1、2020-2021 学年福建省泉州市安溪县八年级学年福建省泉州市安溪县八年级下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 分式22x在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ） A 2x B. 2x C. 2x D. 2x 2. 计算2422mmm的结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 3. 一家工艺品厂按计件方式结算工资小鹿去这家工艺品厂打工，第一天工资 60 元，第二天比第一天多做了 5件，工资为 75 元设小鹿第一天做了x件，根据题意可列出方程为（ ） A. 60755xx B. 60755xx C. 75605xx D. 75605xx 4. 如图，在同一直
2、角坐标系中作出一次函数1yk x与2yk xb的图象，则二元一次方程组21yk xbyk x的解是（ ） A. 30 xy B. 13xy C. 03xy D. 10 xy 5. 关于反比例函数4yx ，下列说法正确的是（ ） A. 当0 x时，函数值0y B. y随 x 的增大而增大 C. 点(1,4)在该函数图象上 D. 图象在一、三象限内 6. 已知一组数据 x1，x2，x3的平均数为 7，则 3x1+2，3x2+2，3x3+2 的平均数为（ ） A. 7 B. 9 C. 21 D. 23 7. 在平面直角坐标系中，点 P(a1，a+1)在 y 轴上，则 a 的值是（ ） A. 0 B.
3、 1 C. 1 D. 2 8. 如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC和 BD相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD是平行四边形的是（ ） A. /ABDC，/ /ADBC B. ABDC，ADBC C. /ABDC，ADBC D. OAOC，OBOD 9. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形对边相等 B. 对角线相等平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形 10. 如图，矩形 ABCD 对角线 AC、BD 相交于点 O，点 P 是 AD 边上的一个动点，过点 P 分别作 PEAC 于点 E、PEBD于点 F，若 AB6
4、，BC8，则 PE+PF的值为（ ） A. 19.2 B. 9.6 C. 6 D. 4.8 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题小题 11. 已知空气的单位体积质量是 0.00123g/cm ，把 0.00123 用科学记数法表示为_ 12. 若分式33xx的值为 0，则 x的值为_； 13. 反比例函数(0)kykx的图像经过点2,3 ,1,ABm，则 m的值为_ 14. 菱形的两条对角线分别为 8、10，则菱形的面积为_ 15. 若关于 x的分式方程322xmxx4 有增根，则 m 的值为_ 16. 如图，平行于 y 轴直线分别交 y3x（x0）与 y2x （x0）的图像于点 A
5、、B，点 C 是 y 轴上的动点，则ABC的面积为_ 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 计算：15 3103 1（1）2021 18. 先化简，再求值： （13aa）2239aaa其中 a6 19. 如图，在ABC 中，D是 AB边上任意一点，E是 BC边中点，CFAB，交 DE的延长线于点 F，连接BF，CD求证：四边形 CDBF 是平行四边形 20. 已知：如图，正比例函数132yx的图像与反比例函数2kyx的图像相交于点 A 和点 C，点 A的坐标为(2，n) （1）求 k与 n值 （
6、2）试利用函数图像，直接写出当 x 取何值时，y1y2 21. 某中学八（1）班共 50名同学开展了“我为灾区献爱心”捐款活动小聪将捐款情况进行了统计，并绘制成如下的条形统计图 （1）填空：该班同学捐款数额的众数是 元，中位数是 元； （2）该班平均每人捐款多少元？ 22. 我们给出如下定义：如图 1，平面内两条直线 l1、l2，相交于点 O，对于平面内的任意一点 M，若 p、q分别是点 M 到直线 l1和 l2的距离（p0，q0） ，称有序非负实数对p，q是点 M 的“距离坐标“根据上述定义，请解答下列问题：如图 2，在平面直角坐标系 xoy 内，直线 l1的关系式为 yx，直线 l2的关系
7、式为y13x，M是平面直角坐标系内的点 （1）若 pq0，直接写出“距离坐标”为0，0时，点 M 的坐标( ， ) （2）若 q0，且 p+qm（m0） ，利用图 2，在第一象限内，求“距离坐标”为p，q时，点 M的坐标（用含 m 的式子表示） 23. 为加强“新型冠状病毒”防控，某小区居委会计划购买甲、乙两种品牌的消毒液，乙品牌消毒液的单价比甲品牌消毒液的单价的 2 倍少 10 元，已知用 300元购买甲品牌消毒液的数量和用 450 元购买乙品牌消毒液的数量相同，设甲品牌消毒液的单价为每瓶 x元 （1）直接写出购买乙品牌消毒液的数量： 瓶（用含 x的代数式表示） ； （2）求甲、乙两种品牌消
