1、第第 2424 章章 圆圆 一、选择题一、选择题 1. 如图，点 A，B，C在O 上，ACB=35 ，则AOB的度数是（ ） A. 75 B. 70 C. 65 D. 35 2. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 如图，AB 为O 的直径，CD 是O的弦，ADC=35 ，则CAB 的度数为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 4. 用一个半径为 30，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ） A 10 B. 20 C. 10 D. 20 5. 已知半径为 5
2、 的O是ABC的外接圆若ABC25 ，则劣弧AC的长为( ) A. 2536 B. 12536 C. 2518 D. 536 6. 如图，BM与O相切于点B，若140MBA，则ACB的度数为（ ） A 40 B. 50 C. 60 D. 70 7. 如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF的长度是（ ） A. 3cm B. 6 cm C. 2.5cm D. 5 cm 8. 如图，ABC 中，A=30 ，点 O是边 AB上一点，以点 O为圆心，以 OB为半径作圆，O恰好与 AC相切于点 D，连接 BD若
3、BD 平分ABC，AD=23，则线段 CD 的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 32 D. 332 9. 如图，在正方形 ABCD中，AB=12，点 E 为 BC 的中点，以 CD 为直径作半圆 CFD，点 F为半圆的中点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ） A. 18+36 B. 24+18 C. 18+18 D. 12+18 10. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是ABC 的内心，将ABC绕原点逆时针旋转 90 后，I的对应点 I的坐标为（ ） A. （2，3） B. （3，2） C. （3，2） D. （2，3） 二、填空题二
4、、填空题 11. 如图，AB是O的切线，点 B 为切点，若A=30 ，则AOB=_ 12. 已知圆锥底面圆半径为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是_cm2. 13. 如图，点 A，B，C 在O 上，A=40 度，C=20 度，则B=_度 14. 在直径为 200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽 AB160 cm，则油的最大深度为_ cm. 15. 如图，已知O半径为 2，ABC内接于O，135ACB，则AB _ 16. 如图， 点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB、BC 上的点 且 AM=BN， 点 O 是正五边形的中心，则MON的度数是_度 17.
5、 如图，点 O 为正六边形 ABCDEF的中心，点 M为 AF中点，以点 O为圆心，以 OM 的长为半径画弧得到扇形 MON，点 N 在 BC上；以点 E为圆心，以 DE的长为半径画弧得到扇形 DEF，把扇形 MON的两条半径 OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为 r1；将扇形 DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为 r2，则 r1：r2=_ 18. 如图，正方形 ABCD的边长为 8，M是 AB 的中点，P 是 BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P.当P与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为_ 三、解答题三、解答题 19. 如图，已知 AB 是
6、O 的弦，C 是 AB 的中点，AB=8，AC= 2 5 ，求O 半径的长 20. 如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线 AB 与高 AO 的夹角参考公式：圆锥的侧面积 S=rl，其中 r 为底面半径，l 为母线长 21. 如图，已知 AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交 AD于点 E，连结 BC （1）求证：AE=ED； （2）若 AB=10，CBD=36 ，求AC的长 22. 已知 BC 是O直径，点 D 是 BC延长线上一点，AB=AD，AE是O的弦，AEC=30 （1）求证：直线 AD 是O的切线； （2）若 AEBC，垂足为 M，O的半径为 4，求 AE的长 23. 如
7、图：C、D是以 AB为直径的O上的点，ACBC，弦 CD交 AB于点 E. （1）当 PB是O的切线时，求证：PBDDAB； （2）求证：BC2CE2CE DE. 24. 如图，以 AB为直径的O 外接于ABC，过 A 点的切线 AP与 BC的延长线交于点 P，APB的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程 x25x+6=0的两个实数根 （1）求证：PABD=PBAE； （2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由 25. 如图，以 RtABC的直角边 AB为直径作O 交斜
8、边 AC 于点 D，过圆心 O 作 OEAC，交 BC 于点 E，连接 DE （1）判断 DE与O的位置关系并说明理由； （2）求证：2DE2=CDOE； （3）若 tanC=43，DE=52，求 AD 的长 第第 2424 章章 圆圆 一、选择题一、选择题 1. 如图，点 A，B，C在O 上，ACB=35 ，则AOB的度数是（ ） A. 75 B. 70 C. 65 D. 35 【答案】B 【解析】 【详解】分析：直接根据圆周角定理求解 详解：ACB=35 ， AOB=2ACB=70 故选 B 点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的
