1、 20222022 年山东省德州市武城县中考二模数学试题年山东省德州市武城县中考二模数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题每小题个小题每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. 2 C. |2| D. 3 2. 如图，几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 截止到 2019 年 9 月 3 日，电影哪吒之魔童降世的累计票房达到 47.24 亿，47.24 亿用科学记数法表示为（ ） A. 947.24 10 B. 94.724 10 C. 54.724 10 D. 5472.4 10 4. 如图所示，将含有
2、30 角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若1=35 ，则2的度数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 30 5. 三角板 ABC中，ACB90 ，B30 ，AC23，三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应点 A落在 AB 边的起始位置上时即停止转动，则 B点转过的路径长为（ ） A. 32 B. 433 C. 2 D. 3 6. 将正方形纸片按图方式依次对折得图的ABC，点 D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点 D应满足（ ） A. BDAC B. ADAB C. 60ADB D. ADDB 7. 下列说法错误的是( )
3、A. 平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧 B. 已知O的半径为 6，点 O 到直线 a的距离为 5，则直线 a 与O 有两个交点 C. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形 D. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 8. 小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 平分一组对角 9. 九年级学生去距学校 10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速
4、度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. 1010123xx B. 1010202xx C. 1010123xx D. 1010202xx 10. 图是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形OABC若1ABBC，AOB，则tanBOC的值为（ ） A. sin B. cos C. tan D. 1sin 11. 关于 x 的方程 kx2+（2k1）x+k30有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k18 B. k18且 k0 C. k18 D. k18且 k0 12. 二次函数 yax2+bx
5、+c（a，b，c 是常数，且 a0）中的 x 与 y的部分对应值如表所示，则下列结论中，正确的个数有（ ） x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 a0；当 x0时，y3；当 x1 时，y的值随 x值的增大而减小；方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，共个小题，共 24 分）分） 13. 分解因式325xx的结果是_ 14. 已知 a，b是方程 x2+x-3=0 的两个实数根，则 a2+b2+2015 的值是_ 15. 在平面直角坐标系中，若点1,52Pmm在第二象限，则整数
6、 m 的值为_ 16. 在半径为 2 的O 中，弦 AB为 2，则弦 AB所对的圆周角的度数为 _ 17. 如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 AD的中点，已知DEF 的面积为 1，则平行四边形 ABCD的面积为_ 18. 如图，直线 l：y33x，点 A1坐标为(0，1)，过点 A1作 y轴的垂线交直线 l于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1长为半径画弧交 y一轴于点 A2；再过点 A2作 y轴的垂线交直线于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2长为半径画弧交 y轴于点 A3，按此做法进行下去，点 A4的坐标为_；点 An的坐标为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共
7、小题，共 78分）分） 19. 先化简，再求值：22231()111aaaa，其中1012cos30( )(3)2a 20. 如图， 在图中求作P， 使P 满足以线段 MN 为弦且圆心 P 到AOB 两边的距离相等（要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑） 21. 自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：A利用影长求物体高度，B制作视力表，C设计遮阳棚，D制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解决下列问题： （1）本次共调查
8、名学生，扇形统计图中 B所对应的扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）选修 D类数学实践活动学生中有 2名女生和 2名男生表现出色，现从 4人中随机抽取 2 人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的概率 22. 为保护环境， 我市公交公司计划购买 A型和 B型两种环保节能公交车共 10辆 若购买 A型公交车 1辆，B型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A型公交车 2辆，B型公交车 1辆，共需 350 万元 （1）求购买 A型和 B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上 A型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万
9、人次和 100 万人次若该公司购买 A型和 B型公交车总费用不超过 1200 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？ 23. 如图，AB 是O的直径，点 D，E 在O上，A=2BDE，点 C在 AB的延长线上，C=ABD （1）求证：CE是O的切线： （2）连接 BE，若O半径长为 5，OF=3，求 EF 的长， 24. （1）方法探索：如图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足EAF45 ，连接 EF，求证：DE+BFEF （
10、根据所给的铺助线完成证明） （2） 方法拓展： 如图 在四边形 ABCD中， ABAD， E， F 分别为 DC， BC 上点， 满足EAF12DAB，试猜想当B与D满足什么关系时，可使得 DE+BFEF并证明你的猜想 （3）知识应用：如图，在四边形 ABCD 中，AB90 ，ABBC5，AD4，E 是边 AB 上一点，且DCE45 ，求 AE 的长度 25. 如图，直线 l：112yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，经过 B、C 两点的抛物线 2yxbxc 与 x轴的另一个交点为 A （1）求该抛物线的解析式； （2） 若点 P在直线 l下方的抛物线上， 过点 P 作/PD x轴交
11、l于点 D，/PE y轴交 l于点 E， 求P D P E的最大值； （3）设 F 为直线 l上点，点 P 仍在直线 l下方的抛物线上，以 A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由 20222022 年山东省德州市武城县中考二模数学试题年山东省德州市武城县中考二模数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题每小题个小题每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. 2 C. |2| D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可 【详解】解：3.
