1、2022 年湖南省长沙市长沙县中考数学一模试卷年湖南省长沙市长沙县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分 ）分 ） 1. 12022相反数是（ ） A. 2022 B. 2022 C. 12022 D. 12022 2. 2022年 2月 6 日，国际奥委会新闻发言人马克亚当斯在新闻发布会上透露，北京冬奥会开幕式中国大陆地区观看人数约 316000000 人， 与平昌冬奥会开幕式的全球观看人数大体相当 将 316000000用科学记数法表示为（ ） A 3.16109 B. 3.16109 C. 3.16108
2、D. 316106 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “明天下雨的概率为 80%”，意味着明天有 80%的时间下雨 B. 了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C. 一组数据 5，5，3，4，1 的中位数是 3 D. 有关部门对某药店在售口罩的合格情况进行抽检， 抽检了 20 包口罩， 其中 18 包合格， 该商店共进货 100包，估计合格的口罩约有 90 包 5. 下列计算正确的是（ ） A. x2+xx3 B. （3x）26x2 C. 8x4 2x24x2 D. （x2y） （x+2y）
3、x22y2 6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：函数图像经过点( 1,1)； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0 x时，y随 x的增大而增大 则这个函数表达式可能是（ ） A. yx B. 1yx C. 2yx= D. 1yx 7. 不等式组32122xxx 解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 8. 在解一元二次方程 x2+px+q0时，小红看错了常数项 q，得到方程的两个根是4，2，小明看错了一次项系数 p，得到方程两个根是 4，3，则原来的方程是（ ） A. x2+2x80 B. x2+2x120 C. x22x120 D.
4、 x22x80 9. 图 1 是装了液体的高脚杯示意图（数据如图） ，用去一部分液体后如图 2所示，此时液面AB （ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 10. 在“探索函数2yaxbxc的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：0,2A，10B ,，3,1C，2,3D，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ） A 52 B. 32 C. 56 D. 12 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 18 分 ）分 ） 11
5、. 分解因式：221218xx_ 12. 如果 m是方程2340 xx的一个根，那么代数式239mm的值为 _ 13. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 3 个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球， 从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为23，那么盒子内白色乒乓球的个数为 _ 14. 如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高 h10m，斜坡 AB 的坡度为 i1：3，则迎水斜坡 AB 为 _m 15. 某同学的作业如下框，其中处填的依据是 _ 如图，已知直线 l1，l2，l3，l4若12，则34 请完成下面的说理过程 证明：12， l1l2（内错角相等，两直线平行） ， 34（）
6、 16. 曹老师用一张半径为 18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计） ，如果圆锥形帽子的半径是 10cm，则这张扇形纸板的圆心角是 _ 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 9 小题， 共小题， 共 72分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 ）分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 17. 2016sin4512820222 18. 先化简，再求值：22211111mmmmmm ，其中3m . 19. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作周髀算经作注解时，用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称
7、为“弦图”它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲正因为此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽请回答下列问题： （1）请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 ； （2）请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理 20. 2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A 表示“从未听说过”，B 表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题
