1、专题07 一元二次方程一选择题1（2022北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 2（2022天津）方程的两个根为（）ABCD3（2022湖南怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A2x2x+10Bx22x+20Cx2+3x20Dx2+204（2022甘肃武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）ABCD5（2022浙江温州）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（）A36BC9D6（2022四川遂宁）已知m为方程的根，那么的值为（）AB0C2022D40447（2022浙江绍兴）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是
2、（）A0，4B1，5C1，5D1，58（2022重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A B C D9（2022山东滨州）一元二次方程的根的情况为（）A无实数根 B有两个不等的实数根 C有两个相等的实数根 D不能判定10（2022四川泸州）已知关于的方程的两实数根为，若，则的值为（）ABC或3D或311（2022重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）ABCD12（2022湖南常德）关于的一元二次
3、方程无实数解，则的取值范围是（）ABCD13（2022新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（）ABCD14（2022新疆）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）ABCD15（2022山东泰安）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株
4、椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A B C D16（2022河南）一元二次方程的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B没有实数根C有两个相等的实数根D只有一个实数根17（2022四川宜宾）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（）A0B10C3D1018（2022四川宜宾）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）AB且C且D19（2022湖北荆州）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（）A有两个相等实数根B有两个不相等实数根 C没有实数根D有一个实数根20（2022湖南湘潭中考真题）中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用4个全等的直角三角形
5、拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（）A2BCD二、填空题21（2022江苏扬州）请填写一个常数，使得关于的方程_有两个不相等的实数根22（2022云南）方程2x2+1=3x的解为_23（2022安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则_24（2022四川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_25（2022江西）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_26（2022湖北荆州）一元二次方程配方为，则k的值是_27（2022湖北
6、黄冈）已知一元二次方程x24x+30的两根为x1、x2，则x1x2_28（2022江苏宿迁）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_29（2022湖南娄底）已知实数是方程的两根，则_30（2022浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_（用百分数表示）31（2022四川眉山）设，是方程的两个实数根，则的值为_32（2022湖北荆州中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB20cm，底面直径BC12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为_cm（玻璃瓶厚度忽
7、略不计）33（2022湖南岳阳中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_34（2022四川宜宾中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为_35（2022四川凉山）已知实数a、b满足ab24，则代数式a23b2a14的最小值是_三、解答题36（2022四川凉山）解方程：x22x3037（2022四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根(1)求实数k的取值范围(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值38（2022四川眉山）建设美
8、丽城市，改造老旧小区某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？39（2022四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根为x1，x2，则x1x2，x1x2材料2：已知一元二次方程x2x10的两个实数根分别为m，n，求m2nmn2的值解：一元二次方程x2x10的两个实数根分别为
9、m，n，mn1，mn1，则m2nmn2mn（mn）111根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x23x10的两个根为x1，x2，则x1x2 ；x1x2 (2)类比应用：已知一元二次方程2x23x10的两根分别为m、n，求的值(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s23s10，2t23t10，且st，求的值40（2022湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为10
10、00元，5月份再生纸产量比上月增加5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了求6月份每吨再生纸的利润是多少元？41（2022湖北随州）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值42（2022湖北十堰）已知关于的一元二次方程(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值43（2022山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文
11、，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：（1）时，抛物线开口向上当时，有，顶点纵坐标顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）当时，有，顶点纵坐标顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）一元二次
12、方程有两个相等的实数根当时，（2）时，抛物线开口向下任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A数形结合B统计思想C分类讨论D转化思想(2)请参照小论文中当时的分析过程，写出中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解请你再举出一例为 。专题07 一元二次方程一选择题1（2022北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0
13、，建立关于m的方程，解答即可【详解】一元二次方程有两个相等的实数根，=0，解得，故C正确故选：C【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，0，a2+(a+1)2=5，其中a0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，=2，故选：A【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键二、填空题21（2022江苏扬州）请填写一个常数，使得关于的方程_有两个不相等的实数根【答案】0（答案不唯一）【分析】设这个常数为a，利用一元二次方
14、程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案【详解】解：设这个常数为a，要使原方程有两个不同的实数根，满足题意的常数可以为0，故答案为：0（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键22（2022云南）方程2x2+1=3x的解为_【答案】【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解【详解】解：移项得：，或，解得：，故答案为：【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键23（2022安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则_【答案】2【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式
