1、第二十四章 圆一、单选题1如图1，一个扇形纸片的圆心角为90，半径为6如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为()A6B69C12D2如图，O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与O的位置关系是()A在O内B在O上C在O外D以上都有可能3以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内O上的一点，若DAB25，则OCD（）A50B40C70D304如图，ABC内接于O，A50E是边BC的中点，连接OE并延长，交O于点D，连接BD，则D的大小为（）A55B65C6
2、0D755如图，在等腰RtABC中，ACBC，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）ABCD26如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）ABCD7如图，O是RtABC的外接圆，ACB90，过点C作O的切线，交AB的延长线于点D设A，D，则（）AB+90C2+90D+2908如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A2BCD9下列说法正确的是（）近似数精确到十分位；在，中，最小的是；如图所示，在数轴上点所表示的数为；用反证法证明命题“一个三
3、角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；如图，在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点A1B2C3D410如图，在中，以点为圆心，为半径的圆与所在直线的位置关系是（）A相交B相离C相切D无法判断二、填空题11如图，抛物线的图象与坐标轴交于点、，顶点为，以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是_12如图，AB为圆O的切线，点A为切点，OB交圆O于点C，点D在圆O上，连接AD、CD、OA，若ADC=25，则B的度数为_13如图，正八边形ABCDEFGH内接于O，点P是上的任意一点，则CPE
4、的度数为_14如图，四边形内接于，若，则_ 15如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为_16如图 1 是台湾某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图 2 所示，盒子上方是一段圆弧（弧 MN ）.D，E 为手提带的固定点， DE 与弧MN 所在的圆相切，DE=2.手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与弧MN 交于点 F，G.若CDE 是等腰直角三角形，且点 C，F 到盒子底部 AB 的距离分别为 1， ，则弧MN 所在的圆的半径为_ 17圆锥形冰淇淋的母线长是12cm，侧面积是60cm2，则底面圆的半径长等于_三、解答题18如图已知
5、抛物线的图象与轴交于、两点（在的左侧），与的正半轴交于点，连结；二次函数的对称轴与轴的交点.（1）抛物线的对称轴与轴的交点坐标为，点的坐标为_（2）若以为圆心的圆与轴和直线都相切，试求出抛物线的解析式：（3）在（2）的条件下，如图是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为，在图中探究：是否存在点，使得恰好落在轴上？若存在，请求出的坐标：若不存在，请说明理由.19如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，延长CA交O于点E连接ED交AB于点F（1）求证：CDE是等腰三角形（2）当CD：AC2：时，求的值20（1）如图，在ABC中，A
6、B=4，AC=3，若AD平分BAC交于点，那么点到的距离为 （2）如图，四边形内接于，为直径，点B是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积（3）如图，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足ABC=60，AB=AD，且AD+DC=10（其中 ），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由21如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的
7、弦交小圆于两点求证： 22如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为，连接（1）试判断四边形的形状，并说明理由（2）若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为是否存在这样的，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由试求：当t为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆O的位置关系（需说明理由）23如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，是的弦，（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的半径；（3）若于点，点为上一点，连接，请找出，之间的关系，并证明参考答案1A【解析】
8、【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=6，CD=3，从而得到CDO=30，COD=60，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-SCOD，进行计算即可【详解】解：连接OD，如图，扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，ACOC，OD2OC6，CD，CDO30，COD60，由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积S扇形AODSCOD6，阴影部分的面积为6.故选A【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积记住
