1、广东省广州市越秀区2020-2021学年高二下期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分1. 已知集合， ，则=（ ）A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 是成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、数书九章、缉古算经、缀术有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这6部专著中有4部产生于汉、魏、晋、南北朝时期某中学拟从这6部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学
2、习内容，则所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A. B. C. D. 5. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（ ）A. B. C. 36D. 6. 已知函数在R上单调递增，记，a，b，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 7. 函数图象大致为（ ）A. B. C D. 8. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为A. B. 2C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分
3、，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9. 如图，正方体的棱长为1，点是内部(不包括边界)的动点，若，则线段长度的可能取值为( )A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小正周期的最大值为B. 当最小时，在上单调递减C. D. 当最小时，直线是图像的一条对称轴11. 已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）A. 曲线可表示为焦点在轴的椭圆B. 曲线可表示为焦距是4双曲线C. 曲线可表示为离心率是的椭圆D. 曲线可表示为渐近线方程是的
4、双曲线12. 下列命题为真命题的是（ ）A. 对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是B. 从数字、中任取个数，则这个数的和为奇数的概率为C. 已知样本数据、的方差为，则数据、的标准差是D. 已知随机变量，若，则第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若向量与垂直,则m=_.14. 若球的表面积为，有一平面与球心的距离为，则球被该平面截得的圆的面积为_.15. 过圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B，则_ .16. 已知定义在上的偶函数，当时，若函数恰有六个零点，且分别记为则的取值范围是_四、解答
5、题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前n项和为，且满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且满足.（1）求角B的大小;（2）若，求的面积.19. 某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文
6、科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值： 0.100.050.02500100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820. 如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的二面角大小.21. 已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为
7、直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为（1）求抛物线的方程；（2）若，求直线的方程;（3）若为直线上的动点，求的最小值22. 已知（1）若函数f(x)在的切线平行于第一、三象限的平分线，求m的值;（2）讨论函数f(x)的单调性;（3）若f(x)恰有两个不同的零点，证明：.广东省广州市越秀区2020-2021学年高二下期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合， ，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用并集的概念求解即可.【详解】由， ，则=.故选：B2. 复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.
8、 第四象限【答案】A【解析】【分析】对复数化简后可得答案【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点在第一象限，故选：A3. 是成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】将代入可判断充分性，求解方程可判断必要性，即可得到结果.【详解】将代入中可得，即“”不是“”的充分条件；由可得，即或，所以“”不是“”的必要条件，故选：D4. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、数书九章、缉古算经、缀术有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这6部专著中有4部产生于汉、魏、晋、南北朝时期某中学拟从这6
9、部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合组合数的计算公式，求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从6部专著中任选2部，共有种不同的选法，其中所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，共有中选法，所以所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为.故选：C.5. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据
10、模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（ ）A. B. C. 36D. 【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，去掉最大值和最小值，然后计算平均值，从而求得x，按照方差公式计算方差即可.【详解】由图可知去掉的两个数是87，99，所以879029129490x917，解得x4.故方差为：s2(8791)2(9091)22(9191)22(9491)22.故选：B.6. 已知函数在R上单调递增，记，a，b，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用指数、对数函数性质并借助中间数比较的大小，再用函数给定单调区间及单调性得结论.【详解】因为函数
11、y=2x是R上的增函数，则20.320=1，y=log2x是上的增函数，则，而0.32=0.090.5，所以，又在R上单调递增，所以，即故选：A7. 函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取特殊，计算对应的函数值的正负，即可用排除法，得出结果.【详解】因为，当时，故AD排除；当时，故B排除；故选：C.8. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为，双曲线的焦点与之相同得；设，由抛物线的定义知，代入抛物线得，所以，解得，则离心率为2，故B为正
12、确答案考点：1、双曲线的性质；2、抛物线的性质二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9. 如图，正方体的棱长为1，点是内部(不包括边界)的动点，若，则线段长度的可能取值为( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】由所给条件探求出动点P的轨迹，然后在三角形中求出点A与动点P的距离范围得解.【详解】在正方体AC1中，连接AC，A1C1，如图，BDAC，BDAA1，则BD平面ACC1A1，因APBD，所以平面ACC1A1，又点P是B1CD1内部(不包括边界)的动点，连接
13、CO，平面B1CD1平面ACC1A1=CO，所以点P在线段CO上(不含点C，O)，连接AO，在等腰OAC中，而底边AC上的高为1，腰OC上的高，从而有，都符合，不符合.故选：ABC【点睛】几何体中定点到符合某个条件的动点的距离问题，先探求出符合所给条件的动点轨迹，再转化成平面问题解决，探求轨迹是关键.10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小正周期的最大值为B. 当最小时，在上单调递减C. D. 当最小时，直线是图像的一条对称轴【答案】BC【解析】【分析】由给出的函数图像，求出函数解析式，结合函数性质一一分析即可.【详解】由题图得.因为，又，所以.由，即，得，即，
