1、上海市杨浦区上海市杨浦区 2020-2021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 3分，满分分，满分 18 分）分） 1. 如果二次三项式24xxp能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（ ） A. 4p B. 4p C. 4p D. 4p 2. 在一次函数(1)1ymxm中，如果y随x的增大而增大，那么常数 m的取值范围是（ ） A. 1m B. 1m C. 1m D. 1m 3. 下列方程中，二项方程的是（ ） A. 220 x B. 20 xx C. 31102x D. 4221yx 4. 以下描述AB和B
2、A的关系不正确的是（ ） A. 方向相反 B. 模相等 C. 平行 D. 相等 5. 下列事件中，属于必然事件的是 （ ） A. 某射击训练射击一次，命中靶心 B. 室温低于-5时，盆内的水结成了冰 C. 掷一次骰子，向上的一面是 6 点 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 6. 下列命题中，真命题是( ) A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角梯形是直角梯形 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 2分，满分分，满分 24 分）分） 7. 如果ykxxk是一次
3、函数，那么k的取值范围是_ 8. 如果点A(3, )a在一次函数31yx=+的图像上，则a_ 9. 方程490 x 根是_ 10. 方程20 xxx的根是_ 11. 方程23xx的解为_ 12. 方程组56xyxy 的解是_ 13. 布袋内装有大小、形状相同的 2个红球和 2个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是_ 14. 如果过多边形的一个顶点共有 6 条对角线，那么这个多边形的内角和是_度 15. 如图， 已知梯形 ABCD中， ABCD， DECB， 点 E 在 AB 上， 且 EB=4， 如果梯形 ABCD的周长为 24，那么AED 的周长为_ 16. 如图，菱形A
4、BCD由 6 个腰长为 2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC的长为_. 17. 如图，ABCD 的对角线 AC与 BD相交于点 O，将ABCD 翻折使点 B 与点 D 重合，点 A 落在点 E，已知AOB=（是锐角） ，那么CEO 的度数为_ （用 的代数式表示） 18. 平行四边形 ABCD 中，两条邻边长分别为 3和 5，BAD与ABC的平分线交于点 E，点 F 是 CD的中点，连接 EF，则 EF=_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，满分题，满分 40分）分） 19. 解方程：236xx 20. 解方程组：2224490 xxyyxxy. 21. 如图，在
5、ABCD中，点 E 是边 BC中点，设ABa，BEb (1)写出所有与BE互为相反向量的向量：_ (2)试用向量a、b表示向量DE，则DE uuu r_ (3)在图中求作：BABE、ECED（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 22. 如图，已知 BD、BE分别是ABC与它的邻补角的平分线，AEBE，ADBD，垂足分别为 E、D，联结 CD、DE，DE与 AB交于点 O，CDAB求证：四边形 OBCD 是菱形 23. 为庆祝中国共产党建党 90 周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校展览馆有 2个验票口 A、B（可进出） ，另外还有 2个出口 C、D（不许进）.小
6、张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开. （1）小张从进入到离开共有多少种可能进出方式？（要求用列表或树状图）. （2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？ 24. 某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 题，满分题，满分 18分）分） 25. 如图，已知平面直角坐标系中，直线2ykx和双曲线myx都经过点(1,4)A和点 B （1）求线段
7、 AB的长； （2）如果点 P 在 y 轴上，点 Q 在此双曲线上，当以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 P、Q 的坐标 26. 如图，在正方形 ABCD中，点 E 是边 BC延长线上一点，联结 DE，过点 B 作 BFDE，垂足为点 F，BF 与边 CD相交于点 G (1)求证：CG=CE； (2)联结 CF，求证：BFC=45； (3)如果正方形 ABCD的边长为 2，点 G是边 DC 的中点，求 EF 的长 上海市杨浦区上海市杨浦区 2020-2021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题
8、 3分，满分分，满分 18 分）分） 1. 如果二次三项式24xxp能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（ ） A. 4p B. 4p C. 4p D. 4p 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为 0时方程有解，确定出 p的范围即可 【详解】解：二次三项式 x2+4x+p 能在实数范围内分解因式， =16-4p0， 解得：p4， 故选：D 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键 2. 在一次函数(1)1ymxm中，如果y随x的增大而增大，那么常数 m的取值范围是（ ） A. 1m B. 1m C. 1m D.
