1、2020-2021学年广东省韶关市高二下期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1. 已知全集，集合，那么（ ）A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，若复数，则（ ）A. B. C. D. 3. “是三角形内角”是“”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在直角三角形中，为边上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知是第一象限，满足，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和是，若，则（ ）A. 或5B. 或5C. D. 7. 已知某物种经过年后的种群数量近似满足冈珀茨模型
2、：，当时，的值表示年年初的种群数量若年后，该物种的种群数量不超过年初种群数量的，则的最小值为（ ）（参考值：）A. B. C. D. 8. 已知函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 某学校为研究高三800名学生的考试成绩，在高三的第一次模拟考试中随机抽取100名高三学生的化学成绩绘制成频率分布直方图（如图所示），把频率看作概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）A.
3、 估计该校本次测试化学分数在区间的人数为360B. 估计该校本次测试化学平均分为71C. 估计该校本次测试化学成绩的中位数是D. 从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为10. 已知函数最小正周期为，则（ ）A. 函数为奇函数B. 函数在上单调递增C. 函数的图象关于直线对称D. 函数图象向右平移个单位长度得到函数的图象11. 如图1，在等腰梯形中，为中点，将沿折起，使点到达的位置（点不在平面内），连结，（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 平面B. C. 存在某个位置，使平面D. 与平面所成角的最大值为12. 已知，过抛物线：焦点的直线与抛物线交于，两点，为上任意
4、一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A. 过与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条B. 与到抛物线的准线距离之和的最小值为3C. 若，成等比数列，则D. 抛物线在、两点处的切线互相垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 二项式的展开式中，常数项是_.14. 已知，若以为圆心的圆与直线相切于点，则圆的标准方程是_15. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为_，若点在椭圆上，则的最小值为_16. 已知三棱锥中，平面平面、若三棱锥的外接球面积为，则三棱锥的体积最大值为_四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 已知数列，若_
5、（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解；，；，点，在斜率是2的直线上18. 已知中，内角为锐角，点为延长线上一点，连接（1）求边的长；（2）求的面积19. 已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，是直角梯形，且（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值20. 某校为了提升学生的科学素养、本学期初开始动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时间、学期末该校通过简单随机抽样的方法收集了20名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设表示阅读时间，单位：分钟）组别时间分组频
6、数男生人数女生人数121121046343142115220（1）完成下面的列联表、并回答能有90%的把认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”？平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：0.1500.1000.05000100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）为了选出1名选手代表学校参加全市中小学生科普知识比赛，学校组织了考组对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最后阶段的备选选手考核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从6道试题中随机抽取3道试题作答，已知这6道试题中，甲可
7、正确回答其中的4道题目，而乙能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的若从数学期望和方差的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？21 已知函数，（1）若，求函数的最大值；（2）当时，若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围2020-2021学年广东省韶关市高二下期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1. 已知全集，集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式得集合A，再根据集合的运算即可得出答案.【详解】解：全集，集合或，故选：C2. 设是虚数单位，若复数，则
8、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出复数，利用复数的模的公式可求得.【详解】，因此，.故选：C.3. “是三角形的内角”是“”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要的定义，结合正弦的正负性、三角形内角的取值范围进行求解判断即可.【详解】解：若是三角形的内角，则，故充分性成立，若，可得，（），故必要性不成立，综上所述，是条件的充分不必要条件故选：A4. 如图，在直角三角形中，为边上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由求解.【详
9、解】，且，故选：D5. 已知是第一象限，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得，再由结合二倍角公式即可得出答案.【详解】解：，是第一象限，是第二象限角，则，故选：B6. 已知等比数列的前项和是，若，则（ ）A. 或5B. 或5C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及前项和公式列出方程组，解得即可【详解】解：等比数列的前项和是，当公比时，无解，当公比时，解得，故选：C7. 已知某物种经过年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：，当时，的值表示年年初的种群数量若年后，该物种的种群数量不超过年初种群数量的，则的最小值为（ ）（参考值：）A. B.