8、毒液的单价各是多少元？ （3）若该小区居委会从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒液共 50 瓶，且总费用不超过 1200 元，那么至少要购买甲消毒液多少瓶？ 24. 在正方形 ABCD 中，AB22，O 为对角线 AC、BD 的交点 （1）如图 1，延长 OC，使 CEOC作正方形 OEFG，使点 G落在 OD 的延长线上，连接 DE、AG求证：DEAG； （2）如图 2，将（1）中的正方形 OEFG 绕点 O逆时针旋转 角（0 180 ）得到正方形OE F G，连接AE，E G 当G AAC时，求AE G的面积； 在旋转过程中，直接写出AE G面积的最小值，并写出此时旋转角 等于多少度？ 2
9、5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l：ykx+b分别与 x 轴、y 轴相交于点 A、B现将直线 l绕原点 O顺时针旋转 90 ，得到的直线 l称为直线 l的“顺旋转垂线” （1）若点 A、B的坐标分别为 A(2，0)、B(0，2)，则直线 l的“顺旋转垂线” l的关系式为 （2）若直线 lk1x+b1（k10，b10）的“顺旋转垂线” l为：yk2x+b2.求证：k1k21 （3）已知直线 l的“顺旋转垂线”为 l：y14x+2，点 C是直线 l与 x 轴、y 轴交点 A、B 的中点，动点 M的坐标为(0，m)问当 m为何值时，MA+MC 取得最小值，并求出该最小值 2020-2021 学
10、年福建省泉州市安溪县八年级下期末数学试卷学年福建省泉州市安溪县八年级下期末数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 分式22x在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ） A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式分母不为零，计算即可 【详解】解：根据分式有意义的条件为分母不为零得： 20 x 2x 故选:D 【点睛】本题考查分时有意义的条件，正确理解分式的定义是关键 2. 计算2422mmm的结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案 【详解】解：原式=242mm =222mm
11、 =2， 故选：C 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算法则，本题属于基础题型 3. 一家工艺品厂按计件方式结算工资小鹿去这家工艺品厂打工，第一天工资 60 元，第二天比第一天多做了 5件，工资为 75 元设小鹿第一天做了x件，根据题意可列出方程为（ ） A. 60755xx B. 60755xx C. 75605xx D. 75605xx 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列分式方程即可 【详解】解：由题意可知，每件工艺品的单价不变，则有60755xx 故选：A 【点睛】本题考查分式方程的实际问题，正确寻找等量关系是关键 4. 如图，在同一直角坐标系中作出一次函
12、数1yk x与2yk xb的图象，则二元一次方程组21yk xbyk x的解是（ ） A. 30 xy B. 13xy C. 03xy D. 10 xy 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答 【详解】解：由题图得一次函数1yk x与2yk xb的图象交于点（1,3） ， 二元一次方程组21yk xbyk x的解是 13xy 故选：B 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，平面直角坐标系中，两个一次函数的交点坐标就是这两个一次函数组成的二元一次方程组的解，明确此知识点是解题的关键 5. 关于反比例函数4yx ，下列说法正确的是（ ）
13、 A. 当0 x时，函数值0y B. y随 x 的增大而增大 C. 点(1,4)在该函数图象上 D. 图象在一、三象限内 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案 【详解】解：A、关于反比例函数4yx ，当0 x时，函数值0y ，故 A正确 B、关于反比例函数4yx ，在0 x或0 x，y随 x的增大而增大，故 B 错误； C、关于反比例函数4yx ，点(1,4)不在该函数图象上，故 C 错误； D、关于反比例函数4yx ，图像在第二、四象限，故 D 错误； 故选：A 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键 6. 已知一组数据 x
14、1，x2，x3的平均数为 7，则 3x1+2，3x2+2，3x3+2 的平均数为（ ） A. 7 B. 9 C. 21 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数先求数据 x1，x2，x3的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数 【详解】解：一组数据 x1，x2，x3的平均数为 7， x1+x2+x3=7 3=21， 数据 3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为： 13（3x1+2+3x2+2+3x3+2） =133（x1+x2+x3）+6 =23， 故选：D 【点睛】此题考查平均数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键 7
