1、2020-2021学年天津市滨海新区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.1（5分）是虚数单位，则ABCD2（5分）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为ABCD3（5分）经过同一条直线上的3个点的平面A有且仅有1个B有无数个C不存在D有且仅有3个4（5分）若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数为A7.5B8C8.5D95（5分）已知，为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中不正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则6（5分）已知
2、为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为ABCD7（5分）是虚数单位若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8（5分）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是ABCD9（5分）甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶6次，每次命中的环数如表：甲849579乙877877则下列说法正确的是A乙比甲射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定B乙比甲射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定C甲比乙射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定D甲比乙射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定10（5分）空气质量指数是反映空气质量状况的指数
3、，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”如图所示的是某市4月1日日空气质量指数变化的折线图，则下列说法中错误的是A这20天中空气质量最好的是4月17日B这20天空气质量指数的极差是240C总体来说，该市4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好D从这20天的空气质量指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优良”的概率是0.511（5分）已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为ABC，D12（5分）如图，矩形中，为边的中点将沿直线翻折成平面若在线段上（点与，不重合），则在翻折过程中，给出下列判断：当为线段中点时，为定值；存在某个位置，使；当四棱锥体积最大时
4、，点到平面的距离为；当二面角的大小为时，异面直线与所成角的余弦值为其中判断正确的个数为A1B2C3D4二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13（5分）是虚数单位若复数，则14（5分）已知向量，且，则的值为 15（5分）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 16（5分）对于事件与事件，已知（A），（B），如果，则17（5分）某市供电部门为了解节能减排以来本市居民的用电量情况，通过抽样，获得了1000户居民月平均用电量（单位：度），将数据按照，分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图则频率分布直方图中的值为 ；根据频率分布直方图近似估计抽取的这1000户居民月用电量的中位数为
5、（精确到18（5分）甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人能否达标互不影响（）两人都达标的概率为 ；（）至少有一人达标的概率为 19（5分）立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著九章算术商功，在九章算术商功中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图1再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图2现有一四面体，已知，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可得这个
6、四面体的体积为 ；该四面体的外接球的表面积为 20（5分）已知四边形，且（）；（）若，动点在线段上，则的最大值为 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21（12分）在中，角，所对的边分别为，已知，（）求角的大小；（）求的值22（12分）垃圾分类，人人有责年12月1日，天津市正式实施天津市生活垃圾管理条例，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动（）应从高一、高二、高三3个年级的
7、环保社团志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的4名同学分别用，表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言（）写出这个试验的样本空间；（）设事件 “抽取的2名同学来自不同年级”，求事件发生的概率23（13分）如图，在正三棱柱中，平面，是的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值24（13分）在中，已知内角，所对的边分别为，向量，向量，且（）求角的大小；（）若，求的取值范围；（）若的内切圆的周长为，当的值最小时，求的面积参考答案解析一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的
8、答题栏内.1（5分）是虚数单位，则ABCD【分析】利用复数的除法运算法则化简即可求解【解答】解：因为，故选：【点评】本题考查了复数的除法运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题2（5分）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为ABCD【分析】由题意利用事件发生的频率和概率的定义，得出结论【解答】解：某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率为由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，故出现正面朝上的概率为，故选：【点评】本题主要考查事件发生的频率
9、和概率的定义，属于基础题3（5分）经过同一条直线上的3个点的平面A有且仅有1个B有无数个C不存在D有且仅有3个【分析】在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件【解答】解：空间上不在同一条直线上的三个点确定一个平面在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件，所以有无数个平面故选：【点评】本题考查平面的基本性质，是基础题4（5分）若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数为A7.5B8C8.5D9【分析】根据百分位数的定义，计算，把这组数据按从小到大顺序排列后的8个数即为所求
