE，PF，DF对于下列结论：EF2BE；QF4EQ；PBF是等边三角形
4、；四边形 BFDP 是菱形正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在正方形 ABCD中，H是对角线 BD的中点，延长 DC至 E，使得 DE=DB，连接 BE，作 DFBE交 BC于点 G，交 BE于点 F，连接 CH、FH，下列结论： （1）HC=HF； （2）DG=2EF； （3）BE DF=2CD2；（4）SBDE=4SDFH； （5）HFDE，正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，只要求填出最后结果）分，只要求填出最后结果） 13
5、. 已知方程 x2+xk0有一根为2，则该方程的另一个根为_ 14 计算：132122_ 15. 在ABC中， AB9， AC6 点 M 在边 AB 上， 且 AM3， 点 N在 AC 边上 当 AN_时， AMN与原三角形相似 16. 关于 x 的方程 mx24x50 的两个实数根分别为 x1和 x2，若 x1n，且 mn24n+m6，则 x12+x22的值为_ 17. 如图，在直角坐标系中，点 E（4，2） ，F（2，2） ，以 O为位似中心，将EFO缩小为EFO，且EFO 与EFO的相似比为12，则点 E 的对应点 E的坐标为_ 18. 如图，等腰ABC中，AB=AC，A=36 ，作底角
6、ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，易得等腰BCD，作等腰BCD底角BCD的平分线 CE，交 BD于点 E，得等腰CDE，再作等腰CDE 底角CDE的平分线 DF，交于 CE 于点 F，若已知 AB=b，BC=a，记ABC为第一个等腰三角形，BCD为第二个等腰三角形，则ab的值为_；第 n个等腰三角形的底边长为_ （含有 b 的代数式表示） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66分，写出必要的运算、推理过程）分，写出必要的运算、推理过程） 19. 计算：12+（32）2+|2|1242 20. 如图，四边形 ABCD和 ADEF 都是菱形，BF交 AD 于
7、点 G，BADFAD，BFBC，AB2，求AGDG的值 21. 如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为 15002m的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为 60m，宽为 40m （1）求通道的宽度； （2）某公司希望用 60万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以 48.6万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率 22. 如图，M 为菱形 ABCD边 BC上一点，连接 AM交 BD 于点 G，ABM2BAM （1）若 AG2，求 GMDG值 （2）延长 AM，DC交于点 P，
8、若点 M为 BC的中点，SMBG34，则PDG的面积为 23. 已知：x1，x2是关于 x的方程 x2+mxm0 的两个实数根，x1，x2满足（x1x2）25，且 x1x20 （1）求 m的值 （2）不解方程，求 3x1x24 24. 【计算与比较】 用“”“”或“”填空 （1）282 2 8； （2）1032 1 03； （3）444 4 4； 【猜想与证明】 （1）通过“计算与比较”，可得下列命题：若 a0，b0，则2ab ab （2）对上述命题进行证明 【问题与解决】 利用“猜想与证明”中的结论解决问题： 如图，正方形 ABCD的边长为 10，点 E，F，G，H分别在边 AB，BC，CD
9、，DA 上，四边形 EFGH是正方形，AHm，AEn，当 m，n 分别为何值时，正方形 EFGH 的面积最小？最小值是多少？ 25. 【模型呈现：材料阅读】 如图，点 B，C，E 在同一直线上，点 A，D在直线 CE 的同侧，ABC 和CDE 均为等边三角形，AE，BD交于点 F 对于上述问题，存在结论（不用证明） ： （1）BCDACE （2）ACE 可以看作是由BCD 绕点 C旋转而成； 【模型改编：问题解决】 点 A，D 在直线 CE的同侧，ABAC，EDEC，BACDEC50 ，直线 AE，BD 交于 F 如图 1：点 B在直线 CE 上 求证：BCDACE； 求AFB度数 如图 2：
10、将ABC 绕点 C顺时针旋转一定角度 补全图形，则AFB 的度数为 ； 若将“BACDEC50 ”改为“BACDECm”，则AFB 的度数为 （直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图 3：在矩形 ABCD和矩形 DEFG 中，AB1，ADED3，DG3，连接 AG，BF，求BFAG的值 2020-2021 学年威海市乳山市八年级下期末数学试卷（五四学制）学年威海市乳山市八年级下期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1. 下列二次根式中，与5是同类二次根式的是（ ） A. 25 B. 15 C.
