1、第第 12 章章 整式的乘除整式的乘除 12.112.1 幂的运算幂的运算 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 1. 探索并了解同底数幂的乘法性质并会运用性质进行计算. 2. 在推导幂的乘方性质的过程中，培养学生初步运用“转化”思想能力，培养学生观察概括与抽象的能力. 【过程与方法】 1.从实际问题出发，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，交流，获得同底数幂乘法法则运用的意义. 3.经历观察，理解幂运算的意义，会求同底数幂的乘法. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 同底数幂的乘法法则的推导. 【教学难
2、点】 同底数幂乘法法则的运用，尤其是底数为多项式或指数为整数时. 教学过程教学过程 一、一、探索新知探索新知 试一试试一试 根据幂的意义填空： （1） 222222222243； （2）4355 ； （3）43aa a. 由上述问题，我们可以得到： 5 可得 =（m、n为正整数）. 归纳总结归纳总结 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例例 1 1 计算：（1）103104；（2）aa3;（3） a a3a5. 解：（1）103104=1043=107. （2）a a3=a31=a4. （3）a a3a5=a531=a9. 试一试试一试 根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空： （1） 222
3、23323；（2） 5555522232； （3） aaaaaa333343. 由上述问题，我们可以得到： 可得： = =（m、n为正整数）. . 归纳总结归纳总结 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例例 2 2 计算： （1）； （2）. 解： （1）=1053=1015. （3）(b5)4=b45=b20. 三、三、巩固练习巩固练习 1.计算：521010 ；73aa ；75xxx. 2.计算 ： ； ； ； . 答案：答案：1.710；10a；13x. 2.，. 四、归纳小结四、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）=（m、n为正整数） . （2）=（m、n为正整数）. 2.通过这节课的学习
4、，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.1 中选取. 第第 2 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 1. 探索并了解积的乘方并会运用性质进行计算. 2. 在学习同底数幂的除法的过程中，培养学生初步运用“转化”思想能力，培养学生观察概括与抽象的能力. 【过程与方法】 1.从实际问题出发，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，交流，获得积的乘方和同底数幂除法法则的运用的意义. 3.经历观察，理解幂运算的意义. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 同底数幂的除法法则推导. 【教学难点】 同底数幂除法法则的运用
5、. 教学过程教学过程 一、探索新知一、探索新知 可得： 归纳总结归纳总结 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例例 1 1 计算： （1） (2b) 3 ；（2）(2a3) 2；（3）(-a)3；（4） (-3x)4. 解：（1） (2b) 3=23b3=8b3； （2）(2a3) 2=22(a3)2=4a6； （3） (-a)3=(1)3a3=a3； （4）(-3x)4=(3)4x4=81x4. 试一试试一试 用你熟悉的方法计算： （1）2522 ；（2）371010 ；（3）37aa （a0）. 由上面的计算，我们发现： 253252222；3743710101010；
6、37437aaaa. 归纳总结归纳总结 一般地，设 m、n 为正整数，mn，a0，有. 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 例例 2 2 计算： （1）； （2）； （3） 解： （1）. （2）7a. （3） =38a. 思考：思考： 你能用的幂表示 的结果吗？ 二、巩固练习二、巩固练习 1.计算：（1）；（2）；（3） （4） 2.计算：（1）；（2）；（3）；（4） 答案：1.（1）；（2） ；（3） ；（4）. 2.（1）；（2）5x；（3）；（4）1. 三、归纳小结三、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. =（n为正整数）. （2
7、）同底数幂相除，底数不变，指数相减. （m、n 为正整数，mn，a0） 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.1 中选取. 1 12 2.2 .2 整式的乘法整式的乘法 教学目标教学目标 【知识与技能】 1. 探索并了解单项式与单项式相乘. 2. 在学习单项式与多项式相乘及多项式与多项式相乘的过程中， 培养学生初步运用 “转化” 思想能力，培养学生观察概括与抽象的能力. 【过程与方法】 1.从实际问题出发，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，交流，获得整式乘法的运用意义. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习
8、热情. 【教学重点】 对整式的乘法法则的理解和应用. 【教学难点】 尝试与探究单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的乘法运算规律. 教学过程教学过程 一、一、探索新知探索新知 1.1.单项式乘单项式单项式乘单项式 例例 1 1 解：解： 归纳总结归纳总结 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. 2.单项式乘多项式 例例 2 2 计算：（2a2 ）（3ab2 5ab3 ）. 解: (2a2)(3ab2 5ab3 ) =(2a2 )3ab2 +(2a2 )(5ab3 ) =6a3b2 +1
