1、专题12 平行四边形与中位线一选择题1.（2022广东）如图，在中，一定正确的是（ ）A. B. C. D. 2（2022浙江宁波）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点若，则的长为（）AB3CD43（2022四川眉山）在中，点，分别为边，的中点，则的周长为（）A9B12C14D164（2022浙江绍兴）如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点下列四种说法：存在无数个平行四边形；存在无数个矩形；存在无数个菱形；存在无数个正方形其中正确的个数是（）A1B2C3D45（2022浙江嘉兴）如图，在中，点E，F，G分别在边，上，则四边形的周长是（）A32B24C16D
2、86（2022四川达州）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（）ABCD7（2022浙江丽水）如图，在中，D，E，F分别是，的中点若，则四边形的周长是（）A28B14C10D78（2022湖南怀化）一个多边形的内角和为900，则这个多边形是（）A七边形B八边形C九边形D十边形9（2022四川南充）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（）ABCD10（2022湖南湘潭）在中（如图），连接，已知，则（）ABCD11（2022河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）ABCD12（2022湖南岳阳）下列命
3、题是真命题的是（）A对顶角相等 B平行四边形的对角线互相垂直C三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交 D三角分别相等的两个三角形是全等三角形13（2022河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，则正确的是（）A B C D无法比较与的大小14（2022河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点若OE3，则菱形ABCD的周长为（）A6B12C24D4815（2022山东泰安）如图，平行四边形的对角线，相交于点O点E为的中点，连接并延长交于点F，下列结论：；四边形是菱形；其中正确结论的个数是（）A4B3C2D116（
4、2022山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A对角线互相垂直的四边形是平行四边形B有一个角是直角的四边形是矩形C对角线互相平分的四边形是菱形D对角线互相垂直的矩形是正方形二、填空题17（2022江苏扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点若，则_18（2022江苏连云港）如图，在中，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，则的长为_19（2022四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点
5、C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是_m20（2022湖南株洲）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_度21（2022四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为_22（2022浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是_ 度23（2022江西）正五边形的外角和等于 _24（2020湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是_25（2022湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选
6、一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为_26（2022浙江台州）如图，在中，分别为，的中点若的长为10，则的长为_27（2022湖北荆州）如图，点E，F分别在ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H添加一个条件使AEGCFH，这个条件可以是_（只需写一种情况）28（2022江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为
7、圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为_29（2022湖南邵阳）如图，在等腰中，顶点在的边上，已知，则_30（2022甘肃武威）如图，在四边形中，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_31（2022山东滨州）如图，在矩形中，若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为_三、解答题32（2022浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ACBD，OBOD求证：四边
8、形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流小惠：证明：ACBD，OBOD，AC垂直平分BDABAD，CBCD，四边形ABCD是菱形小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明33（2022浙江温州）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，(1)求证：四边形是平行四边形(2)当，时，求的长34（2022云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，BDF=90。(1)求证：四边形ABDF是矩形；(
9、2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S35（2022四川凉山）在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交CE的延长线于点F(1)求证：四边形ADBF是菱形；(2)若AB8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长36（2022四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以我们还可以得到 ， ；(2)进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论；(3)已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离37（2022江
10、苏宿迁）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点求证：38（2022四川泸州）如图，已知点E、F分别在ABCD的边AB、CD上，且AE=CF求证：DE=BF39（2022江苏扬州）如图，在中，分别平分，交于点(1)求证：；(2)过点作，垂足为若的周长为56，求的面积40（2022新疆）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点延长DF到点E，使，连接BE(1)求证：；(2)求证：四边形BCDE是平行四边形41（2022湖南岳阳）如图，点，分别在的边，上，连接，请从以下三个条件：；中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形(1)你添加的条件是_（填序号）；(2)添加了条件后，请证明为菱形42（2022
11、湖北十堰）如图，中，相交于点，分别是，的中点(1)求证：；(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由43（2022湖南株洲）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，(1)求证：；(2)若，求证：四边形为平行四边形44（2022江苏连云港）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、分别在线段、上运动，求的最小值45（2022湖南常德）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接(1)当四边形是矩形时，如图，求证：；(2)当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论的证明46（20
12、22湖北随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形(1)求证；(2)已知平行四边形ABCD的面积为，求的长47（2022湖南娄底）如图，以为边分别作菱形和菱形（点，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点设(1)求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值(2)当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由专题12 平行四边形与中位线一选择题1.（2022广东）如图，在中，一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可【详解】解：四边形ABCD是平
13、行四边形AB=CD，AD=BC故选C【点睛】本题考查了平行四边形的性质解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质2（2022浙江宁波）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点若，则的长为（）AB3CD4【答案】D【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AEAD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长【详解】解：D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF2，AE2DF4，AEAD，AD4，在RtABC中，D为斜边AC的中点，BDACAD4，故选：D【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题关键是求出AD的长3（20