11、10 D. 50 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.对每一项进行判断即可. 【详解】25=5，错误；B15=55，正确；C.10，错误；D.50=5 2，错误 故答案选 B 【点睛】本题考查了同类二次根式的意义，解决本题的关键是正确的将二次根式化成最简. 2 若25ab，则aba（ ） A. 23 B. 32 C. 43 D. 34 【2 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用分比性质进行计算 【详解】解：25ab， 22523aba； 故选：A 【点睛】本题考查了比例的
12、性质：熟练掌握常用的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键 3. 用配方法解方程2680 xx时，配方结果正确的是（ ） A. 2(3)17x B. 2(3)14x C. 2(6)44x D. 2(3)1x 【3 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法把方程2680 xx变形即可. 【详解】用配方法解方程 x26x80 时，配方结果为（x3）217， 故选 A 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键 4. 如果72xx在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ） A. x2 B.
13、x7 C. x2 D. x7且 x2 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得 x20，x+70，求出 x的范围即可 【详解】解：72xx在实数范围内有意义， x20，x+70， x2，x7， x7 且 x2， 故选：D 【点睛】此题主要考查二次根式与分式有意义的条件，解题的关键是熟知其各自的特点 5. 如图，在ABC中，/DEBC，9AD，3DB ，2CE ，则AC的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【5 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 DEBC得ADAEDBEC，然后利用比例性质求 EC和 AE的值即可 【详解】/D
14、EBC， ADAEDBEC，即932AE， 6AE ， 628ACAEEC 故选 C 【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出 AE 6. 如图，点 E，F 是菱形 ABCD 边 AB，BC 的中点，BABD，EF3，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A. 23 B. 43 C. 26 D. 32 【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得 AC2EF2 3，再由菱形的性质得 OAOC12AC3，OBOD，ACBD，ABAD，然后证 ABD是等边三角形，得BAO30 ，则 OB33OA1，因此 BD2OB2，即可解决问题 【详解】解：连接 AC 交 BD于
15、O，如图所示： E、F是 AB 和 BC 的中点， EF 是 ABC的中位线， AC2EF2 3， 四边形 ABCD是菱形， OAOC12AC3，OBOD，ACBD，ABAD， BABD， ABADBD， ABD是等边三角形， BAD60 ， ACBD， BAO30 ， OB33OA1， BD2OB2， S菱形ABCD12ACBD122 3 22 3， 故选 A 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，含 30 度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 7. 若关于 x 的一元二次方程(k1)x24x10 有两个不相等的实数根
16、，则 k 的取值范围是( ) A. k5 B. k5 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：关于 x 的一元二次方程方程21410kxx 有两个不相等的实数根，100k ，即2104410kk ，解得：k5且 k1故选 B 8. 如图，在ABC中，D为 AC边上一点，DBCA，BC6，AC3，则 AD（ ） A. 2 B. 1 C. 32 D. 52 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】 由DBCA， BC6， AC3 可证明CBDCAB， 由此可得CDCBCBCA， 代入可求得 CD，即可得到 AD 【详解】解：DBCA，CC， CBDCAB， CDCBCBCA，