8、 （1）参加这次调查的学生总人数为_人； （2）扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是_； （3）将条形统计图补充完整； （4）在 D类的学生中，有 2名男生和 2名女生，现需从这 4 名学生中随机抽取 2 名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的 2名学生恰好是 1名男生和 1名女生的概率 21. 如图，四边形ABCD菱形，对角线AC，BD相交于点 O，BOCCEB （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）若120ABC，6AB，求矩形OBEC的周长 22. 为弘扬雷锋精神，重温革命先烈的艰苦奋斗历史，某校组织九年级全体师生前往雷锋纪念馆参观，需要租
9、用甲、乙两种客车共 6辆（每种车至少租一辆） 已知甲、乙两种客车的租金分别为 450元/辆和 300元/辆，设租用乙种客车 x辆，租车费用为 y 元 （1）求 y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？ 23. 如图，四边形 ABCD是平行四边形，DE交 BC于点 F，交 AB的延长线于点 E， 且EDBC （1）求证：ADEDBE； （2）若 DC10cm，BE18cm，求 DE的长 24. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，请研究如下美丽的圆，如图，以 O
10、为圆心，AB长为直径作圆，在O 上取一点 C，延长 AB至点 D，连接 DC、AC、BC，过点 A作O的切线交DC 的延长线于点 E，且DCBDAC （1）求证：CD是O 的切线； （2）若 AD6，tanDCB23，则： 求 CD 的长； 求 CE 的长 25. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴分别交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C（O，6） ，抛物线的顶点坐标为 E（2，8） ，连接 BC、BE、CE （1）求抛物线的表达式； （2）判断BCE 的形状，并说明理由； （3）如图 2，点 F 为线段 BE 的中点，点 P，Q分别为 x轴，y 轴上的动点，当四边形 EFPQ的周
11、长取最小值时，求 P，Q两点的坐标 2022 年湖南省长沙市长沙县中考数学一模试卷年湖南省长沙市长沙县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分 ）分 ） 1. 12022的相反数是（ ） A. 2022 B. 2022 C. 12022 D. 12022 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义选择即可 【详解】解：因为只有符号不同的两个数互为相反数， 所以12022的相反数是12022， 故选：C 【点睛】本题考查了相反数，熟记定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键 2. 2022年 2月 6 日，
12、国际奥委会新闻发言人马克亚当斯在新闻发布会上透露，北京冬奥会开幕式中国大陆地区观看人数约 316000000 人， 与平昌冬奥会开幕式的全球观看人数大体相当 将 316000000用科学记数法表示为（ ） A. 3.16109 B. 3.16109 C. 3.16108 D. 316106 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于 1的数可以用科学记数法表示，一般形式为 a10n，n为正整数，且比原数的整数位数少 1，据此可以解答 【详解】解：3160000003.16 108 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为10na，其中110a，
13、n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可 【详解】A选项既轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B选项既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D 选项不轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的定义，即一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；一个图形绕着中心点旋转
14、180 后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形 4. 下列说法正确的是（ ） A. “明天下雨的概率为 80%”，意味着明天有 80%的时间下雨 B. 了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C. 一组数据 5，5，3，4，1的中位数是 3 D. 有关部门对某药店在售口罩的合格情况进行抽检， 抽检了 20 包口罩， 其中 18 包合格， 该商店共进货 100包，估计合格的口罩约有 90 包 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，中位数，概率公式，逐一判断即可 【详解】解：A、“明天下雨概率为 80%”，意味着明天下雨的可能性是 8
15、0%，故 A不符合题意； B、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故 B 不符合题意； C、一组数据 5，5，3，4，1的中位数是 4，故 C不符合题意； D、 有关部门对某药店在售口罩的合格情况进行抽检， 抽检了 20包口罩， 其中 18 包合格， 该商店共进货 100包，估计合格的口罩约有 90 包，故 D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查概率的意义，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，中位数，概率公式，解题的关键是熟练掌握以上相关概念 5. 下列计算正确的是（ ） A. x2+xx3 B. （3x）26x2 C. 8x4 2x24x2 D. （x2y） （x+2y
