1、山东省济南市长清区山东省济南市长清区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试学年八年级下期末数学试卷卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1. 若xy，则下列不等式成立的是（ ） A. 33xy B. 11xy C. 33xy D. xy 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. （x3） （x3）x29 B. x22x1x（x
2、2）1 C. x22x1（x1）2 D. 8a2b22a2 4 b2 4. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ） A. AODO B. CDAB C. BADBCD D. /,AD BC ADBC 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 6. 在平面直角坐标系中，将点 A（-2，3）向右平移 4 个单位长度再向下平移 4个单位长度，得到的对应点 A的坐标为（ ） A. （-6，7） B. （-6，-1）
3、 C. （2，-1） D. （2，7） 7. 化简1xx 21xx的结果是( ) A. x B. x C. x1 D. x1 8. 如图将 ABC绕点 P按逆时针方向旋转 90 ，得到 ABC，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4） 9. 已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的 2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，在ABC 中，AB10，BC16，点 D、E分别是边 AB、AC中点，点 F 是线段 DE 上的一点，连接 AF、BF，若AFB90 ，则线段 EF的
4、长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，CB12，CD5，折叠纸片使 AD与对角线 BD重合，与点 A 重合的点为N，折痕为 DM，则 MNB 的面积为（ ） A 65 B. 125 C. 135 D. 26 12. 如图，BD为平行四边形 ABCD 的对角线，DBC45 ，DEBC 于点 E，BFCD 于点 FDE、BF相交于点H， 直线 BF交线段 AD的延长线于点G， 下列结论： ABHE； ABBH； BHDBDG；BH2BG2AG2其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每
5、小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13. 分解因式：x2+6x+9=_ 14. 分式426mm值为 0，则 m_； 15. 如图，菱形 ABCD对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AC=8，BD=6，则该菱形的周长是_ 16. 一次函数 y=ax+b与正比例函数 y=kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示， 则关于x的不等式 ax+bkx的解集为_ 17. 如果方程13x23kx有增根则 k_ 18. 如图，正方形 ABCD中，AB6，点 E 为对角线 AC上的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 H是 CD上一点，DH23CD，连接 GH，则 GH 的最小值为_
6、 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 78分 ）分 ） 19. 因式分解： （1）22mxmy； （2）2 ()3 ()m abn ba 20. 解不等式组：2173112xxx ，并在数轴上表示出不等式组的解集 21. 解分式方程：22xx112x 22. 先化简，再求值：211121aaaa，其中3 1a 23. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F求证：AE=CF 24. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，BEAC，AEBD，连接 EO （1）试判断四边形 AEBO的形
7、状，并说明理由； （2）若 CD6，求 OE 的长 25. 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购 A、B两种医疗器械，购买 1 台 A器材比购买 1 台 B器材多花 5 万元，并且花费 300 万元购买 A 器材和花费 200 万元购买 B器材的数量相等 （1）求购买一台 A 器材和一台 B器材各需多少万元； （2）医院准备购买 A、B两种器材共 60 台，若购买 A、B 器材的总费用不高于 800 万元，那么最多购买 A器材多少台？ 26. 综合与实践 已知四边形 ABCD与 AEFG均为正方形 （1）数学思考： 如图 1，当点 E在 AB边上，点 G在 AD边上时，线段 BE 与 DG
8、 的数量关系是_；位置关系是_； （2）在图 1 的基础上，将正方形 AEFG以点 A 为旋转中心，逆时针旋转角度 ，得到图 2则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 （3）如图 3，着点 D、E、G 在同一直线上，AB2AE=22，求线段 BE的长 27. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y12x6与 x 轴、y轴相交于 A、B两点，点 C 在线段 OA上，将线段 CB绕着点 C 顺时针旋转 90 得到 CD，此时点 D 恰好落在直线 AB上，过点 D 作 DEx 轴于点 E （1）求证：BOCCED； （2）如图 2，将BCD沿 x 轴正方向平移得BCD，当
9、BC经过点 D时，求点 D坐标及BCD 平移的距离； （3）若点 P在 y轴上，点 Q在直线 AB上，是否存在以 C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的 P点的坐标；若不存在，请说明理由 山东省济南市长清区山东省济南市长清区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试学年八年级下期末数学试卷卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1. 若xy，则下列不等式成立的是（ ） A. 33xy B. 11xy C. 33xy D. xy 【1 题答案】 【答案】B 【解析】
10、 【分析】根据不等式的性质分析判断 【详解】解：A.根据不等式的基本性质，不等式两边同乘以 3，不等号的方向不变，得33xy，故 A错误； B.不等式两边同加上 1，不等号方向不变，得11xy ，故 B正确； C.不等式两边同除以 3，不等号方向不变，得33xy，故 C错误； D.不等式两边同乘以-1，不等号的方向改变，得xy ，故 D 错误 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，特别注意当不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A.
