1、几何旋转综合问题类型一、三角形中的旋转问题例如图，已知等边中，点D、E、F分别为边、的中点，M为直线上一动点，为等边三角形（点M的位置改变时，也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结，并判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在上时，其它条件不变，（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形中，点，分别为，的中点，为线段上一动点
2、（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，（1）证明：；（2）如图2，连接，交于点证明：在点的运动过程中，总有；若，当的长度为多少时，为等腰三角形？【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90若固定ABC，将DEC绕点C旋转（1）当DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2当B=E=30时，此时旋转角的大小为 ；当B=E=时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)（2）当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：BDC的面积与AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想若不正确，请说明理由【
3、变式训练3】如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E（1）如图1，猜想QEP= ；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长【变式训练4】两块等腰直角三角板ABC和DEC如图摆放，其中ACB=DCE=90，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量
4、关系为_和位置关系为_；（2）如图2，若将三角板DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明【变式训练5】在ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD（1）如图1，当BAC=100，时，CBD 的大小为_；（2）如图2，当BAC=100，时，求CBD的大小；（3）已知BAC的大小为m（），若CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小类型二、四边
5、形中的旋转问题例如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果ABAC，BAC90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由【变式训练1】在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证且将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请
6、直接写出你的猜想将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE (1)求证：DEAG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0 360)得到正方形，如图2在旋转过程中，当是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由【变式训练3】在
7、正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EAF=CEF=45（1）将ADF绕点A顺时针旋转90 ，得到ABG（如图1），求证：BE+DF=EF；（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图2），求证：（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3），直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系【变式训练4】在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求BDG的度数几何旋
8、转综合问题类型一、三角形中的旋转问题例如图，已知等边中，点D、E、F分别为边、的中点，M为直线上一动点，为等边三角形（点M的位置改变时，也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结，并判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在上时，其它条件不变，（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由【答案】（1）相等，在，理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立【详解】解：
9、（1）EN=MF，点F在直线NE上，理由如下：如图1，连接DE、DF、EF，NF，ABC是等边三角形，AB=AC=BC， ，又点D、E、F分别为边、的中点，DE、DF、EF为等边ABC的中位线， ，DE=DF=EF，FDE=DFE=60D、F分别是AB、BC的中点， ，DBF是等边三角形，BDF=60，DMN是等边三角形，MDN=60，DM=DN，MDN=BDF=60，DB=DF，MDN-BDN=BDF-BDN，即MDB=NDF，在DMB和DNF中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF，DBM=DFN，ABC=60，DBM=120，NFD=120，NFD+DFE=120+60=
10、180，N、F、E三点共线，F在直线NE上；DMN是等边三角形，MDN=60，DM=DN，FDE+NDF=MDN+NDF，MDF=NDE，在DMF和DNE中，DF=DE，MDF=NDE，DM=DN，DMF DNE，MF=NE，（2）成立，理由如下：如图2，连接DF，NF，EF，ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点， ， ，DBF是等边三角形，BDF=DBF=60，DMN是等边三角形，MDN=60，DM=DN，MDN=BDF=60，DB=DF，MDN-FDM=BDF-FDM，即MDB=NDF，在DMB和DNF中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF，DBM=DFN=6