10、C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出年年初的种群数量，根据已知条件可得出关于的不等式，即可得解.【详解】由题意可知，年年初的种群数量为，由，即，可得，即，故，因为，因此，的最小值为.故选：B8. 已知函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数在上恰有三个零点，转化为函数与的图象有三个交点，画出函数与的图象，结合图象可得答案.【详解】函数在上恰有三个零点，即方程有三个根，也就是函数与的图象有三个交点，如图，当时，设直线与切于，则曲线在切点处的切线方程为，把代入，可得，解得，则直线与相切时的切线的斜率为由于的图象关于y轴对称，结合图象
11、及对称性可知，要使函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围为故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 某学校为研究高三800名学生的考试成绩，在高三的第一次模拟考试中随机抽取100名高三学生的化学成绩绘制成频率分布直方图（如图所示），把频率看作概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）A. 估计该校本次测试化学分数在区间的人数为360B. 估计该校本次测试化学平均分为71C. 估计该校本次测试化学成绩的中位数是D. 从高三学生中随机抽
12、取4人，其中3人成绩在内的概率为【答案】BC【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质、次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式直接求解【详解】解：对于A，本次测试化学分数在区间的频率为：，估计该校本次测试化学分数在区间的人数为人，故A错误；对于B，估计该校本次测试化学平均分为：，故B正确；对于C，的频率为：，的频率为：0.3，估计该校本次测试化学成绩的中位数是：，故C正确；对于D，成绩在内的频率为，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在内的概率为：，故D错误故选：BC10. 已知函数最小正周期为，则（ ）A. 函数为奇函数B. 函数在上单调递增C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的图象向
13、右平移个单位长度得到函数的图象【答案】AC【解析】【分析】根据函数的最小正周期为，由求得，再逐项判断.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以故函数为奇函数，故A正确；由，得，在上不单调，所以函数不单调，故B错误；当时，为最大值，故的图象关于直线对称，故C正确；函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故D错误，故选：AC11. 如图1，在等腰梯形中，为中点，将沿折起，使点到达的位置（点不在平面内），连结，（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 平面B. C. 存在某个位置，使平面D. 与平面所成角的最大值为【答案】AB【解析】【分析】选项A，先证明为平行四边形，得到，再
14、利用线面平行的判定证明平面；选项B，取的中点，连接，利用线面垂直的判定证明平面，从而有；选项C，假设平面，得到，于是，与矛盾；选项D，在选项B中图形的基础上，继续作，交或延长线于点，再利用线面垂直的判定证明平面，从而可得直线与平面所成的角为，根据可判定选项D错误.【详解】选项A：因为，为中点，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，故选项A正确；选项B：连接，取的中点，连接，因为，为的中点，所以，又易证为平行四边形，所以，又为的中点，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，故选项B正确； 选项C：若平面，则，在直角中，必有，与矛盾，故选项C错误；选项D：
15、在选项B的图形的基础上，过点作，交或延长线于点，由选项B的解析知，平面，又因为平面，所以，又因为，都在平面内，且相交于点，所以平面.所以为直线与平面所成的角，显然，故D错误； 故选：AB.12. 已知，过抛物线：焦点的直线与抛物线交于，两点，为上任意一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A. 过与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条B. 与到抛物线的准线距离之和的最小值为3C. 若，成等比数列，则D. 抛物线在、两点处的切线互相垂直【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系逐项验证即可.【详解】解：设过的直线方程为：，又 抛物线的方程为：，联立方程可得：化简
16、得： 时，解得，即有两解.又时，所以直线与抛物线有一个交点过与抛物线相交且有一个公共点的直线有三条，选项A错误；，与到抛物线的准线距离之和等于，又，选项B正确；设，直线的方程为，代入抛物线的方程可得，所以，因为，所以，选项C正确；不妨设，由得，由得，所以抛物线在处的切线的斜率为，在处的切线的斜率为，因为，所以两条切线相互垂直，选项D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 二项式的展开式中，常数项是_.【答案】20【解析】【分析】写出展开式通项公式，由的指数为0可得常数项的项数，从而得常数项【详解】由题意展开式通项公式为，令，所以常数项为故答案为：20【点睛】本题
17、考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键14. 已知，若以为圆心圆与直线相切于点，则圆的标准方程是_【答案】【解析】【分析】根据题意直接可求出n，再根据切线的性质可得直线与直线垂直，从而求出m，进而求得半径，即可得出答案.【详解】解：根据题意，圆与直线相切于点，则在直线上，则有，解可得，又由圆心的坐标为，直线的斜率为，则有，解可得，圆半径，故圆的标准方程是；故答案为：15. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为_，若点在椭圆上，则的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】由函数，令求得点；由 点在椭圆上，得到，再由“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】对于函数（，且）的