17、即636CD， CD2， ADACCD321 故选：B 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明出CBDCAB是解题的关键 9. 如图，在矩形 ABCD中，AB=2，BC=4，对角线 AC的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8 【9 题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】解：EO是 AC的垂直平分线， AE=CE 设 CE=x，则 ED=ADAE=4x ， Rt CDE中，CE2=CD2+ED2， 即 x 2=22+（4x）2， 解得 x=2.5， CE的长为 2.5 故选 C 10. 已知点
18、 P是线段 AB 的黄金分割点，APPB，若 AB2，则 PB（ ） A. 512 B. 512 C. 35 D. 51 【10 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，根据 APBP 情况，AP512AB 叫做黄金比进行计算，代入数据即可得出 PB 的长 【详解】解：当 APBP时， AP512 251， PB2（51）35， 故选：C 【点睛】本题考查了黄金分割的知识点，熟记较长的线段=原线段的512倍是解题的关键 11. 如图，BD为矩形 ABCD的对角线，点 E，F 分别在边 AB，BC上，AE13AB，将矩形沿 EF折叠，点 B落在边 AD上的点 P 处，BP交
19、 EF于点 Q，连接 PE，PF，DF对于下列结论：EF2BE；QF4EQ；PBF是等边三角形；四边形 BFDP 是菱形正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【11 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】求出 BE2AE，根据翻折的性质可得 PEBE，再根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半求出APE30 ，然后求出AEP60 ，再根据翻折的性质求出BEF60 ，根据直角三角形两锐角互余求出EFB30 ，然后根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半可得 EF2BE，判断出正确；求出 BE2EQ，EF2BE，然后求出 QF4EQ，判断出正确；求出P
20、BFPFB60 ，然后得到 PBF是等边三角形，故正确：由折叠性质可得 BFP 是等边三角形，但 AD长度无法确定，故可判断 【详解】解：AE13AB， BE2AE， 由翻折的性质得，PEBE， APE30 ， AEP90 30 60 ， BEF12（180 AEP）12（180 60 ）60 ， EFB90 60 30 ， EF2BE，故正确； 由翻折可知 EFPB， EBQEFB30 ， BE2EQ，EF2BE， EF4EQ，故错误； 由翻折的性质，EFBEFP30 ， 则BFP30 +30 60 ， PBF90 EBQ90 30 60 ， PBFPFB60 ， PBF是等边三角形，故正确
21、； 由折叠的性质可得：BFPF，BFEPFE30 ， BFP60 ， BFP是等边三角形， AD长度无法确定， 无法判断四边形 BFDP是菱形，故错误 故选 B 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定，含 30 度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 12. 如图，在正方形 ABCD中，H是对角线 BD的中点，延长 DC至 E，使得 DE=DB，连接 BE，作 DFBE交 BC于点 G，交 BE于点 F，连接 CH、FH，下列结论： （1）HC=HF； （2）DG=2EF； （3）BE DF=2CD2；（4）SBDE=4SDFH
22、； （5）HFDE，正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【12 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】 由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF=BF， 根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH，即可证明 HF是BDE 的中位线，可得 HF=12DE，HF/DE；由 BD=DE 即可得 HC=HF；利用直角三角形两锐角互余的关系可得CBE=CDG， 利用 ASA 可证明BCEDCG， 可得 DG=BE， 可判定 DG=2EF，由正方形的性质可得 BD2=2CD2，根据CBE=CDG，E 是公共角可证明BCEDFE，即可得DEDFBEBC，即 BE DF=DE
