1、第二十一章 一元二次方程主题一元二次方程课型新授课上课时间教学内容21.1一元二次方程;21.2解一元二次方程:21.2.1配方法;21.2.2公式法;21.2.3因式分解法;*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系;21.3实际问题与一元二次方程.教材分析一元二次方程是在一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本册书的重点内容.教学目标1.知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模
2、型的方法;熟练掌握应用以上知识解决问题.2.过程与方法(1)通过实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型,给出一元二次方程的概念.(2)结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等.(3)通过掌握直接开平方法,导入配方法解一元二次方程,又通过练习巩固配方法.(4)通过配方法导出解一元二次方程的求根公式,讨论求根公式的条件:b2-4ac0,=0,0时,方程有几个根?分别是什么?当p0时,方程有两个不相等实数根即x1=,x2=;当b2-4ac=0时,方程有两个相等实数根即x1=x2=;当b2-4ac0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根.当堂训练用公式法解下
3、列方程.(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2;(3)(x-2)(3x-5)=0;(4)4x2-3x+1=0.归纳小结1.易错点(1)注意化简方程为一般形式;(2)确定a,b,c的值时,应包括它的符号;(3)注意:一元二次方程若有根则必有两个;(4)求出的根应适当化简.2.用公式法解一元二次方程的步骤(1)整理:化为一般形式;(2)确定系数:准确写出各式系数;(3)计算:求出b2-4ac的值,确定方程根的情况;(4)代入:把有关数字代入求根公式;(5)定根:写出原方程的根.课题21.2.3因式分解法课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能掌握用因式分解法解一元二次方程.2.过程与方
4、法通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.3.情感、态度与价值观体会解决问题方法的多样性,体会数学逻辑推理的严密性.教学重难点重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.教学活动设计二次设计课堂导入(学生活动)解下列方程.(1)2x2+x=0(用配方法);(2)3x2+6x=0(用公式法).老师点评:(1)配方法将方程两边同除以2后,x前面的系数应为,的一半应为,因此,应加上2,同时减去2.(2)直接用公式求解.探索新知合作探究(老师提问)(1)上面
5、两个方程中有没有常数项?(2)等式左边的各项有没有共同因式?(学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解:2x2+x=x(2x+1),3x2+6x=3x(x+2).因此,上面两个方程可以写成:(1)x(2x+1)=0;(2)3x(x+2)=0.因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以x1=0,x2=-.(2)3x=0或x+2=0,所以x1=0,x2=-2.因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫
6、做因式分解法.【例1】 解方程:(1)4x2=11x;(2)(x-2)2=2x-4.【例2】 已知9a2-4b2=0,求代数式-的值.续表当堂训练用因式分解法解下列方程(1)(x-3)2-2x+6=0;(2)4(x-3)2-25x2=0;(3)(x+1)2-8(x+1)+16=0.归纳小结本节课要掌握:(1)用因式分解法,即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别:联系:降次,即它的解题的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.公式法是由配方法推导而得到.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方
7、程.区别:配方法要先配方,再开方求根.公式法直接利用公式求根.因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.板书设计21.2.3因式分解法教学反思课题*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式,能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和,两根之差.2.过程与方法通过韦达定理的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和
8、创新精神.3.情感、态度与价值观通过情境教学过程,激发学生的求知欲望,培养学生积极学习数学的态度.体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感,建立自信心.教学重难点重点:一元二次方程根与系数的关系.难点:让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系,并用语言表述.教学活动设计二次设计课堂导入一般地,对于关于x的方程x2+px+q=0(p,q为已知常数,p2-4q0),试用求根公式求出它的两个解x1,x2,算一算x1+x2,x1x2的值,你能得出什么结果?探索新知合作探究问题1:在方程ax2+bx+c=0(a0)中,a的取值决定什么?b2-4ac的取值呢?两根怎么求?同学们
9、可知道a,b,c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有没有其他关系?今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.问题2:解下列方程并填写下表:(1)x2-5x+6=0;(2)2x2+5x+3=0;(3)3x2-2x-8=0.填写下表一元二次方程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=02x2+5x+3=03x2-2x-8=0请观察上表,你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗?问题3:请根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1,x2与a,b,c之间的关系:、.问题4:你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明.分小组讨论以上的问题,
10、并作出推理证明.若方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=,x2=,则x1+x2=;x1x2=.续表当堂训练1.试一试:根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1,x2,k是常数)(1)2x2-3x+1=0,x1+x2=;x1x2=;(2)3x2+5x=0,x1+x2=;x1x2=;(3)-4x2+x+2=0,x1+x2=;x1x2=;(4)5x2+kx-6=0,x1+x2=;x1x2=.2.已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1,求它的另一个根及k的值.3.利用根与系数的关系,求一元二次方程3x2-3x-1=0的两个根的(1)平方和;(2)倒数和.归纳小结1.