9、一半 2. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：正三角形一条边所对的圆心角是 360 3=120 ， 正方形一条边所对的圆心角是 360 4=90 ， 正五边形一条边所对的圆心角是 360 5=72 ， 正六边形一条边所对的圆心角是 360 6=60 ， 一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形， 故选 A 考点：正多边形和圆 3. 如图，AB 为O 的直径，CD 是O的弦，ADC=35 ，则CAB 的度数为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 【答案
10、】C 【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角相等可知B=ADC=35 ；而由圆周角的推论不难得知ACB=90 ，则由CAB=90 -B 即可求得. 【详解】解：ADC=35 ，ADC与B所对的弧相同， B=ADC=35 ， AB 是O的直径， ACB=90 ， CAB=90 -B=55 ， 故选 C 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是熟记圆周角定理 4. 用一个半径为 30，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 10 B. 20 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥
11、的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解 【详解】设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 120 302180r， 解得 r=10. 故圆锥的底面半径为 10. 故选 A. 【点睛】考查圆锥的相关计算，掌握圆锥的底面圆周长=扇形的弧长是解题的关键. 5. 已知半径为 5 的O是ABC的外接圆若ABC25 ，则劣弧AC的长为( ) A. 2536 B. 12536 C. 2518 D. 536 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据圆周角定理和弧长公式解答即可 详解：如图：连接 AO，CO， ABC=25 ， AOC=50 ， 劣弧AC的长=50525=18018， 故选 C 点睛：此题考查三角形的
12、外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答 6. 如图，BM与O相切于点B，若140MBA，则ACB的度数为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知OBM=90 ，从而得ABO=BAO=50 ，由三角形内角和定理知AOB=80 ，根据圆周角定理可得答案 【详解】解：如图，连接 OA、OB BM 是O 的切线， OBM=90 MBA=140 ， ABO=50 OA=OB， ABO=BAO=50 ， AOB=80 ， ACB=12AOB=40 故选 A 【点睛】 本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：
13、圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 7. 如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF的长度是（ ） A. 3cm B. 6 cm C. 2.5cm D. 5 cm 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据垂径定理得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可 详解：连接 OB， AC是O的直径，弦 BDAO于 E，BD=8cm，AE=2cm 在 RtOEB中，OE2+BE2=OB2，即 OE2+4
14、2=（OE+2）2 解得：OE=3， OB=3+2=5， EC=5+3=8 在 RtEBC 中，BC=2222484 5BEEC OFBC， OFC=CEB=90 C=C， OFCBEC， OFOCBEBC，即544 5OF， 解得：OF=5 故选 D 点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出 OE 的长 8. 如图，ABC 中，A=30 ，点 O是边 AB上一点，以点 O为圆心，以 OB为半径作圆，O恰好与 AC相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=23，则线段 CD 的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 32 D. 332 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OD
15、， 得 RtOAD， 由A=30 ， AD=23， 可求出 OD、 AO的长； 由 BD 平分ABC， OB=OD可得 OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】连接 OD， OD是O 的半径，AC是O的切线，点 D是切点， ODAC， 在 RtAOD中，A=30 ，AD=23， OD=OB=2，AO=4， ODB=OBD， BD平分ABC， OBD=CBD， ODB=CBD， ODCB， ADAOCDOB，即2 342CD， CD=3 故选 B 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含 30 角的直角三角形的性质、等边对等角以及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可