11、 B. C. D. 【2 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题
12、的关键 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. （x3） （x3）x29 B. x22x1x（x2）1 C. x22x1（x1）2 D. 8a2b22a2 4 b2 【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可 【详解】解：A从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意； D从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几
13、个整式的积的形式，叫因式分解 4. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ） A. AODO B. CDAB C. BADBCD D. /,AD BC ADBC 【4 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质定理直接判断即可 【详解】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AC与BD相交于点O， CDAB，BADBCD，/,AD BC ADBC，OD=OB，OA=OC， 故 B、C、D正确； 故选：A 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边
14、形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【5 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意； C、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练运用这些判定是本
15、题的关键 6. 在平面直角坐标系中，将点 A（-2，3）向右平移 4 个单位长度再向下平移 4个单位长度，得到的对应点 A的坐标为（ ） A. （-6，7） B. （-6，-1） C. （2，-1） D. （2，7） 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标的平移规律解答即可 【详解】解：将点 A（-2，3）向右平移 4 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度， 那么平移后对应的点 A的坐标是（-2+4，3-4） ，即（2，-1） ， 故选：C 【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 7. 化简1xx 21xx的结
16、果是( ) A. x B. x C. x1 D. x1 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分即可 【详解】原式2(1)111xxxxxxxx， 故选 B 【点睛】此题考查分式的加减法，难度不大，先化为同分母再通分是解题关键 8. 如图将ABC绕点 P按逆时针方向旋转 90 ，得到ABC，则点 A的对应点 A的坐标是（ ） A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4） 【8 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 根据旋转的性质， 确定出点 A， 点 B， 点 C的位置， 得到ABC， 即可得点 A 的对应
17、点 A的坐标 【详解】解：如图，ABC即为所求， 点 A 的对应点 A的坐标是（0，4） 故选：A 【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转，解决本题关键是掌握旋转的性质旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角 9. 已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的 2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【9 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】设多边形的边数为 n，由 n边形的内角和可以表示成（n-2）180，外角和为 360 ，根据题意列方程求解 【详解】解：设多边形边数为 n，依题意，得 （n-2）180=23
18、60， 解得 n=6， 故选 C 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和是解题关键 10. 如图，在ABC 中，AB10，BC16，点 D、E分别是边 AB、AC的中点，点 F是线段 DE 上的一点，连接 AF、BF，若AFB90 ，则线段 EF的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【10 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到 DF=5，由三角形中位线的性质得到 DE=8，最后由线段的和差解题即可 【详解】解：AFB=90 ，点 D是 AB 的中点， DF= 12AB=5， BC= 16，
19、D、E 分别是 AB，AC 的中点， DE=12BC=8， EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键 11. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，CB12，CD5，折叠纸片使 AD与对角线 BD重合，与点 A 重合的点为N，折痕为 DM，则MNB的面积为（ ） A. 65 B. 125 C. 135 D. 26 【11 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 由勾股定理得出BD=13， 由折叠的性质可得ND=AD=12， MND=A=90 ， NM=AM， 得出EAB=90 ，BN=BD-ND=1，设 AM=NM=x，则 BM=AB-
