1、北京市西城区2020-2021学年高二下期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分1. 与的等差中项是（ ）A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 3. 在抛物线上，若横坐标为点到焦点的距离为，则（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 5. 圆和圆的位置关系为（ ）A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离6. 设是公比为的等比数列，且若为递增数列，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 将一枚质地均匀硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的方差（
2、）A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，已知，且的面积为过作平面于点若三棱锥的体积为，则点的坐标可以为（ ）A. B. C. D. 9. 记为数列的前项和若，则（ ）A. 有最大项，有最大项B. 有最大项，有最小项C. 有最小项，有最大项D. 有最小项，有最小项10. 已知函数若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C D. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 函数f（x）=cosx，则=_12. 已知双曲线的焦距为，则实数_；的渐近线方程为_13. 甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为则在甲地降雨的条件下
3、，乙地也降雨的概率为_14. 用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）15. 已知点列，其中是线段中点，是线段的中点，是线段的中点，记则_；_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知是等比数列，（1）求的通项公式；（2）若等差数列满足，求的前项和17. 已知函数（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值18. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线与平面之间的距离19. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规
4、格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌销售价格市场份额（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管求的值；从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小（只需写出结论）20. 已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；
5、（2）过点作斜率为的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点求证：为的中点21 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：北京市西城区2020-2021学年高二下期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 与的等差中项是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设2与8的等差中项是，则，进一步解得的值即可【详解】解：设2与8的等差中项是，则，解得故选：B2. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用求导公式和法则求解即可【详解】解：因为，所以，故选：C3. 在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（ ）A. B. C D
6、. 【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离.【详解】由题知，抛物线的准线方程为，若横坐标为的点到焦点的距离为，则由抛物线的定义知，解得.故选：D.4. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与所成的角即可【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，则，0，1，2，2，则所以，所以异面直线与直线所成角的余弦值为，故选：5. 圆和圆的位置关系为（ ）A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离【答案】C【解
7、析】【分析】先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出，故两圆外切.【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径，因为圆的方程为，所以圆心，半径，所以.因为，所以圆和圆外切.故选：C.6. 设是公比为的等比数列，且若为递增数列，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质可知：当且是递增数列时，【详解】解：，且是递增数列，；又，即故选：C7. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的方差（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断出，然后利用方差的计算公式求解即可详解】解：由题意可知，所以故选：
8、8. 在空间直角坐标系中，已知，且的面积为过作平面于点若三棱锥的体积为，则点的坐标可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三棱锥的体积计算公式求得，再结合选项可得结果.【详解】由题知，点A，B，C分别在轴正半轴，轴正半轴，轴正半轴，因为的面积为，三棱锥的体积为，且平面于点，所以，解得.设，则，结合选项可知，只有B选项符合题意.故选：B.9. 记为数列的前项和若，则（ ）A. 有最大项，有最大项B. 有最大项，有最小项C. 有最小项，有最大项D. 有最小项，有最小项【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析的最大项，再分析的符号，据此分析可得的最大项，即
9、可得答案【详解】解：根据题意，数列，对于二次函数，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，对于，时，最大；且当时，当时，当时，故当或8时，最大，故有最大项，有最大项；故选：10. 已知函数若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，求出函数的零点，即可判断，当时，令，解得或对分类讨论：当时，不满足条件；当时，由题意可得，解得答案【详解】解：当时，令，解得，函数有两个零点，舍去；当时，令，解得或，当时，当或时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，是函数的极小值点，0是函数的极大值点，由，可得函数存在正零点，不满足条件；当时，当或