12、14，21.414，22， 223 ， 故选：A 【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2. 如图，几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可 【详解】解：观察可知，从物体的左边看是一个竖长横短的长方形，由于右边有一条横向棱被遮挡看不见，画为虚线，如图所示的几何体的左视图是： 故选 C 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 3. 截止到 2019 年 9 月 3 日，电影哪吒之魔童降世的累计票房达到 47
13、.24 亿，47.24 亿用科学记数法表示为（ ） A. 947.24 10 B. 94.724 10 C. 54.724 10 D. 5472.4 10 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为10na的形式，其中110a，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时， 小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值大于或等于 10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，n是负整数 【详解】解：47.24 亿用科学记数法表示为94.724 10 故选：B 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为10na的形式，其中 n为整数，正确确
14、定 a 的值以及 n 的值是解决问题的关键 4. 如图所示，将含有 30 角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若1=35 ，则2的度数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】如图，延长 AB交 CF于 E， ACB=90 ，A=30 ， ABC=60 1=35 ， AEC=ABC1=25 GH/EF， 2=AEC=25 故选 C 5. 三角板 ABC中，ACB90 ，B30 ，AC23，三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应点 A落在 AB 边的起始位置上时即停止转动，则 B点转过的路径长为（ ） A. 32 B.
15、433 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】B=30 ，AC=23， BA=43，A=60 ， CB=6， AC=AC， AAC 是等边三角形， ACA=60， BCB=60， l=606180180n r=2， 故选 C 6. 将正方形纸片按图方式依次对折得图的ABC，点 D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点 D应满足（ ） A. BDAC B. ADAB C. 60ADB D. ADDB 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质易得BAC=45，然后由正多边形的性质可进行排除选项 【详解】解：由题意得：BAC=45， 沿线段 BD 剪开，展开图即
16、为八边形， 若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点 A 为圆心，AD、AB为半径即可， ADAB； 故选 B 【点睛】本题主要考查正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质，熟练掌握正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质是解题的关键 7. 下列说法错误的是( ) A. 平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧 B. 已知O半径为 6，点 O 到直线 a的距离为 5，则直线 a 与O 有两个交点 C. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形 D. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理，三角形的外接圆与内切圆，直线与圆的关系等知
17、识分析即可 【详解】A、如果直径平分的弦也是直径的话，此种情况是不成立的； B、因为半径是 6，而圆心到直线的距离是 5，因此圆与直线相交，并且有两个交点； C、如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，正确； D、由于三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此到三边的距离都是内切圆的半径，因此该结论也是正确的； 故选：A 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与内切圆，直线与圆的关系等知识点，要注意 A中的垂径定理的正确定义，应是先垂直后平分，而不是先平分后垂直，如果先平分后垂直，必须强调平分的弦不是直径 8. 小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们
18、的对角线都具有同一性质是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分 【详解】因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有一个共同的性质，这条性质是对角线互相平分 故选 A 【点睛】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质用到的知识点：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的两
