浙江省金华十校2021-2022学年高一下期末模拟数学试卷（含答案解析）

1、浙江省金华十校2021-2022学年高一下期末模拟数学试题一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知，则（ ）A. B. C. D. 2. 函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）A. B. C. D. 13. 某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续次的产如下：甲乙则下列结论错误的是（ ）A. 甲种水稻产量众数为B. 乙种水稻产的极差为C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差4. 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C 若，则D. 若

2、，则5. 已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 6. 若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，已知矩形的対角线交千点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（ ）A B. C. D. 8. 设A是任意一个n元实数集合，令集合，记集合B中的元素个数为，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则二、选择题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9. 在中，角所对

3、的边分别是，下列说法正确的是（ ）A. 是的充要条件B. ，若，则这样的三角形有两个C. 若，则为钝角三角形D. 的面积公式为10. 甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A. 的值不能确定，因为它与、中究竟哪一个发生有关B. C. 事件与事件相互独立D. 、是两两互斥的事件11. 如图所示，已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 当点P与A，B两点不重合时

4、，平面截正方体所得的截面是五边形B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形C. 一定是锐角三角形D. 面积的最大值是12. 已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 设，且满足，则_14. 某校为了庆祝六一儿童节，计划在学校花坛的左右两边布置红色黄色蓝色绿色4种颜色的气球，要求每一边布置两种颜色的气球，则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为_.15. 在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，则该三棱锥的外接球表面积为_16. 设为不共线的向量，满足，且，若，则的

5、最大值为_四、解答题: 本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某大学为调研学生在 两家餐厅用餐的满意度，从在 两家都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为 60 分. 整理评分数据，将分数以 10 为组距分为 6 组: ，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表: 餐厅分数的频数分布表分数区间频数 235154035（1）在抽样的 100 人中，求对餐厅评分低于30分的人数;（2）如果从 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家? 说明理由.18. 2022年3月23日15时44分，“天宫课堂”第二课在中

6、国空间站开讲，“太空教师”翟志刚，王亚平叶光富相互配合，生动演示了太空“冰雪”实验，液桥演示实验，水油分离实验，太空抛物实验等.他们在传播普及空间科学知识的同时，激发了广大青少年不断追寻“科学梦”，实现“航天梦”的热情，背后更是体现了我国航天技术的突飞猛进，空间站并非一直处于我们头顶上方的位置，有时候会运行到地球的另一面，如果直接进行地面与空间站对话，信号就会被地球阻挡，不被接收，所以实际信号传输是通过地球卫星信号转发的.如图1，天链一号01星，02星，03星（分别记为点A，B，C）分布在赤道上空，距地球（记为点O）公里的同一圆形轨道上，且分别位于轨道的东经77度，东经177度，东经17度（如

7、图2），随时实现空间站与地面信号的五通，保证通话更加流畅及时，画面也更加清晰.（1）计算天链一号01星与03星之间的弓形（图2阴影部分）面积（单位：平方公里）；（2）若再向该轨道发射一颗卫星（记为D），为使四颗卫星组成四边形面积最大，确定D的经度（直接写出，不需要说明理由），并计算四边形面积（单位；平方公里）的最大值.（参考数据）19. 在梯形中，分别为线段，上的动点.（1）求；（2）若，求；（3）若，求的最小值；20. 女排世界杯比赛采用局胜制，前局比赛采用分制，每个队只有赢得至少分，并同时超过对方分时，才胜局；在决胜局（第五局）采用分制，每个队只有赢得至少分，并领先对方分为胜.在每局比赛中

8、，发球方赢得此球后可得分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得分.现有甲乙两队进行排球比赛.（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲乙各分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢分的概率为，乙发球时甲赢分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求甲队在个球以内（含个球）赢得整场比赛的概率.21. 如图，在三棱锥中，记二面角的平面角为（1）若，求三棱锥的体积；（2）若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围22. 对于两个函数：

9、和，的最大值为M，若存在最小的正整数k，使得恒成立，则称是的“k阶上界函数”.（1）若，是的“k阶上界函数”.求k的值；（2）已知，设，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求证：是“2阶上界函数”.浙江省金华十校2021-2022学年高一下期末模拟数学试题一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】由已知可得.故选：A.2. 函数的图像关于直线对称，则可以为（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】的对称轴为，化简得到得到答案.【详解】对称轴