15、等于0即可求m的值，【详解】解：由题意可知：， ，解得： 故答案为：2【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键24（2022四川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_【答案】【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，由公式法解一元二次方程可得，根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，故答案为：【点睛】本
16、题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键25（2022江西）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_【答案】1【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，解得：故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键26（2022湖北荆州）一元二次方程配方为，则k的值是_【答案】【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解【详解】解：故答案为：1【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键27（2022湖北黄冈）已知一元二次方程x24x+
17、30的两根为x1、x2，则x1x2_【答案】3【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系求解即可【详解】解：一元二次方程x24x+30的两根为x1、x2，x1x23故答案为3【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-28（2022江苏宿迁）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_【答案】【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， 即 解得： 故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，
18、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根29（2022湖南娄底）已知实数是方程的两根，则_【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案【详解】解： 实数是方程的两根， 故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键30（2022浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_（用百分数表示）【答案】30%【分析】由题意：2019年的新
19、注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，依题意得100（1+x）2=169，解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），x=0.3=30%，故答案为：30%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键31（2022四川眉山）设，是方程的两个实数根，则的值为_【答案】10【分析】由根与系数的关系，得到，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案【详
20、解】解：根据题意，是方程的两个实数根，；故答案为：10【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到，32（2022湖北荆州中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB20cm，底面直径BC12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为_cm（玻璃瓶厚度忽略不计）【答案】7.5【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，EG过圆心，且垂直于AD，G为AD的中点，则AG=0.5
21、AD=0.512=6cm，在中，由勾股定理可得，即，解方程得r=7.5，则球的半径为7.5cm【点睛】本题考查主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键33（2022湖南岳阳中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_【答案】【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可【详解】解：根据题意得，解得，所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根34（2022四川宜宾中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”
22、是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为_【答案】289【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，解得或（舍去），大正方形的面积为，故答案为：【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半
23、径等于是解题的关键35（2022四川凉山）已知实数a、b满足ab24，则代数式a23b2a14的最小值是_【答案】6【分析】根据ab24得出，代入代数式a23b2a14中，通过计算即可得到答案【详解】ab24将代入a23b2a14中得： 当a=4时，取得最小值为6 的最小值为6的最小值6答案为：6【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解三、解答题36（2022四川凉山）解方程：x22x30【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得【详解】解：，或，或，故方程的解为【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法
24、、公式法、换元法等）是解题关键37（2022四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根(1)求实数k的取值范围(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值【答案】(1)k；(2)k=3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值【解析】 (1)解：一元二次方程有实数根0，即32-4（k-2）0，解得k(2)方程的两个实数根分别为，解得k=3【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键38（2022四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区某市
25、2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20% (2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入
26、资金，列出不等式求解即可【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，经检验，符合本题要求答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%(2)设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得为正整数，最多可以改造18个小区答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式39（2022四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根为x1，x2，则x1x2，x1x2材料2：已知一元二次方程
27、x2x10的两个实数根分别为m，n，求m2nmn2的值解：一元二次方程x2x10的两个实数根分别为m，n，mn1，mn1，则m2nmn2mn（mn）111根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x23x10的两个根为x1，x2，则x1x2 ；x1x2 (2)类比应用：已知一元二次方程2x23x10的两根分别为m、n，求的值(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s23s10，2t23t10，且st，求的值【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可【解析】 (1)解：一元二次方程2x2-3x-10的两个根为x1，x2，故答案为：；(2)一元二次方程2x2-3x-10的两根分别为m、n，(3)实数s、t满足2s2-3s-10，2t2-3t-10，s、t可以看作方程2x2-3x-10的两个根，或，当时，当时，综上分析可知，的值为或【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键40（2022湖
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