1、山东省青岛市城阳区山东省青岛市城阳区 2020-2021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、单选题（本题满分一、单选题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据气象台预报，2021年 6 月某日我区最高气温 25，最低气温 17，则当天气温 t（）的变化范围是（ ） A. t17 B. t25 C. 17 t 25 D. 17t25 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. 2(3)(3)9xxx B. 3423102.5x yxy x y
2、C. 2242 (2)xyxyxy xxyx D. 22693xxx 4. 如图，RtABC 的顶点 C的坐标为(1，0)，点 A在x轴正半轴上，且 AC2将ABC先绕点 C 顺时针旋转 90 ，再向左平移 3 个单位，得到点 A 的对应点的坐标是（ ） A. （2，2） B. （1，2） C. （2，3） D. （1，3） 5. 张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖正三角形；正五边形；正六边形；正八边形；正十边形，可以购买的地砖形状是（ ） A. B. C. D. 6. 化简222xxx的结果是（ ） A. 2242xx B. 42
3、x C. 284xx D. 3222824xxxx 7. 如图，在ABC中，AC=BC，C = 90 ，BD平分ABC 交 AC 于点 D，DEAB 于点 E，CD=6，则 AB等于（ ） A. 62 + 12 B. 62+ 6 C. 42 D. 42+ 4 8. 若不等式组0533xaxx有解，则a的取值范围是（ ） A a2 B. a2 C. a2 D. a2 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9. 分解因式：22169xy=_ 10. 分式52xx的值为 0，则 x的值为_ 11. 三角形各边长分别是 6cm，
4、8cm，10cm，则以各边中点为顶点的三角形面积是_cm2 12. 已知函数，123yx ，234yx则当12yy时，则x的取值范围是_ 13. 如图，在ABC 中，AC=BC，D是 AB的中点，连接 CD，ACB = 46 ，则A=_ 14. 如图， 在 ABC中， 在同一平面内， 将 ABC 绕点 A 逆时针旋转到 ADE的位置， 使旋转角DAB=70 ，则AEC=_ 15. 如图，在ABC 中，C =45 ，AB 的垂直平分线交 AB于点 E，交 BC于点 D；AC 的垂直平分线交 AC于点 G，交 BC 于点 F，连接 AD，AF若 AF=2cm，BC=8cm，则 DF=_cm 16.
5、 观察：11111 323，11113 5235，111157257， ，111119 2121921111111111110.1.1 33 55 719 212335192121， 请用你发现的规律计算求值：1111.1 33 55 72019 2021_ 三、作图题（共三、作图题（共 4 分）分） 17. （1）已知：ABC 求作：BC边上的高 AD (用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹) （2）如图，ABC各顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，2） ，C（1，2） 平移ABC，使其顶点 A平移到点 A1（3，0）处，画出平移后的A1B1C1； 以点 C 为旋转中心，画出ABC按
6、顺时针旋转 90 的A2B2C2 四、解答题（本大题满分四、解答题（本大题满分 64 分）分） 18. （1）解不等式组：5(21)55387xxxx； （2）化简：22(2 )xyyxxyy； （3）分解因式： 2816x yxyy； （4）解方程：31166xxx 19. 某校团委组织七年级和八年级共 100 名同学参加义卖活动，所获利润全部捐给贫困地区学生，七年级学生每人义卖平均获得净利润 10 元， 八年级学生每人义卖平均获得净利润 15 元 为了保证义卖获得净利润总钱数不少于 1200元，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 20. 已知：如图，CAB=ABD=90 ，且 CB=AD，
7、CB、AD 交于点 E，EFAB 于点 F，求证： （1）AC=BD； （2）若 BD=62，则 EF=_ 21. 已知：如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，E 是 BC的中点，连接 OE 并延长使EF=OE，连接 BF、CF 求证： （1）OB=CF； （2）四边形 OFCD 是平行四边形 22. 某商场计划购进 A、B两种品牌的卡通笔袋，A品牌笔袋的进价是 B品牌笔袋的进价的 2 倍，用 100 元购进 A品牌笔袋的件数比用 100 元购进 B品牌笔袋的件数少 10件 （1）求每件 A 品牌笔袋、B 品牌笔袋的进价分别是多少元？ （2）商场计划用 500元来购进