16、说明C=90 ，利用A=30 ，AB=6，先得 AC的长，再求 CD遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线 9. 如图，在正方形 ABCD中，AB=12，点 E为 BC中点，以 CD 为直径作半圆 CFD，点 F为半圆的中点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ） A. 18+36 B. 24+18 C. 18+18 D. 12+18 【答案】C 【解析】 【详解】分析：作 FHBC于 H，连接 FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得 BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出 AE=65，通过 RtABEEHF 得AEF=90 ，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD
17、+S半圆SABESAEF进行计算 详解：作 FHBC于 H，连接 FH，如图， 点 E为 BC中点，点 F为半圆的中点， BE=CE=CH=FH=6， AE=22612=65， 易得 RtABEEHF， AEB=EFH， 而EFH+FEH=90 ， AEB+FEH=90 ， AEF=90 ， 图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆SABESAEF =12 12+126212 12 61265 65 =18+18 故选 C 点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积 10. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是ABC 的内心
18、，将ABC绕原点逆时针旋转 90 后，I的对应点 I的坐标为（ ） A. （2，3） B. （3，2） C. （3，2） D. （2，3） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出 I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标 【详解】过点作 IFAC于点 F，IEOA 于点 E， A（4，0），B（0，3），C（4，3）， BC=4，AC=3， 则 AB=5， I是ABC的内心， I到ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径， IF=1，故 I到 BC的距离也为 1， 则 AE=1， 故 IE=31=2， OE=41=3， 则 I（3，2）， ABC绕原点逆
19、时针旋转 90 ， I的对应点 I的坐标为： （2，3）， 故选 A 【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心 I的坐标是解题的关键. 二、填空题二、填空题 11. 如图，AB是O的切线，点 B 为切点，若A=30 ，则AOB=_ 【答案】60 【解析】 【分析】根据切线的性质得到OBA=90 ，根据直角三角形的性质计算即可 【详解】AB 是O的切线， 90OBA， 9060AOBA ， 故答案为 60 【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 12. 已知圆锥的底面圆半径为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是_
20、cm2. 【答案】15 【解析】 【分析】设圆锥母线长为 l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案. 【详解】解：设圆锥母线长为 l， r=3cm，h=4cm， 母线 l=225rhcm， S侧=12 2r 5=12 2 3 5=15cm2， 故答案为 15. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键. 13. 如图，点 A，B，C 在O 上，A=40 度，C=20 度，则B=_度 【答案】60 【解析】 【分析】如图，连接 OA，根据等腰三角形的性质得到OAC=C=20 ，根据等腰三角形的性质解答即可 详解】如图
21、，连接 OA， OA=OC， OAC=C=20 ， OAB=OAC+BAC=20 +40 =60 ， OA=OB， B=OAB=60 ， 故答案为 60 【点睛】 本题考查了圆的性质的应用， 熟练掌握圆的半径相等、 等腰三角形的性质是解题的关键 14. 在直径为 200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽 AB160 cm，则油的最大深度为_ cm. 【答案】40cm 【解析】 【分析】 【详解】解：如图，连接 OA，过点 O作 OEAB，交 AB于点 M， 直径为 200cm，AB=160cm， OA=OE=100cm，AM=80cm， OM=22221008060OAAM
22、（cm）， ME=OEOM=10060=40cm 即油的最大深度为 40cm 15. 如图，已知O的半径为 2，ABC内接于O，135ACB，则AB _ 【答案】2 2 【解析】 【详解】 分析： 根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍， 可以求得AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得 AB的长 详解：连接 AD、AE、OA、OB， O的半径为 2，ABC内接于O，ACB=135 ， ADB=45 ， AOB=90 ， OA=OB=2， AB=22， 故答案为 22 点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