19、条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 9. 九年级学生去距学校 10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. 1010123xx B. 1010202xx C. 1010123xx D. 1010202xx 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为 xkm/h，则汽车的速度为 2xkm/h，由题意得，1010123xx故选C 考点：由实际问题抽象出分式方程 10. 图是第七届
20、国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形OABC若1ABBC，AOB，则tanBOC的值为（ ） A. sin B. cos C. tan D. 1sin 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt OABV中，sinABOB，可得OB的长度，在Rt OBC中，tanBCBOCOB，代入即可得出答案 【详解】解：1ABBC， 在Rt OABV中，sinABOB， 1sinOB， 在Rt OBC中，1tansin1sinBCBOCOB. 故选：A 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键
21、. 11. 关于 x 的方程 kx2+（2k1）x+k30有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k18 B. k18且 k0 C. k18 D. k18且 k0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分当 k=0时和 k0 时进行分类结合一元二次方程根的判别式可进行求解 详解】解：由题意得： 当 k=0时，方程变为-x-3=0，方程有解，符合题意； 当 k0 时，则根据一元二次方程根的判别式可得：2222143441 412810kkkkkkkk ， 解得：18k ， 综上所述：k的取值范围为18k ； 故选 A 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解，熟练掌
22、握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解是解题的关键 12. 二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）中的 x 与 y的部分对应值如表所示，则下列结论中，正确的个数有（ ） x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 a0；当 x0时，y3；当 x1 时，y的值随 x值的增大而减小；方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用表格数据可得二次函数的对称轴为直线32x ， 然后根据二次函数的基本性质对各个结论加以分析判断即可. 【详解】由图表中数据可得： 当1x时，1y ；当0 x时
23、，3y ；当1x 时，5y ；当3x 时，3y ， 通过分析可以发现二次函数2yaxbxc开口向下， 0a，故正确； 当0 x时，3y ，30c ， 该二次函数开口方向向下， 当0 x时，3y ，故正确； 根据表格数据可知，当3y 时，0 x或 3， 二次函数的对称轴为直线32x ， 函数开口方向向下， 当32x 时，y的值随x值的增大而减小，故错误； 由题意得：二次函数2yaxbxc(abc、 、为常数，且0a)的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标大于 5， 方程250axbxc， 25axbxc时，即是5y 求x的值， 由二次函数图象性质可知：此时有两个不相等的实数根，故正确； 故选：
24、B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，共个小题，共 24 分）分） 13. 分解因式325xx的结果是_ 【答案】()()55x xx+- 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：325xx ()()()22555x xx xx=-=+- 故答案为：()()55x xx+- 【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用平方差公式分解因式”是解本题的关键. 14. 已知 a，b是方程 x2+x-3=0 的两个实数根，则 a2+b2+2015
25、的值是_ 【答案】2022 【解析】 【分析】由根与系数的关系及完全平方公式的变形应用，即可完成计算 【详解】a，b 是方程 x2+x-3=0 的两个实数根， a+b=-1，ab=-3， 22222015()22015( 1)2 ( 3)20152022ababab ， 故答案为：2022. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，掌握这两个知识是解题的关键 15. 在平面直角坐标系中，若点1,52Pmm在第二象限，则整数 m 的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据第二象限的点的横坐标小于 0，纵坐标大于 0列出不等式组，然后求解即可 【详解】解：由题意得：