16、）x22y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【详解】解：A.x2+x 不能合并，故选项 A错误； B.2239xx，故选项 B 错误； C.8x4 2x24x2，故选项 C正确； D.（x2y） （x+2y）x24y2，故选项 D错误； 故选：C 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键 6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：函数图像经过点( 1,1)； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0 x时，y随 x的增大而增大 则这个函数表达式可
17、能是（ ） A. yx B. 1yx C. 2yx= D. 1yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可 【详解】 解： A.对于yx ， 当 x=-1 时， y=1， 故函数图像经过点( 1,1)； 函数图象经过二、 四象限； 当0 x时，y 随 x 的增大而减小故选项 A 不符合题意； B.对于1yx，当 x=-1 时，y=-1，故函数图像不经过点( 1,1)；函数图象分布在一、三象限；当0 x时，y随 x的增大而减小故选项 B 不符合题意； C.对于2yx=，当 x=-1 时，y=1，故函数图像经过点( 1,1)；函数图象分布在一、二象限；当0 x时，y随 x的增
18、大而增大故选项 C 不符合题意； D.对于1yx ，当 x=-1 时，y=1，故函数图像经过点( 1,1)；函数图象经过二、四象限；当0 x时，y随 x的增大而增大故选项 D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键 7. 不等式组32122xxx 的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在数轴上表示，再加以对照，即可得出正确选项 【详解】解：32122xxx 不等式的解集为1x ； 不等式的解集为 x3 原不等式组的解集为-1x3
19、 在数轴上表示为： 故选 B 【点睛】本题考查了不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集的知识点，熟知不等式组的解法一般步骤是解题的关键 8. 在解一元二次方程 x2+px+q0时，小红看错了常数项 q，得到方程的两个根是4，2，小明看错了一次项系数 p，得到方程两个根是 4，3，则原来的方程是（ ） A. x2+2x80 B. x2+2x120 C. x22x120 D. x22x80 【答案】B 【解析】 【分析】先设这个方程的两根是 、，根据一元二次方程根与系数的关系，从而得出符合题意的方程 【详解】解：设此方程的两个根是 、， 根据题意得：+p-4+2=2，q4（-3）=12， 原来的
20、一元二次方程是 x2+2x120 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 9. 图 1 是装了液体的高脚杯示意图（数据如图） ，用去一部分液体后如图 2所示，此时液面AB （ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出 AB 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm） ， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm） ， 因为液面都是水平的，图 1 和图
21、 2 中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图 1和图 2中的两个三角形相似， 468AB， =3AB（cm） ， 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求 10. 在“探索函数2yaxbxc的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：0,2A，10B ,，3,1C，2,3D，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ） A. 52 B
22、. 32 C. 56 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过0,2A，10B ,，3,1C，2,3D中的三个点的二次函数解析式，继而解题 【详解】解：设过三个点0,2A，10B ,，3,1C的抛物线解析式为：2yaxbxc 分别代入0,2A，10B ,，3,1C得 20931cabcabc 解得561762abc ； 设过三个点0,2A，10B ,，2,3D的抛物线解析式为：2yaxbxc 分别代入0,2A，10B ,，2,3D得 20423cabcabc 解得52922abc ； 设过三个点0,2A，3,1C，2,3D的抛物线解析式为：2yaxbxc
23、分别代入0,2A，3,1C，2,3D得 2931423cabcabc 解得561362abc ； 设过三个点10B ,，3,1C，2,3D的抛物线解析式为：2yaxbxc 分别代入10B ,，3,1C，2,3D得 0931423abcabcabc 解得522128abc ； 55552662 a最大为52， 故选：A 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 18 分 ）分 ） 11. 分解因式：221218xx_ 【答案】22(3)x 【解析】 【分析】
24、先提取公因式 2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可 【详解】解：2x2-12x+18， =2(x2-6x+9)， =2(x-3)2 故答案为：2(x-3)2 【点睛】本题考查了利用提公因式法和完全平方公式分解因式，掌握和灵活运用分解因式的方法是解决本题的关键 12. 如果 m是方程2340 xx的一个根，那么代数式239mm的值为 _ 【答案】12 【解析】 【分析】先把 m代入方程2340 xx，得到23 =4mm，再代入代数式239mm，即可求出答案 【详解】解：把 m 代入方程2340 xx，得到23 =4mm， 代数式2239 =33=3 4=12mmmm， 故答案为：12