8、A、B两种品牌笔袋，其中 A、B两种品牌笔袋的总数量至少为 60件，设 A品牌笔袋购进a件，那么 A品牌笔袋最多购进多少件？ （3）在（1） （2）的条件下，若 A 品牌笔袋每件的售价是 15 元，B 品牌笔袋每件的售价 8元，若 A、B两种品牌笔袋全部售完，请求出总利润 W与a的表达式？并求该超市利润最低是多少元？ 23. 如图，在四边形 ABCD中，AD/BC，AD=15米，CD24 米，BC46 米D150 点 P 在 BC 上由点 C向点 B出发，速度为每秒 4米；点 Q在边 AD上，同时由点 A向点 D运动，速度为每秒 1 米，当点Q 运动到点 D时，P、Q 同时停止运动连接 PQ，
9、设运动时间为t秒 （1）当 t为何值时 PQ/CD？ （2）设四边形 PCDQ 的面积为 S，求 S与t之间的函数关系式 （3）是否存在某一时刻t，使点 D在线段 PC垂直平分线上？并求出此刻t的值 24. 【问题提出】 ：将一个边长为 n（n2）的正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？ 【问题探究】 ：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律 探究一：将一个边长为 2的正方形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正
10、方形个数分别是多少？ 如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数： （1）第一行有宽边长为 1，底长为 12 的长方形，共有 2+1=3 个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 12 的长方形，共有 2+1=3 个； 为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行因此底第二行还包括宽边长为 2，底长为 12 的长方形，共有 2+1=3 个 即：第二行长方形共有 2 3 个 所以如图 1，长方形共有 2 3+3=9=（2+1）2 我们再研究正方形个数： 分析：边长为 1 的正方形共有 22个，边长为 2
11、的正方形共有 12个， 所以：如图 1，正方形共有 22 + 12 = 5 =16 2 3 5 个 探究二：将一个边长为 3正方形的四条边分别 3 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？ 如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究长方形的个数： （1）第一行有宽长为 1 底长为 13 的长方形，共有 3+2+1=6个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 13的长方形，共有 3+2+1=6 个； 底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 13 的长方形，共有 3+2+1=6个 即：第二行长方形共有 2 6 个 （3）第三行
12、有宽边长为 1，底长为 13 的长方形，共有 3+2+1=6 个； 底在第三行还包括宽边长为 2，底长为 13 的长方形，共有 3+2+1=6 个 底在第三行还包括宽边长为 3，底长为 13 的长方形，共有 3+2+1=6 个 即：第三行长方形共有 3 6 个 所以如图 2，长方形共有 3 6+2 6+6=（3+2+1） 6=（3+2+1）2 我们再研究正方形的个数： 分析： 边长为 1 的正方形共有 32个， 边长为 2 的正方形共有 22个， 边长为 3 的正方形共有 12个 所以：如图 2，正方形共有 32 + 22 + 12 =14 =16 3 4 7 个 探究三：将一个边长为 5 的
13、正方形的四条边分别 5 等分，连接各边对应的等分点， 则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？ 如图 3，从上往下，共有 5 行，我们先研究长方形的个数： （1）第一行有宽边长为 1，底长为 15 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15 个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 15 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个； 底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 15 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15 个 即：第二行长方形共有 2 15 个 （3）模仿上面的探究，第三行长方形总共有 3 15 个 （4）按照上边的规律，第四行长方形总共
14、有 个 （5）按照上边的规律，第五行长方形总共有 个 所以，如图 3，长方形总共有 个 我们再研究正方形个数： 分析： 边长为 1 的正方形共有 52个， 边长为 2 的正方形共有 42个， 边长为 3 的正方形共有 32个， 边长 为 4 的正方形共有 22个，边长 为 5 的正方形共有 12个 所以：如图 3，正方形共有 5 2+ 42 + 32 + 22 + 12 =16 个 （仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式） 【问题解决】 将一个边长为n（n2）的正方形的四条边 n 等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是 和
