1、广东省广州市番禺区广东省广州市番禺区 2020-2021 学年高二下数学期末考试试卷学年高二下数学期末考试试卷 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A.2 B.1，2 C.0，1，2 D. 2.在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.在 的展开式中，常数项为（ ） A.15 B. C.30 D. 4.已知圆 截直线 所得弦的长度为 1，那么 k 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5.已知随机变量 X 服从二项分布，即 ，
2、且 ， ，则二项分布的参数 n，p 的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 可以近似看作时间 的函数，记作 ，其瞬时变化率 和 的关系为 ，其中 为常数在下列选项所给函数中， 可能是（ ） A. B. C. D. 7.已知 ， 是单位向量， 2 ，若 ，则| |（ ） A.3 B. C. D. 8.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦某二和弦可表示为 ，则函数 的图象大致为（ ） A.B. C.D.
3、二、多选题二、多选题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9.锐角三角形 的面积是 ， ， .则（ ） A. B. C. D. 10.2021 年5月7日， 国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗 （Vero细胞） ，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”（EUL）.世卫组织审评认为该疫苗的效力 78.1%，最高达
4、 90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到 注射疫苗的效力 对照组发病率 疫苗组发病率对照组发病率 .关于注射疫苗，下列说法正确的是（ ） A.只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎 B.注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低 C.若对照组 10000 人，发病 100 人；疫苗组 20000 人，发病 40 人.则效力为 80% D.若某疫苗组的效力为 80%，对照组的发病率为 50%.那么在 10000 个人注射该疫苗后，
5、一定有 1000 个人发病 11.如图，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 ASBE 底面边长与侧棱长均为 a，则下列说法正确的是（ ） A.ASCD B.正四棱锥 SBCDE 的外接球半径为 C.正四棱锥 SBCDE 的内切球半径为 D.由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱 12.关于函数 ， .下列说法正确的是（ ） A. 在 处的切线方程为 B. 有两个零点 C. 有两个极值点 D. 存在唯一极小值点 ，且 三、填空题三、填空题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知双曲线 C
6、 的渐近线方程为 ，写出双曲线 C 的一个标准方程：_. 14.已知 为等差数列， 为其前 项和若 ， ，则 _ 15. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA= ，cosC= ，a=1，则 b=_ 16.数学多选题 A，B，C，D 四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.已知某道数学多选题正确答案为 BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了 1 个或 2 个或 3 个选项，则他能得分的概率为_. 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文字
7、说明、证明过程或演算步分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）骤） 17.已知数列 满足 ， ，且 ， ， 构成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.已知函数 由下列四个条件中的三个来确定： 最小正周期为 ；最大值为 2； ； （1）写出能确定 的三个条件，并求 的解析式； （2）求 的单调递增区间 19.如图，在长方体 中，四边形 是边长为 1 的正方形， ，M ， N分别为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.2019 年 4 月，广东省发布了高考综合改革实施方案，试行“高考新模式”为调研新高
8、考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级 800 名学生的选科情况，部分数据如下表： 性别 科目 合计 物理 历史 男生 300 400 女生 150 合计 800 （1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得，记 3 人中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望 . 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.8410 6.635 10
9、.828 21.已知椭圆 ， 经过原点的直线与椭圆 交于 ， 两点， 直线 与直线 垂直，且与椭圆 的另一个交点为 . （1）当点 为椭圆 的右顶点时，求证： 为等腰三角形； （2）当点 不是椭圆 的顶点时，求直线 和直线 的斜率之比. 22.已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，若存在 ，使得不等式 成立，求 m 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 一、单选题一、单选题 1.已知集合 ， ，则 （ ） A.2 B.1，2 C.0，1，2 D. 【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】因为集合 ， ，所以 ， 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合交集的运