10、为：当时，取值为.故选:C3. 某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续次的产如下：甲乙则下列结论错误的是（ ）A. 甲种水稻产量的众数为B. 乙种水稻产的极差为C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差【答案】D【解析】【分析】利用众数的定义可判断A选项；利用极差的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，甲种水稻产量的众数为，A对；对于B选项，乙种水稻产的极差为，B对；对于C选项，甲种水稻产量的平均数为，乙种水稻产量的平均数为，C对；对于D选项，甲种水稻产量的方

11、差为，乙种水稻产量的方差为，D错.故选：D.4. 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可.【详解】若，则与平行，相交或者异面，故A错误；若，则或者，故B错误；若，则或者，故C错误；若，则，故D正确；故选：D.5. 已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量坐标运算可得，利用二次函数值域的求法可求得结果.【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴可建立

12、如图所示平面直角坐标系，则，设，则当时，；当时，；的取值范围为.故选：A.6. 若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式转化为，根据在上单调递增，可得，参变分离后令，可转化为在上恒成立，利用基本不等式求解的最大值，即可得的取值范围.【详解】由，可得，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，当且仅当，即时，取等号，所以.故选：A7. 如图，已知矩形的対角线交千点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示出翻折后的位置

13、，利用向量垂直，数量积为零，找出关系式，进而求得，再利用极限位置求得a的最小值，即可求得答案。【详解】如图示,设处为沿翻折后的位置，以D为坐标原点，DA,DC分别为x,y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则 ，设 ，由于 ,故 ，而 ，由于 ,故，则，即 ；又由在翻折过程中存在某个位置，便得，不妨假设,则，即 ，即 ，当将翻折到如图位置时，位于平面ABCD内，不妨假设此时 ，设垂足为G,作 AD的延长线，垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上，DF的长最大，a取最小值，由于，故 ,所以 ,而,故，又 ,故 为正三角形，则,而 ,故 ,则 ，故， ，则 ，故的取值范围是 ，故

14、选：A【点睛】本题考查了空间的垂直关系，综合性较强，解答时要充分发挥空间想象力，明确空间的点线面的位置关系，解答时涉及到空间坐标系的建立以及空间向量的应用，还要注意极限位置的利用，有较大难度.8. 设A是任意一个n元实数集合，令集合，记集合B中的元素个数为，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】利用排除选项D；利用排除选项AC；举例验证选项B正确.【详解】当集合A中的元素两两互质时，所以对于选项D，当时，故选项D错误当时，若，其中，有，故对于选项A，故故选项A错误对于选项C，则.故选项C错误对于选项B，判断正确（事实上，当时，要使最小，记，其中，当时

15、，有）故选：B二、选择题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）A. 是的充要条件B. ，若，则这样的三角形有两个C. 若，则为钝角三角形D. 的面积公式为【答案】AD【解析】【分析】结合选项逐一验证判断，主要利用正弦定理，余弦定理和面积公式.【详解】若，则，由正弦定理得；若，则，从而，所以A正确；由正弦定理得，所以，只有一解，所以B不正确；若，则，所以锐角，无法得出为钝角三角形，所以C不正确；因为，所以，所以的面积，所以D

16、正确.故选：AD.10. 甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A. 的值不能确定，因为它与、中究竟哪一个发生有关B. C. 事件与事件相互独立D. 、是两两互斥的事件【答案】BD【解析】【分析】的值与、都有关，可以计算，可判断A；由条件概率的计算公式计算可判断B；事件与的发生有关系可判断C；、不可能同时发生，是互斥事件可判断D.【详解】A选项，所以A错误；B选项，所以B正确；C选项，事件与的发生有关

17、系，所以C错误；D选项，、不可能同时发生，是互斥事件，所以D正确.故选：BD.11. 如图所示，已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 当点P与A，B两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形C. 一定是锐角三角形D. 面积的最大值是【答案】AD【解析】【分析】依据平面的性质画出平面截正方体所得的截面判断选项AB；举反例否定选项C；求得面积的最大值判断选项D【详解】如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段MP向两端延长，分别交CD，CB的延长线于点O，Q，连接NO，NQ分别交，于R，S两点，连接RM，SP，M