15、. 在平面直角坐标系中，点 P(a1，a+1)在 y 轴上，则 a 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用 y 轴上点的坐标特点得出 a-1=0，进而得出答案 【详解】解：点 A的坐标为（a-1，a+1） ，点 A在 y轴上， a-1=0， 解得：a=1 故选：B 【点睛】此题主要考查了点的坐标，得出 a-1=0是解题关键 8. 如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC和 BD相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD是平行四边形的是（ ） A. /ABDC，/ /ADBC B. ABDC，ADBC C. /ABDC，ADBC D. O
16、AOC，OBOD 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可 【详解】A、由/ABDC，/ /ADBC，可得到四边形 ABCD 是平行四边形，故 A 选项不符合题意； B、由ABDC，ADBC，可得到四边形 ABCD是平行四边形，故 B选项不符合题意； C、由/ABDC，ADBC，不能得到四边形 ABCD是平行四边形，故 C 选项符合题意； D、由OAOC，OBOD，可得到四边形 ABCD是平行四边形，故 D选项不符合题意 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解并掌握平行四边形的判定定理，并会灵活运用 9. 下列说法错误的是（ ） A. 平行
17、四边形对边相等 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质、矩形、菱形的判定方法、正方形的性质分别判断得出答案 【详解】解：A平行四边形对边相等，原说法正确，故此选项不合题意； B对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，故此选项不合题意； C对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，故此选项符合题意； D正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，原说法正确，故此选项不合题意 故选：C 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、矩形、菱形的判定方法、正方形的性质等
18、知识，正确掌握相关定理是解题关键 10. 如图，矩形 ABCD 对角线 AC、BD 相交于点 O，点 P 是 AD 边上的一个动点，过点 P 分别作 PEAC 于点 E、PEBD于点 F，若 AB6，BC8，则 PE+PF的值为（ ） A 19.2 B. 9.6 C. 6 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】首先连接 OP由矩形 ABCD的两边 AB=6，BC=8，可求得 OA=OD=5，然后由 SAOD=SAOP+SDOP求得答案 【详解】解：连接OP， 矩形 ABCD的两边6AB，8BC ， 48ABCDSAB BC矩形，OAOC，OBOD，ACBD，2210ACABBC， 112
19、4AODABCDSS矩形，5OAOD， 1111()5()122222AODAOPDOPSSSOA PEOD PFOA PEPFPEPF ， 244.85PEPF 故选：D 【点睛】此题考查了矩形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题小题 11. 已知空气的单位体积质量是 0.00123g/cm ，把 0.00123 用科学记数法表示为_ 【答案】1.23 10-3 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的
20、绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：0.00123=1.23 10-3 故答案为：1.23 10-3 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要确定 a 的值以及 n的值 12. 若分式33xx的值为 0，则 x的值为_； 【答案】3 【解析】 【详解】根据分式的值为 0，分子为 0，分母不为 0，可得 x-3=0且 x+30，即可得 x=3. 故答案为：x=3. 13. 反比例函数(0)kykx的图像经过点2,3 ,1,ABm，则 m的值为_ 【答案】-6 【解析】 【分析】把 A 点坐标代入解析式，然后
21、求 x=1时函数值即可 【详解】解：把 A 点坐标（-2，3）代入解析式得 k=（-2） 3=-6， 反比例函数6yx ， 1,Bm在反比例函数6yx 上， 661m 故答案为：-6 【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式，和函数值，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式 14. 菱形的两条对角线分别为 8、10，则菱形的面积为_ 【答案】40 【解析】 【分析】根据对角线的长度，利用面积公式即可求解 【详解】解：菱形的面积计算公式 S12ab（a、b为菱形的对角线长） 菱形的面积 S1281040， 故答案为: 40 【点睛】本题主要考查菱形的面积，掌握菱形的面积公式是解题的关键 15.