10、算法则，进而求出集合 A 和集合 B 的交集。 2.在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 B 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】因为 ， 所以 对应的点为 ，它位于第二象限. 故答案为：B 【分析】 把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，得到 在复平面内对应点的坐标得答案 3.在 的展开式中，常数项为（ ） A.15 B. C.30 D. 【答案】 A 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】 ， 令 ，得 ， 所以常数项是 。 故答案为：A 【分析】 利用已知条
11、件结合二项式定理求出展开式中的通项公式， 再利用通项公式求出展开式中的常数项。 4.已知圆 截直线 所得弦的长度为 1，那么 k 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】 D 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离 ， 由 得 ，得 ， 又因为 ，所以 . 故答案为：D 【分析】 先由点到直线的距离公式，求得圆心（0，0）到直线的距离，再由弦长公式，即可得解 5.已知随机变量 X 服从二项分布，即 ，且 ， ，则二项分布的参数 n，p 的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 D 【考点】离散型随机变量的期望与
12、方差 【解析】【解答】解：随机变量 X 服从二项分布，即 ，且 ， ， 可得 ， ，解得 ， ， 故答案为：D. 【分析】 利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可 6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 可以近似看作时间 的函数，记作 ，其瞬时变化率 和 的关系为 ，其中 为常数在下列选项所给函数中， 可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】变化的快慢与变化率 【解析】【解答】由题意，瞬时变化率 和 的关系为 ， 对于 A 中，函数 ，可得 ，所以 ，符合题意； 对于 B 中，函数 ，可得 ，不符合题意； 对于 C 中，函数 ，可得 ，不符合
13、题意； 对于 D 中，函数 ，可得 ，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合瞬时变化率 和 的关系为 ， 再利用导数的运算法则和复合函数的求导方法，从而得出函数 可能的解析式。 7.已知 ， 是单位向量， 2 ，若 ，则| |（ ） A.3 B. C. D. 【答案】 C 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】因为 ， 是单位向量， 2 ， ， 则 ， 所以 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合单位向量的定义，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则得出 的值， 再利用数
14、量积求向量的模的公式结合数量积 的值， 进而求出向量的模， 即 | | 的值。 8.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦某二和弦可表示为 ，则函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】函数的图象 【解析】【解答】 定义域为 R. 因为 ，则 为奇函数，排除 D； 在区间 ， 上， ，函数图像在 x 轴上方，排除 C； 在区间 ， 上， 和 都是增函数，函数图像增长最快，排除 B； 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合正弦型函数的定义域结合交集
15、的运算法则，进而求出函数 f(x)的定义域，再利用奇函数的定义判断出函数为奇函数， 再利用增函数的定义判断出函数为增函数， 再结合在区间 ， 上， ，函数图像在 x 轴上方，进而结合排除法找出函数的大致图象。 二、多选题二、多选题 9.锐角三角形 的面积是 ， ， .则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A,C 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】 锐角三角形 的面积是 ， ， ， 为锐角， ，A 选项正确，B 选项错误， 在 中，运用余弦定理， 可得 ， ，C 选项正确，D 选项错误 故答案为：AC 【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式，进而求出角 B 的正弦值，
16、再利用锐角三角形中角 B 的取值范围，进而求出角 B 的值；再利用余弦定理求出 AC 的长，进而找出正确的选项。 10.2021 年5月7日， 国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗 （Vero细胞） ，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”（EUL）.世卫组织审评认为该疫苗的效力 78.1%，最高达 90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到 注射疫苗的效力 对照组发病率 疫苗组发病率对照组发病率 .关于
17、注射疫苗，下列说法正确的是（ ） A.只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎 B.注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低 C.若对照组 10000 人，发病 100 人；疫苗组 20000 人，发病 40 人.则效力为 80% D.若某疫苗组的效力为 80%，对照组的发病率为 50%.那么在 10000 个人注射该疫苗后，一定有 1000 个人发病 【答案】 B,C 【考点】概率的应用 【解析】【解答】解：由题意，疫苗的效力 78.1% ，最高达 90% ，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，A 不符合题意； 由题意， 疫苗的效力 78.1% ， 最高达 90% ，
18、 所以注射该种新冠疫苗， 能使新冠肺炎感染的风险大大降低，B 符合题意； 若对照组 10000 人，发病 100 人；疫苗组 20000 人，发病 40 人，则注射疫苗的效力 ，C 符合题意； 若某疫苗组的效力为 ，对照组的发病率为 ，只是反应了一个概率问题，并不能说明在 10000个人注射该疫苗后，一定有 1000 个人发病，D 不符合题意 故答案为：BC 【分析】利用已知条件结合概率的应用，从而找出说法正确的选项。 11.如图，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 ASBE 底面边长与侧棱长均为 a，则下列说法正确的是（ ） A.ASCD B.正四棱锥 SBCDE 的外