9、扇形面积的计算公式也考查了折叠性质2A【解析】【详解】如图，连接OA，则在直角OMA中，根据勾股定理得到OA=点A与O的位置关系是：点A在O内 故选A 3C【解析】【分析】根据圆周角定理求出DOB，根据等腰三角形性质求出OCD=ODC，根据三角形内角和定理求出即可【详解】解：连接OD，DAB=25，BOD=2DAB=50，COD=90-50=40，OC=OD，OCD=ODC=（180-COD）=70，故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中4B【解析】【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到CDB180A1
10、30，根据垂径定理得到ODBC，求得BDCD，根据等腰三角形的性质即可得到结论【详解】解：连接CD，A50，CDB180A130，E是边BC的中点，ODBC，BDCD，ODBODCBDC65，故选：B【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识正确理解题意是解题的关键5B【解析】【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用勾股定理得到AB的长，进而可求出OC，OP的长，求得CMO=90，于是得到点M在以OC为直径的圆上，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长【详解】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点
11、F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰RtABC中，AC=BC=2，AB=BC=4，OC=OP=AB=2，ACB=90，C在O上，M为PC的中点，OMPC，CMO=90，点M在以OC为直径的圆上，P点在A点时，M点在E点；P点在B点时，M点在F点O是AB中点，E是AC中点，OE是ABC的中位线，OE/BC，OE=BC=，OEAC，同理OFBC，OF=，四边形CEOF是矩形，OE=OF，四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，M点的路径为以EF为直径的半圆，点M运动的路径长=2=故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，圆周角定理，以及动点的轨迹
12、：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹解决此题的关键是利用圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆6B【解析】【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OMON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OMON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，则ABO为等腰直角三角形，AB=，N为AB的中点，ON=，又M为AC的中点，MN为ABC的中位线，BC=1，则MN=，OM=ON+MN=，OM的最大值为故答
13、案选：B【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大7C【解析】【分析】连接OC， 由BOC是AOC的外角，可得BOC2A2，由CD是O的切线，可求OCD90，可得D902即可【详解】连接OC，如图，O是RtABC的外接圆，ACB90，AB是直径，A，OA=OC，BOC是AOC的外角，A=ACO，BOC=A+ACO2A2，CD是O的切线，OCCD，OCD90，D90BOC902，2+90故选：C【点睛】本题考查圆的半径相等，三角形外角性质，切线性质，直角三角形两锐角互余性质，掌握圆的半径相等，三角形外角性质，切线性质，
14、直角三角形两锐角互余性质8D【解析】【分析】先证明ABD为等腰直角三角形得到ABD45，BDAB，再证明CBD为等边三角形得到BCBDAB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积【详解】A90，ABAD，ABD为等腰直角三角形，ABD45，BDAB，ABC105，CBD60，而CBCD，CBD为等边三角形，BCBDAB，上面圆锥与下面圆锥的底面相同，上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，下面圆锥的侧面积1故选D【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径
15、等于圆锥的母线长也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质9B【解析】【分析】根据近似数的精确度定义，可判断；根据实数的大小比较，可判断；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断；根据反证法的概念，可判断；根据角平分线的性质，可判断【详解】近似数精确到十位，故本小题错误；，最小的是，故本小题正确；在数轴上点所表示的数为，故本小题错误；用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点，故本小题正确故选B【点睛】本题主要考查近似数的精确度定义，实数的大小比较，点在数轴上所对应的实数，反证法
16、的概念，角平分线的性质，熟练掌握上述知识点，是解题的关键10A【解析】【分析】过点C作CDAB于点D，由题意易得AB=5，然后可得，进而根据直线与圆的位置关系可求解【详解】解：过点C作CDAB于点D，如图所示：，根据等积法可得，以点为圆心，为半径的圆，该圆的半径为，圆与AB所在的直线的位置关系为相交，故选A【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键11【解析】【分析】先求出A、B、E的坐标，然后求出半圆的直径为4，由于E为定点，P是半圆AB上的动点，N为EP的中点，所以N的运动路经为直径为2的半圆，计算即可.【详解】解：，点E的坐标为（1，-2），令y=0，