26、10520mm， 解得：512m， 整数 m 的值为 2， 故答案为：2 【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键 16. 在半径为 2 的O 中，弦 AB为 2，则弦 AB所对的圆周角的度数为 _ 【答案】30或 150 【解析】 【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为 60，进而即可求解 【详解】解：如图，弦 AB所对的圆周角为C，D， 连接 OA、OB， 因为 ABOAOB2， 所以，AOB60， 根据圆周角定理知，C12AOB30， 根据圆内接四边形的性质可知，D18
27、0C150 ， 所以，弦 AB 所对的圆周角的度数 30或 150 故答案是：30或 150 【点睛】若圆中一条弦等于圆的半径，则此弦和两条半径构成了等边三角形；在圆中，弦所对的圆周角有两个，不要漏解 17. 如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 AD的中点，已知DEF 的面积为 1，则平行四边形 ABCD的面积为_ 【答案】12 【解析】 【分析】由于四边形 ABCD是平行四边形，那么 ADBC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得DEFBCF，再根据 E 是 AD中点，易求出相似比，从而可求BCF的面积，再利用BCF与DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，
28、从而易求DCF 的面积，进而可求ABCD 的面积 【详解】四边形 ABCD是平行四边形， ADBC，AD=BC， DEFBCF， SDEF：SBCF=（DEBC）2， 又E是 AD中点， DE=12AD=12BC， DE：BC=DF：BF=1：2， SDEF：SBCF=1：4， SBCF=4， 又DF：BF=1：2， SDCF=2， SABCD=2（SDCF+SBCF）=12 故答案为 12 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出BCF的面积 18. 如图
29、，直线 l：y33x，点 A1坐标为(0，1)，过点 A1作 y轴的垂线交直线 l于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1长为半径画弧交 y一轴于点 A2；再过点 A2作 y轴的垂线交直线于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2长为半径画弧交 y轴于点 A3，按此做法进行下去，点 A4的坐标为_；点 An的坐标为_ 【答案】 . （0，8） . （0，2n-1） 【解析】 【分析】先根据一次函数方程式求出 B1点的坐标，在根据 B1点的坐标求出 A2点的坐标，由此得到点 A4的坐标，以此类推总结规律便可求出点 An的坐标 【详解】解： 直线33yx，点 A1坐标为（0，1） ，过点 A1作 y轴的
30、垂线交直线 l于点 B1， 可知 B1点的坐标为3,1 以原点 O为圆心，OB1长为半径画弧交 y一轴于点 A2，OA2=OB1=2OA1=2， 点 A2的坐标为（0，2） ，这种方法可求得 B2的坐标为2 3,2 故点 A3的坐标为（0，4） ，点 A4的坐标为（0，8） ， 此类推便可求出点 An的坐标为（0，2n-1） 故答案为（0，8） ， （0，2n-1） 【点睛】本题考查探索规律题（图形的变化类） ；一次函数图象上点的坐标特征 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 78分）分） 19. 先化简，再求值：22231()111aaaa，其中1012cos30(
31、 )(3)2a 【答案】33 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到 a的值，继而将 a的值代入计算可得 【详解】原式=2223(1)(1)(1)(1)aaaaaa（a+1） =1(1)(1)aa（a+1） =11a ， 当 a=2cos30 +（12）-1-（-3）0=232+2-1=3+1 时， 原式=113=33+1-13 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂 20. 如图， 在图中求作P， 使P 满足以线段 MN 为弦且
32、圆心 P 到AOB 两边的距离相等（要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑） 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：先做出AOB 的角平分线，再求出线段 MN 的垂直平分线就得到点 P 试题解析： 考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质 21. 自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：A利用影长求物体高度，B制作视力表，C设计遮阳棚，D制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解决下列问题： （1）本次共调查 名
33、学生，扇形统计图中 B所对应的扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）选修 D类数学实践活动的学生中有 2 名女生和 2 名男生表现出色，现从 4人中随机抽取 2 人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的概率 【答案】 （1）60，144 ； （2）见解析； （3）23 【解析】 【分析】（1） 用 C类别人数除以其所占百分比可得总人数， 用 360 乘以 B 类别人数占总人数的比例即可得； （2）总人数乘以 A 类别的百分比求得其人数，用总人数减去 A，B，C的人数求得 D 类别的人数，据此补全图形即可； （3）画树状图展示 12种等可能
