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    2020-2021学年天津市四校联考高一下期末数学试卷(含答案详解)

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    2020-2021学年天津市四校联考高一下期末数学试卷(含答案详解)

    1、2020-2021学年天津市四校联考高一(下)期末数学试卷一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共计45分每小题有且仅有一项符合题目要求1(5分)已知是虚数单位,则复数的共轭复数为ABCD2(5分)在中,则ABC或D或3(5分)已知水平放置的按斜二测画法,得到如图所示的直观图,其中,那么的周长为A6BCD4(5分)某校高一年级开展英语百词测试,现从中抽取100名学生进行成绩统计将所得成绩分成5组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,并绘制成如图所示的频率分布直方图则第4组的学生人数为A20B30C40D505(5分)设,为不重合的平面,为不重合的直线,则其中正确命题的序号为,则;,则;,

    2、则;,则ABCD6(5分)在平行四边形中,与交于点,的延长线与交于点若,则ABCD7(5分)已知直三棱柱的各棱长均相等,体积为,为中点,则点到平面的距离为ABCD8(5分)下列四个命题正确的个数为抛掷两枚质地均匀的骰子,则向上点数之和不小于10的概率为;现有7名同学的体重(公斤)数据如下:50,55,45,60,68,65,70,则这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为65;新高考改革实行“”模式,某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考,则选出的两科中含有政治学科的概率为A3B2C1D09(5分)已知是三角形的外心,若,且,则实数的最大值为A3BCD二、填空题:本

    3、大题共6小题,每小题5分,共30分第15题第一个空2分,第二个空3分10(5分)已知平行四边形,则点的坐标为 11(5分)将圆心角为,半径为8的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 12(5分)记的面积为,且满足,则的值为 13(5分)甲参加猜成语比赛,假定甲每轮获胜的概率都是,且各轮比赛结果互不影响,则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为 14(5分)已知正四棱锥中,底面边长为2,侧面积为,若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上,则球的体积为 15(5分)在中,则,延长交于点,点在边上,则的最小值为 三、解答题:本大题共5小题,共75分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步

    4、骤,只有结果的不给分16(14分)已知平面向量,满足,(1)若,求的坐标;(2)若,求的值;(3)若在上的投影向量为,求与的夹角17(14分)在中,角,所对的边分别为,且()求角的大小;()若的外接圆半径,求的面积18(15分)已知的内角,的对边分别为,(1)求角的大小;(2)若角为锐角,求19(16分)如图,三棱柱,侧面底面,侧棱,点、分别是棱、的中点,点为棱上一点,且满足,(1)求证:平面;(2)求证:;(3)求直线与平面所成角的余弦值20(16分)如图,平面四边形中,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且(1)若为棱中点,求异面直线与所成角的余弦值;(2)证明:平面平面;(3)求二面角的平

    5、面角的正弦值参考答案解析一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共计45分每小题有且仅有一项符合题目要求1(5分)已知是虚数单位,则复数的共轭复数为ABCD【分析】先利用复数的除法运算求助复数,再利用共轭复数的定义求解即可【解答】解:因为,所以共轭复数为故选:【点评】本题考查了复数的除法运算,共轭复数定义的应用,考查了运算能力,属于基础题2(5分)在中,则ABC或D或【分析】由已知利用正弦定理可得,根据大边对大角可求,利用特殊角的三角函数值即可求解的值【解答】解:因为,所以由正弦定理,可得,解得,因为,可得,则故选:【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,特殊角的三角函数值在解三角形中的应

    6、用,考查了转化思想,属于基础题3(5分)已知水平放置的按斜二测画法,得到如图所示的直观图,其中,那么的周长为A6BCD【分析】利用斜二测画法的规则,求出原中的信息,求解周长即可【解答】解:由直观图中,可得中,因为,则又底边,所以的周长为故选:【点评】本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用,其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键,考查了数形结合思想的应用,属于基础题4(5分)某校高一年级开展英语百词测试,现从中抽取100名学生进行成绩统计将所得成绩分成5组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,并绘制成如图所示的频率分布直方图则第4组的学生人数为A20B30C40D50【分析】根据直方图中各

    7、区间所对应的频率和为1,可推得第4组,频率,再结合样本容量100,即可求解【解答】解:由图可得,解得,第四组的人数为故选:【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率、频数与样本容量的应用问题,属于基础题5(5分)设,为不重合的平面,为不重合的直线,则其中正确命题的序号为,则;,则;,则;,则ABCD【分析】由直线与平面平行、平面与平面平行的关系判断;由两平面平行分析两平面中直线的位置关系判断;由线面垂直与面面垂直的关系分析;由直线与平面垂直的性质及面面垂直的判定判断【解答】解:若,则或,故错误;若,则或与异面,故错误;若,则或,又,则,故正确;若,则,又,可得,故正确故选:【点评