15、正方形个数分别是16 （用含n的代数式表示） 【问题应用】 将一个边长为 n（n2）的正方形的四条边 12 等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数 是 个，正方形个数是 个 山东省青岛市城阳区山东省青岛市城阳区 2020-2021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、单选题（本题满分一、单选题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解 【详解】解
16、：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合 2. 据气象台预报，2021年 6月某日我区最高气温 25，最低气温 17，则当天气温 t（）的变化范围是（ ） A. t17 B. t25 C. 17 t 25 D. 17t25 【答案】C 【解析】 【分析】变化范围是指在最低值和最高值之间，根据题意易用不等式表示 【详解】由于某日
17、我区最高气温 25，最低气温 17，则变化的范围为 17 t 25 故选：C 【点睛】本题考查不等式表示生活中的应用，知道这个量的最大值和最小值，便可确定变量的变化范围，从而可用不等式表示 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. 2(3)(3)9xxx B. 3423102.5x yxy x y C. 2242 (2)xyxyxy xxyx D. 22693xxx 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义即可判断 【详解】A、2(3)(3)9xxx是属于多项式的乘法，故不是因式分解； B、3423102.5x yxy x y不是因式分解，因式分解的是多项式，而不是单
18、项式，故不是因式分解； C、2242 (2)xyxyxy xxyx中右边不是多项式的积，故不是因式分解； D、22693xxx是两个多项式的积，符合因式分解的定义，故是因式分解； 故选：D 【点睛】本题考查了因式分解的定义，理解因式分解的概念要注意两点：一是因式分解的对象是多项式而不是单项式或其它代数式；二是因式分解的结果是几个整式的积 4. 如图，RtABC 的顶点 C的坐标为(1，0)，点 A在x轴正半轴上，且 AC2将ABC先绕点 C 顺时针旋转 90 ，再向左平移 3 个单位，得到点 A 的对应点的坐标是（ ） A. （2，2） B. （1，2） C. （2，3） D. （1，3） 【
19、答案】A 【解析】 【分析】求出两次变换后点 A 的对应点的坐标即可 【详解】解：点 C的坐标为（1，0） ，AC=2， 点 A的坐标为（3，0） ， 将 RtABC先绕点 C顺时针旋转 90 ， 则点 A的对应点坐标为（1，-2） ， 再向左平移 3个单位长度， 则变换后点 A 的对应点坐标为（-2，-2） 故选：A 【点睛】本题考查旋转变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 5. 张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖正三角形；正五边形；正六边形；正八边形；正十边形，可以购买的地砖形状是（ ） A. B. C
20、. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次求出各形状地砖的内角度数，再判断 360 是否为该内角的整数倍即可得出结论 【详解】解：正三角形每个内角的度数为 60 ，且 36060=6； 正五边形每个内角度数为 180-（3605）=108，且 360108不是整数； 正六边形每个内角度数为 180-（3606）=120，且 360120=3； 正八边形每个内角度数为 180-（3608）=135，且 360135不是整数； 正十边形每个内角度数为 180-（36010）=144，且 360144不是整数； 综上可知，只有正三角形和正六边形两种形状的地砖符合题意， 故选：B 【点睛】本题考查了
21、正多边形内角和的计算，解决本题的关键是能读懂题意，了解同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，做到无缝隙、不重叠铺设，则 360应该为该正多边形地砖的内角的整数倍，本题对学生应用数学的意识与能力有一定的体现 6. 化简222xxx的结果是（ ） A. 2242xx B. 42x C. 284xx D. 3222824xxxx 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【详解】解：222xxx 2(2)2xxx 2(2)(2)22xxxxx 22422xxxx 42x， 故选：B 【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 7. 如图，
22、在ABC中，AC=BC，C = 90 ，BD平分ABC 交 AC 于点 D，DEAB 于点 E，CD=6，则 AB等于（ ） A. 62 + 12 B. 62+ 6 C. 42 D. 42+ 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明ABC是等腰直角三角形，再根据角平分线的性质查得 DE=6，进而判断ADE是等腰直角三角形，求出 AD=6 2，得到 AC=62+6，从而可得结论 【详解】解：AC=BC，C = 90 ， 45A BD平分ABC，DEAB DE=DC=6，AED = 90 ， 45ADE ADE是等腰直角三角形 6 2AD AC=AD+DC=62+6 26 2 12ABAC 故选