23、16. 如图， 点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB、BC 上的点 且 AM=BN， 点 O 是正五边形的中心，则MON的度数是_度 【答案】72 【解析】 【详解】【分析】 连接 OA、OB、OC， 根据正多边形的中心角的计算公式求出AOB， 证明AOMBON，根据全等三角形的性质得到BON=AOM，得到答案 【详解】如图，连接 OA、OB、OC， AOB=3605=72 ， AOB=BOC，OA=OB，OB=OC， OAB=OBC， 在AOM和BON中， OAOBOAMOBNAMBN ， AOMBON， BON=AOM， MON=AOB=72 ， 故答案为 72 【点睛】本
24、题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 17. 如图，点 O 为正六边形 ABCDEF的中心，点 M为 AF中点，以点 O为圆心，以 OM 的长为半径画弧得到扇形 MON，点 N 在 BC上；以点 E为圆心，以 DE的长为半径画弧得到扇形 DEF，把扇形 MON的两条半径 OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为 r1；将扇形 DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为 r2，则 r1：r2=_ 【答案】3:2 【解析】 【详解】分析：根据题意正六边形中心角为 120 且其内角为 120 求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可
25、 详解：连 OA 由已知，M 为 AF中点，则 OMAF 六边形 ABCDEF为正六边形 AOM=30 设 AM=a AB=AO=2a，OM=3a 正六边形中心角为 60 MON=120 扇形 MON 的弧长为：12032 31803aa 则 r1=33a 同理：扇形 DEF的弧长为：120241803aa 则 r2=23a r1：r2=3 2： 故答案为3 2： 点睛：本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算解答时注意表示出两个扇形的半径 18. 如图，正方形 ABCD的边长为 8，M是 AB 的中点，P 是 BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P.当P与正方形
26、 ABCD 的边相切时，BP 的长为_ 【答案】3 或4 3 【解析】 【详解】 【分析】分两种情况：P与直线 CD相切、P与直线 AD相切，分别画出图形进行求解即可得. 【详解】如图 1 中，当P与直线 CD相切时，设PCPMm， 在Rt PBM中，222PMBMPB， 222x4(8x)， x5 ， PC5，BPBC PC8 53 ； 如图 2 中当P与直线 AD相切时， 设切点为 K， 连接 PK， 则PKAD， 四边形 PKDC 是矩形， PMPKCD2BM， BM4，PM8， 在Rt PBM中，22PB844 3， 综上所述，BP 的长为 3或4 3 【点睛】本题考查切线的性质、正方
27、形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键 三、解答题三、解答题 19. 如图，已知 AB 是O 的弦，C 是 AB 的中点，AB=8，AC= 2 5 ，求O 半径的长 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：连接 OC 交 AB 于 D，连接 OA，由垂径定理得 OD 垂直平分 AB，设O 的半径为 r， 在ACD 中，利用勾股定理求得 CD=2，在OAD 中，由 OA2=OD2+AD2，代入相关数量求解即可得. 试题解析：连接 OC 交 AB 于 D，连接 OA， 由垂径定理得 OD 垂直平分 AB， 设O 的半径为 r， 在ACD 中，CD2+
28、AD2=AC2，CD=2， 在OAD 中，OA2=OD2+AD2，r2=（r-2）2+16， 解得 r=5， O 的半径为 5. 20. 如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线 AB 与高 AO 的夹角参考公式：圆锥的侧面积 S=rl，其中 r 为底面半径，l 为母线长 【答案】30 【解析】 【分析】 设出圆锥的半径与母线长， 利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出母线与高的夹角的正弦值，也就求出了夹角的度数 【详解】解：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r， 则：l=2r，l=2r 母线与高的夹角的正弦值OBrr1ABl2r2 母线 AB与高 AO的夹角
29、 30 21. 如图，已知 AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交 AD于点 E，连结 BC （1）求证：AE=ED； （2）若 AB=10，CBD=36 ，求AC的长 【答案】（1）证明见解析； （2）2AC 【解析】 【详解】分析：（1）根据平行线的性质得出AEO=90 ，再利用垂径定理证明即可； （2）根据弧长公式解答即可 详证明： （1）AB是O的直径， ADB=90 ， OCBD， AEO=ADB=90 ， 即 OCAD， AE=ED； （2）OCAD， ACBD ， ABC=CBD=36 ， AOC=2ABC=2 36 =72 ， AC =7252180 点睛：此题考查弧长
30、公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答 22. 已知 BC 是O 的直径，点 D是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是O的弦，AEC=30 （1）求证：直线 AD 是O的切线； （2）若 AEBC，垂足为 M，O的半径为 4，求 AE的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）4 3. 【解析】 【详解】 【分析】 （1）先求出ABC=30 ，进而求出BAD=120 ，即可求出OAB=30 ，结论得证； （2）先求出AOC=60 ，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论 【详解】 （1）如图， AEC=30 ， ABC=30 ， AB=AD， D=ABC=30 ， 根据三角形的内角