11、0，BM=FN，DFN=FDB=60，NFBD，E，F分别为边AC，BC的中点，EF是ABC的中位线， ，EFBD， ，F在直线NE上，BF=EF，MF=EN；（3）MF与EN相等的结论仍然成立，理由如下：如图3，连接DF、DE，EF，ABC是等边三角形，AB=AC=BC，又点D、E、F分别为边、的中点，DE、DF、EF为等边ABC的中位线， ，DE=DF=EF，DEF是等边三角形，FDE=60，DMN是等边三角形，MDN=FDE=60，DM=DN，EDM+NDE=EDM+FDM，NDE=FDM，在DNE和DMF中，DE=DF，NDE=FDM，DN=DM，DNEDMF，MF=NE【变式训练1】
12、如图1，在等腰直角三角形中，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，（1）证明：；（2）如图2，连接，交于点证明：在点的运动过程中，总有；若，当的长度为多少时，为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）见详解；当的长度为2或时，为等腰三角形【详解】解：（1）线段绕点A逆时针方向旋转得到，AH=AG，HAG=90，在等腰直角三角形中，AB=AC，BAH=90-CAH=CAG，；（2）在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，AE=AF，是等腰直角三角形，AH=AG，BAH =CAG，AEH=AFG=45，HFG=AFG+AFE=45+45
13、=90，即：；，点，分别为，的中点，AE=AF=2，AGH=45，为等腰三角形，分3种情况：（a）当QAG=QGA=45时，如图，则HAF=90-45=45，AH平分EAF，点H是EF的中点，EH=；（b）当GAQ=GQA=（180-45）2=67.5时，如图，则EAH=GAQ=67.5，EHA=180-45-67.5=67.5，EHA=EAH，EH=EA=2；（c）当AQG=AGQ=45时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90若固定ABC，将DEC绕点C旋转（1）当DEC
14、统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2当B=E=30时，此时旋转角的大小为 ；当B=E=时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)（2）当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：BDC的面积与AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想若不正确，请说明理由【答案】（1）60；2；（2）小杨同学猜想是正确的证明见解析【详解】解：（1）B=30，ACB=90，CAD=9030=60CA=CD，ACD是等边三角形，ACD=60，旋转角为60故答案为：60如图2中，作CHAD于HCA=CD，CHAD，ACH=DCHACH+CAB=90，CAB+B=9
15、0，ACH=B，ACD=2ACH=2B=2，旋转角为2故答案为：2（2）小杨同学猜想是正确的证明如下：过B作BNCD于N，过E作EMAC于M，如图3，ACB=DCE=90，1+2=90，3+2=90，1=3BNCD于N，EMAC于M，BNC=EMC=90ACBDCE，BC=EC，在CBN和CEM中，BNC=EMC，1=3，BC=EC，CBNCEM(AAS)，BN=EMSBDCCDBN，SACEACEMCD=AC，SBDC=SACE【变式训练3】如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结Q
16、B并延长交直线AD于点E（1）如图1，猜想QEP= ；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长【答案】（1）QEP=60；（2）QEP=60，证明详见解析；（3）【详解】解：(1)QEP=60；证明：连接PQ，如图1，由题意得：PC=CQ，且PCQ=60，ABC是等边三角形，ACB=60，PCA=QCB，则在CPA和CQB中， ，CQBCPA(SAS)，CQB=CPA，又因为PEM和CQM中，EMP=CMQ，QEP=QCP=60.故答案为60； (2)QEP=60.以D
17、AC是锐角为例.证明：如图2，ABC是等边三角形，AC=BC，ACB=60，线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，CP=CQ，PCQ=60，ACB+BCP=BCP+PCQ，即ACP=BCQ，在ACP和BCQ中， ，ACPBCQ(SAS)，APC=Q，1=2，QEP=PCQ=60； (3)连结CQ，作CHAD于H，如图3，与(2)一样可证明ACPBCQ，AP=BQ，DAC=135，ACP=15，APC=30，CAH=45，ACH为等腰直角三角形，AH=CH=AC=4=，在RtPHC中，PH=CH=，PA=PHAH=，BQ=.【变式训练4】两块等腰直角三角板ABC和DEC如图摆放，其中ACB=
18、DCE=90，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_和位置关系为_；（2）如图2，若将三角板DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明【答案】（1）相等，垂直（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FHFG【详解】解：（1）CE=CD，AC=BC，ECA=DCB=90，BE=AD，F是
19、DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，FH=AD，FHAD，FG=BE，FGBE，FH=FG，ADBE，FHFG，故答案为相等，垂直（2）答：成立，证明：CE=CD，ECD=ACD=90，AC=BC，ACDBCE，AD=BE，由（1）知：FH=AD，FHAD，FG=BE，FGBE，FH=FG，FHFG，（1）中的猜想还成立（3）答：成立，结论是FH=FG，FHFG连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同（1）可证，FH=AD，FHAD，FG=BE，FGBE，三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，CE=CD，AC=BC，ECD=ACB=90，ACD=BCE，在ACD和BCE中 ，AC
20、DBCE，AD=BE，EBC=DAC，DAC+CXA=90，CXA=DXB，DXB+EBC=90，EZA=18090=90，即ADBE，FHAD，FGBE，FHFG，即FH=FG，FHFG，结论是FH=FG，FHFG.【变式训练5】在ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD（1）如图1，当BAC=100，时，CBD 的大小为_；（2）如图2，当BAC=100，时，求CBD的大小；（3）已知BAC的大小为m（），若CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小【答案】（1）30；（2）30；（3）为或或【详解】解：（1）解（1），为等边三