9、1m 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当 k=m-10时，函数 y的值随 x的值增大而增大，据此可求解 【详解】解：由题意得 m-10， 解得 m1， 故选：A 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，在一次函数 y=kx+b 中，当 k0时函数 y的值随 x 的值增大而增大；当 k0 时函数 y的值随 x的值增大而减小 3. 下列方程中，二项方程的是（ ） A. 220 x B. 20 xx C. 31102x D. 4221yx 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项方程的定义进行判断即可 【详解】解：A、220 x 没有常数项，不是二项方程； B、20 xx两项都有未
10、知数，不是二项方程； C、31102x 是二项方程， D、4221yx两项都有未知数，不是二项方程； 故选：C 【点睛】本题考查了二项方程，如果一元 n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程 4. 以下描述AB和BA的关系不正确的是（ ） A. 方向相反 B. 模相等 C. 平行 D. 相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可 【详解】解：A、AB和BA的关系是方向相反，正确； B、AB和BA的关系是模相等，正确； C、AB和BA的关系是平行，正确； D、AB和BA的关系不相等，错误； 故选：D 【点睛】此题考查平
11、面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用 5. 下列事件中，属于必然事件的是 （ ） A. 某射击训练射击一次，命中靶心 B. 室温低于-5时，盆内的水结成了冰 C. 掷一次骰子，向上的一面是 6 点 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断 【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项不合题意； B、室温低于-5时，盆内的水结成了冰，是必然事件，故本选项符合题意； C、掷一次骰子，向上的一面是 6 点，是随机事件，故此选项不合题意； D、抛一枚硬币，落地后正面
12、朝上，是随机事件，故此选项不合题意； 故选：B 【点睛】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 6. 下列命题中，真命题是( ) A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项 【详解】A对角线互相垂直且相
13、等的梯形是等腰梯形，故错误； B对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误； C对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确； D对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误 故选：C 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 2分，满分分，满分 24 分）分） 7. 如果ykxxk是一次函数，那么k的取值范围是_ 【答案】k-1 【解析】 【分析】根据一次函数的定义条件直接解答即可 【详解】解：y=kx+x+k是一次函数， k+10 故答案为：k-1 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义
14、，属于基础题，注意掌握一次函数 y=kx+b的定义条件是：k、b 为常数，k0，自变量次数为 1 8. 如果点A(3, )a在一次函数31yx=+的图像上，则a_ 【答案】10 【解析】 【分析】把点（3，a）代入一次函数 y=3x+1，求出 y 的值即可 【详解】解：把点（3，a）代入一次函数 y=3x+1 得：a=9+1=10 故答案为：10 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式 9. 方程490 x 的根是_ 【答案】x=3或 x=3 【解析】 【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案 【详解】解：由 x4
15、-9=0得（x2+3） （x2-3）=0， x2+3=0 或 x2-3=0， 而 x2+3=0 无实数解， 解 x2-3=0得 x=3或 x=3， 故答案为：x=3或 x=3 【点睛】本题考查解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程 10. 方程20 xxx的根是_ 【答案】x=1 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，解分式方程容易产生增根，因此要对整式方程的解代入最简公分母检验后得出原方程的解 【详解】解：去分母得， x2-x=0， 即 x（x-1）=0， 所以 x1=0，x2=1， 经检验：x1=0是原方程的增
16、根，x2=1 是原方程的根， 所以原方程的根为 x=1， 故答案为：x=1 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法步骤是正确解答的前提，注意解分式方程容易产生增根需要检验 11. 方程23xx的解为_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出 x的值，然后验根，解答即可 【详解】解：两边平方得：2x+3x2 x22x30， 解方程得：x13，x21， 检验：当 x13时，方程的左边右边，所以 x13 为原方程的解， 当 x21时，原方程的左边右边，所以 x21不是原方程的解 故答案为 3 【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则 12. 方程
