1、 北京市三年（北京市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编：解答题基础题知识点）中考数学真题分类汇编：解答题基础题知识点 一实数的运算（共一实数的运算（共 1 小题）小题） 1 （2021北京）计算：2sin60+12 +|5|（+2）0 二整式的混合运算二整式的混合运算化简求值（共化简求值（共 2 小题）小题） 2 （2022北京）已知 x2+2x20，求代数式 x（x+2）+（x+1）2的值 3 （2021北京）已知 a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值 三解一元二次方程三解一元二次方程-因式分解法（共因式分解法（共 1 小题）小题） 4 （2021北京）已知关
2、于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 四解一元一次不等式组（共四解一元一次不等式组（共 2 小题）小题） 5 （2022北京）解不等式组：2 + 7 4，4+2 6 （2021北京）解不等式组：4 5 + 1342 五一次函数图象与几何变换（共五一次函数图象与几何变换（共 2 小题）小题） 7 （2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 y=12x 的图象向下平移 1 个单位长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x2 时，对于 x
3、的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出 m 的取值范围 8 （2020北京） 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 ykx+b （k0） 的图象由函数 yx 的图象平移得到，且经过点（1，2） （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x1 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出m 的取值范围 六待定系数法求一次函数解析式（共六待定系数法求一次函数解析式（共 1 小题）小题） 9 （2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，函数 ykx+b（k0）的图象过点（4，3） ， （2，0） ，且与 y轴交
4、于点 A （1）求该函数的解析式及点 A 的坐标； （2）当 x0 时，对于 x 的每一个值，函数 yx+n 的值大于函数 ykx+b（k0）的值，直接写出 n 的取值范围 七二次函数与不等式（组） （共七二次函数与不等式（组） （共 1 小题）小题） 10 （2020北京）小云在学习过程中遇到一个函数 y=16|x|（x2x+1） （x2） 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而 ，且 y10；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而 ，且 y20；结合上述分析，进一步探究发现，对于
5、函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而 （2）当 x0 时，对于函数 y，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 12 1 32 2 52 3 y 0 116 16 716 1 9548 72 结合上表，进一步探究发现，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x0时的函数 y 的图象 （3）过点（0，m） （m0）作平行于 x 轴的直线 l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若直线 l 与函数y=16|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点，则 m 的最大值是 八三角形内角和定理（共八三角形内角和定理（共 1 小题）小题） 11
6、 （2022北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 已知：如图，ABC，求证：A+B+C180 方法一 证明：如图，过点 A 作 DEBC 方法二 证明：如图，过点 C 作 CDAB 九全等三角形的判定与性质（共九全等三角形的判定与性质（共 1 小题）小题） 12 （2022北京）在ABC 中，ACB90，D 为ABC 内一点，连接 BD，DC，延长 DC 到点 E，使得CEDC （1）如图 1，延长 BC 到点 F，使得 CFBC，连接 AF，EF若 AFEF，求证：BDAF； （2）连接 AE，交 B
7、D 的延长线于点 H，连接 CH，依题意补全图 2若 AB2AE2+BD2，用等式表示线段 CD 与 CH 的数量关系，并证明 一十三角形的外接圆与外心（共一十三角形的外接圆与外心（共 1 小题）小题） 13 （2021北京）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，ADBC 于点 E （1）求证：BADCAD； （2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE3，求 GC 和OF 的长 一十一切线的性质（共一十一切线的性质（共 1 小题）小题） 14 （2020北京）如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是O 的切
8、线，D 为切点，OFAD 于点 E，交 CD 于点 F （1）求证：ADCAOF； （2）若 sinC=13，BD8，求 EF 的长 一十二切线的判定（共一十二切线的判定（共 1 小题）小题） 15 （2022北京）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，ABCD，连接 AC，OD （1）求证：BOD2A； （2）连接 DB，过点 C 作 CEDB，交 DB 的延长线于点 E，延长 DO，交 AC 于点 F若 F 为 AC 的中点，求证：直线 CE 为O 的切线 一十三旋转的性质（共一十三旋转的性质（共 1 小题）小题） 16 （2021北京）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，M
9、为 BC 的中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转 得到线段 AE，连接 BE，DE （1）比较BAE 与CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并证明； （2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并证明 一十四折线统计图（共一十四折线统计图（共 1 小题）小题） 17 （2022北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲、乙两位同学得分的折线图： b丙同学得分： 1