    8、】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能力,是基础题6(5分)在平行四边形中,与交于点,的延长线与交于点若,则ABCD【分析】,根据和可得,结合,可解决此题【解答】解:如图所示:由得,由得,又,故选:【点评】本题考查平面向量共线定理,考查数学运算能力及直观想象能力,属于中档题7(5分)已知直三棱柱的各棱长均相等,体积为,为中点,则点到平面的距离为ABCD【分析】利用直棱柱的体积公式求出棱长,点到平面的距离为,由等体积法,求解即可【解答】解:直三棱柱的各棱长均相等,设棱长为,因为体积为,则,解得,设点到平面的距离为,因为,则,由等体积法,即,即,

    9、解得,故点到平面的距离为故选:【点评】本题考查了点到平面距离的求解,涉及了直棱柱体积公式的应用,等体积法是求解点到平面的距离的常用方法,属于中档题8(5分)下列四个命题正确的个数为抛掷两枚质地均匀的骰子,则向上点数之和不小于10的概率为;现有7名同学的体重(公斤)数据如下:50,55,45,60,68,65,70,则这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为65;新高考改革实行“”模式,某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考,则选出的两科中含有政治学科的概率为A3B2C1D0【分析】:根据古典概型的概率计算公式即可求解;:根据百分位数的求解公式即可求解【解答】解:抛掷

    10、两枚质地均匀的骰子,总的基本事件数为种,向上点数之和不小于10的基本事件有,共6种,所以所求事件的概率,故正确,:因为,所以这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为68,故错误,:从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为,选出的两科中含有政治学科的基本事件有(政治,地理),(政治,生物),(政治,化学)共3种,所以所求事件的概率,故正确,故选:【点评】本题考查了命题的真假判断,涉及到古典概型的概率计算公式以及百分位数的求解,考查了学生的运算转化能力,属于中档题9(5分)已知是三角形的外心,若,且,则实数的最大值为A3BCD【分析】设,由得,化简得,由是三角形的外

    11、心可知,是三边中垂线交点,得,根据题意知,是三角形外接圆的半径,可得,代入,得,结合前面等式得关于、的表达式,再用基本不等式可解决此题【解答】解:如图所示:设,由得,化简得,由是三角形的外心可知,是三边中垂线交点,得,代入上式得,根据题意知,是三角形外接圆的半径,可得,代入,得,当且仅当“”时,等号成立故选:【点评】本题考查平面向量数量积性质及基本不等式应用,考查数学运算能力,属于难题二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分第15题第一个空2分,第二个空3分10(5分)已知平行四边形,则点的坐标为 【分析】设点的坐标为,根据列方程组求出、的值【解答】解:平行四边形中,设点的坐标为,由,

    12、得,解得,所以故答案为:【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题,是基础题11(5分)将圆心角为,半径为8的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 【分析】设母线长为,底面半径为,利用侧面展开图,求出圆心角,然后求出底面半径,即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值【解答】解:设母线长为,底面半径为,则依题意易知,由,代入数据即可得,因此所求角的余弦值即为故答案为:【点评】本题是基础题,考查圆锥的侧面展开图,扇形的知识,圆锥的母线与底面所成的角,考查计算能力12(5分)记的面积为,且满足,则的值为 【分析】由三角形的面积公式及平面向量的数量积公式代入化简,再由同角三角关系式求

    13、解即可【解答】解:,且,故答案为:【点评】本题考查了平面向量的数量积公式应用及三角函数的应用,属于基础题13(5分)甲参加猜成语比赛,假定甲每轮获胜的概率都是,且各轮比赛结果互不影响,则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式列式求解即可【解答】解:由题意,甲每轮获胜的概率都是,且各轮比赛结果互不影响,所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为故答案为:【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题14(5分)已知正四棱锥中,底面边长为2,侧面积为,若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上,则球的体积为 【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长,求出

    14、正四棱锥的高,球心在高所在直线上,利用勾股定理求半径,则球的体积可求【解答】解:设正四棱锥的侧棱长为,又侧面积为,解得,正四棱锥的高,正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上,如图,设球的半径为,则,解得,则球的体积为故答案为:【点评】本题主要考查正四棱锥的性质,直四棱锥的体积与其外接球的体积,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题15(5分)在中,则,延长交于点,点在边上,则的最小值为 【分析】用,求得,即可求得,建立平面直角坐标系,设,即可求得的最小值【解答】解:由,可得由,可得,则如图建立平面直角坐标系,可得,设,为中点,时,最小,最小值为答案为:,【点评】本题考查