17、组56xyxy 的解是_ 【答案】1123xy ，2232xy 【解析】 【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可 【详解】解：56xyxy ， 由得：y=x-5 ， 将代入：x（x-5）=-6， 整理得：x -5x+6=0， x1=2，x2=3 将上述 x代入， 得：y1=-3，y2=-2 方程组的解：1123xy ，2232xy ， 故答案为：1123xy ，2232xy 【点睛】本题考查的是二元二次方程组，考核的是学生解二元二次方程组的能力以及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成一元二次方程是关键 13. 布袋内装有大小、形状相同的 2个红球和
18、2个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是_ 【答案】16 【解析】 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出两个都是红球的结果数，然后根据概率公式计算 【详解】解：画树状图为： 共有 12种等可能的结果，其中两个都是红球的结果数为 2， 所以两个都摸到红球的概率=212=16， 故答案为：16 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A或事件 B 的概率 14. 如果过多边形的一个顶点共有 6 条对角线，那么这个多边形的内角和是_度 【答案】126
19、0 【解析】 【分析】从多边形一个顶点可作 6 条对角线，则这个多边形的边数是 9，n 边形的内角和可以表示成（n-2）180，代入公式就可以求出内角和 【详解】解：过多边形的一个顶点共有 6条对角线， 故该多边形边数为 9， （9-2）180=1260， 这个多边形的内角和为 1260 故答案为：1260 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单 15. 如图， 已知梯形 ABCD中， ABCD， DECB， 点 E 在 AB 上， 且 EB=4， 如果梯形 ABCD的周长为 24，那么AED 的周长为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 因为 ABCD， DEC
20、B， 所以， 四边形 EBCD是平行四边形， 则 EB=CD=4， ED=BC， 又梯形 ABCD周长为 24，即 AB+BC+CD+AD=24，所以，AE+BC+AD=16，即 AE+DE+AD=16 【详解】解：ABCD，DECB， 四边形 EBCD是平行四边形，EB=4， EB=CD=4，ED=BC， 又梯形 ABCD的周长为 24， AB+BC+CD+AD=24，EB+CD=8， AE+BC+AD=16， AE+DE+AD=16， 即AED的周长为 16； 故答案为：16 【点睛】本题主要考查了梯形和平行四边形的性质，把AED 的周长看作一个整体，通过等量代换求出，本题蕴含了整体思想
21、16. 如图，菱形ABCD由 6 个腰长为 2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC的长为_. 【答案】6 3 【解析】 【分析】 根据图形可知ADC=2A， 又两邻角互补，所以可以求出菱形的锐角内角是 60 ；再根据 AD=AB可以得出梯形的上底边长等于腰长， 即可求出梯形的下底边长， 所以菱形的边长可得， 线段 AC便不难求出 【详解】根据图形可知ADC=2A，又ADC+A=180 ， A=60 ， AB=AD， 梯形的上底边长=腰长=2， 梯形的下底边长=4（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出） ， AB=2+4=6， AC=2ABsin60 =2 632=63 故答案为 63
22、【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，仔细观察图形得到角的关系和梯形的上底边长与腰的关系是解本题的关键 17. 如图，ABCD 的对角线 AC与 BD相交于点 O，将ABCD 翻折使点 B 与点 D 重合，点 A 落在点 E，已知AOB=（是锐角） ，那么CEO 的度数为_ （用 的代数式表示） 【答案】90 - 【解析】 【分析】先画出图形，由折叠的性质证明OEFOCF，继而可得OEF 是直角三角形，OFE=90 ，根据AOB=，可求CEO 的度数 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质可得：AOB=EOF=COF，OE=OA=OC， 在OEF和OCF 中， OEOCEOFCOFOFOF ， O
23、EFOCF（SAS） ， OFE=OFC=90 ， AOB=， EOF=， CEO=90 - 故答案为：90 - 【点睛】本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等、对应角相等，另外要求我们掌握平行四边形的对角线互相平分的性质 18. 平行四边形 ABCD 中，两条邻边长分别为 3和 5，BAD与ABC的平分线交于点 E，点 F 是 CD的中点，连接 EF，则 EF=_. 【答案】3.5或 0.5 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当 AB=3，BC=5 时，延长 AE 交 BC 于 M，由平行线的性质和角平分线的定义可推出BAM=AMB，得到 AB=BM=3，求出 CM=2，再证明
24、AEB=90，根据等腰三角形三线合一得到 E 为 AM 的中点，所以 EF 为梯形 ADCM 的中位线，根据中位线的性质可求 EF；当 AB=5，BC=3时，延长 AE交 BC的延长线于 M，连接 DM，延长 EF与 DM交于 G，同理可证 AE=EM，CM=2，再利用三角形中位线的性质可求出 EF. 【详解】分两种情况： 如图 1，当 AB=3，BC=5 时，延长 AE 交 BC于 M， ADBC， DAM=AMB AM 平分BAD， DAM=BAM BAM=AMB AB=BM=3 CM=BC-BM=5-3=2 ADBC DAB+ABC=180 又AE 平分BAD，BE平分ABC， EAB+