19、接球半径为 C.正四棱锥 SBCDE 的内切球半径为 D.由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】 A,B,D 【考点】棱柱的结构特征，棱锥的结构特征，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】如图所示： A 选项：取 中点 连接 ，正三棱锥 中， 又 ，所以 平面 ，则 ，又 所以 ，A 符合题意； B 选项：设底面中心为 ，球心为 半径为 ，因为正四棱锥 SBCDE 外接球球心在 上，所以 ，因为，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a， 所以 ，由 得 ， 解得 ，B 符合题意； C 选项：设内切球半径为
20、，易求得侧面面积为 ， 由等体积法得 解得 ，C 不符合题意； D 选项： 取 中点 ， 连结 ， ， ， 则 和 分别是 和 的二面角的平面角，由 ， ，故 与 互补，所以 共面，又因为 ，则 为平行四边形，故 ，故正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱，所以 D 符合题意。 故答案为：ABD 【分析】利用正四棱锥的结构特征，再结合线线垂直的判断方法、再利用正四棱锥与外接球的位置关系，进而结合勾股定理求出正四棱锥 SBCDE 的外接球半径，再利用正四棱锥与内切球的位置关系，再结合等体积法求出正四棱锥内切球的半径，取 中点 ，连结 ， ， ，则 和 分别是 和 的
21、二面角的平面角，再利用余弦定理得出 与 互补，所以 共面，再利用 ，则 为平行四边形，故 ，再结合已知条件结合多面体的构成方法，再结合三棱柱的结构特征，进而得出由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱，从而找出说法正确的选项。 12.关于函数 ， .下列说法正确的是（ ） A. 在 处的切线方程为 B. 有两个零点 C. 有两个极值点 D. 存在唯一极小值点 ，且 【答案】 A,B,D 【考点】函数在某点取得极值的条件，利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点的判定定理 【解析】【解答】 ， ， ， ，切线方程为 ,即 ,A 符合题意； ，当 时， ， 当 时，
22、， , ， 时， ， 单调递增， ， ， 在 内， 存在唯一的零点 ,且 ， 且在 内， ， 单调递减； ， ， 单调递增， 为极值点，且为极小值点. 由 ， ， ， ， ， 有唯一的极值点，且为极小值点 ，且 ，C 不符合题意，D 符合题意； 又 , 结合函数 的单调性可知 有两个零点，B 符合题意； 故答案为：ABD. 【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线方程；再利用已知条件结合函数的零点的求解方法，进而求出函数有两个零点；利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函
23、数的极值点； 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性， 进而求出函数的极小值点， 再结合函数 有唯一的极值点，且为极小值点 ，从而得出 ，进而找出说法正确的选项。 三、填空题三、填空题 13.已知双曲线 C 的渐近线方程为 ，写出双曲线 C 的一个标准方程：_. 【答案】 (答案不唯一) 【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】依题意，双曲线 C 的渐近线方程为 ， 不妨设双曲线焦点在 轴上，则 ， 可令 ，可得双曲线 C 的一个标准方程为 ， 也可令 等等。 故答案为： (答案不唯一)。 【分析】利用双曲线的渐近线求解方法得出 a,b 的关系式，进而求出满足要求的双曲
24、线的一个标准方程。 14.已知 为等差数列， 为其前 项和若 ， ，则 _ 【答案】 【考点】等差数列的前 n 项和 【解析】【解答】由 为等差数列，设公差为 ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前 n 项和公式，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列前 n 项和公式，进而求出等差数列的前 n 项和。 15. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA= ，cosC= ，a=1，则 b=_ 【答案】 【考点】解三角形 【解析】【解答】解：由 cosA= ，cosC= ，可得 sinA= = = ，si
25、nC= = = ，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= + = ，由正弦定理可得 b= = = 故答案为： 【分析】运用同角的平方关系可得 sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得 sinB，运用正弦定理可得 b= ，代入计算即可得到所求值；本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题 16.数学多选题 A，B，C，D 四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.已知某道数学多选题正确答案为 BCD，小明同学不会做这道题
26、目，他随机地填涂了 1 个或 2 个或 3 个选项，则他能得分的概率为_. 【答案】 【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】随机地填涂了 1 个或 2 个或 3 个选项，共有 种涂法， 能得分的涂法为 BCD,BC,BD,CD,B,C,D,共 7 种， 故他能得分的概率为 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合分类加法计数原理结合古典概型求概率公式，进而求出他能得分的概率。 四、解答题四、解答题 17.已知数列 满足 ， ，且 ， ， 构成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 （1）解
27、：由 ，得 ， 所以数列 是以 2 为公差的等差数列， 又 ， ， 构成等比数列， 得 ，即 ， 整理解得 ， 所以 （2） ， 则 ， ， 两式相减得 ， 即 ， 所以 【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和，等比数列的性质，数列递推式 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义， 所以数列 是以 2 为公差的等差数列， 再利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，从而求出等差数列的首项，再结合等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。 （2）利用（1）中数列 的通项公式结合 ，从而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，进而求出数列 的前