    15、了平面向量的线性、数量积的运算,考查了转化思想,属于中档题三、解答题:本大题共5小题,共75分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤,只有结果的不给分16(14分)已知平面向量,满足,(1)若,求的坐标;(2)若,求的值;(3)若在上的投影向量为,求与的夹角【分析】(1)由向量平行设,再由模公式求得,(2)由垂直得,化简得,从而整体代入求,(3)设与的夹角为,由投影向量的定义的得,从而解得【解答】解:(1)由题意设,解得,即,或,(2),即,即,故,(3)设与的夹角为,则,即,即,【点评】本题考查了平面向量的应用,重点考查了平行与垂直的应用,同时考查了整体思想与待定系数法的应用,属于中

    16、档题17(14分)在中,角,所对的边分别为,且()求角的大小;()若的外接圆半径,求的面积【分析】()由正弦定理,两角和的正弦公式,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值,结合范围,可求的值()由题意利用正弦定理可求的值,根据余弦定理可求的值,进而根据三角形的面积公式即可求解【解答】解:()因为,由正弦定理可得,又,所以,即,因为,所以,即,因为,所以()因为,的外接圆半径,所以由,可得,因为,由余弦定理,可得,即,解得,(负值舍去),所以的面积【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦公式,同角三角函数基本关系式,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,

    17、属于基础题18(15分)已知的内角,的对边分别为,(1)求角的大小;(2)若角为锐角,求【分析】(1)由正弦定理,余弦定理化简已知等式,结合,可得的值,结合范围,可得的值(2)由题意可得,设,可得,在中,由余弦定理可得,又,利用余弦定理可得,联立解得,解方程可得的值【解答】解:(1)因为,所以由正弦定理可得,又,所以可得,又,所以,或(2)若角为锐角,则,又,设,可得,在中,由余弦定理可得,又,所以,整理可得,由联立解得,解方程可得,或(舍去)【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和方程思想的应用,属于中档题19(16分)如图,三棱柱,侧面底面,侧棱,点

    18、、分别是棱、的中点,点为棱上一点,且满足,(1)求证:平面;(2)求证:;(3)求直线与平面所成角的余弦值【分析】(1)设,连接,利用中位线定理可证明四边形为平行四边形,则,由线面平行的判定定理证明即可;(2)利用已知的边角关系可得,由面面垂直的性质定理可得平面,即可证明结论;(3)先利用线面垂直的判定定理证明平面,可得为与平面所成的角,然后在三角形中,由边角关系求解即可【解答】(1)证明:设,连接,因为,分别为,的中点,则,因为为的中点,所以,且,所以,则四边形为平行四边形,故,因为平面,平面,故平面;(2)证明:因为,所以,即,因为平面平面,且平面平面,所以平面,又平面,故;(3)解:因为

    19、,又,平面,故平面,连接,则为在平面内的射影,所以为与平面所成的角,因为,且,所以,在中,所以,则,所以,故,所以直线与平面所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,空间角的计算,在使用几何法求线面角时,可通过已知条件,在斜线上取一点作该平面的垂线,找出该斜线在平面内的射影,通过解直角三角形求得,属于中档题20(16分)如图,平面四边形中,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且(1)若为棱中点,求异面直线与所成角的余弦值;(2)证明:平面平面;(3)求二面角的平面角的正弦值【分析】(1)取的中点,连接,利用异面直线的定义,得到即为异面直线与所成的角,

    20、在三角形中利用边角关系求解即可;(2)利用线面垂直的判定定理证明平面,由面面垂直的判定定理证明即可;(3)在平面内,过点,连接,利用二面角的平面角的定义可得,即为二面角的平面角,在三角形中利用边角关系求解即可【解答】(1)解:取的中点,连接,因为为的中点,则,则即为异面直线与所成的角,在中,则,所以为直角三角形,则,在中,由余弦定理可得,故异面直线与所成角的余弦值为;(2)证明:由(1)可知,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;(3)解:在平面内,过点,连接,由(2)可知,平面平面,又平面平面,所以平面,因为,由三垂线定理可得,则即为二面角的平面角,在中,由余弦定理可得,在中,所以,则,在等腰中,在中,故二面角的平面角的正弦值为【点评】本题考查了翻折问题,异面直线所成角的求解,二面角的求解,面面垂直的判定,对于几何法求解空间角问题,解题的关键是利用定义找到对应的角,考查了逻辑推理能力与空间想象能力,属于中档题


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