18、P此时截面为五边形MPSNR，所以A正确；当点P与点A或点B重合时，截面为四边形. 综上，平面截正方体所得的截面为四边形或五边形.不可能是三角形，所以B不正确；考虑，当点P与点A重合时，此时因为，故为钝角，所以C判断错误；如图，为中点，连接，则，且面，延长分别交延长线于，则，若分别为中点，易知：面，且，易证：面面，即在面上的投影为，令，面面，则面，面，所以，若，则面，面，所以，即为P到直线MN的距离，如下图，随从A到B移动过程中，逐渐变大，而不变，故也在变大，所以当P与点B重合时，点P到直线MN的距离取到最大值，的面积取到最大值，此时，则MN边上的高为，的面积为，即最大值为，D判断正确故选：A

19、D12. 已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】由已知得当时，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断.【详解】由函数的最小值为0，当时，即，故当时，的值域为的子集，即对于AC，当时，为上的减函数，又，则，即，故A正确，C错误；当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，对于B，当时，对勾函数在上单调递增，则函数在上单调递减，由A知，故B错误；对于D，当时，对勾函数在上单调递减，则函数在上单调递增，又，则，即，故

20、D正确；故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在时的值域为，进而将问题转化为当时，函数的值域为的子集，即，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题.三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 设，且满足，则_【答案】1【解析】【分析】利用复数除法及复数相等求得，即可得结果.【详解】由，则，所以.故答案为：114. 某校为了庆祝六一儿童节，计划在学校花坛的左右两边布置红色黄色蓝色绿色4种颜色的气球，要求每一边布置两种颜色的气球，则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为_.【答案】【解析】【分析】列举出所有

21、结果，然后由古典概型的概率公式可得.【详解】在学校花坛的左右两边布置气球的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（红蓝，黄绿），（红绿，黄蓝），（黄蓝，红绿），（黄绿，红蓝），（蓝绿，红黄），共6种，其中红色气球和黄色气球恰好在同一边的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（蓝绿，红黄），共2种，所以红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为.故答案为：15. 在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，则该三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】【详解】如图，是三棱锥外接球的球心，是外接圆的圆心，由球的性质可得平面；又平面平面，取的中点，连接，又是边长为2的等边三角形，故且 ,又平面平面，平面， 平面 ，连

22、结过点作 所以四边形是平行四边形，；在中， 由正弦定理可得 即： 设三棱锥外接球的半径为 在中， 故 在中，且是的中点，故 在中， 故 在中， 故 两边平方得：解得：所以三棱锥外接球的表面积为 故答案为：16. 设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为_【答案】324【解析】【分析】采用建系法，令，将各个点用坐标表示，然后表达出面积的最大值，进而求得的最大值；【详解】令，又因为，即，则点C为的外心，因为，设，不妨取则点在圆上，由，代入坐标，解得，联立和，解得，故，当且仅当即时取“=”.故，于是.故答案为：324【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的

23、几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用四、解答题: 本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某大学为调研学生在 两家餐厅用餐的满意度，从在 两家都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为 60 分. 整理评分数据，将分数以 10 为组距分为 6 组: ，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表: 餐厅分数的频数分布表分数区间频数 235154035（1）在抽样的 100 人中，求对餐厅评分低于30分的人数;（2）如果从 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家? 说明理由.

24、【答案】（1）20 （2）B餐厅，理由见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出低于30分的频率，从而求出对A餐厅评分低于30分的人数；（2）求出对B餐厅评分低于30分的人数，根据对两家餐厅评分低于30分的人数进行比较，得到结论【小问1详解】从频率分布直方图得到评分低于30分的频率为，所以抽样的 100 人中，求对餐厅评分低于30分的人数为；【小问2详解】从分布表可以看出：在抽样的 100 人中，对B餐厅评分低于30分的人数为，因为评分总分为60分，故中位数为30分，显然评分低于30分的人数越少，说明餐厅的用餐满意度越好，因为，所以选择B餐厅用餐.18. 2022年3月23日15时44

25、分，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，“太空教师”翟志刚，王亚平叶光富相互配合，生动演示了太空“冰雪”实验，液桥演示实验，水油分离实验，太空抛物实验等.他们在传播普及空间科学知识的同时，激发了广大青少年不断追寻“科学梦”，实现“航天梦”的热情，背后更是体现了我国航天技术的突飞猛进，空间站并非一直处于我们头顶上方的位置，有时候会运行到地球的另一面，如果直接进行地面与空间站对话，信号就会被地球阻挡，不被接收，所以实际信号传输是通过地球卫星信号转发的.如图1，天链一号01星，02星，03星（分别记为点A，B，C）分布在赤道上空，距地球（记为点O）公里的同一圆形轨道上，且分别位于轨道的东经77度，东