25、. 【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键 13. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 3 个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球， 从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为23，那么盒子内白色乒乓球的个数为 _ 【答案】6 【解析】 【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为 x，根据摸到白色乒乓球的概率为23列出关于 x 的方程，解之可得 【详解】解：设盒子内白色乒乓球的个数为 x， 根据题意，得：233xx， 解得：x6， 经检验：x6是原分式方程的解， 盒子内白色乒乓球的个数为 6， 故答案为：6 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，关键是掌
26、握随机事件 A的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数：所有可能出现的结果数 14. 如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高 h10m，斜坡 AB 的坡度为 i1：3，则迎水斜坡 AB 为 _m 【答案】20 【解析】 【分析】过点 A作 AC水平面于 C，根据坡度的概念求出 ，根据含 30 角的直角三角形的性质计算，得到答案 【详解】解：过点 A作 AC水平面于 C， 斜坡 AB的坡度为 i=1：3， tan=13=33， =30 ， AB=2AC=20m， 故答案为：20 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键 15. 某同学的作业如下框，其中处填
27、的依据是 _ 如图，已知直线 l1，l2，l3，l4若12，则34 请完成下面的说理过程 证明：12， l1l2（内错角相等，两直线平行） ， 34（） 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】先证 l1l2，再由平行线的性质即可得出结论 【详解】解：12， l1l2（内错角相等，两直线平行） ， 34（两直线平行，同位角相等） ， 故答案为：两直线平行，同位角相等 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键 16. 曹老师用一张半径为 18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计） ，如果圆锥形帽子的半径是 10cm，则这张扇形纸板的圆心角
28、是 _ 【答案】200 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列式计算即可 【详解】解：设扇形纸板的圆心角是 n ， 根据题意得：2 1018180n ， 解得：n200， 所以扇形的圆心角为 200 故答案为：200 【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 9 小题， 共小题， 共 72分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 ）分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 17. 2016sin4512820222 【答案】2 25 【解析】 【分析】先算特殊角的三角函数值、绝对值、化简二
29、次根式、零次幂以及负整数指数幂，再算加减法即可 【详解】解：原式2621 2 2 1 42 252 . 【点睛】此题考查了实数的混合运算问题，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的化简、零次幂的性质、负整数指数幂的性质以及实数混合运算法则 18. 先化简，再求值：22211111mmmmmm ，其中3m . 【答案】133m， 【解析】 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可 【详解】22211111mmmmmm 22211(1)11mmmmmm 2221(1)(1)(1)11mmmmmmm 222211111mmmmmm 2222111mmm
30、mmm 2222111mmmmmm 2(1)1(1)(1)(1)mmmmm m 1m， 当3m 时，原式1333 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解 19. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作周髀算经作注解时，用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲正因为此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽请回答下列问题： （1）请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
31、那么 ； （2）请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理 【答案】 （1）a2+b2c2； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）用符合语音叙述勾股定理即可； （2）根据四个全等直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积列出等量关系即可证明 【小问 1 详解】 解：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c2， 故答案为：a2+b2c2； 【小问 2 详解】 证明： 大正方形的面积为 c2， 小正方形的面积为 （b-a）2=b2-2ab+a2， 4 个直角三角形的面积为 412ab=2ab， 2ab+ b2-2ab+a2=c2，即 a2+b2c2 【点睛】