23、BC，可对进行判定，根据等底等高的三角形面积相等可对进行判定，综上即可得答案. 【详解】BD=DE，DFBE， EF=BF， H 是正方形 ABCD对角线 BD 的中点， CH=DH=BH=12BD， HF是BDE 的中位线， HF=12DE=12BD=CH，HF/DE，故正确， CBE+E=90 ，FDE+E=90 ， CBE=FDE， 又CD=BC，DCG=BCE=90 ， BCEDCG， DG=BE， BE=2EF， DG=2EF，故正确， CBE=FDE，E=E， BCEDFE， DEDFBEBC，即 BE DF=DE BC， BD2=CD2+BC2=2CD2 DE2=2CD2， DE
24、BC2CD2， BEDF2CD2，故错误， DH=12BD， SDFH=12SDFB， BF=12BE， SDFB=12SBDE， SDFH=14SBDE，即 SBDE=4SDFH，故正确， 综上所述：正确的结论有，共 4 个， 故选 B 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及三角形中位线的性质，综合性较强，熟练掌握所学性质及定理是解题关键. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，只要求填出最后结果）分，只要求填出最后结果） 13. 已知方程 x2+xk0有一根为2，则该方程
25、的另一个根为_ 【13 题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】设方程的另一个根为 x2，根据 x1+x2ba得出2+x21，解之即可得出答案 【详解】解：设方程的另一个根为 x2， 则2+x21， 解得 x21， 即该方程的另一个根为 1， 故答案为：1 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知 x1+x2ba 14. 计算：132122_ 【14 题答案】 【答案】-5 【解析】 【分析】先把12 和12 化简，再把原式变形1( 22 3)( 22 3)2 ，然后利用平方差公式计算 【详解】解：原式2(3)( 22 3)2 1( 22 3)( 22 3)2 12 （212） 5
26、 故答案为5 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解决问题的关键 15. 在ABC中， AB9， AC6 点 M 在边 AB 上， 且 AM3， 点 N在 AC 边上 当 AN_时， AMN与原三角形相似 【15 题答案】 【答案】2 或 4.5 【解析】 【分析】分别从AMNABC或AMNACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 【详解】由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3， 若AMNABC 则AMAB=ANAC 即39=6AN 解得:AN=2 若AMNACB 则AMAC=ANAB 即36=9AN 解得:AN=4.5 综上 AN=2或 4
27、.5 故答案为 2 或 4.5. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，需要分类讨论是解题的关键 16. 关于 x 的方程 mx24x50 的两个实数根分别为 x1和 x2，若 x1n，且 mn24n+m6，则 x12+x22的值为_ 【16 题答案】 【答案】26 【解析】 【分析】先将 x1n代入方程得出 mn24n5，再根据 mn24n+m6 可得 m1，据此可还原方程，由根与系数的关系知 x1+x24，x1x25，代入 x12+x22（x1+x2）22x1x2计算即可得出答案 【详解】解：关于 x的方程 mx24x50 的两个实数根分别为 x1和 x2，且 x1n， mn24n50，即
28、mn24n5， mn24n+m6， 5+m6， 解得 m1， 则方程为 x24x50， x1+x24，x1x25， x12+x22 （x1+x2）22x1x2 422 （5） 16+10 26， 故答案为：26 【点睛】本题主要考查方程的解和根与系数的关系，解题的关键是掌握 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca 17. 如图，在直角坐标系中，点 E（4，2） ，F（2，2） ，以 O为位似中心，将EFO缩小为EFO，且EFO 与EFO的相似比为12，则点 E 的对应点 E的坐标为_ 【17 题答案】 【答案】 （2，1）或（2，1）