17、则，解得，A（-1，0），B（3,0），AB=4，由于E为定点，P是半圆AB上的动点，N为EP的中点，所以N的运动路经为直径为2的半圆，如图，点运动的路径长是.【点睛】本题属于二次函数和圆的综合问题，考查了运动路径的问题，熟练掌握二次函数和圆的基础是解题的关键.1240【解析】【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以得到AOC的度数，然后根据AB为O的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得B的度数【详解】解：ADC=25，AOC=50，AB为O的切线，点A为切点，OAB=90，B=90-AOC=90-50=40，故答案为：40【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，利用数形结
18、合的思想解答问题是解答本题的关键13【解析】【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可【详解】连接OD,OC,OE,八边形ABCDEFGH是正八边形,COD=DOE=45,COE=45+45=90,CPE=COE=45.故答案为：45【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键14104【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可【详解】解：四边形ABCD内接于O，A+C180，C180A18076104，故答案为：104【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆
19、内接四边形的对角互补是解题的关键15【解析】【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OPAB时，PQ最短；在中运用含30的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可【详解】解：如图：连接OP、OQ，是的一条切线PQOQ当OPAB时，如图OP，PQ最短在RtABC中，AB=2OB=,AO=cosAAB= SAOB= ，即OP=3在RtOPQ中，OP=3,OQ=1PQ=故答案为【点睛】本题考查了切线的性质、含30直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当POAB时、线段PQ最短是解答本题的关键16.【解析】
20、【分析】以DE的垂直平分线为y轴，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y=ax2+1，因为CDE是等腰直角三角形，DE=2，得点E的坐标为（1，2），可得抛物线的表达式为y=x2+1，把当y代入抛物线表达式，求得MH的长，再在RtFHM中，用勾股定理建立方程，求得所在的圆的半径【详解】如图，以DE的垂直平分线为y轴，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设所在的圆的圆心为P，半径为r，过F作y轴的垂线交y轴于H，设抛物线的表达式为y=ax2+1CDE是等腰直角三角形，DE=2，点E的坐标为（1，2），代入抛物线的表达式，得：2=a+1，a=1，抛物线的表达式为y=x2+
21、1，当y时，即，解得：，FHFHM=90，DE与所在的圆相切，解得：，所在的圆的半径为故答案为【点睛】本题考查了圆的切线的性质，待定系数法求抛物线的表达式，垂径定理解题的关键是建立合适的平面直角坐标系得出抛物线的表达式175cm.【解析】【分析】设圆锥的底面圆的半径长为rcm，根据圆锥的侧面积公式计算即可.【详解】解：设圆锥的底面圆的半径长为rcm则2r1260，解得：r5（cm），故答案为5cm【点睛】圆锥的侧面积公式是本题的考点，牢记其公式是解题的关键.18（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，即可求得点E的坐标；在y=ax23ax4a（a0）令y=0可得关于
22、x的方程ax23ax4a=0，解方程即可求得点A的坐标；（2）如图1，设E与直线BC相切于点D，连接DE，则DEBC，结合（1）可得DE=OE=，EB=，OC=-4a，在RtBDE中由勾股定理可得BD=2，这样由tanOBC=即可列出关于a的方程，解方程求得a的值即可得到抛物线的解析式；（3）由折叠的性质和MNy轴可得MCN=MCN=MNC，由此可得CM=MN，由点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）可得线段BC=5，直线BC的解析式为y=x+3，由此即可得到M、N的坐标分别为（m，m+3）、（m，m2+m+3），作MFOC于F，这样由sinBCO=即可解得CM=m，然后分点N在直线B
23、C的上方和下方两种情况用含m的代数式表达出MN的长度，结合MN=CM即可列出关于m的方程，解方程即可求得对应的m的值，从而得到对应的点Q的坐标.【详解】解：（1）对称轴x=，点E坐标（，0），令y=0，则有ax23ax4a=0，x=1或4，点A坐标（1，0）故答案分别为（，0），（1，0）（2）如图中，设E与直线BC相切于点D，连接DE，则DEBC，DE=OE=，EB=，OC=4a，DB=，tanOBC=，解得a=，抛物线解析式为y=（3）如图中，由题意MCN=NCB，MNOM，MCN=CNM，MN=CM，点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）， 直线BC解析式为y=x+3，BC=5，
24、M（m，m+3），N（m，m2+m+3），作MFOC于F，sinBCO=，CM=m，当N在直线BC上方时，x2+x+3（x+3）=m，解得：m=或0（舍弃），Q1（，0）当N在直线BC下方时，（m+3）（m2+m+3）=m，解得m=或0（舍弃），Q2（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0） 【点睛】本题是一道二次函数与几何及锐角三角函数综合的题，解题的要点是：（1）熟悉二次函数的对称轴方程及二次函数与一元二次方程的关系是解第1小题的关键；（2）由切线的性质得到DEBC，从而得到tanOBC=，这样结合已知条件求出a的值是解第2小题的关键；（3）过点M作MFy轴于点F，这样由sinBCO