11、易错点(1)代入公式前,先确定a,b,c的符号;(2)代入公式时,注意系数前的符号;(3)应用根与系数的关系前,确保一元二次方程有实根.2.常见的与两根有关的代数式变形(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(3)+=.板书设计*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学反思课题21.3实际问题与一元二次方程课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)以流感为问题背景,按一定传播速度逐步传播的问题;(2)以封面设计为问题背景,边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程刻画现实世界的模型作用.2.过程与方法通过自主探究,独立思
12、考与合作交流,使学生弄清实际问题的背景,挖掘隐藏的数量关系,把有关数量关系分析透彻,找出可以作为列方程依据的主要相等关系,正确建立一元二次方程.3.情感、态度与价值观在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.教学重难点重点:建立数学模型,找等量关系,列方程.难点:找等量关系,列方程.教学活动设计二次设计课堂导入某细菌利用二分裂方式繁殖,每次一个分裂成两个,那么五次繁殖后共有多少个细菌呢?探索新知合作探究一、课本19页探究1分析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.这里的一轮指一个传染周期.第一轮的传染源有几个人?第一轮后有几个人被传染了流感?包括传染源在内,共有几个人患着流感
13、?第二轮的传染源有几个人?第二轮后有几个人被传染了流感?包括第二轮的传染源在内,共有几个人患着流感?本题用来列方程的相等关系是什么?列出方程.拓展:课本思考.四轮呢?归纳:本题以流感为问题背景,讨论按一定传播速度逐步传播的问题,特别需要注意的是,在实际生活中,类似问题很多,比如细胞分裂,信息传播,传染病扩散,害虫繁殖等,一般就考虑两轮传播,这些问题有通性,在解题时有规律可循.二、课本20页探究3分析:正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同,是什么含义?上下边衬与左右边衬的宽度相等吗?如果不相等,应该有什么关系?若设正中央的长方形的长和宽分别为9a cm,7a cm,尝试表示边衬的长度,并探究上
14、下边衬与左右边衬的宽度的数量关系?续表探索新知合作探究“应如何设计四周边衬的宽度?”是要求四周边衬的宽度,除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比,设上下边衬宽与左右边衬宽.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为97,设正中央的长方形的长为9x cm,宽为7x cm.尝试列出方程.方程的两个根都是正数,但是它们不都是问题的解,需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际,这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.当堂训练1.从正方形铁片,截去2 cm宽的一条长方形,余下的面积是48 cm2,则原来的正方形铁片的面积是()(A)8 cm(B)64 cm(C)8 cm2(D)64 cm22.如图,是长方形鸡场
15、平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35 m,所围的面积为150 m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为.3.有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)4.在一块长12 m,宽8 m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8 m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?归纳小结1.在实际生活中有许多类似几何图形的问题,可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决.2.对于比较复杂的问题,可以通过设间接未知数的方法来列方程.板书设计第1课时传播类、面积类问
16、题1.传播问题2.面积类问题教学反思课题21.3实际问题与一元二次方程课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.(2)能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2.过程与方法(1)经历将实际问题抽象为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能用一元二次方程对之进行描述.(2)体验解决问题的多样性,发展实践应用意识.3.情感、态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,提高学生学习数学的兴趣.教学重难点重点:列一元二次方程解实际问题.难点:发现问题中的等量关系.教学
17、活动设计二次设计课堂导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?探索新知合作探究(学生活动)请同学们独立完成下面的题目.问题:某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元?老师点评:总利润=每件平均利润总件数.设每张贺年卡应降价x元,则每件平均利润应是(0
18、.3-x)元,总件数应是500+100经分析一种贺年卡原来平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了减少库存降价销售,并知每降价0.1元,便可多售出100张,为了达到某个目的,每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其他东西,量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系.【例1】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡,甲种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,乙种贺年卡平均每天可售出200张,每张盈利0.75元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元,那么商场平均每天可多售出100张;如果乙种贺年卡
19、的售价每降价0.25元,那么商场平均每天可多售出34张.如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元,那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大.续表探索新知合作探究(学生活动)【例2】 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元,生产1 t乙种药品的成本是6 000元,随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元,生产1 t乙种药品的成本是3 600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评:绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5 000-3 000)2=1 000元,乙种药品成本的年平均下降额为(6 000-3 600)2=1 200元,显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相
20、对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.当堂训练新华商场销售甲、乙两种冰箱,甲种冰箱每台进货价为2 500元,市场调研表明:当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.乙种冰箱每台进货价为2 000元,市场调研表明:当销售价为2 500元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低45元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,那么两种冰箱的定价应各是多少?归纳小结1.平均变化率:若增长(或降低)前的数量为a,以后每次