26、经177度，东经17度（如图2），随时实现空间站与地面信号的五通，保证通话更加流畅及时，画面也更加清晰.（1）计算天链一号01星与03星之间的弓形（图2阴影部分）面积（单位：平方公里）；（2）若再向该轨道发射一颗卫星（记为D），为使四颗卫星组成的四边形面积最大，确定D的经度（直接写出，不需要说明理由），并计算四边形面积（单位；平方公里）的最大值.（参考数据）【答案】（1）（单位：平方公里） （2）西经83度，（单位：平方公里）【解析】分析】（1）根据题意计算，再作差即可得答案；（2）根据面积最大即可得D位于西经83度，再计算面积即可得答案.【小问1详解】解:由题知，所以弓形面积为（单位：平方公

27、里）.【小问2详解】解：由题知，当为等腰三角形时，其面积最大，故从C点（东经17度）经西经90度到达东经177度，共200度。所以D点位置在从C点（东经17度）向西经90度方向转100度即可，此时为西经83度.故若使四颗卫星组成的四边形面积最大，D位于西经83度. 由题知，四条边所对圆心角分别为，.，所以（单位：平方公里）19. 在梯形中，分别为线段，上的动点.（1）求；（2）若，求；（3）若，求的最小值；【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据题意得，所以，求解计算即可；（2）根据题意得，所以；（3）根据题意得，且，再分析单调性求解即可.【小问1详解】因为，所以，所以，所以.

28、【小问2详解】由（1）知，因，所以，所以，所以.【小问3详解】因为，则，因为，解得，设，根据对勾函数的单调性可知，在单调递增，所以当时，取得最大值：.20. 女排世界杯比赛采用局胜制，前局比赛采用分制，每个队只有赢得至少分，并同时超过对方分时，才胜局；在决胜局（第五局）采用分制，每个队只有赢得至少分，并领先对方分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得分.现有甲乙两队进行排球比赛.（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（

29、第五局）中，两队当前的得分为甲乙各分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢分的概率为，乙发球时甲赢分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求甲队在个球以内（含个球）赢得整场比赛的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，（2）设甲队x个球后赢得比赛，根据比赛规

30、则，x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.故所求概率为：21. 如图，在三棱锥中，记二面角的平面角为（1）若，求三棱锥的体积；（2）若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求

31、出，求出底面积和高，进而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出，结合第一问结论求出，从而求出答案.【小问1详解】取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DFAC，EFAC，故DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DHFE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以ACDH，因为，所以DH平面ABC，因为，由勾股定理得：，又，由勾股定理逆定理可知，AECE，且BAC=，在ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），则，因为，所以DEF为等边三角形，则，故三棱锥的体积；【小问2详解】设，则，由（1）知：，取为空间中的一组基底，则，由第一问可知：，则其中，且，故，由第一问可知，

32、又是的中点，所以，所以，因为三棱锥中，所以，所以，故直线AD与EM所成角范围为.【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，若不容易建立坐标系时，也可以通过基底表达出各个向量，进而求出答案.22. 对于两个函数：和，的最大值为M，若存在最小的正整数k，使得恒成立，则称是的“k阶上界函数”.（1）若，是的“k阶上界函数”.求k的值；（2）已知，设，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求证：是的“2阶上界函数”.【答案】（1）； （2）（i）时，；时，；时， ，；（ii）证明部分见解析.【解析】【分析】（1）先求，的范围，再求的最大值，利用恒成立问题的方式处理；（2）

33、分类讨论对称轴是否落在上即可；先求的最大值，需观察发现最值在取得，不要尝试用三倍角公式，另外的最大值必定在端点或者在顶点处取得，通过讨论的范围，证明即可【小问1详解】时，单调递增，于是，于是，则最大值，又恒成立，故，注意到是正整数，于是符合要求的为.【小问2详解】（i）依题意得，为开口向上，对称轴为的二次函数，于是在上递减，在上递增，由于，下分类讨论：当，即时，；当，即时，；当，即当，在上递减，.（ii），则，当，即取等号，则，下令，只需说明时，即可，分类如下：当时，且注意到，此时，显然时，单调递减，于是；当，由基本不等式，且，即，此时，而，时，由基本不等式，故有： 综上，时，即当时，最小正整数【点睛】本题综合的考查了分类讨论思想，函数值域的求法等问题，特别是观察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒会变得更加复杂.