1、二次函数中的定值与定点问题类型一、定值问题例1已知抛物线与x轴交于和B两点(1)求出该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；(2)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有求该抛物线的函数解析式；若直线与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值例2.如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为，直线（）分别交抛物线于点，（点在点的左边），直线分别交轴、轴于点，交抛物线轴右侧部分于点，交于点，且(1)求抛物线及直线的函数表达式；(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，连接，求当面积最大时，点的坐标及面积的最大值；
2、(3)求的值【变式训练1】已知抛物线与x轴的两个交点为A，B（点B在点A的右侧），且，与y轴交点为C(1)求该抛物线所对应的函数表达式；(2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值；(3)设直线（）与抛物线交于P，Q两点（点在点P的右侧），与直线交于点R试证明：无论k取任何正数，恒成立【变式训练2】如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，(1)直接写出点B的坐标（_，_）和直线BC的解析式_；(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；(3)如图2，直线，直线l交抛物线于点M、N，直
3、线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为、，求证：的值为定值【变式训练3】抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）（1）若抛物线yax2+bx+c过原点，m2，n4，求其解析式（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：yx+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为线段AB上的两个点，MN2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由（3）如图（2），抛物线yax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴
4、于点H，设直线PQ解析式为ykx+t，当SHCQ2SGCQ，试证明是否为一个定值【变式训练4】如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点（在左边），交轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线上一动点，求点的坐标；（3）如图2，交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x4时：求二次函数的表达式；当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M
5、作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值类型二、定点问题例如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为(1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【变式训练1】如图，抛物线yax22ax+c与x轴交于点A（2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上 （1）求抛物线解析式；（2）如图1
6、，D为y轴左侧抛物线上一点，且DCA2CAB，求点D的坐标；（3）如图2，直线ymx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OMON3求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标【变式训练2】已知抛物线经过点，与轴交于，两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值；（3）如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，求证：直线经过一个定点二次函数中的定值与定点问题类型一、定值问题例1已知抛物线与x轴交于和B两点(1)求出该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；(2
7、)若，对于该抛物线上的任意两点，当时，总有求该抛物线的函数解析式；若直线与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值【答案】(1)；(2)；见解析【解析】(1)解：抛物线与x轴交于，该抛物线的对称轴为，即(2)，或对于该抛物线上的任意两点，当时，总有，当时，y随x的增大而增大，.又，该抛物线的解析式为该抛物线的解析式为直线与抛物线交于P，Q两点，可设，设直线AP的解析式为，由题意得 ，解得，直线AP的解析式为，令，则，；同理可得，直线AQ的解析式为，联立，得 ，例2.如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴
8、为，直线（）分别交抛物线于点，（点在点的左边），直线分别交轴、轴于点，交抛物线轴右侧部分于点，交于点，且(1)求抛物线及直线的函数表达式；(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，连接，求当面积最大时，点的坐标及面积的最大值；(3)求的值【答案】(1)；(2)点的坐标为时，面积有最大值为；(3)2【解析】(1)解：，抛物线的对称轴为，抛物线的函数表达式为：，又，直线的函数表达式为(2)过点作轴交于点，如图所示：联立，解得，点的横坐标为，设点，则点，当时，即点的坐标为时，面积有最大值为(3)分别过点A，作，垂直轴于点，设点，则，联立得，联立得，即，轴，轴，轴，【变式训练1】已知抛物线与x轴的两个交点
