1、2020-2021学年广州市白云区、海珠区高一下期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1若复数为虚数单位），则AB1C5D2已知向量，且，则AB9CD43高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100则在男生中抽取的样本量为A48B51C50D494如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，则的面积是A9BC18D5已知，与的夹角为，则AB72C84D6某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书
2、籍，两类书籍合计共6本现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是ABCD7如图，已知，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量ABCD8已知图1是棱长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，其中，则空间几何体的体积为ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有A这组数据的平均数是8B这组数据的极差是4C这组数据的中位数是8.5D这组数
3、据的方差是210已知复数为虚数单位），下列说法正确的有A当时，复平面内表示复数的点位于第二象限B当时，为纯虚数C最大值为D的共轭复数为11某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且，下列说法正确的有A该圆台轴截面面积为B该圆台的体积为C该圆台的母线与下底面所成的角为D沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为12在中，角，所对的边分别为，点为所在平面内点，满足，下列说法正确的有A若，则点为的重心B若，则点为的外心C若，则点为的内心D若，则点为的垂心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：如下：100，12
4、0，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为 14天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 15如图，在三棱锥中，则二面角的余弦值为 16如图，是边长为1的正三角形，分别为线段，上一点，满足，与的交点为，则线段的长度为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）现有两个红球（记为，两个白球（记为，采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球（1）写出试验的样本空
5、间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率18（12分）已知角是的内角，若，（1）若，求角的值；（2）设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）19（12分）如图，直三棱柱中，是的中点（1）求证：直线平面；（2）若，求异面直线与所成角的大小20（12分）2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速分成六段，得到如图的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间，的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间，上的概率；（
6、3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间，的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？21（12分）如图，垂直于所在的平面，为的直径，点为线段上一动点（1）证明：平面平面；（2）当点移动到点时，求与平面所成角的正弦值22（12分）（2021秋阳江期末）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏已
7、知，（1）若时，求护栏的长度的周长）；（2）若鱼塘的面积是“民宿” 的面积的倍，求；（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？参考答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1若复数为虚数单位），则AB1C5D【解答】解：，故选：2已知向量，且，则AB9CD4【解答】解：，解得故选：3高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100则在男生中抽取的样本量为A48B51C50D49【解答】解：高一年级共有人，所以男生抽取的人数为人故选：4如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，则的面积是A9BC18D【解答】解：在
8、斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，可得，还原原图形如图：则，则故选：5已知，与的夹角为，则AB72C84D【解答】解：，与的夹角为，则故选：6某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是ABCD【解答】解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是故选：7如图，已知，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量AB
9、CD【解答】解：，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，是的中位线，故选：8已知图1是棱长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，其中，则空间几何体的体积为ABCD【解答】解：如图，过作，垂足为，连接，则，过作，垂足为，连接，则，可得平面平面，即三棱柱为直三棱柱，可得，同理求得，又，空间几何体的体积为故选：二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有A这组数据的平均数是8B这组
10、数据的极差是4C这组数据的中位数是8.5D这组数据的方差是2【解答】解：对于，这组数据的平均数是，故正确；对于，这组数据的极差是，故正确；对于，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，这组数据的中位数是8，故错误；对于，这组数据的方差是，故错误故选：10已知复数为虚数单位），下列说法正确的有A当时，复平面内表示复数的点位于第二象限B当时，为纯虚数C最大值为D的共轭复数为【解答】解：对于，当时，复平面内表示复数的点位于第四象限，故错误；对于，当时，为纯虚数，故正确；对于，最大值为，故正确；对于，的共轭复数为，故错误故选：11某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且
11、，下列说法正确的有A该圆台轴截面面积为B该圆台的体积为C该圆台的母线与下底面所成的角为D沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为【解答】解：由，且，可得，高，则圆台轴截面面积为，故正确；圆台的体积为，故正确；圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，所以，故错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角为，设的中点为，连接，可得，则，所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确故选：12在中，角，所对的边分别为，点为所在平面内点，满足，下列说法正确的有A若，则点为的重心B若，则点为的外心C若，则点为的内心D若，则点为的垂心【解答】解：若则，取中点，连接，在的中线
12、上，同理可得在其它两边的中线上，是的重心若，则有，延长交于，则，设，则，与共线，与，不共线，为的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线是的内心故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为 212【解答】解：根据题意，将10个数据从小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；，则该组数据的第60百分位数为，故答案为：21214天气预报元旦假期甲
13、地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 0.38【解答】解：根据题意，设事件表示甲地下雨，事件表示乙地下雨，（A），（B），甲，乙两地只有一个地方降雨的概率；故答案为：0.3815如图，在三棱锥中，则二面角的余弦值为 【解答】解：取的中点，连接、，因为，所以，所以即为二面角的平面角，因为，所以，而，在中，由余弦定理可得，故答案为：16如图，是边长为1的正三角形，分别为线段，上一点，满足，与的交点为，则线段的长度为 【解答】解：以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以直线的方程为，
14、即，直线的方程为，即，联立，解得，即，所以故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）现有两个红球（记为，两个白球（记为，采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率【解答】解：（1）两个红球（记为，两个白球（记为，采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间，（2）试验的样本空间，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，恰好抽到一个红球一个白球的概率18（12分）已知角是的内角，若，（1）若，求角的值；（2）设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐
15、标表示）【解答】解：（1）角是的内角，又，且，即，则，即；（2），要使取得最大值，则，即，在上的投影向量为，19（12分）如图，直三棱柱中，是的中点（1）求证：直线平面；（2）若，求异面直线与所成角的大小【解答】解：（1）证明：连接，交于点，连接，直三棱柱中，是矩形，是中点，是的中点，平面，平面，直线平面；（2）解法一：，是的中点，直三棱柱中，平面，平面，平面，平面，异面直线与所成角的大小为解法二：，是的中点，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，0，0，0，异面直线与所成角的大小为20（12分）2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区
16、间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速分成六段，得到如图的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间，的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间，上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间，的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？【解答】解：（1）设平均车速的中位数的估值为，则故平均车速的中位数为107.5（2）车速在，内的有，
17、车速在，的有，故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间，上的概率（3）设事件为“汽车收到短信提醒”，则，汽车的速度不受影响，连续两辆汽车都收到短信体现的概率21（12分）如图，垂直于所在的平面，为的直径，点为线段上一动点（1）证明：平面平面；（2）当点移动到点时，求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为垂直于所在的平面，即平面，平面，所以，又为的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：因为，所以，又，所以，由，可得，如图，过点作交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为22（1
18、2分）（2021秋阳江期末）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏已知，（1）若时，求护栏的长度的周长）；（2）若鱼塘的面积是“民宿” 的面积的倍，求；（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？【解答】解：（1），在中，由余弦定理可得，则，护栏的长度的周长）为；（2）设，因为鱼塘的面积是“民宿” 的面积的倍，所以，即，在中，由，得，从而，即，由，得，所以，即，（3）设，由（2）知，又在中，由，得，所以，所以当且仅当，即时，的面积取最小值为
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