28、项和。 18.已知函数 由下列四个条件中的三个来确定： 最小正周期为 ；最大值为 2； ； （1）写出能确定 的三个条件，并求 的解析式； （2）求 的单调递增区间 【答案】 （1）解：选条件，不能确定周期，求不出 ；选，不能确定最大值和最小值，求不出 ；选，求得的 不满足已知条件 只能选 条件， ， ， ，由 ，又 得 ， 所以 ； （2）解： ， ， ， 所以增区间是 ， 【考点】正弦函数的单调性，由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【分析】 （1）若函数 f（x）满足条件，则由 f（0）=Asin=-2，推出与 A0， 矛盾，可得函数 f（x）不能满足条件，由条件，利
29、用周期公式可求 =2，由条件，可得 A=2，由条件，可得 ，结合范围 ， 可求 ，可得函数解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解 19.如图，在长方体 中，四边形 是边长为 1 的正方形， ，M ， N分别为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明：连 交 于点 ，则 为 的中点， 因为 为 的中点，所以 ， ， ， ， 所以 ， ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ，因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）解：以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系： 则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，
30、 取 ，则 ， ，所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】 （1）取 AC 的中点 O，连结 OM，ON，先证明 OMCD， ，再证明 ， ，从而证明 ，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面 的法向量，由向量的夹角公式求解即可 20.2019 年 4 月，广东省发布了高考综合改革实施方案，试行“高考新模式”为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级 800 名学生的选科情况，部分数据如下表： 性
31、别 科目 合计 物理 历史 男生 300 400 女生 150 合计 800 （1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得，记 3 人中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望 . 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.8410 6.635 10.828 【答案】 （1） 性别 科目 物理 历史 合计 男生 300 100 400 女生 250 150 40
32、0 合计 550 250 800 因为 ， 所以有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关. （2）按照分层抽样的方法，抽取男生 2 人，女生 3 人. 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2. 所以 ， ， . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 所以 . 所以数学期望 为 . 【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）利用已知条件填写完 列联表，再利用独立性检验的方法，进而判断出有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关。 （2） 按照分层抽样的方法，得出抽取男生 2 人，女生 3 人，再利用
33、已知条件得出随机变量 X 的所有可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量 X 的分布列，再利用随机变量 X 的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量 X 的数学期望。 21.已知椭圆 ， 经过原点的直线与椭圆 交于 ， 两点， 直线 与直线 垂直，且与椭圆 的另一个交点为 . （1）当点 为椭圆 的右顶点时，求证： 为等腰三角形； （2）当点 不是椭圆 的顶点时，求直线 和直线 的斜率之比. 【答案】 （1）设点 ，则点 ， ，可得 ， 当点 为椭圆 的右顶点时， ， ， ， ，即 ， 整理可得 ，即 ， 由题意可知，点 不与点 重合，则 ，可得 ， ， ， 即 ，
34、 因此， 为等腰三角形； （2）设点 ，则 ， ，则 ， 由已知得 ，两式相减得 ，可得 ， ， ，所以， . 【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1) 设点 ，则点 ，再利用代入法得出 ，当点 为椭圆 的右顶点时，从而求出点 M 的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和已知条件，得出点 不与点 重合，进而求出 的值，再利用代入法可得 的值，再结合数量积求向量的模的公式求出 ，再结合等腰三角形的定义，从而判断出三角形 为等腰三角形。 （2） 设点 ，再利用两点求斜率公式，从而求出 ，再利用代入法结合已知条件，得出 ，两式相减得出 ，可得
35、的值 ，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线 和直线 的斜率之比。 22.已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，若存在 ，使得不等式 成立，求 m 的取值范围. 【答案】 （1）解：函数 的定义域为 ， 且 当 ，即 时， 恒成立，故函数在 上单调递增； 当 ， 即 时， 令 ， 解得 ， 故函数在 上单调递增； 令 ，解得 ，故函数在 上单调递减； 综上所述，当 时，函数在 上单调递增；当 时，函数在 上单调递增，在 上单调递减； （2） 若存在 ，使得不等式 成立，即存在 ，使得不等式 成立， 令 ， ，则 ， 当 时， ， 在 上恒成立，故函数 在 上单调递增，
36、 ，解得 ，所以 ； 当 时， ， 在 上单调递减， 在 上单调递增， 则 令 ， ， 恒成立， 即函数 ，在 上单调递减，又 故 在 上恒成立，即 ，故 当 时， ， 在 上恒成立， 故函数 在 上单调递减， ，不符题意，舍去； 综上可得 【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数 f(x)的单调性。 （2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，从而求出实数 m 的取值范围。
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