14、22四川眉山）在中，点，分别为边，的中点，则的周长为（）A9B12C14D16【答案】A【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出ABC的周长=2DEF的周长【详解】D，E，F分别为各边的中点，DE、EF、DF是ABC的中位线，DE=BC=3，EF=AB=2，DF=AC=4，DEF的周长=3+2+4=9故选：A【点睛】本题考查了三角形中位线定理解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系4（2022浙江绍兴）如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点下列四种说法：存在无数个平行四边形；存在无数个矩形；存在无数个菱形；存在无数个正方形其中正确的个
15、数是（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可【详解】如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，四边形ABCD是平行四边形OA=OC，OB=ODBE=DFOE=OF点E、F时BD上的点，只要M，N过点O，那么四边形MENF就是平行四边形存在无数个平行四边形MENF，故正确；只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，点E、F是BD上的动点，存在无数个矩形MENF，故正确；只要MNEF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；点E、F是BD上的动点，存在无数个菱形MENF，故正确；只要MN=EF，MNEF，MN过点O，则四边形ME
16、NF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线5（2022浙江嘉兴）如图，在中，点E，F，G分别在边，上，则四边形的周长是（）A32B24C16D8【答案】C【分析】根据，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得BFE=C，从而得到B=BFE，进而得到BE=EF，再据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解【详解】解，四边形AEFG是平行四边形，FG=AE，AG=EF，BFE=C，AB=AC，B=C，B=BFE，BE=EF，四边形的周长
17、是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=28=16故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键6（2022四川达州）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（）ABCD【答案】B【分析】利用三角形中位线定理得到DEAC且DE=AC，结合平行四边形的判定定理进行选择【详解】解：在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，DE是ABC的中位线，DEAC且DE=AC，A、根据B=F不能判定CFAD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选
18、项错误B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确C、根据AC=CF不能判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误D、根据AD=CF，FDAC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半7（2022浙江丽水）如图，在中，D，E，F分别是，的中点若，则四边形的周长是（）A28B14C10D7【答案】B【分析】首先根据D，E，F分别是，的中点，可判定四边形是平行
19、四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长【详解】解：D，E，F分别是，的中点，、分别是的中位线，且，四边形是平行四边形，四边形的周长为：，故选：B【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键8（2022湖南怀化）一个多边形的内角和为900，则这个多边形是（）A七边形B八边形C九边形D十边形【答案】A【分析】根据n边形的内角和是（n2）180，列出方程即可求解【详解】解：根据n边形的内角和公式，得（n2）180=900，解得n=7，这个多边形的边数是7，故选：A【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方
20、程9（2022四川南充）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（）ABCD【答案】C【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断【详解】解：多边形是正五边形，该多边形内角和为：，故D选项正确；是正三角形，故B选项正确；，故A选项正确；，故C选项错误，故选：C【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键10（2022湖南湘潭）在中（如图），连接，已知，则（）ABCD【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，A
21、BCD DCACAB，DCA+ACB，40+80=120，故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用11（2022河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）ABCD【答案】D【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键12（2022湖南岳阳）下列命题是真命题的是（）
22、A对顶角相等 B平行四边形的对角线互相垂直C三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交 D三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【分析】根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全等三角形的判定定理判断D【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C不符合题意；D.三角分别相等的
23、两个三角形不一定全等，故D不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键13（2022河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，则正确的是（）A B C D无法比较与的大小【答案】A【分析】多边形的外角和为，ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可【详解】解：多边形的外角和为，ABC与四边形BCDE的外角和与均为，故选：A【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键14（2022河南）如图
24、，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点若OE3，则菱形ABCD的周长为（）A6B12C24D48【答案】C【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论【详解】解：四边形ABCD为菱形，BO=DO，AB=BC=CD=DA，OE=3，且点E为CD的中点，是的中位线，BC=2OE=6菱形ABCD的周长为:4BC=46=24故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD=615（2022山东泰安）如图，平行四边形的对角线，相交于点O点E为的中点，连接并延长交于点F，下列结论：；
25、四边形是菱形；其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【答案】A【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断；根据三角形中线的性质判断【详解】解：点为的中点，又，是等边三角形，即，故正确；在平行四边形中，在和中，四边形是平行四边形，又，点为的中点，平行四边形是菱形，故正确；，在中，故正确；在平行四边形中，又点为的中点，故正确；综上所述：正确的结论有4个，故选：A【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键16
26、（2022山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A对角线互相垂直的四边形是平行四边形B有一个角是直角的四边形是矩形C对角线互相平分的四边形是菱形D对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键二、填空题17（2022江苏
27、扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点若，则_【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解【详解】解：已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，MN是的中位线，故答案为：6【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键18（2022江苏连云港）如图，在中，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作