23、：A 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，求出 AD=6 2是解答本题的关键 8. 若不等式组0533xaxx有解，则a的取值范围是（ ） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知得出关于a的不等式，求出即可 【详解】解：解不等式0 xa，得：xa ， 解不等式5 33xx，得：2x， 又不等式组0533xaxx有解， 2a ，即2a ， 故选：D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，解此题关键是能得出关于a的不等式 二、填空题（本题满
24、分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）请将分）请将 916 各小题的答案填写在各小题的答案填写在答题纸规定的位置答题纸规定的位置 9. 分解因式：22169xy=_ 【答案】3434yxyx 【解析】 【分析】利用平方差公式分解即可 【详解】222222916(3 )(4 )(34 )(31694 )yxyxxyxyxy 故答案为：3434yxyx 【点睛】本题考查了用平方差公式分解因式，关键是掌握平方差公式的特征：是两项，且异号；每项的绝对值可表示为一个数的平方 10. 分式52xx值为 0，则 x 的值为_ 【答案】5 【解析】 【分析】
25、根据分式的值为 0 可直接进行求解 【详解】解：分式52xx的值为 0， 50 x 且20 x， 5x ； 故答案为5 【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键 11. 三角形各边长分别是 6cm，8cm，10cm，则以各边中点为顶点的三角形面积是_cm2 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，易得连接这个三角形三边中点所得的三角形的三边，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积 【详解】解：如图，D，E，F分别是ABC 的三边的中点，且 AC=8cm，BC=6cm，E
26、F=10cm， 则 DE=12AC=4，DF=12BC=3，EF=12AB=5， 32+42=52， DEF是直角三角形，且EDF=90 ， 此直角三角形的面积为：12 3 4=6（cm2） 故答案为：6 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的中位线定理，能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形是解决此类问题的关键 12. 已知函数，123yx ，234yx则当12yy时，则x的取值范围是_ 【答案】15x 【解析】 【分析】根据函数解析式可得不等式：2334xx ，再解不等式即可 【详解】解：由题意得：2334xx ， 解得：15x ， 故答案为：15x 【点睛
27、】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确列出不等式 13. 如图，在ABC 中，AC=BC，D是 AB的中点，连接 CD，ACB = 46 ，则A=_ 【答案】67 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可 【详解】解：AC=BC， A=B ， ACB = 46 ， A=12 （180-ACB）=67 ； 故答案为：67 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键 14. 如图， 在ABC中， 在同一平面内， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ADE的位置， 使旋转角DAB=70 ，则AEC=_ 【答案】55 【解析】 【
28、分析】根据旋转的性质得 AE=AC，DAB=EAC，再根据等腰三角形的性质得AEC=ACE，再根据三角形内角和计算出AEC即可 【详解】解：ABC绕点 A 逆时针旋转到AED的位置，DAB=70 ， AE=AC，EAC=DAB=70 ， ACE=AEC， AEC=12（180-EAC ）=55 ， 故答案为：55 【点睛】本题考查了旋转、等腰三角形性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转及等腰三角形的性质是解题的关键 15. 如图，在ABC 中，C =45 ，AB 的垂直平分线交 AB于点 E，交 BC于点 D；AC 的垂直平分线交 AC于点 G，交 BC 于点 F，连接 AD，AF若 AF=2c
29、m，BC=8cm，则 DF=_cm 【答案】83 【解析】 【分析】 先利用线段的垂直平分线的性质求出BD=AD和AF=CF， 得到CF和BF的值； 接着求出AFD=90，设 BD=AD=x，利用勾股定理建立方程求出 x的值，将值代入 DF 的表达式求解即可 【详解】解：AB的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC于点 D，AC 的垂直平分线交 AC 于点 G，交 BC于点F， BD=AD，AF=CF， 又AF=2cm，BC=8cm， CF=2cm，BF=BC-CF=（8-2）cm=6cm， 设 BD=AD=x，则 DF=6-x， C =45 ， C =CAF=45 ， AFD=C+CAF=9