9、0a3b3. 归纳总结归纳总结 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加. 3.多项式乘多项式 某地区在退耕还林期间，将一块长 m 米、宽 a 米的长方形林地的长、宽分别增加 n 米和 b 米.用两种方法表示这块林地现在的面积，可得到： （m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb 例例 3 3 计算：（1）32xx；（2）yxyx2352. 解：（1）66233222xxxxxxx； （2）2222101161015462352yxyxyyxxyxyxyx. 例例 4 4 计算：（1）2232nmnmnm；（2）122232xxx. 解：（1）.656223322
10、23323223322223222222nmnnmmnmnnmmnnmmnnmnnmnnmmnmmmnmnmnm （2）. 22624243612223232322xxxxxxxxxxx 归纳总结归纳总结 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 二、二、巩固练习巩固练习 1.（1）3223aa ；（2）23289abba；（3）233223aa；（4）2223yxzxy. 2.计算： 3.化简： 4.计算：（1）75xx；（2）yxyx75；（3）nmnm3232；（4）232ba. 答案：答案：1.（1）56a；（2）5372ba；（3）1
11、2108a；（4）zyx453. 2. 3.原式= xxxxxx156222233 4.（1）35235577522xxxxxxx； （2）2223523557275yxyxyyxxyxyxyx； （3）22229496643232nmnnmmnmnmnm； （4）2222291249664323232bababbaababababa. 三、归纳小结三、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. （2）单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加. （
12、3） 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.2 中选取. 1 12 2.3 .3 乘法公式乘法公式 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 1掌握两数和乘以它们的差的公式，会推导两数和乘以它们的差的公式，并能运用公式进行简单的计算. 2了解两数和乘以它们的差的公式的几何背景. 【过程与方法】 经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能正确应用. 【
13、情感态度】 形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性. 【教学重点】 对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算. 【教学难点】 理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点， 理解公式中字母的广泛含义， 代数推理能力的培养. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 王剑同学去商店买了单价是 9.8 元千克的糖块 10.2 千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96 元， 结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员惊讶地问： “这位同学， 你怎么算得这么快?” 王剑说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
14、你知道王剑用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了. 二、探索新知二、探索新知 归纳总结归纳总结 . 平方差公式的特征： （1）等式左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差. （2）等式右边是这两个数（字母）的平方差. 注：公式中的字母的意义很广泛公式中的字母的意义很广泛, ,可以代表常数、单项式或多项式可以代表常数、单项式或多项式 . . 几何解释几何解释 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： a a2 2b b2 2. . 三、掌握新知三、掌握新知 例1 1 计算：33 xx = ；baba3232= = ；3223aa= = . 解：2
15、23x 92x 2232ba 2294ba 2223a 249a 22)( )( bababa平方差公式例例 2 2 计算：19982002. 解：19982002 =（2000-2）（2000+2） =2222000 =4000000-4 =3999996. 例例 3 3 街心花园有一块边长为 a 米的正方形草坪，经统一规 划后，南北向增加 2 米，东西向减少 2 米.问改造后的长方形草坪的面积是多少. 解：. 四、巩固练习四、巩固练习 判断下列各式是否正确: 答案：(1)X (2)X (3) (4)X (5)X 五、归纳小结五、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）两数和乘以这两数差的几何意