22、若关于 x的分式方程322xmxx4 有增根，则 m 的值为_ 【答案】-6 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到 x-2=0，据此求出 x 的值，代入整式方程求出 m的值即可 【详解】解：去分母，得：3x=-m+4（x-2） ， 由分式方程有增根，得到 x-2=0，即 x=2， 把 x=2代入整式方程，可得：m=-6 故答案为：-6 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确： （1）化分式方程为整式方程； （2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 16. 如图，平行于 y 轴的直线分别交 y3x（x0）与 y2x （x0）的
23、图像于点 A、B，点 C 是 y 轴上的动点，则ABC的面积为_ 【答案】52 【解析】 【分析】由题意设(A m，3) (B mm，2)m，则5ABm，再根据三角形的面积公式进行计算即可 【详解】解：由题意设3( ,)A mm，2( ,)B mm， 325ABmmm， ABQ边上的高为 m， 15522ABCSmm， 故答案为52 【点睛】本题考查反比例函数图形上点的坐标特征，表示出三角形的底和高是正确解答的关键 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 计算：15 3103 1（1）2021
24、【答案】3 【解析】 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【详解】解：15 3-103 1（1）2021 =1513-1+（-1） =5-1-1 =3 【点睛】此题主要考查了实数运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用 18. 先化简，再求值： （13aa）2239aaa其中 a6 【答案】3a，12 【解析】 【分析】先算括号内的减法，同时把除法
25、变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可 【详解】解：223139aaaaa 3(3)(3)3(3)aaaaaa a 333aaa 3a ， 当6a 时，原式3162 【点睛】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序 19. 如图，在ABC 中，D是 AB边上任意一点，E是 BC边中点，CFAB，交 DE的延长线于点 F，连接BF，CD求证：四边形 CDBF 是平行四边形 【答案】见解析. 【解析】 【分析】易证CEFBED，得 CFBD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证 【详解】证明：CFAB， ECFEBD E是 BC 中点， C
26、EBE CEFBED， CEFBED（ASA） CFBD 四边形 CDBF是平行四边形. 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题关键是熟记平行四边形的判定方法 20. 已知：如图，正比例函数132yx的图像与反比例函数2kyx的图像相交于点 A 和点 C，点 A的坐标为(2，n) （1）求 k与 n 的值 （2）试利用函数图像，直接写出当 x 取何值时，y1y2 【答案】 （1）n=3，k=6； （2）x-2或 0 x2 【解析】 【分析】 （1）由点 A 在正比例函数图象上，可求得点 C、A的坐标，又由点 A 在反比例函数 y1=kx（k0）的图象上，即可求得答案； （2）根据反比例函数
27、和正比例函数的中心对称性求得 C 的坐标，然后根据图象即可求得 【详解】解： （1）把点 A的坐标（2，n）代入132yx， 解得：n=3， 点 A的坐标为（2，3） ， 把点 A（2，3）代入2kyx，得32k， 解得：k=6； （2）A、C关于原点对称，A（2，3） ， C（-2，-3） ， 观察图象，当 x-2 或 0 x2时，y1y2 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数求反比例函数的解析式，数形结合是解此题的关键 21. 某中学八（1）班共 50名同学开展了“我为灾区献爱心”捐款活动小聪将捐款情况进行了统计，并绘制成如下的条形统计图
28、 （1）填空：该班同学捐款数额的众数是 元，中位数是 元； （2）该班平均每人捐款多少元？ 【答案】 （1）50，50； （2）60.4 元 【解析】 【分析】 （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义求解即可 【详解】解： （1）由条形图知，数据 50 元出现次数最多，有 20次， 所以这组数据的众数为 50元； 共 50个数据，其中位数是第 25、26个数据的平均数，而第 25、26个数据分别为 50、50， 该班同学捐款数额的中位数为50502=50（元） ， 故答案为：50、50； （2）该班平均每人捐款30 10502080 14100650=60.4（元）