30、0 ， 222ADAFDF, 即22226xx， 103x ， 1086633DFx, 故答案为：83 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理、等边对等角以及直角三角形的判定等内容，解决本题的关键是能利用线段的垂直平分线的性质得到相等的线段， 解决本题的难点是灵活运用 45 角找出其中的直角三角形，利用勾股定理建立方程求解等，本题计算中蕴含了完全平方公式的运用，因此要求学生牢记该公式 16. 观察：11111 323，11113 5235，111157257， ，111119 2121921111111111110.1.1 33 55 719 212335192121， 请用你发现
31、的规律计算求值：1111.1 33 55 72019 2021_ 【答案】10102021 【解析】 【分析】根据题目中的式子，对所求式子进行拆项即可解答本题 【详解】解：1111.1 33 55 72019 2021 1111111.233520192021 11122021 1202022021 10102021 故答案为：10102021 【点睛】本题考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值 三、作图题（共三、作图题（共 4 分）分） 17. （1）已知：ABC 求作：BC边上的高 AD (用尺规作图，不写作法，但要保留作
32、图痕迹) （2）如图，ABC各顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，2） ，C（1，2） 平移ABC，使其顶点 A平移到点 A1（3，0）处，画出平移后的A1B1C1； 以点 C 为旋转中心，画出ABC按顺时针旋转 90 的A2B2C2 【答案】 （1）见解析； （2）见解析；见解析 【解析】 【分析】 （1）以点 B为圆心，BA 的长为半径作弧，以点 C为圆心，CA 的长为半径作弧，两弧在 BC 下方交于点 E；连接 AE 交 BC于点 D所以线段 AD是ABC 中 BC 边上的高线 （2）利用点 A和 A1的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出 B1、C1的坐标，然后描点
33、即可； 利用网格特点和旋转的性质画出 A、B、C的对应点 A2、B2、C2即可 【详解】解： （1）以点 B 为圆心，BA 的长为半径作弧，以点 C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在 BC下方交于点 E；连接 AE交 BC于点 D所以线段 AD是ABC中 BC 边上的高线如图所示，AD即为所求作： （2）A(-2,4)平移到13,0A 可得：先将图形向左平移一个单位，然后再向下平移 4 个单位长度，如图所示： 如图所示：旋转后的点的坐标为2221,31,51,2ABC，然后顺次连接即可得 【点睛】 本题考查了作图-旋转变换： 根据旋转的性质可知， 对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由
34、此可以通过作相等的角， 在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点， 顺次连接得出旋转后的图形 也考查了平移变换 四、解答题（本大题满分四、解答题（本大题满分 64 分）分） 18. （1）解不等式组：5(21)55387xxxx； （2）化简：22(2 )xyyxxyy； （3）分解因式： 2816x yxyy； （4）解方程：31166xxx 【答案】 （1）22x ； （2）yx； （3）24y x； （4）4x 【解析】 【分析】 （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除
35、法法则变形，约分得到最简结果即可； （3）先提取y，再利用完全平方公式继续分解即可； （4）先将分式方程两边都乘以（x-6） ，得到整式方程，然后解整式方程，最后再检验即可 【详解】解： （1）5(21)55387xxxx 解不等式得2x， 解不等式2x ， 原解不等式组解是：22x ； （2）22(2 )xyyxxyy = 222()xyxyyyyx yx； （3）2816x yxyy 2(816)y xx 2(4)y x； （4）去分母得：316xx ， 解得 x= 4， 经检验 x= 4是原方程的解， 原方程的解是：x= 4 【点睛】本题考查了学生的计算能力，解题的关键是熟练运用不等式组
36、的解法、因式分解以及分式方程的解法，本题属于基础题型要注意的是：解分式方程时要检验 19. 某校团委组织七年级和八年级共 100 名同学参加义卖活动，所获利润全部捐给贫困地区学生，七年级学生每人义卖平均获得净利润 10 元， 八年级学生每人义卖平均获得净利润 15 元 为了保证义卖获得净利润总钱数不少于 1200元，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 【答案】至少需要 40名八年级学生参加活动 【解析】 【分析】设需要 x名八年级学生参加活动，则有（100-x）名七年级学生参加活动，根据义卖获得净利润总钱数不少于 1200元，列不等式求解 【详解】解：设需要 x名八年级学生参加活动，根据题意得