10、时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，是函数的极小值点，0是函数的极大值点，函数存在唯一的零点，且，则，即，解得：，综上可得：实数的取值范围是，故选：第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 函数f（x）=cosx，则=_【答案】-【解析】【详解】由题意可得： .12. 已知双曲线的焦距为，则实数_；的渐近线方程为_【答案】 . . 【解析】【分析】利用双曲线的焦距，求解，然后求解双曲线的渐近线方程【详解】解：双曲线的焦距为6，可得，解得，双曲线，渐近线方程为：故答案为：6；13. 甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为则在甲地降雨的条件
11、下，乙地也降雨的概率为_【答案】【解析】【分析】利用条件概率的概率公式求解即可详解】解：设事件为甲地降雨，事件为乙地降雨，则（A），（B），故，所以在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为故答案为：14. 用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）【答案】【解析】【分析】设该正四棱柱形水箱底面边长为，需用铁皮的面积为，则，处理方法一：利用导数求函数最值；处理方法二：三元均值不等式【详解】解：设该正四棱柱形水箱底面边长为，则高为，设需用铁皮的面积为，则，处理方法一：求导由得，当时，当时，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，当时，函数取得
12、最小值，最小值为12，即需用铁皮的面积至少为处理方法二：三元均值不等式，当，即时，不等式等号成立即需用铁皮的面积至少为故答案为：.15. 已知点列，其中是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，记则_；_【答案】 . . 【解析】【分析】利用中点坐标公式可得：，进而可求出，即可求出，再由，得到是等比数列，由累加法以及等比数列前项和公式，即可求解.【详解】解：是线段的中点，,故，又，故；，即，故是以为首项，为公比的等比数列，即，由，得：，将上面所有式子相加得： ，故.故答案为：；.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知等比数列，（1）求的通项公式；（2）若
13、等差数列满足，求的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再由通项公式可得的通项公式；（2）由（1）求得，的值，进一步求出公差与首项，则的前项和可求【详解】解：（1）设等比数列的公比为由题设，解得所以（2）设等差数列的公差为因为，所以所以的前项和17. 已知函数（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）最大值为；最小值为【解析】【分析】（1）根据函数的单调性与导数之间的关系，即可求解；（2）根据在区间上的单调性即可求解.【详解】解：（1），令，得，与的变化情况如下：的单调递减区间为，单调递增区间
14、为和；（2）由（1）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最大值为；在区间上的最小值为，且，在区间上的最小值为18. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线与平面之间的距离【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）推导出，由此能证明平面；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值（3）由平面，0，平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面之间的距离【详解】解：（1）取的中点，连接因为，且；，且，所以，且所以四边形为平行四边形所以在矩形中
15、，因为分别为的中点，所以所以又平面，所以平面（2）如图建立空间直角坐标系则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，于是设直线与平面所成角为，则（3）由（1）知平面，所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离所以直线与平面之间的距离为19. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌销售价格市场份额（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管求的值；从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测记为抽到品牌的牙膏数量，求
16、的分布列和数学期望（3）品牌牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小（只需写出结论）【答案】（1）；（2）；分布列见解析；期望为；（3）【解析】【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率；（2）利用分层抽样的定义求解即可，随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出期望；（3）求出平均值比较即可【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件由题设，（2）由题设，品牌的牙膏抽取了管，品牌的牙膏抽
17、取了管，所以（）随机变量的可能取值为；所以的分布列为：的数学期望为（3）（理由：，设品牌的市场占有额为，市场占有额分别为，则）20. 已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点求证：为的中点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆离心率为，且过点，列方程组，解得，即可得出答案（2）设，直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，分两种情况：时，当时，进行讨论，坐标，即可得出答案【详解】解：（1）由题设，得解得，所以椭圆的方程为（2）由题意，设直线的方程为由得由，得设，则，当时，直线的方程为令，得点的横坐标同理可得点的横坐标因为，所以所以为的中点当时，直线的方程为，可求得所以直线的方程为，从而此时依然有综上，为的中点21. 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程；（2）求出的最小值，证明即可.【详解】解：（1）函数的定义域为，且，故所求的切线方程为，即；（2）由（1）可知为上的增函数，存在唯一的，使，从而有，时，；时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故
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