20、AM=5-x，在 RtBMN 中，由勾股定理得出方程，解方程得出 x，即可得出答案 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形， A=90 ，AD=BC=12，AB=CD=5， BD=2222512ABAD=13， 由折叠的性质可得：ND=AD=12，MND=A=90 ，NM=AM， MNB=90 ，BN=BD-ND=13-12=1， 设 AM=NM=x，则 BM=AB-AM=5-x， 在 RtBMN中，NM2+BN2=BM2， x2+12=(5-x)2， 解得：x=125， NM=AM=125， MNB 的面积=12BN NM=11261255 ； 故选：A 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理
21、以及矩形的性质熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键 12. 如图，BD为平行四边形 ABCD 的对角线，DBC45 ，DEBC 于点 E，BFCD 于点 FDE、BF相交于点H， 直线 BF交线段 AD的延长线于点G， 下列结论： ABHE； ABBH； BHDBDG；BH2BG2AG2其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【12 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】通过判断BDE为等腰直角三角形，得到 BE=DE，根据等角的余角相等得到BHE=C，再根据平行四边形的性质得到A=C， 则A=BHE， 于是可对进行判断； 根据“AAS”可证明BEHDEC，
22、得到 BH=CD，CE=EH，可对进行判断；接着由平行四边形的性质得 AB=CD，则 AB=BH，运算可对进行判断；因为BHD=90 +EBH，BDG=90 +BDE，由BDEEBH，推出BDGBHD；依据勾股定理即可得到 BH2+BG2=AG2 【详解】DBC=45 ，DEBC， BDE为等腰直角三角形， BE=DE， BFCD， C+CBF=90 ， 而BHE+CBF=90 ， BHE=C， 四边形 ABCD为平行四边形， A=C， A=BHE，所以正确； 在BEH和DEC中 BHECHEBCEDBEDE， BEHDEC（AAS） ， BH=CD，CE=EH， 四边形 ABCD为平行四边形
23、， AB=CD， AB=BH，所以正确； BHD=90 +EBH，BDG=90 +BDE， BDEEBH， BDGBHD，所以错误； BFCD，ABCD， ABG=90 ， RtABG中，AB2+BG2=AG2， 又AB=BH， BH2+BG2=AG2，所以正确； 正确 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13. 分解因式：x2+6x+9=_ 【13 题答案】 【答案】 （x+3）2
24、【解析】 【详解】试题分析：直接用完全平方公式分解即可：x2+6x+9=（x+3）2 14. 分式426mm的值为 0，则 m_； 【14 题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件：分子为 0，分母不为 0，即可求出答案 【详解】由题意可知：40260mm， 解得：4m， 故答案为：4 【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型 15. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD相交于点 O，若 AC=8，BD=6，则该菱形的周长是_ 【15 题答案】 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理即可求解. 【
25、详解】依题意可知 BDAC，AO=4，BO=3 AB=2234=5， 菱形的周长为 45=20 【点睛】此题主要考查菱形的周长计算，解题的关键是熟知菱形的对角线垂直. 16. 一次函数 y=ax+b与正比例函数 y=kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示， 则关于x的不等式 ax+bkx的解集为_ 【16 题答案】 【答案】x1 【解析】 【分析】由图象可以知道，当 x=-1 时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式 ax+bkx 解集 【详解】 两个条直线的交点坐标为(1， 2)， 且当 x1时， 直线 y=kx 在 y=ax+b 直线的下方， 故不等式 ax+bkx
26、的解集为 x1 故答案为 x1 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识点，解题的关键是根据图象可知一次函数与一元一次不等式的增减性 17. 如果方程13x23kx有增根则 k_ 【17 题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】先解分式方程，用含k的代数式表示方程的的解，因为方程13x23kx有增根，则3x ，再求出k即可 【详解】13x23kx 去分母得：12(3)xk 解得：72kx 原方程有增根 3x 即：732k 解得：1k 故答案为：1 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的定义，根据增根的定义求解是解题的关键 18. 如图，正方形 ABCD中，AB6，点 E 为对角线 A
27、C上的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 H是 CD上一点，DH23CD，连接 GH，则 GH 的最小值为_ 【18 题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】连接CG，证明ADECDG SAS，推出45DCGDAE，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GHCG时，GH的值最小 【详解】连接CG， 四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形， DADC，DEDG，90ADCEDG，45DAC， ADECDG， ADECDG SAS， 45DCGDAE， 点G的运动轨迹是射线CG， 根据垂线段最短可知，当GHCG，GH的值最小， 243DHCD， 2CHCDDH， 最小