32、本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，利用“分割法”求解几何图形的面积是解答的关键 20. 2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A 表示“从未听说过”，B 表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题 （1）参加这次调查的学生总人数为_人； （2）扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是_； （3）将条形统计图补充完整； （4）在 D类的学生中，有 2名男生和 2名女生，现需从这 4 名学生
33、中随机抽取 2 名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的 2名学生恰好是 1名男生和 1名女生的概率 【答案】 （1）40 人 （2）108 （3）见解析 （4）23 【解析】 【分析】 （1）合两个图表可得：A类别人数为 6 人，所占比例为 15%，据此即可得出总人数； （2）结合条形统计图可得：B部分人数为 12 人，总人数为 40 人，得出比例乘以360即可得； （3）根据题意可得 C类别人数为 18 人，据此补全条形统计图即可； （4）画出树状图，利用树状图求解即可得 【小问 1 详解】 解：结合两个图表可得：A 类别人数为 6人，所占比例为 15%
34、， 参加这次调查的学生总人数为6 15%40（人） ， 故答案为：40； 【小问 2 详解】 解：结合条形统计图可得：B部分人数为 12 人，总人数为 40 人， 扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是1236010840， 故答案为：108； 【小问 3 详解】 解：C类别人数406 12418（人） ， 补全图形如下： 【小问 4 详解】 解：画树状图为： 共有 12种等可能的结果数，其中恰好选中 1名男生和 1名女生的结果数为 8， 所抽取的 2名学生恰好是 1名男生和 1名女生的概率82123 【点睛】题目主要考查结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息，包括利用部分得出总体，扇形圆
35、心角度数，补全条形统计图，根据树状图或列表法计算概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 21. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点 O，BOCCEB （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）若120ABC，6AB，求矩形OBEC的周长 【答案】 （1）见解析； （2）6 36 【解析】 【分析】 （1）利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分，证四边形OBEC是矩形； （2）根据菱形性质得出6BCAB，60DBC，由含 30 度直角三角形的性质求出 OB，即可求解 【详解】 （1）证明：BOCCEB OBEC，OCEB（全等三角形的对应边相等） 四边形OBEC是平
36、行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 四边形ABCD是菱形， ACBD （菱形的两条对角线互相垂直） 90BOC 四边形OBEC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） ； （2）四边形ABCD是菱形，6AB，120ABC， 6BCAB （菱形的四条边相等） ， 1602DBCABC 90BOC 30OCB 在Rt BOC中， 132OBBC（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 22633 3OC ， 矩形OBEC的周长(3 33) 26 36 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形性质、平行四边形的判定和性质以及矩形的性质，熟记各种特殊
37、四边形的判定方法和性质以及勾股定理是解题的关键 22. 为弘扬雷锋精神，重温革命先烈的艰苦奋斗历史，某校组织九年级全体师生前往雷锋纪念馆参观，需要租用甲、乙两种客车共 6辆（每种车至少租一辆） 已知甲、乙两种客车的租金分别为 450元/辆和 300元/辆，设租用乙种客车 x辆，租车费用为 y 元 （1）求 y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】 （1）y150 x+2700（0 x6） ； （2）租用乙种客车 2辆时，租车费用最少，为 2400元 【解析】 【分析】（1
38、） 租车费用 y 分为两部分， 甲客车的费用与乙客车的费用， 分别表示出两种客车的费用相加即可； （2）由租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，则可得 x=1或 x=2，代入（1）中的函数关系式进行求解即可 【小问 1 详解】 解：设租用乙种客车 x辆，租车费用为 y 元，依题意得： y=450（6-x）+300 x， 整理得：y=-150 x+2700（0 x6） ； 【小问 2 详解】 解：租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量， x6-x，即 x3， x=1或 x=2， 当 x=1时，y=-150 1+2700=2550， 当 x=2时，y=-150 2+2700=2400， 故租用乙种客