10、【解答】解：因为，所以数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10的分位数是第8个数，为8故选：【点评】本题考查了百分位数的定义与应用问题，是基础题5（5分）已知，为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中不正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【分析】由直线与平面垂直的性质判断与；由直线与直线、直线与平面平行分析；由直线与平面垂直、直线与平面平行的关系分析【解答】解：若，由直线与平面垂直的性质可得，故正确；若，由直线与平面垂直的性质可得，故正确；若，则或，故不正确；若，则垂直于平行的所有直线，又，则，故正确故选：【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判
11、定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题6（5分）已知为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为ABCD【分析】通过投影公式进行计算即可【解答】解：由定义可得向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量为，故选：【点评】本题考查投影向量的定义，考查平面向量数量积运算公式，属于基础题7（5分）是虚数单位若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由复数为纯虚数可求得值，然后可判断复数在复平面内对应的点位于哪一象限【解答】解：复数为纯虚数，且，解得，在复平面内对应的点位于第四象限故选：【点评】本题考查复数表示方法及几何意义，考查数
12、学运算能力，属于基础题8（5分）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是ABCD【分析】利用圆柱与侧面展开图的关系，先求出圆柱的底面半径以及母线长，然后由圆柱的表面积公式求解即可【解答】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，解得，所以圆柱的表面积是故选：【点评】本题考查了旋转体的应用，主要考查了圆柱的几何性质的运用，圆柱与侧面展开图之间关系的运用，圆柱的表面积公式的应用，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题9（5分）甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶6次，每次命中的环数如表：甲849579乙877877则下列说法正确的是A
13、乙比甲射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定B乙比甲射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定C甲比乙射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定D甲比乙射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定【分析】分别求出甲乙成绩的平均数和方差，分别比较平均数和方差的大小即可得出答案【解答】解：，因为，所以乙比甲射击的平均成绩高，又因为，所以乙比甲射击的成绩稳定故选：【点评】本题主要考查平均数与方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题10（5分）空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”如图所示的是某市4月1日日空气质量指数变化的折线图，则下列说法中
14、错误的是A这20天中空气质量最好的是4月17日B这20天空气质量指数的极差是240C总体来说，该市4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好D从这20天的空气质量指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优良”的概率是0.5【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由折线图可知，4月17日质量指数为20，是这20天中的最低，故选项正确；由折线图可知，这20天中天气质量指数的最大值是260，最小值是20，极差是240，故选项正确；由折线图可知，前10天的天气质量指数高于后10天，故选项错误；由折线图可知，这20天中空气质量为“优良”的天数为10天，所以空气
15、质量为“优良”的概率是0.5，故选项正确故选：【点评】本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题11（5分）已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为ABC，D【分析】根据条件，可知若起点相同，则终点共线，利用数形结合法求解即可【解答】解：如图，设则，故，因为，其中，则若起点相同，则终点共线，即在直线上，所以当时，最小为1，无最大值，故的取值范围为，故选：【点评】本题考查了平面向量的应用，主要考查了三点共线与向量之间的关系，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与数形结合法的应用，属于中档题12（5分）如图，矩形中，为边的中点将沿直线翻折成平面若在
16、线段上（点与，不重合），则在翻折过程中，给出下列判断：当为线段中点时，为定值；存在某个位置，使；当四棱锥体积最大时，点到平面的距离为；当二面角的大小为时，异面直线与所成角的余弦值为其中判断正确的个数为A1B2C3D4【分析】利用余弦定理判断；用线线垂直判断；由垂线段判断；由二面角与线线角公式判断【解答】解：在矩形中，不妨令，则取的中点，连接，因为且为定值，（定值），所以的长为定值，故正确；假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接，显然，而，所以平面，因为平面，所以，进而有，但，不可能相等，所以不可能有，故错误；由题意可得，是等腰直角三角形，点到的距离是，当平面平面时，四棱锥体积最大，点到平面
17、的距离为，故正确；二面角的平面角为，当二面角的大小为时，又，所以，因为异面直线与所成的角为，所以，故错误综上可知，正确的有2个，故选：【点评】本题考查立体几何线面的位置关系，角余弦的计算，解题中需要理清思路，属于中档题二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13（5分）是虚数单位若复数，则5【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数模的计算公式，即可求解【解答】解：复数，故答案为：5【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数模的运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题14（5分）已知向量，且，则的值为 【分析】根据可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值【解答】解：，解得故答案
18、为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题15（5分）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 【分析】由异面直线所成角的定义结合正方体的性质，得或其补角即为直线和所成的角，由此不难得出所求异面直线所成角的大小【解答】解：，直线与所成的锐角或直角就是直线和所成的角，与所成的角大小是故答案为：【点评】本题在正方体中，找出异面直线的对数并求直线和所成的角的大小着重考查了正方体的性质和异面直线所成角求法等知识，属于基础题16（5分）对于事件与事件，已知（A），（B），如果，则0.2【分析】利用，得到，即可求解【解答】解：，（B），故答案为：0.2【点