10、0，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 8.6 8.6 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中 m 的值； （2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的 10 个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙” ） ； （3） 如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分， 最后得分越高，则认为该同学表现越优秀据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲” “乙”或“丙” ） 参考答案与试题解析参考答案与试
11、题解析 一实数的运算（共一实数的运算（共 1 小题）小题） 1 （2021北京）计算：2sin60+12 +|5|（+2）0 【解答】解：原式232+23 +51 = 3 +23 +51 33 +4 二整式的混合运算二整式的混合运算化简求值（共化简求值（共 2 小题）小题） 2 （2022北京）已知 x2+2x20，求代数式 x（x+2）+（x+1）2的值 【解答】解：x（x+2）+（x+1）2 x2+2x+x2+2x+1 2x2+4x+1， x2+2x20， x2+2x2， 当 x2+2x2 时，原式2（x2+2x）+1 22+1 4+1 5 3 （2021北京）已知 a2+2b210，求代
12、数式（ab）2+b（2a+b）的值 【解答】解：原式a22ab+b2+2ab+b2 a2+2b2， a2+2b210， a2+2b21， 原式1 三解一元二次方程三解一元二次方程-因式分解法（共因式分解法（共 1 小题）小题） 4 （2021北京）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 【解答】 （1）证明：a1，b4m，c3m2， b24ac（4m）2413m24m2 无论 m 取何值时，4m20，即0， 原方程总有两个实数根 （2）解：方法一：x24mx+3m20，即（xm） （x
13、3m）0， x1m，x23m m0，且该方程的两个实数根的差为 2， 3mm2， m1 方法二： 设方程的两根为 x1，x2，则 x1+x24m，x1x23m2， x1x22， （x1x2）24， （x1+x2）24x1x24， （4m）243m24， m1， 又 m0， m1 四解一元一次不等式组（共四解一元一次不等式组（共 2 小题）小题） 5 （2022北京）解不等式组：2 + 7 4，4+2 【解答】解：由 2+x74x，得：x1， 由 x4+2，得：x4， 则不等式组的解集为 1x4 6 （2021北京）解不等式组：4 5 + 1342 【解答】解：解不等式 4x5x+1，得：x2，
14、 解不等式342x，得：x4， 则不等式组的解集为 2x4 五一次函数图象与几何变换（共五一次函数图象与几何变换（共 2 小题）小题） 7 （2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 y=12x 的图象向下平移 1 个单位长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出 m 的取值范围 【解答】解： （1）函数 y=12x 的图象向下平移 1 个单位长度得到 y=12x1， 一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 y=12x 的图象向下平移 1 个单
15、位长度得到， 这个一次函数的表达式为 y=12x1 （2）把 x2 代入 y=12x1，求得 y2， 函数 ymx（m0）与一次函数 y=12x1 的交点为（2，2） ， 把点（2，2）代入 ymx，求得 m1， 当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 y=12x1 的值， 12m1 8 （2020北京） 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 ykx+b （k0） 的图象由函数 yx 的图象平移得到，且经过点（1，2） （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x1 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出
16、m 的取值范围 【解答】解： （1）一次函数 ykx+b（k0）的图象由直线 yx 平移得到， k1， 将点（1，2）代入 yx+b， 得 1+b2，解得 b1， 一次函数的解析式为 yx+1； （2）把点（1，2）代入 ymx，求得 m2， 当 x1 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 yx+1 的值， m2 六待定系数法求一次函数解析式（共六待定系数法求一次函数解析式（共 1 小题）小题） 9 （2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，函数 ykx+b（k0）的图象过点（4，3） ， （2，0） ，且与 y轴交于点 A （1）求该函数的解析式及点 A 的坐标
17、； （2）当 x0 时，对于 x 的每一个值，函数 yx+n 的值大于函数 ykx+b（k0）的值，直接写出 n 的取值范围 【解答】解： （1）把（4，3） ， （2，0）分别代入 ykx+b 得4 + = 32 + = 0， 解得 =12 = 1， 函数解析式为 y=12x+1， 当 x0 时，y=12x+11， A 点坐标为（0，1） ； （2）当 n1 时，当 x0 时，对于 x 的每一个值，函数 yx+n 的值大于函数 ykx+b（k0）的值 七二次函数与不等式（组） （共七二次函数与不等式（组） （共 1 小题）小题） 10 （2020北京）小云在学习过程中遇到一个函数 y=16|
18、x|（x2x+1） （x2） 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而 减小 ，且y10；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而 减小 ，且 y20；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而 减小 （2）当 x0 时，对于函数 y，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 12 1 32 2 52 3 y 0 116 16 716 1 9548 72 结合上表，进一步探究发现，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大在平面直角坐标系 x
19、Oy 中，画出当 x0时的函数 y 的图象 （3）过点（0，m） （m0）作平行于 x 轴的直线 l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若直线 l 与函数y=16|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点，则 m 的最大值是 73 【解答】解： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而减小，且 y10；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而减小，且 y20；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而减小 故答案为：减小，减小，减小 （2）函数图象如图所示： （3）直线 l 与函数 y