16、义. （2）两数和乘以它们的差的公式结构及运算. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.3 中选取. 第第 2 2 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 使学生理解两数和(差)的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算. 【过程与方法】 经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 对两数和(差)的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算. 【教学难点】 对公式222
17、2bababa的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述，几何解释. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 (a+b)2 与(a+2b)2 等于多少？用拼图来说明. (a+b)2= a2 + 2ab + b2 (a+2b)2=a2 + 4ab +4 b2. . 二、探索新知二、探索新知 观察公式：它有什么特征呢？ 2222bababa； 222442bababa. 归纳总结归纳总结 两数和（差）的平方公式：两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍. 两数和的平方公式的特征： 1.左边是两数和的平方，右边可这样记：首平方，尾平方，首尾二倍在中央. 2.我们还可
18、以把公式形象的记为:2222. 这里的“”和“”可以是单项式或多项式. 三、三、掌握新知掌握新知 例 1 计算： (1) (2x+3)2 ；(2) (3m2n)2 注意：使用两数和（差）的平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与两数和（差）的平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b. 解：(1) (2x+3)2； (2) (3m2n)2. 例 2 计算: （1） (a+3b)2； (2) (2x+3y)2；（3） (-2x-y)2 ；（4）(a-b)2. 解：（1） (a+3b)2 四、巩固练习四、巩固练习 答案：3a-4b 24ab a2-2ab+b2 a2+2ab+b2
19、五、归纳小结五、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）运用两数和(差)的平方公式进行计算 （2）体验数学中相互转化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背景. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.3 中选取. 12.4 12.4 整式的除法整式的除法 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 理解单项式除以单项式的算理，发展有条理的思考及表达能力. 【过程与方法】 经历探索整式除法运算法则的过程，能进行简单的整式除法运算（单项式除以单项式），并且结果都是整式. 【情感态度】 经历探索整式除法运算法则的过程，能进行简单的整式除法运算（单项式除以
20、单项式），并且结果都是整式. 【教学重点】 掌握单项式除以单项式除法运算法则，并学会简单的整式除法运算. 【教学难点】 理解和体会单项式除以单项式的运算法则. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 计算下列各题, 并说说你的理由: (1) (x5y) x2；(2) (8m2n2) (2m2n) . 答案： (1)(1)(x5y) x2 =(x5x2 )y =x 5 2 y= x 3 y. 可以用类似于分数约分的方法来计算. 把除法式子写成分数形式，把幂写成乘积形式，约分. 二、探索新知二、探索新知 仔细观察一下，并分析与思考下列几点： 单项式除以单项式，其结果(商式)仍是一个单项式； 商
21、式的系数(被除式的系数) (除式的系数)； (同底数幂) 商的指数(被除式的指数) (除式的指数)； 被除式里单独有的幂，写在商里面作因式. 归纳总结归纳总结 单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 商式系数 同底的幂 被除式里单独有的幂. 三、三、掌握新知掌握新知 例例 计算：(1)24;3223abba (2);32132abcba 解：（1）242233abba =)(a324223bba ）（ =813a1 =8a2. (2) 21abcba332 cabcba213127)321（ 四、四、巩固练习巩固练
22、习 1.1.计算： (1) (10a4b3c2)(5a3bc)；(2) (2x2y)3(7xy2)(14x4y3)；(3) (2a+b)4(2a+b)2. 2.月球距离地球大约 3.84105千米, 一架飞机的速度约为 8102 千米/时. 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要多少时间 ? 答案：1.（1）2ab2c (2) -14x7y514x4y3=-x3y2 (3) (2a+b)2. 2.3.84105 ( 8102 )= 0.48103 =480(小时) =20(天) . 答：如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要 20 天时间. 五、归纳小结五、归纳小结 1.本节课要掌握：
23、 单项式除以单项式的运算法则. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.4 中选取. 第第 2 2 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 理解多项式除以单项式的算理，发展有条理的思考及表达能力. 【过程与方法】 经历探索整式除法运算法则的过程，能进行简单的整式除法运算，并且结果都是整式，充分应用“化归”思想. 【情感态度】 培养良好的合作意识，发展数学思维，体会数学的实际价值. 【教学重点】 掌握多项式除以单项式的运算法则及简单计算. 【教学难点】 对多项式除以单项式运算法则的理解. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 你能计算下列各题？说说你