39、车 2辆时，租车费用最少，为 2400 元 答：租用乙种客车 2 辆时，租车费用最少，为 2400元 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是读清楚题意，明确租车费用分为两部分 23. 如图，四边形 ABCD是平行四边形，DE交 BC于点 F，交 AB的延长线于点 E， 且EDBC （1）求证：ADEDBE； （2）若 DC10cm，BE18cm，求 DE的长 【答案】 （1）见解析； （2）DE614cm 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的对角相等，可得A=C，即可求得A=EDB，又由公共角E=E，可证得ADEDBE； （2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可 【小问
40、1 详解】 四边形 ABCD是平行四边形， AC， EDBC， AEDB， 又EE， ADEDBE； 【小问 2 详解】 四边形 ABCD是平行四边形， DCAB， 由（1）得ADEDBE， DEBEAEDE， DC10cm，BE18cm， ABDC10cm，AEAB BE 28cm， 即1828DEDE DE614cm 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图 24. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，请研究如下美丽的圆，如图，以 O为圆心，AB长为直径作圆，在O 上取一点 C，延长 AB至点 D，连
41、接 DC、AC、BC，过点 A作O的切线交DC 的延长线于点 E，且DCBDAC （1）求证：CD是O 的切线； （2）若 AD6，tanDCB23，则： 求 CD 的长； 求 CE 的长 【答案】 （1）见解析 （2）4；52 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，OE，根据圆周角定理得到BCO+1=90 ，而DCB=CAD，CAD=1，于是DCB+BCO=90 ； （2）根据切线的性质得到 EC=EA，OEAC，则BAC=OEA，得到 tanDCB=tanOEA=23OAAE，易证 RtCDORtADE，得到23CDOCOADAAEAE， ，求得 CD； 在 RtDAE中，运用勾股定理可计
42、算出 AE的长 【小问 1 详解】 证明：连接 OC， OAOC， DACACO， DCBDAC， DCBACO， BCO+ACOACB90 ， BOC+DCB90 ， 即OCD90 ， 又OC 是O的半径， CD是O的切线； 【小问 2 详解】 连接 OE， EA 为O的切线， EAEC，EAAD，OEAC， BAC+CAE90 ，CAE+OEA90 ， BACOEA， DCBOEA， tanDCB23， tanOEA23OAAE， DD，OCDEAD90 ， DCODAE， 23CDOCOADAAEAE， CD2364； 在 RtDAE中，设 CEx，则 AEx，DE4+x， 由勾股定理得
43、，DE2AD2+AE2， 即（x+4）262+x2， 解得 x52， 即 CE的长为52 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键 25. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴分别交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C（O，6） ，抛物线的顶点坐标为 E（2，8） ，连接 BC、BE、CE （1）求抛物线的表达式； （2）判断BCE 的形状，并说明理由； （3）如图 2，点 F 为线段 BE 的中点，点 P，Q分别为 x轴，y 轴上的动点，当四边形 EFPQ的周长取最小
44、值时，求 P，Q两点的坐标 【答案】 （1）y212x 2x+6 （2）直角三角形，见解析 （3）P，Q两点的坐标分别为（2，0） ， （0，4） 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点 E作 EDOB 于点 D，过点 C作 CFED与点 F，利用点的坐标表示出相应线段的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）利用轴对称的性质分别作出点 E关于 y 轴的对称点 E，点 F关于 x 轴的对称点 F，连接 EF，分别交x 轴，y轴于点 P，Q，则此时四边形 EFPQ 的周长取最小值；利用待定系数法求得直线 EF的解析式即可求得结论 【小问 1 详解】 解：抛物线的顶
45、点坐标为 E（2，8） ， 设抛物线的解析式为 ya（x2）2+8， 抛物线经过点 C（O，6） ， 4a+86 a12 抛物线的表达式为 y12 （x2）2+8212x 2x+6 【小问 2 详解】 解：BCE 的形状是直角三角形，理由： 令 y0，则212x2x+60 解得：x6 或2 B（6，0） ，A（2，0） OB6 C（O，6） ， OC6 BC22OBOC62 过点 E作 EDOB于点 D，过点 C 作 CFED与点 F，如图， 则四边形 OCFD为矩形 FDOC6 E（2，8） ， OD2，DE8，CF2 EFDEDF2， BDOBOD4 CE2CF2+EF28，BE2DE2+
46、DB282+4280 BC272， BC2+CE2BE2 ECB90 BCE的形状是直角三角形 【小问 3 详解】 作点 E关于 y 轴的对称点 E，点 F关于 x轴的对称点 F，连接 EF，分别交 x 轴，y轴于点 P，Q，如图， 则此时四边形 EFPQ 的周长取最小值； 令 y0，则212x2x+60 解得：x6 或2 B（6，0） ，A（2，0） E（2，8） ， F（4，4） F（4，4） E（2，8） ， E（2，8） 设直线 EF的解析式为 ykx+b， 2844kbkb ， 解得：24kb 直线 EF的解析式为 y2x+4 令 x0，则 y4， Q（0，4） 令 y0，则 x2 P（2，0） 综上，当四边形 EFPQ的周长取最小值时，求 P，Q两点的坐标分别为（2，0） ， （0，4） 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，矩形有判定与性质，勾股定理的逆定理，利用轴对称求最值，本题属二次函数与四边形综合题目，熟练掌握二次函数的图像与性质，矩形有判定与性质，勾股定理的逆定理，利用轴对称求最值等是解题的关键
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