20、=16|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点， 观察图象可知，x2 时，m 的值最大，最大值 m=162（4+2+1）=73， 故答案为：73 八三角形内角和定理（共八三角形内角和定理（共 1 小题）小题） 11 （2022北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 已知：如图，ABC，求证：A+B+C180 方法一 证明：如图，过点 A 作 DEBC 方法二 证明：如图，过点 C 作 CDAB 【解答】证明：方法一：DEBC， BBAD，CCAE， BAD+BAC+CAE180， B+BAC+C18
21、0； 方法二：延长 BC，如图， CDAB， AACD，BDCE， ACB+ACD+DCE180， A+ACD+B180 九全等三角形的判定与性质（共九全等三角形的判定与性质（共 1 小题）小题） 12 （2022北京）在ABC 中，ACB90，D 为ABC 内一点，连接 BD，DC，延长 DC 到点 E，使得CEDC （1）如图 1，延长 BC 到点 F，使得 CFBC，连接 AF，EF若 AFEF，求证：BDAF； （2）连接 AE，交 BD 的延长线于点 H，连接 CH，依题意补全图 2若 AB2AE2+BD2，用等式表示线段 CD 与 CH 的数量关系，并证明 【解答】 （1）证明：在
22、BCD 和FCE 中， = = = ， BCDFCE（SAS） ， DBCEFC， BDEF， AFEF， BDAF； （2）解：由题意补全图形如下： CDCH 证明：延长 BC 到 F，使 CFBC，连接 AF，EF， ACBF，BCCF， ABAF， 由（1）可知 BDEF，BDEF， AB2AE2+BD2， AF2AE2+EF2， AEF90， AEEF， BDAE， DHE90， 又CDCE， CHCDCE 一十三角形的外接圆与外心（共一十三角形的外接圆与外心（共 1 小题）小题） 13 （2021北京）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，ADBC 于点 E （1）求证：
23、BADCAD； （2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE3，求 GC 和OF 的长 【解答】 （1）证明：AD 是O 的直径，ADBC， = ， BADCAD； （2）解：在 RtBOE 中，OB5，OE3， BE= 2 2=4， AD 是O 的直径，ADBC， BC2BE8， BG 是O 的直径， BCG90， GC= 2 2=6， ADBC，BCG90， AEGC， AFOCFG， =，即56=5， 解得：OF=2511 一十一切线的性质（共一十一切线的性质（共 1 小题）小题） 14 （2020北京）如图，AB 为O 的直径，C 为
24、 BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OFAD 于点 E，交 CD 于点 F （1）求证：ADCAOF； （2）若 sinC=13，BD8，求 EF 的长 【解答】解： （1）连接 OD， OFAD， AOF+DAO90， CD 是O 的切线，D 为切点， CDO90， ADC+ADO90， OAOD， DAOADO， AOFADC； （2）OFAD，BDAD， OFBD， OFBD，AOOB， AEDE， OE=12BD=1284， sinC=13， 设 ODx，OC3x， OBx， CB4x， OFBD， COFCBD， =， 34=8， OF6， EFOFOE642 一十
25、二切线的判定（共一十二切线的判定（共 1 小题）小题） 15 （2022北京）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，ABCD，连接 AC，OD （1）求证：BOD2A； （2）连接 DB，过点 C 作 CEDB，交 DB 的延长线于点 E，延长 DO，交 AC 于点 F若 F 为 AC 的中点，求证：直线 CE 为O 的切线 【解答】证明： （1）如图，连接 AD， AB 是O 的直径，ABCD， = ， CABBAD， BOD2BAD， BOD2A； （2）如图，连接 OC， F 为 AC 的中点， DFAC， ADCD， ADFCDF， = ， CABDAB， OAOD， OAD
26、ODA， CDFCAB， OCOD， CDFOCD， OCDCAB， = ， CABCDE， CDEOCD， E90， CDE+DCE90， OCD+DCE90， 即 OCCE， OC 为半径， 直线 CE 为O 的切线 一十三旋转的性质（共一十三旋转的性质（共 1 小题）小题） 16 （2021北京）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转 得到线段 AE，连接 BE，DE （1）比较BAE 与CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并证明； （2）过点 M 作 AB 的垂线，交 D
27、E 于点 N，用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系，并证明 【解答】解： （1）DAEBAC， DAEBADBACBAD， 即BAECAD， 在ABE 和ACD 中， = = = ， ABEACD（SAS） ， BECD， M 为 BC 的中点， BMCM， BE+MDBM； （2）如图，作 EHAB 交 BC 于 H，交 AB 于 F， 由（1）ABEACD 得：ABEACD， ACDABC， ABEABD， 在BEF 和BHF 中， = = = ， BEFBHF（ASA） ， BEBH， 由（1）知：BE+MDBM， MHMD， MNHF， =， ENDN 一十四折线统计图（共一十四
28、折线统计图（共 1 小题）小题） 17 （2022北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲、乙两位同学得分的折线图： b丙同学得分： 10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 8.6 8.6 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中 m 的值； （2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的 10 个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 甲 的评价更一致（填“
29、甲”或“乙” ） ； （3） 如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分， 最后得分越高， 则认为该同学表现越优秀 据此推断： 在甲、 乙、 丙三位同学中， 表现最优秀的是 丙 （填 “甲”“乙”或“丙” ） 【解答】解： （1）m=110（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）8.6； （2）甲同学的方差 S2甲=1102（78.6）2+2（88.6）2+4（98.6）2+2（108.6）21.04， 乙同学的方差 S2乙=1104（78.6）2+2（98.6）2+4（108.6）21.84， S2甲S2乙， 评委对甲同学演唱的评价更一致 故答案为：甲； （3）甲同学的最后得分为18（7+82+94+10）8.625； 乙同学的最后得分为18（37+92+103）8.625； 丙同学的最后得分为18（82+93+103）9.125， 在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙 故答案为：丙
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