18、图象，令，解得，所以函数图象恒过定点若点在椭圆上，则，即，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故答案为：；16. 已知三棱锥中，平面平面、若三棱锥的外接球面积为，则三棱锥的体积最大值为_【答案】【解析】【分析】画出图形分析可得，当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，再根据题意确定球心的位置，进而求得三棱锥的高即可【详解】解：如图，分别取、的中点、，连接，则为三角形的外心，当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时，即，由平面平面，得平面，设为的外心，为三棱锥的外接球的球心，由球的性质可知平面，平面，则四边形为矩形，由三棱锥的外接球面积为，得，又，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共7
19、0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 已知数列，若_（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解；，；，点，在斜率是2的直线上【答案】答案见解析.【解析】【分析】（1）若选，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；若选，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；若选，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；（2）利用裂项相消求和即可详解】解：（1）若选，由，所以当，两式相减可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若选，由（，）可得：数列为等差数列，又因为，所以，即，所以若选，由点，
20、在斜率是2的直线上得：，即，所以数列为等差数列且（2）由（1）知：，所以18. 已知中，内角为锐角，点为延长线上一点，连接（1）求边的长；（2）求的面积【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】解：（1）因为，内角为锐角，所以，所以，可得（2）因为，即，所以，所以，故19. 已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，是直角梯形，且（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直
21、的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连接，交于点，四边形是菱形，平面平面，平面平面，平面，平面，又，、平面，平面，平面， （2）解：取的中点，连接，是边长为4的菱形，以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，则，即，令，则，同理可得，平面的一个法向量为，由图知，平面与平面所成角为锐角，故平面与平面所成角的余弦值为20. 某校为了提升学生的科学素养、本学期初开始动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时间、学期末该校通过简单随机抽样的方法收集了20
22、名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设表示阅读时间，单位：分钟）组别时间分组频数男生人数女生人数121121046343142115220（1）完成下面的列联表、并回答能有90%的把认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”？平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：0.1500.1000.0500.01000050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）为了选出1名选手代表学校参加全市中小学生科普知识比赛，学校组织了考组对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最后阶段的备选选手考
23、核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从6道试题中随机抽取3道试题作答，已知这6道试题中，甲可正确回答其中的4道题目，而乙能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的若从数学期望和方差的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？【答案】（1）分布列见解析，没有；（2）甲学生入选的可能性更大.【解析】【分析】（1）根据频数分布表中数据填写列联表即可求解，再由列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解.（2）甲学生正确作答的题数为服从超几何分布，乙学生正确作答的题数为服从二项分布，分别算出随机变量的数学期望、方差，比较期望与方差
24、即可得出结果.【详解】解：（1）由频数分布表，可推得列联表：平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620，没有90%的把握认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”（2）设甲学生正确作答的题数为，则的取值分别为1，2，3，故的分布列为：123，设乙学生正确作答的题数为，则，甲学生入选的可能性更大21. 已知函数，（1）若，求函数的最大值；（2）当时，若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，求得，利用导数分析函数在定义域上的单调性，由此可求得函数的最大值；（2）分析可知有两个不等实数根、，求得，利用韦达定理得出、，利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数求出函数的值域，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，函数的定义域为，所以，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以当时，有最大值为；（2）因为的定义域为，令可得，又因为函数有两个极值点、，所以有两个不等实数根、，所以，可得，且，所以，所以，所以，由，从而，由不等式恒成立，所以恒成立，又，令，所以在时恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围是【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.
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