28、弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，则的长为_【答案】【分析】如图所示，过点H作HMBC于M，由作图方法可知，BH平分ABC，即可证明CBH=CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长【详解】解：如图所示，过点H作HMBC于M，由作图方法可知，BH平分ABC，ABH=CBH，四边形ABCD是平行四边形，CHB=ABH，C=180-ABC=30，CBH=CHB，故答案为：【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键19（2022四川南充）数学实
29、践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是_m【答案】20【分析】根据题意得出DE为ABC的中位线，然后利用其性质求解即可【详解】解：点D、E为AC，BC的中点，DE为ABC的中位线，DE=10，AB=2DE=20，故答案为：20【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键20（2022湖南株洲）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_度【答案】48【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360算出一个外角，再利用的内角和180，即可算出【详解】四
30、边形ABCDE是正五边形，是一个外角在中：故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为36021（2022四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为_【答案】4【分析】连接，根据正六边形的特点可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解【详解】如图，连接， 正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上正六边形每个内角为，为对称轴则则， 正方形BMGH的边长为6，设，则解得故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30
31、度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键22（2022浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是_ 度【答案】135【分析】根据多边形内角和定理：（n2）180（n3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（82）180=1080，每一个内角的度数为： 10808=135，故答案为135.23（2022江西）正五边形的外角和等于 _【答案】360【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.24（2020湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是_【答案】6【分析】利用正多边形的外角和以及正多边形
32、的内角和定理即可解决问题【详解】解：正多边形的外角和是360度，正多边形的内角和是外角和的2倍， 则内角和是720度， 720180+2=6， 这个多边形的边数为6 故答案为：6【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键25（2022湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三
33、角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为_【答案】6【分析】根据多边形的内角和进行即可求解【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，解得故答案为：【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键26（2022浙江台州）如图，在中，分别为，的中点若的长为10，则的长为_【答案】10【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答【详解】解：E、F分别为BC、AC的中点，AB2EF
34、20，ACB90，点D为AB的中点，故答案为：10【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键27（2022湖北荆州）如图，点E，F分别在ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H添加一个条件使AEGCFH，这个条件可以是_（只需写一种情况）【答案】（答案不唯一）【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可【详解】解： ， 所以补充： AEGCFH，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质
35、与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键28（2022江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为_【答案】10【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解【详解】解：如图，设与的交点为，根据作图可得，且平分，四边形是平行四边形，又， ，四边形是平行四边形，垂直平分，四边形是菱形，为的中点，中， ，
36、四边形AECF的周长为故答案为：【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键29（2022湖南邵阳）如图，在等腰中，顶点在的边上，已知，则_【答案】110【分析】先根据等腰三角形的性质求出ABC的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出2+ABE=180，代入求解即可【详解】解：是等腰三角形，A=120，ABC=C=(180-A)2=30，四边形是平行四边形，OFDE，2+ABE=180，即2+30+40=180，2=110故答案为：110【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平
37、行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解30（2022甘肃武威）如图，在四边形中，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_【答案】（答案不唯一）【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论【详解】解：需添加的一个条件是A=90，理由如下：ABDC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又A=90，平行四边形ABCD是矩形，故答案为：A=90（答案不唯一）【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键31（2022山东滨州）如图，在矩形中，若点E是边AD上
38、的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为_【答案】【分析】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，当N、E、C三点共线时，分别求出CN、AN的长度即可【详解】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，四边形ANEF是平行四边形，当N、E、C三点共线时，最小，四边形ABCD是矩形，四边形EFMD是平行四边形，即，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键三、解答题32（202
39、2浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ACBD，OBOD求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流小惠：证明：ACBD，OBOD，AC垂直平分BDABAD，CBCD，四边形ABCD是菱形小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析【分析】先由OBOD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论【详解】解：赞成小洁的说法，补充 证明：OBOD， 四边形是平行四边形， ACBD，四边形ABCD是
40、菱形【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键33（2022浙江温州）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，(1)求证：四边形是平行四边形(2)当，时，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据E，F分别是，的中点，得出，根据平行线的性质，得出，结合O是的中点，利用“AAS”得出，得出，即可证明是平行四边形；（2）根据，E是中点，得出，即可得出，即，根据，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出(1)解：（1）E，F分别是，的中点，O是的中点，四边形是平行四边形(2)，E是中点，四边形DEFG为平行四边形，【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明，是解题的关键34（2022云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，BDF=90(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形AB
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