25、=变形把MC用含m的代数式表达出来，再由折叠的性质和MNy轴证得MN=MC，这样就可分点N在BC的上方和下方两种情况列出关于m的方程，解方程求得对应的m的值是解第3小题的关键.19（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABCC，由圆周角定理得出AEDB，证出AEDC，即可得出结论；（2）连接AD，过点D作DHAE于点H，设CD2x，ACx，则ADx，由三角形ADC的面积可得出DH的长，求出AE，则可得出答案【详解】解：（1）证明：ABAC，ABCC，AEDABC，CAED，CDE是等腰三角形；（2）如图，连接AD，过点D作DHAE于点H，设CD2x，ACx，AB是直径
26、，ADC90，ADx，SADCADDCACDH，DH，DECD，CHEHx，AE2CHACx【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键20（1）；（2） 四边形ABCD的面积为32；（3）存在【解析】【分析】（1）如图，作辅助线，证明AE=DE；证明BDEBCA ，得到，列出比例式即可解决问题（2）（2）连接OB，根据题意得AOB=60，作AEBD，利用解直角三角形可求AB的长，通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；过点A作ANBC于点N，AMDC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得，根据
27、面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值即可【详解】解：如图，过点D作DEAB于点E则DE/AC；AD平分BAC，BAC=90，DAE=45，ADE=9045=45，AE=DE（设为），则BE=4；DE/AC， BDEBCA，即：解得：= ，点D到AC的距离（2）连接OB， 点B是半圆AC的三等分点（弧AB弧BC）， AC是的直径， BD平分ABC过点A作AEBD于点E，则AE=BE设AE=BE=x，则BD=BE+DE=x=BC=BD平分ABC AD=CD AEDE , = = =32；（3）过点A作ANBC于点N，AMDC，交DC的延长线于点M，连接AC， AB=ADA
28、CB=ACDAM=ANADC+ABC=180，ADC+ADM=180,ABC=ADM又ANB=AMD=90，ABNADM AN=AM，BCA=DCA，AC=ACACNACM ABC=60ADC=120ADM=60，MAD=30设DM=x，则AD=2x， ，即抛物线对称轴为x=5当x=4时，有最大值，为【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的面积，解直角三角形，角平分线的性质定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题21见解析【解析】【分析】过点O作OPAB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论【详解】证明：如图所示，过点O
29、作OPAB，垂足为点P，由垂径定理可得PAPB，PCPD，PAPCPBPD，ACBD【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键22（1）四边形OMPN为矩形，理由见解析；（2）当8t12时，点Q落在半圆O内；当t6s时，四边形OMPN的面积取得最大值，此时PQ与半圆O相切【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得PQOB，PQOB，可证四边形PQOA为平行四边形，可得PAQO，PAQO由中点的性质可得OMPN，可证四边形OMPN为平行四边形，由等腰三角形的性质可得ONP90，可得结论；（2）求出点Q落在半圆O上时，t的值，点P与点A重合时，t的取值，根
30、据这两个特殊位置，可求点Q落在半圆O内时，t的取值范围；由面积公式可得S矩形OMPNSAOP，由AOP的底AO为定值，则当P旋转运动90（运动至最高点）时，高取得最大值，此时AOP的面积取得最大值，即可求t的值，由平行线的性质可得OPQ90，可证PQ与半圆O相切【详解】解：（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：四边形POBQ为平行四边形，PQOB，PQOB，又OBOA，PQAO，又PQOA，四边形PQOA为平行四边形，PAQO，PAQO又M、N分别为OQ、AP的中点，OMOQ，PNAP，OMPN，四边形OMPN为平行四边形，OPOA，N是AP的中点，ONAP，即ONP90，四边形OMPN为矩形
31、；（2）如图，当点Q落在半圆O上时， 四边形POBQ是平行四边形，PQOB，POBQ，又OBOPOQ，OPOQPQBOBQ，POQ是等边三角形，BQO是等边三角形，POQBOQ60，BOP120，t8s，当t8s时，点Q落在半圆O上，当点P与点A重合时，t12s，当8t12时，点Q落在半圆O内；四边形OMPN为矩形，S矩形OMPNONNPAPON，S矩形OMPNSAOP，AOP的底AO为定值，当P旋转运动90（运动至最高点）时，高取得最大值，此时AOP的面积取得最大值t90156秒当t6s时，四边形OMPN面积最大，此时，PQ与半圆O相切理由如下：POB90，PQOB，OPQ90，PQ与半圆O
32、相切【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键23（1）见解析；（2）3；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）先求出BAD120，再求出OAB，进而得出OAD90，即可得出结论；（2）先判断出AOC是等边三角形，得出ACOC，再判断出ACCD，即可得出结论；（3）先判断出CAPCEM，进而得出ACPECM（SAS），进而得出CMCP，APCM30，再判断出，即可得出结论【详解】（1）证明：如图，连接，点在上，直线是的切线；（2）解：如图1，连接，由（1）知，是等边三角形，即的半径为3；（3），理由：如图，连接，延长至，使，连接，为的直径，四边形是的内接四边形，过点作于，在中，即【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键
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