34、的结果数，再找出所抽取的两人恰好是 1名女生和 1名男生的结果数，然后根据概率公式求解 【小问 1 详解】 解：本次调查的学生人数为 12 20%60（名） ， 则扇形统计图中 B 所对应的扇形的圆心角为2436060144 故答案为：60，144 ； 【小问 2 详解】 解：A 类别人数为 60 15%9（人） ，则 D类别人数为 60（92412）15（人） ， 补全条形图如下： 【小问 3 详解】 解：画树状图为： 共有 12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是 1名女生和 1名男生的结果数为 8， 所以所抽取的两人恰好是 1 名女生和 1 名男生的概率为82123 【点睛】本题考查
35、了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A或事件 B 的概率也考查了统计图 22. 为保护环境， 我市公交公司计划购买 A型和 B型两种环保节能公交车共 10辆 若购买 A型公交车 1辆，B型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A型公交车 2辆，B型公交车 1辆，共需 350 万元 （1）求购买 A型和 B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上 A型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次若该公司购买 A型和 B型公交车的总费用不超过 1200万元，且
36、确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？ 【答案】 （1）购买 A 型公交车每辆需 100 万元，购买 B 型公交车每辆需 15 0 万元 （2） 三种方案： 购买 A 型公交车 6 辆， 则 B 型公交车 4 辆； 购买 A 型公交车 7 辆， 则 B 型公交车 3 辆；购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆； （3）购买 A 型公交车 8 辆，B 型公交车 2 辆费用最少，最少费用为 1100 万元 【解析】 【详解】 解：（1） 设购买 A型公交车每辆
37、需 x万元， 购买 B 型公交车每辆需 y 万元， 由题意得24002350 xyxy， 解得100150 xy， 答：购买 A型公交车每辆需 100 万元，购买 B型公交车每辆需 150 万元 （2）设购买 A型公交车 a辆，则 B 型公交车（10-a）辆，由题意得 100150 10120060100 10680aaaa， 解得：6a8， 因为 a 是整数， 所以 a=6，7，8； 则（10-a）=4，3，2； 三种方案：购买 A型公交车 6 辆，B 型公交车 4辆；购买 A型公交车 7 辆，B型公交车 3辆；购买 A型公交车 8 辆，B 型公交车 2辆 （3）购买 A型公交车 6辆，则
38、B 型公交车 4 辆：100 6+150 4=1200 万元； 购买 A 型公交车 7 辆，则 B 型公交车 3 辆：100 7+150 3=1150 万元； 购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆：100 8+150 2=1100 万元； 故购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆费用最少，最少总费用为 1100 万元 【点睛】 此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用， 注意理解题意， 找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题 23. 如图，AB 是O的直径，点 D，E 在O上，A=2BDE，点 C在 AB的延长线上，C=ABD （1）求证：CE
39、是O的切线： （2）连接 BE，若O的半径长为 5，OF=3，求 EF 的长， 【答案】 （1）见解析； （2）10； 【解析】 【分析】 （1）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质即可证明； （2） 连接 OE， BE， AE， 根据圆周角定理和等腰三角形的性质求得DFC=CBE， 从而可得EFB=EBF，于是 EF=BE，再由 OB=OE，可证OBEEBF，即可解答； 【小问 1 详解】 证明：如图，连接 OE， AB 是圆的直径，则ABD=90 ， DAB 和EOC中， DAB=2BDE=EOB，ABD=OCE， DABEOC，ABD=OEC=90 ， CE是圆的切线； 【小问 2 详
40、解】 解：如图，连接 OE，BE，AE， AB 是圆的直径，则AEB=90 ， OEC=90 ，AEO=BEC， OA=OE，OEA=OAE，BEC=BAE=BDE， ABD=C，DFC=CBE， 180 -DFC=180 -CBE，即EFB=EBF， EF=BE， OB=OE，OBE=OEB=EFB， OBEEBF，OBBEBEBF，BE=5 210， EF=BE=10； 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质；根据相关性质找寻角的等量关系是解题关键 24. （1）方法探索：如图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满
41、足EAF45 ，连接 EF，求证：DE+BFEF （根据所给的铺助线完成证明） （2） 方法拓展： 如图 在四边形 ABCD中， ABAD， E， F 分别为 DC， BC 上的点， 满足EAF12DAB，试猜想当B与D满足什么关系时，可使得 DE+BFEF并证明你的猜想 （3）知识应用：如图，在四边形 ABCD 中，AB90 ，ABBC5，AD4，E 是边 AB 上一点，且DCE45 ，求 AE 的长度 【答案】 （1）见解析； （2）当ABC+D=180 时，结论 EF=DE+BF证明见解析； （3）AE 的长度为53 【解析】 【分析】 （1）延长 CB 到点 G使 BG=DE连接 AG