25、EBA=12DAB+12ABC=90， AEB=90 BEAM， BA=BM AE=EM DF=CF EF为梯形 ADCM的中位线 EF=11ADCM =52 =3.522 如图，当 AB=5，BC=3时， 延长 AE交 BC的延长线于 M，连接 DM，延长 EF与 DM交于 G， 同可证：AE=EM，CM=BM-BC=AB-BC=2， EG 为ADM中位线，FG 为CDM的中位线， EG=12AD=1.5，FG=12CM=1， EF=EG-FG=0.5 综上所述，EF的长为 3.5或 0.5 故答案为：3.5 或 0.5 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及梯形
26、和三角形中位线的性质，利用角平分线和平行线的性质推出ABM 为等腰三角形是解题的关键. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，满分题，满分 40分）分） 19. 解方程：236xx 【答案】3x 【解析】 【分析】移项后两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再把所得的结果进行检验即可 【详解】解：362xx 2362xx 2425390 xx （x-3） （4x-13）=0， 解得：1134x ，23x 经检验：134x 是原方程的增根，舍去 所以，原方程的根是3x 【点睛】本题考查解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解题的关键，在计算时要注意检验 20. 解方程组
27、：2224490 xxyyxxy. 【答案】01.5xy，33xy ，01.5xy ，33xy . 【解析】 【分析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可 【详解】2224490 xxyyxxy 由得： （x+2y）29， x+2y3， 由得：x（x+y）0， x0，x+y0， 即原方程组化为：230 xyx，230 xyxy，230 xyx ，230 xyxy ， 解得：01.5xy，33xy ，01.5xy ，33xy ， 所以原方程组的解为：01.5xy，33xy ，01.5xy ，33xy 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能
28、把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键 21. 如图，在ABCD中，点 E 是边 BC的中点，设ABa，BEb (1)写出所有与BE互为相反向量向量：_ (2)试用向量a、b表示向量DE，则DE uuu r_ (3)在图中求作：BABE、ECED（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 【答案】 （1）CE，EB； （2）ab； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据相反向量的定义解答即可 （2）利用三角形法则求解 （3）连接AE，BD，利用三角形法则求解即可 【详解】解： （1）四边形ABCD是平行四边形， /ADCB， BECE， 与BE互为相反向量的向量有：CE，EB，
29、 故答案为：CE，EB （2）/ABCD，ABCD， DEDCCEab， 故答案为：ab （3）连接AE，BD BABEEA，ECEDBEEDBD， EA，BD即为所求 【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，学会利用三角形法则解决问题 22. 如图，已知 BD、BE分别是ABC与它的邻补角的平分线，AEBE，ADBD，垂足分别为 E、D，联结 CD、DE，DE与 AB交于点 O，CDAB求证：四边形 OBCD 是菱形 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件首先证明四边形 AEBD 是矩形，可得 OB=OD，再证明四边形 O
30、BCD是平行四边形，进而可得结论 【详解】解：证明：BD、BE 分别是ABC与ABF 的平分线， ABD+ABE=12 180 =90 ， 即EBD=90 ， 又AEBE，ADBD，E、D 是垂足， AEB=ADB=90 ， 四边形 AEBD 是矩形 OB=OD， OBD=ODB， BD平分ABC， OBD=DBC， ODB=DBC， ODBC， CDAB， 四边形 OBCD是平行四边形， OB=OD， 平行四边形 OBCD 是菱形 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是证明四边形 AEBD 是矩形 23. 为庆祝中国共产党建党 90 周年，6月中旬我市某展览馆进行党
31、史展览，把免费参观票分到学校展览馆有 2个验票口 A、B（可进出） ，另外还有 2个出口 C、D（不许进）.小张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开. （1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）. （2）小张不从同一个验票口进出概率是多少？ 【答案】 （1）见解析； （2）34 【解析】 【分析】 （1）开始以后有两种选择，即入口 A 或 B，进入每个入口后，又各自有四种选择，即可用树形图法表示； （2）根据树形图求出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答 【详解】 （1）用树状图分析如下 （2）小张从进入到离开共有 8种可能进出方式，不从同