29、 【点睛】本题主要考查条形统计图、众数、中位数和平均数，解题的关键是根据条形图得出解题所需具体数据，并熟练掌握众数、中位数和平均数的定义 22. 我们给出如下定义：如图 1，平面内两条直线 l1、l2，相交于点 O，对于平面内的任意一点 M，若 p、q分别是点 M 到直线 l1和 l2的距离（p0，q0） ，称有序非负实数对p，q是点 M 的“距离坐标“根据上述定义，请解答下列问题：如图 2，在平面直角坐标系 xoy 内，直线 l1的关系式为 yx，直线 l2的关系式为y13x，M是平面直角坐标系内的点 （1）若 pq0，直接写出“距离坐标”为0，0时，点 M 的坐标( ， ) （2）若 q0
30、，且 p+qm（m0） ，利用图 2，在第一象限内，求“距离坐标”为p，q时，点 M的坐标（用含 m 的式子表示） 【答案】 （1）0，0； （2）M（3 22m，22m） 【解析】 【分析】 （1）到直线的距离为 0 的点在直线上，所以点 M 即为两直线的交点； （2）由 q=0 知点 M在直线 l2：y=13x 上，过点 M作 MHl2于点 H，求出点 M到直线 l1的距离，结合 q与m 的关系，表示出点 M 的坐标 【详解】解： （1）0p ，0q ， 点M到两条直线的距离都为 0， 点M是两条直线的交点， (0,0)M， 故答案为：0，0 （2）0q ，pqm， pm， 过点M作PQx
31、轴交直线1l与点P，交x轴于点Q，作1MHl于点H， 设(M a，1)(0)3a a ，则：( ,0)Q a，( , )P a a， OQPQa，23PMa， 211212233OPMSPM OQaaa，2OPa， 21112223OPMSOP HMaHMa， 23HMa， 23mpa， 3 22am， 3 2(2Mm，2)2m 【点睛】本题以新定义为背景，考查了一次函数图象上的点的坐标、点到直线的距离求解求点 M到直线l1的距离时可以用等面积法求高，得到距离 23. 为加强“新型冠状病毒”防控，某小区居委会计划购买甲、乙两种品牌的消毒液，乙品牌消毒液的单价比甲品牌消毒液的单价的 2 倍少 1
32、0 元，已知用 300元购买甲品牌消毒液的数量和用 450 元购买乙品牌消毒液的数量相同，设甲品牌消毒液的单价为每瓶 x元 （1）直接写出购买乙品牌消毒液的数量： 瓶（用含 x的代数式表示） ； （2）求甲、乙两种品牌消毒液的单价各是多少元？ （3）若该小区居委会从超市一次性购买甲、乙两种品牌消毒液共 50瓶，且总费用不超过 1200元，那么至少要购买甲消毒液多少瓶？ 【答案】 （1）450210 x ； （2）甲品牌消毒剂每瓶的价格为 20 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为 30 元； （3）30瓶 【解析】 【分析】 （1）根据题意列出代数式即可； （2）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元；乙
33、品牌消毒剂每瓶的价格为（2x-10）元，由题意列出分式方程，解方程即可； （3）设购买甲种品牌消毒剂 y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（50-y）瓶，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可 【详解】解： （1）购买乙品牌消毒液的数量：450210 x 瓶， （2）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（2x-10）元， 由题意得：300450210 xx，解得：x=20， 经检验，x=20 是原方程的解且符合实际意义， 2x-10=30， 答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为 20 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为 30 元； （3）设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶，则购买乙种品牌的消毒剂
34、（50-y）瓶， 由题意得：20y+30（50-y）1200， 解得：y30， 答：至少要购买甲消毒液 30 瓶 【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是： （2）正确找出等量关系，列出分式方程， （3）根据“总费用不超过 1200元，”列出一元一次不等式 24. 在正方形 ABCD 中，AB22，O 为对角线 AC、BD 的交点 （1）如图 1，延长 OC，使 CEOC作正方形 OEFG，使点 G落在 OD 的延长线上，连接 DE、AG求证：DEAG； （2）如图 2，将（1）中的正方形 OEFG 绕点 O逆时针旋转 角（0 180 ）得到正方形OE F G，连接A