29、【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可 【详解】解：以 O为位似中心，将EFO缩小为EFO，EFO 与EFO的相似比为12， E（4，2） ， 点 E坐标为:（2，1）或（2，1） ； 故答案为： （2，1）或（2，1） 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或k 18. 如图，等腰ABC中，AB=AC，A=36 ，作底角ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，易得等腰BCD，作等腰BCD底角BCD的平分线 CE，交 BD于点 E，得等腰CDE，再作等腰CDE 底角CDE的平分线 DF，
30、交于 CE 于点 F，若已知 AB=b，BC=a，记ABC为第一个等腰三角形，BCD为第二个等腰三角形，则ab的值为_；第 n个等腰三角形的底边长为_ （含有 b 的代数式表示） 【18 题答案】 【答案】 . 512 . (1)512nb 【解析】 【分析】先证ABCBCD，求出BCD 与ABC 的相似比为512，求出第二个三角形的底边长为512b，依次推出第三个三角形的底边长，第 n个三角形的底边长即可 【详解】A=36，AB=AC， ABC=ACB12（18036）=72 BD平分ABC， ABD=CBD12ABC=36， BDC=A+ABD=72， AD=BD=BC，ABCBCD， A
31、CBCBDCD， AB=AC=b，BC=BD=a， baaba， a2+abb2=0， a512b（取正值） ， 512ab， 同理可证， 第 3个三角形与第 2 个三角形的相似比为512， 第 3 个三角形的底边长为 （512）2b， 第 n个三角形与第（n1）个三角形的相似比为512，第 n个三角形的底边长为（512）（n1）b 故答案为：512； （512）（n1）b 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，图形变化规律的寻找等，解题的关键是正确确定变化规律 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66分，写出必要的运算、推理过程）分，写出必要
32、的运算、推理过程） 19. 计算：12+（32）2+|2|1242 【19 题答案】 【答案】3 2236+5 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、二次根式的性质化简，再用二次根式加减运算法则进行计算即可 【详解】解：23211()22422 22 632 62222 3 23 652 【点睛】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质化简、二次根式加减运算法则，以及绝对值等知识点，正确运用二次根式的性质化简二次根式成为解答本题的关键 20. 如图，四边形 ABCD和 ADEF 都是菱形，BF交 AD 于点 G，BADFAD，BFBC，AB2，求AGDG的值 【20 题答案】 【答案】2 3
33、3 【解析】 【分析】由菱形的性质得 ABBCADAF2，再证ABF是等边三角形，则 AGBF，BGFG12BF1，然后由勾股定理求出 AG3，则 DGADAG23，即可求解 【详解】解：四边形 ABCD 和四边形 ADEF 都是菱形， ABBCADAF2， BFBC， ABAFBF， ABF是等边三角形，BAF=60 BADFAD， AGBF，BAD30 BGFG12BF1， AG22ABBG3， DGADAG23， 32 3323AGDG 【点睛】此题主要考查菱形的性质综合，解题的关键是熟知等边三角形与菱形的性质 21. 如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为 1
34、5002m的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为 60m，宽为 40m （1）求通道的宽度； （2）某公司希望用 60万元承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以 48.6万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率 【21 题答案】 【答案】 （1）5m （2）10% 【解析】 【分析】 （1）设通道宽度为 xm，可求出停车场的长和宽，利用面积列方程求解即可； （2）设每次降价的百分率为 y，根据题意，列一元二次方程求解即可 【详解】解： （1）设通道宽度为 xm， 依题意得(60-2x)(40-2x)=15