28、值sin452CH 故答案为：2 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 78分 ）分 ） 19. 因式分解： （1）22mxmy； （2）2 ()3 ()m abn ba 【19 题答案】 【答案】 （1）m（x+y） （x-y） ； （2） （a-b） （2m+3n） 【解析】 【分析】 （1）直接提取公因式 m，再利用平方差公式分解因式得出答案； （2）直接提取公因式（a-b） ，进而分解因式即可 【详解】解： （1）mx2-my2 =m（x2-y2） =m（x+y） （x-y） ； （2
29、）2m（a-b）-3n（b-a） =2m（a-b）+3n（a-b） =（a-b） （2m+3n） 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键 20. 解不等式组：2173112xxx ，并在数轴上表示出不等式组的解集 【20 题答案】 【答案】34x，数轴见解析 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【详解】解：解2173112xxx 由解得4x， 由解得3x， 解集在数轴上表示如下图： 所以不等式组的解集为34x 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴
30、上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示 21. 解分式方程：22xx112x 【21 题答案】 【答案】13x 【解析】 【分析】两边都乘以2x，化分式方程为整式方程，解整式方程求得 x 的值，最后检验即可得 【详解】解：22xx112x 去分母得，221xx 解得，13x 经检验，13x 是原方程的解， 所以，原分式方程的解为：13x 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是把分式方程转化为整式方程，不
31、要忘记检验 22. 先化简，再求值：211121aaaa，其中3 1a 【22 题答案】 【答案】a+1；3 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可 【详解】解：原式=2211 11111aaaaaaaaa 当3 1a 时，原式=3 1 13 23. 如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F求证：AE=CF 【23 题答案】 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 利用平行四边形的性质得出 AO=CO， ADBC， 进而得出EAC=FCO， 再利用 ASA 求出AOECOF，即
32、可得出答案 【详解】ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， AO=CO，ADBC， EAC=FCO， 在AOE 和COF 中EAOFCOAOOCAOECOF ， AOECOF（ASA） ， AE=CF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键 24. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，BEAC，AEBD，连接 EO （1）试判断四边形 AEBO的形状，并说明理由； （2）若 CD6，求 OE 的长 【24 题答案】 【答案】 （1）矩形，理由见解析； （2）6 【解析】 【分析】 （1）结合题意，可得四边形 A
33、EBO 为平行四边形；再根据菱形性质，推导得BEAE，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，结合矩形性质，得OEAB；根据菱形性质，得6ABCD，即可得到答案 【详解】 （1）BEAC，AEBD 四边形 AEBO 为平行四边形 菱形 ABCD ACBD BEAE 四边形 AEBO 为矩形； （2）四边形 AEBO为矩形 OEAB 菱形 ABCD 6ABCD 6OEAB 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，从而完成求解 25. 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购 A、B两种医疗器械，购买 1 台 A器材比购买 1 台 B
34、器材多花 5 万元，并且花费 300 万元购买 A 器材和花费 200 万元购买 B器材的数量相等 （1）求购买一台 A 器材和一台 B器材各需多少万元； （2）医院准备购买 A、B两种器材共 60 台，若购买 A、B 器材总费用不高于 800 万元，那么最多购买 A器材多少台？ 【25 题答案】 【答案】 （1）购买一台 A器材需要 15万元，则购买一台 B 器材需要 10 万元 （2）最多购买 A 器材 40 台 【解析】 【分析】 （1）设购买一台 B 器材需要 x 元，则购买一台 A 器材需要（x+5）元，根据数量=总价 单价结合 300万元购买 A 器材和花费 200 万元购买 B
35、器材的数量相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买 A 器材 y台，则购买 B 器材（60-y）台，根据题意列出不等式并解答 【详解】解： （1）设购买一台 B器材需要 x 万元，则购买一台 A 器材需要（x+5）万元，依题意，得： 3002005xx， 解得：x=10， 经检验，x=10 是原方程的解，且符合题意， x+5=15 答：购买一台 A器材需要 15 万元，则购买一台 B 器材需要 10 万元 （2）设购买 A 器材 y台，则购买 B 器材（60-y）台， 依题意，得：15y+10（60-y）800 解得 y40 所以 y 的最大值为 40 答：