14、又，所以，所以的最小正周期的最大值为，故A错误，C正确；取，则，当时，令，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确；，所以直线不是图像的一条对称轴，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：整体法求一般三角函数单调区间及对称性等相关问题.11. 已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）A. 曲线可表示为焦点在轴的椭圆B. 曲线可表示为焦距是4的双曲线C. 曲线可表示为离心率是的椭圆D. 曲线可表示为渐近线方程是的双曲线【答案】ACD【解析】【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可【详解】由为3与5的等差中项，得，
15、即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确故选:ACD12. 下列命题为真命题的是（ ）A. 对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是B. 从数字、中任取个数，则这个数的和为奇数的概率为C. 已知样本数据、的方差为，则数据、的标准差是D. 已知随机变量，若，则【答案】BC【解析】【分析】利用回归直线过样本中心点可判断A选项的正误；利用古典概型的概率公式可判断B选项的正误；利用随机变量的方差性质可判断C选项的正误；利用正态密度
16、曲线的对称性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由已知条件可得，所以，回归直线过样本中心点，将其代入线性回归方程中，得，解得，故A错误；对于B，若任取个数，使得这个数的和为奇数，则这个数中一个为奇数，一个为偶数，即所求的概率为，故B正确；对于C，设离散型随机变量的取值为、，则随机变量的取值为、，由已知条件可得，则，所以，数据、的标准差是，故C正确；对于D，由随机变量知，由正态分布密度曲线的轴对称性可知，则，所以，故D错误故选：BC【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差
17、，利用期望和方差的性质（，）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若向量与垂直,则m=_.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示以及平面向量的数量积列方程可解得结果.【详解】因为向量，且向量与垂直，所以，所以，所以，解得.故答案为：14. 若球的表面积为，有一平面与球心的距离为，则球被该平面截得的圆的面积为_.【答案】【解析】【分析】由题得球的半径为，进而根据截面圆的半径，球心到截面圆的距离，球的半径构
18、成的直角三角形结合勾股定理求解即可得截面圆的半径，进而得答案.【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，所以，得.因为截面与球心的距离为，所以截面圆的半径，可得截面圆的面积为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查球的截面圆的相关计算，考查空间思维能力与运算能力，是基础题.本题解题的关键是需要掌握球的截面圆的半径，球心到截面圆的距离，球的半径构成的直角三角形，进而结合勾股定理求解.15. 过圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B，则_ .【答案】【解析】【分析】根据题意，由切线长公式可得，则点A、B在以为圆心，半径为的圆上，求出该圆方程，与圆的方程联立可得直线的方程，结合直线与圆的位置关系可得
19、答案.【详解】根据题意，圆O:的圆心为，半径，若，则，圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B，则，故点A、B在以为圆心，半径为的圆上，该圆的方程为，联立两个圆的方程： ，两式作差可得，则直线的方程为，圆O的圆心O到直线的距离，则.故答案为：16. 已知定义在上偶函数，当时，若函数恰有六个零点，且分别记为则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题目条件，作出函数在上的图像，设，由对称性及对数运算知：，故，根据求得范围.【详解】根据题目条件，作出函数在上的图像，如图所示：设的六个零点，自左到右为，则，由对称性知：，又，则，故，易知，则故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写
20、出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前n项和为，且满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的关系，讨论、，可求、且，进而判断为等比数列，写出通项公式即可.（2）由（1）得，即可得，由裂项相消法求.【详解】（1），当时，又，则.，当时，即，又，故数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，.（2）由（1）得，即.18. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且满足.（1）求角B大小;（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再由辅助角公式即可求解.（2）由余弦定理以
21、及三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得，因为，可得，即，即，即，因为，解得.（2）由余弦定理可得，即， 因为，解得，所以.19. 某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有
22、关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值： 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析， .【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，
23、根据公式求出期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.依题意知，所以（），所以的分布列为0123P所以期望，方差.【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.20. 如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的二面角大小.【答案】（1）证明见
24、解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一: 取的中点，的中点，由勾股定理可得，在三棱柱中易知平面，由于，由此平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结果.方法二：以为坐标原点建立空间坐标系，分析求出向量 的坐标，进而根据，结合线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理即可得到平面平面平面 （2）求出平面与平面的法向量坐标，代入向量夹角公式，求出平面与平面所成的二面角的余弦值，进而可以求出平面与平面所成的二面角【详解】（1）方法一：证明：取的中点，的中点，连接，.E、F分别为AC1、AC的中点，故四边形是平行四边形.在直三棱柱中，又且平面.由于.平面平面 平面平面. 方法二：证明：，由勾股
25、定理知，则如图所示建立直角坐标系，坐标分别为：分别之中点.故，平面，平面 平面平面（2）设平面的法向量，且令，显然平面的法向量为，平面的法向量，故两平面的夹角为.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用，本题属于基础题21. 已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为（1）求抛物线的方程；（2）若，求直线的方程;（3）若为直线上的动点，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式直接求解的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点，得到直线方程；（3
26、）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将进行转化处理，通过参数消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.【详解】(1)由到直线的距离为得得或抛物线(2) 由知设切点， 则 即，即(3)若为直线上的动点，设，则由(2)知，与联立消得“” 则，是“”的二根当时，得到最小值为【点睛】本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.22. 已知（1）若函数f(x)在的切线平行于第一、三象限的平分线，求m的值;（2）讨论函数f(x)的单调性;（3）若f(x)恰有两个不同的零点，证明：.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（3）根据题意可得，证明，令，则，构造函数，求出导函数，证明在单调递增，证明即可.【详解】（1），由题意可得，即，解得.（2）， 当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，解得，令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）是的两个零点，则，要证，即证，不妨设，则，等价于，令，则，构造函数，在上单调递增，则，即对任意恒成立，故
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