31、和定理得，BAD=120 ， 连接 OA，OA=OB， OAB=ABC=30 ， OAD=BADOAB=90 ， OAAD， 点 A在O上， 直线 AD是O 的切线； （2）连接 OA，AEC=30 ， AOC=60 ， BCAE于 M， AE=2AM，OMA=90 ， 在 RtAOM 中，AM=OAsinAOM=4 sin60 =23， AE=2AM=43 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键 23. 如图：C、D是以 AB为直径的O上的点，ACBC，弦 CD交 AB于点 E. （
32、1）当 PB是O的切线时，求证：PBDDAB； （2）求证：BC2CE2CE DE. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角可得， ADB=90 ， 根据三角形的内角和有BADABD=90 .根据 PB是O 的切线，得到ABP=90 ，得到PBDABD=90 ，根据同角的余角相等即可证明. （2）根据同弧所对的圆周角相等，得到ABC=BDC，而ECB=BCD，即可证明BCEDCB，根据相似三角形的性质得到 BC2=CE CD，BC2CE2=CE CDCE2 =CE(CDCE)=CE DE.即可证明. 【详解】（1）AB 是O的直径
33、， ADB=90 ，即BADABD=90 . PB 是O的切线， ABP=90 ，即PBDABD=90 ， BAD=PBD. （2）AC=BC, ABC=BDC，而ECB=BCD， BCEDCB， BC2=CE CD， BC2CE2=CE CDCE2=CE(CDCE)=CE DE. 【点睛】考查切线性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，对学生综合能力要求较高. 24. 如图，以 AB为直径的O 外接于ABC，过 A 点的切线 AP与 BC的延长线交于点 P，APB的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程 x25x+6=0的两个
34、实数根 （1）求证：PABD=PBAE； （2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，4 53 【解析】 【详解】分析：（1）易证APE=BPD，EAP=B，从而可知 PAEPBD，利用相似三角形的性质即可求出答案 （2）过点 D作 DFPB于点 F，作 DGAC于点 G，易求得 AE=2，BD=3，由（1）可知：23PAPB，从而可知 cosBDF=cosBAC=cosAPC=23， 从而可求出 AD和 DG 的长度， 进而证明四边形 ADFE 是菱形，此时 F点即为 M点，利
35、用平行四边形的面积即可求出菱形 ADFE 的面积 详解： （1）PD平分APB， APE=BPD， AP 与O相切， BAP=BAC+EAP=90 ， AB是O的直径， ACB=BAC+B=90 ， EAP=B， PAEPBD， PAPBAEBD， PABD=PBAE； （2）如图，过点 D作 DFPB 于点 F，作 DGAC于点 G， PD 平分APB，ADAP，DFPB， AD=DF， EAP=B， APC=BAC， 易证：DFAC， BDF=BAC， 由于 AE，BD（AEBD）的长是 x25x+6=0的两个实数根， 解得：AE=2，BD=3， 由（1）可知：23PAPB， cosAPC
36、=23PAPB， cosBDF=cosAPC=23， 23DFBD， DF=2， DF=AE， 四边形 ADFE 是平行四边形， AD=DF， 四边形 ADFE 是菱形，此时点 F即为 M点， cosBAC=cosAPC=23， sinBAC=53， 53DGAD， DG=2 53， 菱形 ADME的面积为：DGAE=22 53=4 53. 点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力 25. 如图，以 RtABC的直角边 AB为直径作O 交斜边 AC 于点 D，过圆心 O 作
37、OEAC，交 BC 于点 E，连接 DE （1）判断 DE与O的位置关系并说明理由； （2）求证：2DE2=CDOE； （3）若 tanC=43，DE=52，求 AD 的长 【答案】（1）DE 是O的切线，理由见解析； （2）证明见解析； （3）163 【解析】 【详解】分析：（1）先判断出 DE=BE=CE，得出DBE=BDE，进而判断出ODE=90 ，即可得出结论； （2）先判断出BCDACB，得出 BC2=CDAC，再判断出 DE=12BC，AC=2OE，即可得出结论； （3）先求出 BC，进而求出 BD，CD，再借助（2）的结论求出 AC，即可得出结论 详解： （1）DE是O的切线，理
38、由：如图， 连接 OD，BD，AB是O的直径， ADB=BDC=90 ， OEAC，OA=OB， BE=CE， DE=BE=CE， DBE=BDE， OB=OD， OBD=ODB， ODE=OBE=90 ， 点 D在O上， DE是O切线； （2）BCD=ABC=90 ，C=C， BCDACB， BCCDACBC， BC2=CDAC， 由（1）知 DE=BE=CE=12BC， 4DE2=CDAC， 由（1）知，OE 是ABC是中位线， AC=2OE， 4DE2=CD2OE， 2DE2=CDOE； （3）DE=52， BC=5， 在 RtBCD中，tanC=43BDCD， 设 CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得， （3x）2+（4x）2=25， x=-1（舍）或 x=1， BD=4，CD=3， 由（2）知，BC2=CDAC， AC=2253BCCD， AD=AC-CD=253-3=163 点睛：此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出BCDACB是解本题的关键
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