24、的理由. （1）(ad+bd)d = _； （2）(a2b+3ab)a = _； （3）(xy32xy)(xy) = _. 逆用同分母的加法、约分：， ( ad+bd )d=(ad)d + (bd)d=a+b. 计算下列各题： （2）(a2b+3ab)a = _ab+3b_； （3）(xy32xy)(xy) = _y2 2_. 二、探索新知二、探索新知 你找到了多项式除以单项式的规律吗？ 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 三、掌握新知三、掌握新知 例例（1） （2） 解：（1） （2） xxxx3621549 bababacba272214322328
25、25336315393615932424xxxxxxxxxxxx四、巩固练习四、巩固练习 计算：（1） ； （2） ； （3） . 答案：答案：（1） ；（2）2；（3）yx2. 五、归纳小结五、归纳小结 1.本节课要掌握：多项式除以单项式的运算法则. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.4 中选取. 12.5 12.5 因式分解因式分解 教学目标教学目标 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系；使学生理解提公因式法及公式法并能熟练地运用两种方法分解因式. 【过程与方法】 因式分解的概念及提公因式法和公式法
26、；正确找出多项式各项的公因式；正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系. 【情感态度】 树立学生“化零为整”的“化归”的数学思想，培养学生完整地、辩证地看问题的思想；树立学生全面分析问题、认识问题的思想，提高学生的观察能力、分析问题及逆向思维的能力. 【教学重点】 掌握提公因式法、公式法进行因式分解. 【教学难点】 xyxyyx73422yx7374abbaba2)()(22yyxyxyx42222怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 数学中的游戏： 1.大家说出一个大于 1 的正整数. 2.写出它的立方减它的式子. 3.不通过计算，说出
27、这个式子能被那些正整数整除. 993-99 能被 100 整除吗？你是怎样想的?与同伴交流. 二、探索新知二、探索新知 做一做 计算下列各式: （1）3x(x-1)= 3x3x2 2 - - 3x3x； （2）m(a+b+c) = ma+mb+mcma+mb+mc； （3）(m+4)(m-4)= m m2 2 - -1616； （4）(x-3)2= x x2 2- -6x+96x+9； （5）a(a+1)(a-1)= a a3 3- -a a . . 根据上面的算式填空: (1) 3x2-3x= 3x(x3x(x- -1)1)； (2)ma+mb+mc= m(a+b+c)m(a+b+c)； (
28、3) m2-16=(m+4)(m(m+4)(m- -4)4)； (4) x2-6x+9=(x(x- -3)3)2 2； (5) a3-a=a(a+1)(aa(a+1)(a- -1)1). . 议一议议一议 由 a(a+1)(a-1)得到 a3-a 的变形是什么运算? 由 a3-a 得到 a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程. 因式分解的定义: 把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解. 想一想: 因式分解与整式乘法有何关系? 善于辨析：因式分解与整
29、式乘法有什么关系? 因式分解 探究探究 1 1： 探探 究究 2 2 二者是互逆的恒等变形. 因式分解的方法有提公因式法和公式法. 三、巩固练习三、巩固练习 1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2)2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4)x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6)m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7)2 R+ 2 r= 2 (R+r) 因式分解 2.把下列各式写成乘积的形式: (1
30、) 1-x2= (2) 4a2+4a+1= (3) 4x2-8x= (4) 2x2y-6xy2 = (5) 1-4x2= (6) x2-14x+49= 3. 计算：7652172352 17. 4.20042+2004 能被 2005 整除吗? 答案：1.(1) 因式分解 (2) 整式乘法 (3) 整式乘法 (4) 因式分解 (5) 整式乘法 (6) 因式分解 (7)因式分解 2.（1）(1+x)(1-x) （2）(2a+1)2 （3）4x(x-2) （4）2xy(x-3y) （5）(1-2x)(1+2x)（6）(x-7)2 3.7652172352 17 =17(7652 2352)=17(765+235)(765 235)=17 1000 530=9010000. 4.20042+2004=2004(2004+1)=2004 2005， 20042+2004 能被 2005 整除. 四、归纳小结四、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）因式分解与整式乘法是互逆过程. （2）因式分解要注意以下几点: a.分解的对象必须是多项式； b.分接的结果一定是几个整式的乘积的形式； c.要分解到不能分解为止. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 12.5 中选取.
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