19、评】本题考查概率的求法，考查事件的包含关系，是基础题17（5分）某市供电部门为了解节能减排以来本市居民的用电量情况，通过抽样，获得了1000户居民月平均用电量（单位：度），将数据按照，分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图则频率分布直方图中的值为 0.0044；根据频率分布直方图近似估计抽取的这1000户居民月用电量的中位数为 （精确到【分析】由频率之和为1，列式求解的值即可；利用频率分布直方图中中位数的求解方法计算即可【解答】解：由频率分布直方图可得，解得；由于前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则有，解得，所以中位数为183.3故答案为：0.0044；
20、183.3【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率、中位数、众数、平均数的求解方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题18（5分）甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人能否达标互不影响（）两人都达标的概率为 ；（）至少有一人达标的概率为 【分析】利用相互独立事件概率计算公式能求出两人都能达标的概率，利用对立事件概率计算公式能求出两人中至少有一人能达标的概率【解答】解：甲、乙两名同学参加某项测试，两人能否达标互不影响，且甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人都达标的概率是，至少有一人能达标的对立事件为两人都未达标，至少有一人达标的概率为
21、故答案为：，【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（5分）立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著九章算术商功，在九章算术商功中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图1再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图2现有一四面体，已知，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可得这个四面体的体积为 ；该四面体的外
22、接球的表面积为 【分析】根据题意可知“鳖臑”的由来是将长方体分解为一半，得到三棱柱，再把三棱柱分解出一半可得，把四面体还原成长方体，即可求解体积及四面体外接球的半径，从而可得球的表面积【解答】解：把四面体还原成长方体如图，四面体的体积；四面体的外接球就是长方体的外接球，设外接球的半径为，则，即，四面体外接球的表面积故答案为：；【点评】本题考查多面体的体积及外接球表面积的求法，训练了分割补形法，考查运算求解能力，是中档题20（5分）已知四边形，且（）；（）若，动点在线段上，则的最大值为 【分析】（）由已知求出角，根据已知条件可得四边形为直角梯形，进而求出的值；（）以点为坐标原点，以，所在的直线为
23、，轴建立平面直角坐标系，求出点，的坐标，然后求出直线的方程，设出点的坐标，根据向量的数量积的运算公式以及二次函数的性质即可求解【解答】解：（）由，可得，又由，可得，由，可得，则四边形为直角梯形，如图所示：过点作，因为，且，所以四边形为正方形，则，在中，所以，所以，则；（）如图所示，以点为坐标原点，以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，则，因为，所以，直线的方程为，则可设，所以，因为，所以当时，的最大值为，故答案为：（）；（）【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算性质，涉及到二次函数的性质，考查了运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
24、.21（12分）在中，角，所对的边分别为，已知，（）求角的大小；（）求的值【分析】（）由已知利用余弦定理可得的值，结合范围，可得的值（）由（）可，进而利用正弦定理可得的值【解答】解：（）因为，所以由余弦定理可得，因为，所以（）由（）可，利用正弦定理，可得【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题22（12分）垃圾分类，人人有责年12月1日，天津市正式实施天津市生活垃圾管理条例，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15现按年级进行分层，采用比例分配的分
25、层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动（）应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的4名同学分别用，表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言（）写出这个试验的样本空间；（）设事件 “抽取的2名同学来自不同年级”，求事件发生的概率【分析】（）求出抽样比，即可得到答案；（）（）利用列举法写出样本空间；（）列举法求出事件所包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式求解即可【解答】解：（）设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为，由分层抽样，则，所以，故从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人，1人，1人；
26、（）（）样本空间为，共有12个基本事件，每个基本事件都是等可能发生的；（）不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是，来自高二年级的是，来自高三年级的是，则，共有10个基本事件，所以事件发生的概率为【点评】本题考查了抽样方法的应用，古典概率问题的求解，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题23（13分）如图，在正三棱柱中，平面，是的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【分析】（）连接交于点，连接，根据是的中位线可得，再由线面平行的判定可得平面；（）证明平面，即可证明平面平面；（）由（）知，平面平面，在平面中，过作，可得平面，连接，得为
27、直线与平面所成角，设，求解三角形得答案【解答】（）证明：连接交于点，连接在正三棱柱中，侧面是正方形，则点是的中点，又点是的中点，故是的中位线，又平面，平面，平面；（）证明：平面，平面，可得，又，为的中点，而，平面，平面，平面平面；（）解：由（）知，平面平面，又平面，在平面中，过作，可得平面，连接，为直线与平面所成角，设，在中，求得，即直线与平面所成角的正弦值为【点评】本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题24（13分）在中，已知内角，所对的边分别为，向量，向量，且（）求角的大小；（）若，求的取值范围；（）若的内切圆的周长
28、为，当的值最小时，求的面积【分析】（）结合题意得，进而求出角的大小；（）利用正弦定理把，用来表示，即，再结合三角函数的图象与性质可求的取值范围；（）根据内切圆周长求出内切圆半径，进而得到，再结合余弦定理与基本不等式可以求的最小值，再利用取等条件求的面积【解答】解：，即，为钝角，从而，由正弦定理得，由余弦定理得，由题意可知的内切圆周长，解得内切圆半径，如图，设圆为三角形内切圆圆心，为切点，可知，又，可得，因为，所以，化简得（当且仅当时等号成立），即，或，又，即，当且仅当时，的值最小为24，此时三角形 的面积：【点评】本题考查平面向量数量积，考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数最值，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题
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