21、角形，又，为等腰三角形，（2）方法1：如图作等边，连接、，；由，得，；由，得方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE 在等腰三角形ACD中，可证结合角度，可得，在和中，方法3 如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形 ，四边形ACDE是菱形，是等边三角形，是等腰三角形，（3）由（1）知道，若，时，则；由（1）可知，设时可得，由（2）可知，翻折到，则此时，以为圆心为半径画圆弧交的延长线于点，连接，综上所述，为或或时，类型二、四边形中的旋转问题例如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1
22、）如果ABAC，BAC90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由【答案】（1）垂直，相等；成立，理由见解析；（2）45，理由见解析【详解】解：（1）CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：如图2，四边形ADEF是正方形，ADAF，DAF90，DAC+CAF90，ABAC，BAC90，BAD+DAC90，且BACB45，C
23、AFBAD，BADCAF，BDCF，BACF45，ACB+ACF45+4590，即BCF90，BCCF，即BDCF；故答案为：垂直，相等；当点D在BC的延长线上时，的结论仍成立，理由是：如图3，由正方形ADEF得ADAF，DAF90，BAC90，DAFBAC，DABFAC，又ABAC，DABFAC，CFBD，ACFABD，BAC90，ABAC，ABC45，ACFABC45BCFACB+ACF90，即CFBD；（2）当BCA45时，CFBD，理由是：如图4，过点A作AQAC，交BC于点Q，BCA45，AQC45，AQCBCA，ACAQ，ADAF，QACDAF90，QACDACDAFDAC，QAD
24、CAF，QADCAF，ACFAQD45，BCFACB+ACF90，即CFBD【变式训练1】在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证且将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明【答案】，；，【详解】解：，证明：延长交延长线于，连，四边形是矩形，由图可知，平分，又，为等腰直角三角形，又，在与中，即，【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEF
25、G，连接AG，DE (1)求证：DEAG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0 360)得到正方形，如图2在旋转过程中，当是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由【答案】（1）DEAG （2）当为直角时，=30或150.315【详解】如图1，延长ED交AG于点H， 点O是正方形ABCD两对角线的交点，在和中，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：由增大到过程中，当时，在中，sinAGO=， ，即；由增大到过程中，当时，同理可求，综上所述
26、，当时，或如图3，当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，此时【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EAF=CEF=45（1）将ADF绕点A顺时针旋转90 ，得到ABG（如图1），求证：BE+DF=EF；（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图2），求证：（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3），直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）=2【详解】（1）证明：ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，AF=AG，FAG=90，EAF=45，GAE=45，在A
27、GE与AFE中，AGEAFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连结GM则ADFABG，DF=BG由（1）知AEGAEF，EG=EFCEF=45，BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形，CE=CF，BE=BM，NF=DF，a-BE=a-DF，BE=DF，BE=BM=DF=BG，BMG=45，GME=45+45=90，EG2=ME2+MG2，EG=EF，MG=BM=DF=NF，EF2=ME2+NF2；（3）解：EF2=2BE2+2DF2如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到AGH，
28、连结HM，HE由（1）知AEHAEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM-GM）2=EH2又EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2【变式训练4】在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求BDG的度数【答案】(1)见解析；(2)45；(3)见解析【详解】（1）证明：如图1，AF平
29、分BAD，BAF=DAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=F，CEF=FCE=CF（2）解：连接GC、BG，四边形ABCD为平行四边形，ABC=90，四边形ABCD为矩形，AF平分BAD，DAF=BAF=45，DCB=90，DFA=45，ECF=90ECF为等腰直角三角形，G为EF中点，EG=CG=FG，CGEF，ABE为等腰直角三角形，AB=DC，BE=DC，CEF=GCF=45，BEG=DCG=135在BEG与DCG中，BEGDCG，BG=DG，CGEF，DGC+DGA=90，又DGC=BGA，BGA+DGA=90，DGB为等腰直角三角形，BDG=45（3）解：延长AB、FG交于H，连接HDADGF，ABDF，四边形AHFD为平行四边形ABC=120，AF平分BADDAF=30，ADC=120，DFA=30DAF为等腰三角形AD=DF，CE=CF，平行四边形AHFD为菱形ADH，DHF为全等的等边三角形DH=DF，BHD=GFD=60FG=CE，CE=CF，CF=BH，BH=GF在BHD与GFD中， ，BHDGFD，BDH=GDFBDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60.
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