35、E，E G 当G AAC时，求AE G的面积； 在旋转过程中，直接写出AE G面积的最小值，并写出此时旋转角 等于多少度？ 【答案】 （1）见解析； （2）6 3；84 2，135 【解析】 【分析】 （1）由“SAS”可证AOGDOE，得出 AG=DE即可； （2）由“AAS”可证AOGHEO，可得 AO=EH=2，AG=OH=2 3，可求 AH=6，由三角形的面积公式可求解； 可知 G，E在以 O为圆心，OG为半径的O上，当 OAGE时，AEG的面积最小，此时 OA的延长线与 GE相交于点 H，求出 AH，可得出答案 【详解】解： （1）O为对角线AC、BD的交点， OAOD，OAOD，
36、90AOGDOE ， 四边形OEFG是正方形， OGOE， ()AOGDOE SAS ， AGDE； （2）过点E作E HAC，交AC延长线于H， 四边形ABCD是正方形， 222AOOCAB， 2CEOC， 4OEOG， 221642 3AGGOAO， 正方形OEFG绕点O逆时针旋转(0180 )得到正方形OE F G ， OGOE，90GOE， AGAO ，E HAC， 90G AOH， 90AOGHOEAOGAG O ， AG OHOE ， AOG()HE O AAS， 2AOE H，2 3AGOH ， 6AHAOOH， AE G 的面积16 32AGAH； G E 为定长， G，E在以
37、O为圆心，OG为半径的O上， 当OAGE 时，AE G 的面积最小， 此时OA的延长线与GE 相交于点H， 12 22OHG E ， 2 22AHOHAO， 114 2(2 22)84 222E G ASE GAH ， 此时的旋转角4590135HOGAOD 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识；添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l：ykx+b分别与 x 轴、y 轴相交于点 A、B现将直线 l绕原点 O顺时针旋转 90 ，得到的直线 l称为直线 l的“顺旋转垂线” （1）若点 A
38、、B的坐标分别为 A(2，0)、B(0，2)，则直线 l的“顺旋转垂线” l的关系式为 （2）若直线 lk1x+b1（k10，b10）的“顺旋转垂线” l为：yk2x+b2.求证：k1k21 （3）已知直线 l的“顺旋转垂线”为 l：y14x+2，点 C是直线 l与 x 轴、y 轴交点 A、B 的中点，动点 M的坐标为(0，m)问当 m为何值时，MA+MC 取得最小值，并求出该最小值 【答案】 （1）y=x-2； （2）见解析； （3）m=83，最小值为 5 【解析】 【分析】 （1）将B点和A点绕原点O顺时针旋转90，得到A，B点坐标，用待定系数法求解析式即可； （2）设直线111:(0l
39、yk xb k，10)b 分别与x轴、y轴相交于点( ,0)A a、(0, )Bb，则“顺旋转垂线” 22:lyk xb分别与x轴、y轴相交于点( ,0)C b、(0,)Da，则得1kba ，2akb，即可得出结论； （3）先求出A点和B点的坐标，求出C点坐标，作A点关于y轴的对称点A，连接CA交y轴于M，此时MAMC有最小值，求出该值即可 【详解】解： （1）由题知，A点旋转后的坐标为(0, 2)A，B点旋转后的坐标为(2,0)B， 即直线l的“顺旋转垂线” l过点A和点B， 设直线l的“顺旋转垂线” l的解析式为ykxb， 220bkb ， 解得12kb ， 即直线l的“顺旋转垂线” l的
40、解析式为2yx， 故答案为：2yx； （2）设直线111:(0l yk xb k，10)b 分别与x轴、y轴相交于点( ,0)A a、(0, )Bb， 则“顺旋转垂线” 22:lyk xb分别与x轴、y轴相交于点( ,0)C b、(0,)Da， 将A、B点代入直线l的解析式，得 1110akbbb， 解得1kba ， 将C、D点代入直线l的解析式，得 2220bkbba ， 解得2akb， 121bak kab ； （3）由题知直线l的“顺旋转垂线” 1:24lyx与x轴，y轴的交点分别为( 8,0)，(0,2)， (0, 8)B，( 2,0)A ， ( 1, 4)C ， 作A点关于y轴的对称点A，即(2,0)A， 连接AC交y轴于M， 此时MAMC的值最小，即为AC， 22( 1 2)( 4)5AC ， 即MAMC的值最小为 5， 设直线AC的解析式为ysxt， 代入A点，C点的坐标，得 204stst ， 解得4383st ， 直线AC的解析式为4833yx， 当0 x时，83y ， 即83m 时，MAMC的值最小为 5 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，正确理解“顺旋转垂线”是解题的关键
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