37、： 10 100151200 xx， 解得40 x， 答：至少需要 40名八年级学生参加活动 【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时由义卖获得净利润总钱数不少于 1200元建立不等式是关键 20. 已知：如图，CAB=ABD=90 ，且 CB=AD，CB、AD 交于点 E，EFAB 于点 F，求证： （1）AC=BD； （2）若 BD=62，则 EF=_ 【答案】 （1）见解析； （2）3 2 【解析】 【分析】 （1）根据题意证明 RtABCRtABD，故可求解； （2）根据题意证明 EF 是ABD 的中位线，故可求解 【小问 1 详解】 证明
38、：在 RtABC与 RtABD 中， CAB=ABD=90 ，CB=AD，AB=AB， RtABCRtBAD， AC=BD； 【小问 2 详解】 RtABCRtBAD， EAB=EBA， AE=BE， D+EAB=EBA+EBD=90 ， D=EBD， BE=DE， AE=DE， E点是 AD中点， EFAB， EF 是ABD的中位线， EF=12BD=32， 故答案为：32 【点睛】此题主要考查全等三角形与中位线的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理与中位线的判定与性质 21. 已知：如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，E 是 BC的中点，连接 OE 并延长使
39、EF=OE，连接 BF、CF 求证： （1）OB=CF； （2）四边形 OFCD 是平行四边形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）通过证明BEOCEF即可得证； （2）通过证明/OD CF，=OD CF，根据平行四边形的判定定理即可证明四边形 OFCD 是平行四边形。 【详解】 （1）证明：E是 BC的中点 BECE 在BEO与CEF 中 EFEOOEBFECBECE ()BEOCEF SAS OB=CF； （2）BEOCEF BOF=CFO /OD CF 四边形 ABCD是平行四边形 OB=OD OD=CF 四边形 OFCD是平行四边形 【点睛】本题主要考查了
40、平行四边形的性质及判定，三角形全等的判定，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键 22. 某商场计划购进 A、B两种品牌的卡通笔袋，A品牌笔袋的进价是 B品牌笔袋的进价的 2 倍，用 100 元购进 A品牌笔袋的件数比用 100 元购进 B品牌笔袋的件数少 10件 （1）求每件 A 品牌笔袋、B 品牌笔袋的进价分别是多少元？ （2）商场计划用 500元来购进 A、B两种品牌笔袋，其中 A、B两种品牌笔袋的总数量至少为 60件，设 A品牌笔袋购进a件，那么 A品牌笔袋最多购进多少件？ （3）在（1） （2）的条件下，若 A 品牌笔袋每件的售价是 15 元，B 品牌笔袋每件的售价 8元，若 A、
41、B两种品牌笔袋全部售完，请求出总利润 W与a的表达式？并求该超市利润最低是多少元？ 【答案】 （1）每件 A品牌笔袋的进价为 10元，B品牌笔袋的进价为 5元； （2）40 件； （3）300Wa ，260元 【解析】 【分析】 （1）根据题意设每件 B品牌笔袋的进价为 x 元，A 品牌笔袋的进价为 2x元，等量关系为，A是数量比B的少 10件，列分式方程解决问题； （2）设 A 品牌笔袋购进 a件，结合（1）的结论，列一元一次不等式解决问题，不等关系为，总数量至少为 60 件； （3）根据（1） （2）的结论，列出总利润 W与a的表达式，用一次函数的性质求得最值 【详解】 （1）解：设每件
42、B 品牌笔袋的进价为 x 元，A品牌笔袋的进价为 2x元 根据题意得： 100100102xx 5x 经检验，x=5是原方程的根 2x = 2 5 = 10 答：每件 A品牌笔袋的进价为 10元，B品牌笔袋的进价为 5元 （2）解：设 A 品牌笔袋购进 a件，由题意得： 500 10605aa 解得：40a 答：A 品牌笔袋最多购进 40 件 （3）500 10(15 10)(85)5aWa 5300 6aa 300a 1 0k W随着a的增大而减小 由（2）知，40a 当40a时， W最小1 40 300260 （元） 答：该超市利润最低是 260 元 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元
43、一次不等式的应用，一次函数的实际应用，理解题意找到等量关系和不等关系列方程和不等式解决问题，运用一次函数的性质是解题的关键 23. 如图，在四边形 ABCD中，AD/BC，AD=15米，CD24 米，BC46 米D150 点 P 在 BC 上由点 C向点 B出发，速度为每秒 4米；点 Q在边 AD上，同时由点 A向点 D运动，速度为每秒 1 米，当点Q 运动到点 D时，P、Q 同时停止运动连接 PQ，设运动时间为t秒 （1）当 t为何值时 PQ/CD？ （2）设四边形 PCDQ 的面积为 S，求 S与t之间的函数关系式 （3）是否存在某一时刻t，使点 D在线段 PC的垂直平分线上？并求出此刻t