32、一个验票口进出的情况有 6 种， P（小张不从同一个验票口进出）=63=84 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现m种结果，那么事件 A的概率 P（A）=mn. 24. 某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积 【答案】原计划平均每年完成绿化面积40万亩. 【解析】 【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间实际完成绿化实际1设
33、原计划平均每年完成绿化面积 x万亩，则原计划完成绿化完成时间200 x年，实际完成绿化完成时间：200(120%)20 x年，列出分式方程求解 【详解】解：设原计划平均每年完成绿化面积x万亩. 根据题意可列方程： 200200(120%)120 xx 去分母整理得：26040000 xx 解得：140 x ，2100 x 经检验：140 x ，2100 x 都是原分式方程的根，因为绿化面积不能为负，所以取40 x 答：原计划平均每年完成绿化面积40万亩. 【点睛】本题考查了分式方程的应用分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是
34、否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 题，满分题，满分 18分）分） 25. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线2ykx和双曲线myx都经过点(1,4)A和点 B （1）求线段 AB的长； （2）如果点 P 在 y 轴上，点 Q 在此双曲线上，当以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 P、Q 的坐标 【答案】 （1）3 5； （2）(0, 1)P，4(3Q，3)或14(0,)3P，4(3, )3Q或14(0,)3P，4( 3,)3Q 【解析】 【分析】 （1）将点A的坐标代入直线和双曲线的解析式中，求出直线和双曲线的解析
35、式，再联立求解得出点B坐标，最后用两点间距离公式求解，即可得出结论； （2）设4( , )Q qq，(0,)Pp，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解，即可得出结论 【详解】解： （1）点(1,4)A在直线2ykx上， 24k 2k ， 直线AB的解析式为22yx， 点(1,4)A在双曲线myx上， 1 44m ， 双曲线的解析式为4yx， 联立解得，14xy或22xy ， ( 2, 2)B ， (1,4)A， 22(12)(42)3 5AB； （2）由（1）知，双曲线的解析式为4yx， 点Q在双曲线上， 设4( ,)Q qq， 点P在y轴上， 设(0,)Pp， 由（1）知
36、，( 2, 2)B ， 以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 当AB与PQ为对角线时， 11(12)(0)22q，114(42)()22pq， 1q ，6p =， (0,6)P，( 1, 4)Q ， 当AP与BQ是对角线时， 11(10)( 2)22q ，114(4)( 2)22pq ， 3q，143p ， 14(0,)3P，4(3, )3Q， 当AQ与BP是对角线时， 11(1)( 20)22q ，141(4)( 2)22pq ， 143p，3q ， 14(0,)3P，4( 3,)3Q ， 即满足条件的点P，Q的坐标分别为(0,6)P，( 1, 4)Q 或14(0,)3P，4(3,
37、)3Q或14(0,)3P，4( 3,)3Q 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，平行四边形的性质，用方程组的思想解决问题是解本题的关键 26. 如图，在正方形 ABCD中，点 E 是边 BC延长线上一点，联结 DE，过点 B 作 BFDE，垂足为点 F，BF 与边 CD相交于点 G (1)求证：CG=CE； (2)联结 CF，求证：BFC=45； (3)如果正方形 ABCD的边长为 2，点 G是边 DC 的中点，求 EF 的长 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）3 55 【解析】 【分析】 （1）由 ASA证得BCGDCE，即可得出结论； （2
38、）过点 C作 CMBF，CNDE，垂足分别为 M，N，证明CMGCNE，可得 CM=CN，再根据角平分线的判定可得结论； （3） 由正方形的性质得出BCG=90 ， AB=BC=CD=2， BD=2AB， 由 G为 DC 中点， 得 CG=1， 在 RtBCG中，由勾股定理得 BG，设 GF=x，在 RtBDF和 RtDFG 中，由勾股定理得到方程，求出 x，由（1）知BCGDCE，可得 BG=DE 【详解】解： （1）证明：四边形 ABCD是正方形， BC=DC，BCG=DCE=90 ， BFDE， DFG=BCG=90 ， DGF=BGC， GBC=EDC， 在BCG和DCE 中， BCG
39、DCEBCDCGBCEDC ， BCGDCE（ASA） ， CG=CE； （2）如图，过点 C 作 CMBF，CNDE，垂足分别为 M，N， BCGDCE， CG=CE，CGM=CEN， 又CMG=CNE=90 ， CMGCNE（AAS） ， CM=CN， CF平分BFE， BFC=12BFE=45 ； （3）连接 BD 四边形 ABCD是正方形， BCG=90 ，AB=BC=CD=2，BD=2AB=2 2， G 为 DC中点， CG=GD=12CD=1， 在 RtBCG 中，由勾股定理得：BG=225BCCG， 设 GF=x， 在 RtBDF 和 RtDFG 中，由勾股定理得：BD2-BF2=DF2，DG2-GF2=DF2， 22222 251xx， 解得：x=55， DF=2252 5155， 由（1）知：BCGDCE， BG=DE=5， EF=DE-DF=2 555=3 55 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键
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