42、，即可证明ADEABG，可得 AE=AG，再证明AEFAGF，可得 EF=FG，即可解题； （2） 延长 FD 到点 G 使 DG=BE 连接 AG， 即可证明ABEADG， 可得 AE=AG， 再证明AEFAGF，可得 EF=FG，即可解题； （3）过点 C作 CGAD交 AD 的延长线于点 G，利用勾股定理求得 DE 的长 【详解】 （1）证明：如图中，延长 CB到点 G使 BG=DE连接 AG 四边形 ABCD正方形， AD=AB，D=ABC=DAB=ABG=90 ， 在ABE和ADG 中， DABADABGDEBG， ADEABG（SAS） ， AE=AG，DAE=BAG， EAF=4
43、5 ， GAF=BAG+BAF=DAE+BAF=BAD-EAF=EAF， EAF=GAF， 在AEF和GAF 中， AEAGEAFGAFAFAF， AEFAGF（SAS） ， EF=FG， FG=BG+BF=DE+BD， EF=DE+BF； （2）解：当ABC+D=180 时，结论 EF=DE+BF成立 理由：如图中，延长 CB 到点 G使 BG=DE连接 AG ABC+D=180 ，ABC+ABG=180 ， D=ABG， 在ABE和ADG 中， DABADABGDEBG， ADEABG（SAS） ， AE=AG，DAE=BAG， EAF=12BAD， GAF=BAG+BAF=DAE+BAF
44、=BAD-EAF=EAF， EAF=GAF， 在AEF和GAF 中， AEAGEAFGAFAFAF， AEFAGF（SAS） ， EF=FG， FG=BG+BF=DE+BD， EF=DE+BF； （3）如图中，过点 C作 CGAD，交 AD 的延长线于点 G 由（1）知：DE=DG+BE， 设 BE=x，则 AE=5-x，DE=x+1， 在 RtADE 中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2， （5-x）2+42=（x+1）2， 解得 x=103 AE=5-103=53 【点睛】 本题考查了正方形的性质， 等腰三角形的判定、 勾股定理、 全等三角形的判定结合求解的综合题 考查学生综合运用数学
45、知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解 25. 如图，直线 l：112yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，经过 B、C 两点抛物线 2yxbxc 与 x轴的另一个交点为 A （1）求该抛物线的解析式； （2） 若点 P在直线 l下方的抛物线上， 过点 P 作/PD x轴交 l于点 D，/PE y轴交 l于点 E， 求P D P E的最大值； （3）设 F 为直线 l上的点，点 P仍在直线 l下方的抛物线上，以 A、B、P、F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由 【答案】 （1）2512yxx （2）最大值是 3 （3
46、）能，13,2或11,2 【解析】 【分析】 （1）先确定出点 B、C坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先设出点 P的坐标，进而得出点 D、E 的坐标，即可得出PDPE的函数关系式，即可得出结论； （3）分 AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论 【小问 1 详解】 解：直线112yx 与 x 轴、y轴分别交于点 B、C， 2,0B、0,1C， 点B、C 在抛物线解2yxbxc上， 4201bcc， 解得：521bc ， 抛物线的解析式为2512yxx 【小问 2 详解】 点 P在直线 l下方的抛物线上，设25,12P m mm， /PD x轴，/PE y轴，点
47、D，E都在直线112yx 上， 1,12E mm，22525 ,12Dmm mm， 221511222PEmmmmm ， 222524PDmmmmm ， 22224236PDPEmmmmmm ， 即：2236313PDPEmmm ， 当1m时，PDPE的最大值是 3 【小问 3 详解】 能，理由如下： 抛物线的解析式为2512yxx， 令25012xx， 解得：2x 或12x ， 1,02A，2,0B， 32AB ， 如图，若以 A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形， 当以 AB 为边时，则1/AB PF且1ABPF， 设25,12P a aa，则221525 ,12Faa aa， 2
48、3252aaa， 解得：32a 或1(2a 与 A 重合，舍去)， 113,2F， 当以 AB 为对角线时， 连接2PF交 AB于点 G，则AGBG，2PGFG， 设,0G m， 1,02A，2,0B， 122mm， 54m ， 5,04G， 作PMAB于点 M，2F NAB于点 N，则NGMG，PMFN， 设25,12P b bb，则2225254,12Fbbbb， 25525444bbb， 解得：32b 或1(2b 与 A 重合，舍去)， 211,2F， 综上所述，以 A、B、P、F 为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点 F 的坐标为13,2或11,2 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数极值的确定方法，平行四边形的性质，二元一次方程组，一元二次方程，中点坐标，两点间距离公式等知识用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键
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