44、的值 【答案】 （1）3； （2）90 18St； （3）存在，6 3 【解析】 【分析】 （1）根据题意及平行线四边形的性质即可求解 （2）作 DEBC 于点 E，勾股定理求得梯形的高DE，即可求得； （3）根据垂直平分线的性质，及勾股定理结合题意即可求解 【详解】解： （1）ADBC，当 PQCD 时， 四边形 QDCP 是平行四边形； QD=PC， ADAQPC，AD=15， P的速度为每秒 4 米，Q速度为每秒 1米 即 15-t=4t， 解得t=3 （2）作 DEBC 于点 E /AD BC， 则90ADEDEC ADC150 ， 1509060EDC C30 在 RtEDC 中，C
45、30 ，CD24 DE=12DC 12， S梯形PCDQ=1()2QDPCDE=6 (15-t+4t)=90+18t （3）存在，理由如下： D 在线段 PC 的垂直平分线上 CE=22DCDE=22241212 3， 则CP=2CE 243 P的速度为每秒 4 米 t 2434=63 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，理解题意，分别用含t的代数式表示出,QD CP是解题的关键 24. 【问题提出】 ：将一个边长为 n（n2）的正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？ 【问题
46、探究】 ：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律 探究一：将一个边长为 2的正方形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？ 如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数： （1）第一行有宽边长为 1，底长为 12 的长方形，共有 2+1=3 个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 12 的长方形，共有 2+1=3 个； 为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行因此底第二行还包括宽边长为 2，
47、底长为 12 的长方形，共有 2+1=3 个 即：第二行长方形共有 2 3 个 所以如图 1，长方形共有 2 3+3=9=（2+1）2 我们再研究正方形的个数： 分析：边长为 1 的正方形共有 22个，边长为 2 的正方形共有 12个， 所以：如图 1，正方形共有 22 + 12 = 5 =16 2 3 5 个 探究二：将一个边长为 3的正方形的四条边分别 3等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？ 如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究长方形的个数： （1）第一行有宽长为 1 底长为 13 的长方形，共有 3+2+
48、1=6个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 13的长方形，共有 3+2+1=6 个； 底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 13 长方形，共有 3+2+1=6 个 即：第二行长方形共有 2 6 个 （3）第三行有宽边长为 1，底长为 13 长方形，共有 3+2+1=6个； 底在第三行还包括宽边长为 2，底长为 13 的长方形，共有 3+2+1=6 个 底在第三行还包括宽边长为 3，底长为 13 的长方形，共有 3+2+1=6 个 即：第三行长方形共有 3 6 个 所以如图 2，长方形共有 3 6+2 6+6=（3+2+1） 6=（3+2+1）2 我们再研究正方形的个数： 分析： 边长为 1
49、 的正方形共有 32个， 边长为 2 的正方形共有 22个， 边长为 3 的正方形共有 12个 所以：如图 2，正方形共有 32 + 22 + 12 =14 =16 3 4 7 个 探究三：将一个边长为 5 的正方形的四条边分别 5 等分，连接各边对应的等分点， 则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？ 如图 3，从上往下，共有 5 行，我们先研究长方形的个数： （1）第一行有宽边长为 1，底长为 15 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15 个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 15 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个； 底在第二行
50、还包括宽边长为 2，底长为 15 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15 个 即：第二行长方形共有 2 15 个 （3）模仿上面的探究，第三行长方形总共有 3 15 个 （4）按照上边的规律，第四行长方形总共有 个 （5）按照上边的规律，第五行长方形总共有 个 所以，如图 3，长方形总共有 个 我们再研究正方形的个数： 分析： 边长为 1 的正方形共有 52个， 边长为 2 的正方形共有 42个， 边长为 3 的正方形共有 32个， 边长 为 4 的正方形共有 22个，边长 为 5 的正方形共有 12个 所以：如图 3，正方形共有 5 2+ 42 + 32 + 22 + 12 =16 个 （
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