35、00，即 x2-50 x+225=0 解得15x，245x (舍去) 答：通道的宽度为 5m （2）设每次降价的百分率为 y， 依题意得 60(1-y)2=48.6 解得10.1y ，21.9y (舍去) 答：每次降价的百分率为 10% 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解此题的关键是找出题目中的等量关系式 22. 如图，M 为菱形 ABCD边 BC上一点，连接 AM交 BD 于点 G，ABM2BAM （1）若 AG2，求 GMDG的值 （2）延长 AM，DC交于点 P，若点 M为 BC的中点，SMBG34，则PDG的面积为 【22 题答案】 【答案】 （1）4； （2）6 【
36、解析】 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是菱形，所以 ADBC，ABM2ABG，所以ABGBAM，则 AGBG2，证明ADGMBG，可以得到 GMDGAGBG，即可解决； （2） 利用菱形的性质， 得到 ABCD， 从而得到ABMPCM， ABGPDG， 利用 M是 BC的中点，得到 ABCPCD，BGM 与CGM的面积相等，由 AB：PD1：2，得到 BG：GD1：2，所以DGC的面积是BGC 的面积的两倍，由于 C是 PD的中点，得到PGD的面积是DGC的面积的两倍，即可解决 【详解】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ABM2ABD， ABM2BAM， ABDBAM，
37、AGBG2， ADBC， DAGBMG，ADGMBG， ADGMBG， AGDGGMBG， GMDGAGBG4； （2）如图，连接 CG， 四边形 ABCD是菱形， ABDP， ABMPCM，ABGPDG， M为 BC的中点， BMCM，SBGMSCGM34， SBGCSBGM+SCGM32 ABMPCM， ABBMPCCM1， ABPCCD， 2PDPCCDAB ABGPDG， BGABDGPD12， DGCBGCSSDGBG2， SDGC2SBGC3， PCDC， SDGCSPCG3， SPDGSDGC+SPCG6， 故答案为：6 【点睛】 本题考查了菱形的性质， 相似三角形的性质与判定，
38、掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键 23. 已知：x1，x2是关于 x的方程 x2+mxm0 的两个实数根，x1，x2满足（x1x2）25，且 x1x20 （1）求 m的值 （2）不解方程，求 3x1x24 【23 题答案】 【答案】 （1）1； （2）5 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得 x1+x2m，x1x2m，利用完全平方公式求出（x1x2）2（x1+x2）24x1x2m2+4m，解方程 m2+4m5，得出 m11，m25，再检验确定出 m1； （2） 当 m1时， 原方程即为 x2+x10， 由根与系数的关系以及一元二次方程解的定义得出 x1+x21，x1x21，21
39、x1x1，22x1x2， 那么2212xx+2 （x1+x2） 3， 进而求出3x1x242 （x1+x2） （2212xx）5 【详解】解： （1）x1，x2是关于 x的方程 x2+mxm0的两个实数根， x1+x2m，x1x2m， （x1x2）2（x1+x2）24x1x2m2+4m， m2+4m5， 解得 m11，m25， 如果 m25，那么 x1x250，不合题意舍去， 当 m11时，满足 0，且 x1x20， m1； （2）当 m1 时，原方程即为 x2+x10， x1+x21，x1x21，21x1x1，22x1x2， 2212xx2（x1+x2）3， 3x1x24 3x1（1x2）2
40、 3x11+2x2x22 2x1+2x2（1x1+22x） 2（x1+x2）（2212xx） 23 5 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法也考查了一元二次方程的解，完全平方公式 24. 【计算与比较】 用“”“”或“”填空 （1）282 2 8； （2）1032 1 03； （3）444 4 4； 【猜想与证明】 （1）通过“计算与比较”，可得下列命题：若 a0，b0，则2ab ab （2）对上述命题进行证明 【问题与解决】 利用“猜想与证明”中的结论解决问题： 如图，正方形 ABCD的边长为 10，点 E，F，G，H分别在边 AB
41、，BC，CD，DA 上，四边形 EFGH是正方形，AHm，AEn，当 m，n 分别为何值时，正方形 EFGH 的面积最小？最小值是多少？ 【24 题答案】 【答案】 【计算与比较】 （1）； （2）； （3）； 【猜想与证明】 （1）； （2）见解析； 【问题与解决】当 mn5 时，正方形 EFGH的面积最小，最小值是 50 【解析】 【分析】 【计算与比较】 （1）通过计算比较大小即可； （2）通过计算比较大小即可； （3）通过计算比较大小即可； 【猜想与证明】 （1）由上面的计算结果做出假设2abab； （2）利用完全平方公式证明即可； 【问题与解决】根据正方形 EFGH 的面积正方形 A