21、的平均增长(或降低)率为x,则第二次增长(或降低)后的数量为a(1+x)2(或a(1-x)2).2.销售问题:总利润=每个利润销售量.板书设计第2课时平均增长率、销售类问题教学反思第二十二章 二次函数主题二次函数课型新授课上课时间教学内容22.1二次函数的图象和性质:22.1.1二次函数;22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质;22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质;22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质;22.2二次函数与一元二次方程;22.3实际问题与二次函数.教材分析二次函数的图象是它性质的直观体现,对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势,二次函数
22、作为初中阶段学习的重要函数模型,对理解函数的性质,掌握研究函数的方法,体会函数的思想是十分重要的.教学目标1.知识与技能(1)正确理解二次函数的概念,了解函数产生的背景,在原有的函数知识的基础上学习和掌握二次函数的概念和性质,能利用二次函数刻画事物的变化规律.(2)理解二次函数的意义,掌握二次函数的概念、图象和性质,知道二次函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.(3)理解一元二次方程与二次函数之间的关系,会利用函数图象求一些简单二次方程的近似解,了解二次函数模型及其意义,能准确、清晰、有条理地表述问题,会用二次函数知识分析问题,解决问题,使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具.2.过
23、程与方法(1)培养学生的理性思维能力,辩证思维能力,分析问题和解决问题的能力,创新意识与探究能力,数学建模能力以及数学交流能力.(2)通过现代信息技术的合理应用,教师在教学中适度地使用信息技术描绘函数图象,动态地变换函数图象,让学生体会到信息技术是认识世界的有效手段和工具.3.情感、态度与价值观要使学生体验数学的文化价值,使学生感受数学美,培养学生利用运动变化的观点观察事物,进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观.教学重难点重点:1.理解和掌握二次函数的图象与性质.2.会画二次函数图象,会观察函数图象.3.借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题.难点:体会二次函数学习过程中所蕴
24、涵的数学思想方法,函数图象的特征和变换以及二次函数性质的灵活应用.知识结构课题22.1.1二次函数课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念,能够表示简单变量之间的二次函数关系,能应用二次函数的相关知识解决简单的问题.2.过程与方法经历探索具体问题中变量间的关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界有效的数学模型.3.情感、态度与价值观体会数学与生活的联系,锻炼学生的理性思维,体会通过探究学习新知识的乐趣.教学重难点重点:理解二次函数的有关概念,能应用二次函数的相关知识解决简单的问题.难点:将简单的实际问题转化为二次函数的模型.教学活动设计二次设
25、计课堂导入正方体的六个面是全等的正方形,设棱长为x,表面积为y.如果改变棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?教师引导学生思考问题,列出方程.导入新课的教学.探索新知合作探究显然,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2.问题1:n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系?问题2:某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?思考:函数y=6x2,m=n2-n,y=20
26、x2+40x+40有什么共同特点?在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.当堂训练1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=5x+1(2)y=4x2-1(3)y=2x3-3x2(4)y=5x4-3x+12.课本P29练习第1,2题.归纳小结1.叙述二次函数的定义.2.联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式.板书设计22.1.1二次函数教学反思课题22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课时1课时上课时间教学
27、目标1.知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象,并根据图象认识和理解其性质.2.过程与方法使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.3.情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中,体会数形结合与转化,体会数学内在的美感.教学重难点重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.难点:用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质.教学活动设计二次设计课堂导入1.同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2.我们能否类
28、比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象)3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?探索新知合作探究一、举例【例题】 画二次函数y=ax2的图象.提问:观察这个函数的图象,它有什么特点?让学生观察、思考、讨论、交流,归结为它有一条对称轴,且对称轴和图象有一个交点.抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线.顶点概念:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.二、探究规律1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?2.在同
29、一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?对于1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点.两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论、交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x2的图象开口向上,函数y=-x2的图象开口向下.对于2,教师要继续巡视,指导学生画函数图象,两个函数的图象的特点;教师可引导学生类比1得出.对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论:四个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0).续表探索新知合作探究三、归纳、概括函数y=x2,y=-x2,y=2x2,y=-2x2是函数y=ax2的特例,由它们图象的共同特点,可猜想:函数y=ax2的图象是一条,它关于对称,它的顶点坐标是.如果要更细
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