36、最多购买 A器材 40台 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 26. 综合与实践 已知四边形 ABCD与 AEFG均为正方形 （1）数学思考： 如图 1，当点 E在 AB边上，点 G在 AD边上时，线段 BE 与 DG 的数量关系是_；位置关系是_； （2）在图 1 的基础上，将正方形 AEFG以点 A 为旋转中心，逆时针旋转角度 ，得到图 2则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 （3）如图 3，着点 D、E、G 在同一直线上，AB2AE
37、=22，求线段 BE的长 【26 题答案】 【答案】 （1）相等，垂直； （2）成立，理由见解析； （3）71BE 【解析】 【分析】 （1）由正方形性质可以得到 BE与 DG 相等且垂直； （2）由“SAS”可证BAEDAG，可得 BE=DG，ABE=ADG，由余角的性质可证 BEDG； （3）由（2）问结论连接 BD，表示出BDE三边即可利用勾股定理列方程解题 【详解】 （1）四边形 ABCD 与 AEFG均为正方形 BEDG，AB=AD,AG=AE AB-AE=AD-AG 即 BE=DG BE与 DG的数量关系是相等；位置关系是垂直 故答案为：相等；垂直 （2） （1）中结论成立，理由如
38、下： 设 BE交 AD于 O，DG于 N， 四边形 ABCD和四边形 AEFG 是正方形， AE=AG，AB=AD，BAD=EAG=90 ， BAE=DAG， 在ABE和DAG 中， ABADBAEDAGAEAG， ABEADG（SAS） ， BE=DG；ABE=ADG， ABE+AOB=90 ， ADG+AOB=ADG+DON=90 ， DNO=90 ， BEDG； （3）连接 BD AB2AE=22 22EGAE,24BDAB 由（2）可得：90 ,BEDBEDG 在 RtBED中，ED=DG-EG=BE-EG=BE-2 222DEBEBD 222()42EBEB 解方程得：71BE ，
39、71BE 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 27. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y12x6与 x 轴、y轴相交于 A、B两点，点 C 在线段 OA上，将线段 CB绕着点 C 顺时针旋转 90 得到 CD，此时点 D 恰好落在直线 AB上，过点 D 作 DEx 轴于点 E （1）求证：BOCCED； （2）如图 2，将BCD沿 x 轴正方向平移得BCD，当 BC经过点 D时，求点 D 的坐标及BCD平移的距离； （3）若点 P在 y轴上，点 Q在直线 AB上，是否存在以 C、D、P、Q为顶点的四
40、边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的 P点的坐标；若不存在，请说明理由 【27 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）点 D 的坐标为（4，1） ，BCD 平移的距离为103； （3）存在，点 P的坐标为（0，12）或（0，112） 【解析】 【分析】 （1）利用同角的余角相等可得出OBCECD，由旋转的性质可得出 BCCD，结合BOCCED90 即可证出BOCCED（AAS） ； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 B的坐标，设 OCm，则点 D的坐标为（m+3，m） ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 m值，进而可得出点 C，D的坐标，由点 B，C的坐标，利用
41、待定系数法可求出直线 BC的解析式，结合 BCBC 及点 D在直线 BC上可求出直线 BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 C的坐标，结合点 C 的坐标即可得出BCD平移的距离； （3）设点 P 的坐标为（0，m） ，点 Q 的坐标为1,32nn，分 CD 为边及 CD 为对角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出关于 m，n 的二元一次方程组，解之即可得出点 P 的坐标 【详解】 （1）证明：BOCBCDCED90 ， OCB+OBC90 ，OCB+ECD90 ， OBCECD 将线段 CB 绕着点 C顺时针旋转 90 得到 CD， BCCD 在BOC和C
42、ED 中，BOCCEDOBCECDBCCD ， BOCCED（AAS） （2）解：直线 y12x+3 与 x 轴、y轴相交于 A、B 两点， 点 B的坐标为（0，3） ，点 A 的坐标为（6，0） 设 OCm， BOCCED， OCEDm，BOCE3， 点 D坐标为（m+3，m） 点 D在直线 y12x+3 上， m12（m+3）+3，解得：m1， 点 D的坐标为（4，1） ，点 C 的坐标为（1，0） 点 B的坐标为（0，3） ，点 C 的坐标为（1，0） ， 直线 BC的解析式为 y3x+3 设直线 BC的解析式为 y3x+b， 将 D（4，1）代入 y3x+b，得：13 4+b，解得：b
43、13， 直线 BC的解析式为 y3x+13， 点 C的坐标为（133，0） ， 1310133CC ， BCD平移的距离为103 （3）解：设点 P的坐标为（0，m） ，点 Q的坐标为（n，12n+3） 分两种情况考虑，如图 3所示： 若 CD 为边，当四边形 CDQP 为平行四边形时，C（1，0） ，D（4，1） ，P（0，m） ，Q（n，12n+3） ， 10410312nnm，解得：123mn， 点 P1的坐标为（0，12） ； 当四边形 CDPQ为平行四边形时，C（1，0） ，D（4，1） ，P（0，m） ，Q（n，12n+3） ， 104103 12nmn ，解得：1123mn ， 点 P2的坐标为（0，112） ； 若 CD 为对角线，C（1，0） ，D（4，1） ，P（0，m） ，Q（n，12n+3） ， 14010 132nmn ，解得：125mn， 点 P的坐标为（0，12） 综上所述：存在，点 P 的坐标为（0，12）或（0，112） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握利用全等三角形的判定定理 AAS；利用一次函数图象上点的坐标特征；利用平行四边形的对角线互相平分的性质
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