42、BCD 的面积周围四个小三角形的面积，利用上面的结论得出三角形的面积最大时正方形 EFGH的面积最小，求出此时的面积即可 【详解】解： 【计算与比较】 （1）2852，2 8164 28282 故答案为：； （2）10313169224，1203 10304 103131691203 10302244 故答案为：； （3）4442，4 4164 44442 故答案为：； 【猜想与证明】 （1）根据上面的计算可猜测2abab， 故答案为：； （2）a0，b0， 20ab 即20aabb 2abab 2abab； 【问题与解决】 由题知，四边形 ABCD和四边形 EFGH 都为正方形， EHHG，
43、AD90 ，EHG90 ， AEH+AHE90 ，AHE+DHG90 ， AEHDHG， AEHDHA（AAS） ， AE=DH m+n10 同理可证： AEHDHABFECGF， S正方形EFGHS正方形ABCD4SAEH， 即当 AEH 面积最大时，正方形 EFGH 的面积最小， 由已知得，2mnmn，且 m+n10， 当 mn5 时，mn有最大值，即 mn有最大值， 此时，SAEH12mn252， S正方形EFGHS正方形ABCD4SAEH10 10425250， 当 mn5 时，正方形 EFGH 的面积最小，最小值是 50 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，完全平方公式，解不等式，二
44、次根式的混合运算，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 25. 【模型呈现：材料阅读】 如图，点 B，C，E 在同一直线上，点 A，D在直线 CE 的同侧，ABC 和CDE 均为等边三角形，AE，BD交于点 F 对于上述问题，存在结论（不用证明） ： （1）BCDACE （2）ACE 可以看作是由BCD 绕点 C旋转而成； 【模型改编：问题解决】 点 A，D 在直线 CE的同侧，ABAC，EDEC，BACDEC50 ，直线 AE，BD 交于 F 如图 1：点 B在直线 CE 上 求证：BCDACE； 求AFB 的度数 如图 2：将ABC 绕点 C顺时针旋转一定角
45、度 补全图形，则AFB 的度数为 ； 若将“BACDEC50 ”改为“BACDECm”，则AFB 的度数为 （直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图 3：在矩形 ABCD和矩形 DEFG 中，AB1，ADED3，DG3，连接 AG，BF，求BFAG的值 【25 题答案】 【答案】 【模型改编：问题解决】证明见解析；65 ；图见解析，115 ；90 +2m； 【模型拓广：问题延伸】2 33 【解析】 【分析】 【模型改编：问题解决】先证ABCDCE，得ACBCECDC，再根据BCDACE115 ，即可证BCDACE； 由BCDACE 可得，DBCEAC，即可得AFBACB65 ； 连接AE并
46、延长交BD于F， 由BCDACE可得， CEFBDC， 由AFBBDC+CDE+DEF，得AFBCDE+CED50 +65 115 ； 同理得AFBCDE+CEDm +（180 m ） 290 +2m； 【模型拓广：问题延伸】 连接 BD、DF，证ABDGFD，得ADBGDF，即BDFADG，再求出 BD2，DF2 3，根据比例关系证BDFADG，即可得出BFAG的值 【详解】解： 【模型改编：问题解决】 ABAC，EDEC，BACDEC50 ， ABCACB（180 50 ） 260 ，EDCECD（180 50 ） 265 ， ABCEDC， ACBCECDC， ACE180 ACB115
47、 ，BCD180 EDC115 ， BCDACE； 由知，BCDACE， DBCEAC， AFBDBC+CEAEAC+CEAACB65 ； 补图如下： 由BCDACE可得，CEFBDC， AFBBDC+CDE+DEFCEF+CDE+DEFCED+CDE50 +65 115 ， 故答案为：115 ； 同理可得AFBCED+CDEm +（180 m ） 290 +2m， 故答案为：90 +2m； 【模型拓广：问题延伸】 连接 BD、DF， 在矩形 ABCD和矩形 DEFG 中，AB1，ADED3，DG3， 33ABGFADDG， 又BADDGF90 ， ADBGFD， ADBGDF，FADDGBDD， ADGGDF+ADF，BDFADB+ADF， ADGBDF， BDFADG， BFBDAGAD， AD3，AB1， BD22ABAD2， 22 333BFBDAGAD 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形外角等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键
浙公网安备33030202001339号