9、为A，B（点B在点A的右侧），且，与y轴交点为C(1)求该抛物线所对应的函数表达式；(2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值；(3)设直线（）与抛物线交于P，Q两点（点在点P的右侧），与直线交于点R试证明：无论k取任何正数，恒成立【答案】(1)；(2)；(3)见解析【解析】(1)解：对称轴又抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），且，即，函数表达式为：；(2)解：设直线的函数表达式为，在直线上，解得，直线的函数表达式为；法1：如图1，过点M作轴于点E，交于点D，依题意，设，则点，设点M到的距离为d，轴，则，即，则当时，法2：如图1，过点M作轴于点E，交
10、于点D，依题意，设，设，则点，设点M到的距离为d，连结，又，则，当时，法3：如图2，过点M作直线，当直线l与抛物线只有一个公共点时，点M到直线的距离最大设直线l解析式为：，联立方程，得，由，得，此时直线l：，则直线l与y轴交点，又，即，即，；(3)如图3，设点，点，联立方程，得，则，联立方程，法1：，又，无论k取何正数，成立；法2：如图4，过P，Q，R分别作轴于F，轴于G，轴于H，由，则，可设，则，则，又，即，无论k取何正数，成立【变式训练2】如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，(1)直接写出点B的坐标（_，_）和直线BC的解析式_；(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上
11、一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；(3)如图2，直线，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为、，求证：的值为定值【答案】(1)4，0，；(2)或或；(3)证明见解析【解析】(1)解：对抛物线与来说，当y0时，解得，由图像可知，点B的横坐标大于0，点B的坐标是（4，0），点A的坐标是（1，0）当x0时，得y2，即点C的坐标是（0，2），设直线BC的表达式是ykxb，将B、C两点坐标代入，得 解得直线BC的解析式为，故答案为：4，0；(2)解：由题意和（1）可知，抛物线的对称轴为，设点D的坐标为（，），当四边形CB
12、ED是平行四边形时，CBDE且CBDE，则点C（0，2）向右平移4个单位，向上平移2个单位到点B（4，0），点D向右平移4个单位，向上平移2个单位到点E，点E坐标是（+4，+2）即（，+2）点E在抛物线上，+2，点E坐标是（，），即点E的横坐标是；当四边形CBDE是平行四边形时，CBED且CBED，则点B（4，0）向左平移4个单位，向下平移2个单位到点C（0，2），点D向左平移4个单位，向下平移2个单位到点E，点E坐标是（4，2）即（，2）点E在抛物线上，2，点E坐标是（，），即点E的横坐标是；当四边形CEBD是平行四边形时，BC是对角线时，DBCE且DBCE，则点D（，）向左平移个单位到，向
13、下平移（+2）个单位，到点C（0，2），点B（4，0）向左平移个单位到，向下平移（+2）个单位，到点E（， ），点E的横坐标是点E在抛物线上，点E的坐标是（，）即点E的横坐标是；综上所述，点E的横坐标是或或；(3)解：由（1）知，直线BC的解析式为，点A的坐标是（1，0）设直线l 的表达式为，联立得方程组得设点M的坐标是（，），点N的坐标是（，）由一元二次方程根与系数关系得4，4，点M、N在直线l上，设直线AM的解析式为，把点A、点M坐标坐标代入，并联立得，解得即直线AM的表达式yx+，令x0，得y，即同理，设直线AN的解析式为，把点A、点N坐标坐标代入，并联立得得，即直线即直线AN的表达式y
14、x+令x0，得y，即故4，4，即-2，为定值【变式训练3】抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）（1）若抛物线yax2+bx+c过原点，m2，n4，求其解析式（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：yx+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为线段AB上的两个点，MN2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由（3）如图（2），抛物线yax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为ykx+t
15、，当SHCQ2SGCQ，试证明是否为一个定值【答案】（1）；（2），2,0；（3）见解析【详解】（1）根据题意，设，将代入，即，解得抛物线的解析式（2）由yx+4，令，则，令，则设与轴交于点,则，是等腰直角三角形，则当，则,设，则，则，在线段上，即又点在上，即，解得（舍）此时点与点重合，点与点重合，如图，则,当，同理,设，则，其中又点在上，即，解得（舍）则此时点与点重合，点与点重合，如图，则当时，如图，由，解得，是等腰直角三角形，,轴设，则，其中又点在上，即，解得的横坐标为，综上所述的横坐标为，2,0（3）设直线PC： ymx+n，则，直线，则，直线的解析式为由yax2+bx+c，令，则，即，
16、即，即联立抛物线yax2+bx+c，即：则，同理可得：，+=，同理可得：，即， 【变式训练4】如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点（在左边），交轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线上一动点，求点的坐标；（3）如图2，交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由【答案】（1）；（2）不存在点D；（3）是，7【详解】（1）将代入，得（2）取作轴于，在和中，而，重合，此时不存在，无解；（3），设，：，同理：【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐
17、标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x4时：求二次函数的表达式；当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值【答案】（1）yx28x+12；线段MQ的最大值为9（2）m+n的值为定值m+n6【详解】（1）由题意，解得，二次函数的解析式为yx28x+12如图1中，设M（m，m28m+12），B（6，0），C（0，12），直线BC的解析式为y2x+12，
18、MQx轴， Q（m，2m+12），QM2m+12（m28m+12）m2+6m（m3）2+9，10，m3时，QM有最大值，最大值为9（2）结论：m+n的值为定值理由：如图2中，将B（6，0）代入二次函数解析式中，得，解得：二次函数解析式为C（0，366b），设直线BC的解析式为ykx366b，把（6，0）代入得到：k6+b，直线BC的解析式为y（6+b）x366b，MNCB，可以假设直线MN的解析式为y（6+b）x+b，由，消去y得到：x26x366bb0，x1+x26，点M、N的横坐标为m、n，m+n6m+n为定值，m+n6类型二、定点问题例如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（
19、点在点的左侧），点关于轴的对称点为(1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为；(2)或；(3)是，【解析】(1)根据题意，得，整理得到，解方程，得，当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1；点在点的左侧，点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）(2)A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，），当k0时， 根据题意，得，整理得到，m，n是的两个根，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3），=，3=，n0，解得
20、k=或k= -(舍去)，故k=；当k0时， 根据题意，得，整理得到，m，n是的两个根，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3），=，3=-，-，n0，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；综上所述，k的值为或(3)直线A一定过定点（0，3）理由如下：A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，），根据题意，得，整理得到，m，n是的两个根，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，mn=-3，-mn=3，直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）【变式训练1】如图，抛物线yax22ax+c与x
21、轴交于点A（2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上 （1）求抛物线解析式；（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且DCA2CAB，求点D的坐标；（3）如图2，直线ymx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OMON3求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标【答案】（1）yx2x2；（2）（6，10）；（3）见解析，定点坐标为（，）【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，得，解得，抛物线的表达式为yx2x2； （2）延长DC交x轴于点M， DCA2CAB，CABCMA，CACM，过点C作CQAM于点Q，则QMAQ8，点M坐标为（14，0），设直线D
22、M的解析式为，将，代入得，解得直线DM的解析式为：yx+7，令yx+7x2x2；解得x6或6，x6，y（6）+710，点D坐标为（6，10）；（3）设直线CE的表达式为ykx+b，将点代入，解得b46k，故直线CE解析式为：ykx6k+4，则点M（0，6k+4），x2x2kx6k+4，整理得x2（+k）x+6k60，xC+xE2+4k，xE4k4 ，同理设直线CF的解析式为：ytx6t+4，则点N（0，6t+4），即xF4t4 ，由x2x2mx+n，整理得x2（+m）x2n0，xE+xF4m+2，xExF84n，将代入，得，又OMON3，（6k+4）（6t4）36kt+24（k+t）163，n
23、m，ymx+nmx+mm（x+），当x时，y，直线EF经过定点且定点坐标为（，）【变式训练2】已知抛物线经过点，与轴交于，两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值；（3）如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，求证：直线经过一个定点【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：，解得，抛物线的表达式为：；（2）设直线交于点，如图1，由点的坐标知，直线的表达式为：，设（），则，则，E(t，0)，OE=t，EG=t，t，当时，有最大值，最大值为；（3）如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，设，联立得，同理可设，可得，联立得：，设直线，联立得，直线，当时，直线过定点
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