1、第一章 有理数1.理解有理数、相反数和绝对值的意义.2.理解乘方的意义,掌握有理数的简单运算.3.理解有理数的运算律,并能运用运算律进行简化计算.4.能用有理数的运算解决简单的问题.1.在现实情境中,经历引入负数的过程,理解有理数的意义,培养数感.2.经历从现实情境中抽象出数轴的过程,能用数轴上的点表示有理数,借助于数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,知道|a|的含义(这里的a表示有理数),能比较有理数的大小.3.经历有理数的加、减、乘、除运算法则的获得过程,理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.注重使学生领会数学知识与现实生活的联系,
2、培养学生认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流的良好学习习惯.本章从相反意义的量的表示引入负数,将数的范围扩充至有理数,借助数轴直观地表示有理数,进行有理数大小的比较,在有理数范围内讨论加、减、乘、除的运算法则和运算律,进行加、减、乘、除、乘方混合运算.在学习有理数分类、归纳有理数运算法则的过程中,初步理解分类讨论的思想;结合实例进行探究或验证等活动,理解有理数的减法可以转化为加法,有理数的除法可以转化为乘法,渗透转化思想.本章教材选取大量日常生活中的实例为背景材料,通过观察、试验、归纳、类比等方式理解有理数的有关概念,使学生认识到数的扩充来源于实际的生活需要.在知识的呈现上,本单元
3、的主线是:背景知识知识形成揭示联系.创设问题情境,帮助学生理解运算律,有利于提高学生的运算能力.【重点】1.有理数的相关概念.2.有理数的混合运算.3.运用有理数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.绝对值的概念.2.有理数的运算律.1.负数是一个比较抽象的概念,在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念.2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习机会.只有通过一定量的运算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数运算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律.3.绝对值概念的学
4、习也要有一个循序渐进的过程.与绝对值相关的知识,如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及.本章安排绝对值的概念的目的是为有理数运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要求.教科书中用字母表示一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法.5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用.1.1正数和负数2课时1.2数轴1课时1.3绝对值与相反数1课时1
5、.4有理数的大小1课时1.5有理数的加法2课时1.6有理数的减法1课时1.7有理数的加减混合运算1课时1.8有理数的乘法2课时1.9有理数的除法1课时1.10有理数的乘方1课时1.11有理数的混合运算1课时1.12计算器的使用1课时回顾与反思1课时1.1正数和负数能用正负数表示生活中具有相反意义的量,知道具有相反意义的两个量之间的关系.经历从现实生活中的实例引入负数的过程,体会数学与现实生活的密切联系.感受特殊与一般以及分类讨论的数学思想.【重点】1.用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.2.理解有理数的定义和有理数的分类.【难点】1.认识现实生活中具有相反意义的量是普遍的.2.分类讨论
6、思想的应用.第课时用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.通过生活实例帮助学生感受具有相反意义的两个量之间的关系.体会生活实际需要与数的范围的扩大之间的关系.【重点】1.感受、理解生活中具有相反意义的量.2.用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.【难点】用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】回忆引进小数、分数时的学习情境.导入一:如图所示,北京某一天的最高气温是零上8 ,用+8 表示,最低气温是零下2 ,应该怎样表示呢?设计意图天气预报是我们日常生活中经常接触的信息,借助于天气预报中表示气温的方法表示相反意义的量,容易使学生体会到数的范围扩大
7、(引入负数)是现实生活的需要,并感受到现实生活与数学的密切联系,体会数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.导入二:为了表示物体的个数,产生了自然数0,1,2,3,;在分配物品或测量时,有时结果不是自然数,要用分数(小数)来表示.这些数都是我们以前学习过的.这些数能够满足我们生活中的实际需要吗?设计意图提出具有质疑性的问题让学生直接进行思考,唤起学生的探索欲望和学习热情.过渡语小数和分数能够满足生活中我们计数的需要吗?活动1观察与思考感受相反意义的量观察下图中的两幅图片及其说明,思考以下问题:(1)向东和向西、购进和售出所表达的意义具有怎样的关系?(2)如果仅说3 km,1 km,100箱,9
8、0箱,能完整地表达它们的意义吗?设计意图通过观察思考,体会每个问题中的两个量都是同一类量,且意义是相反的.使学生认识到现实生活中具有相反意义的量是普遍存在的,引起学生对如何表示相反意义的量的思考.1.问题引导(1)同样是汽车行驶,向东和向西行驶的意义一样吗?(不一样,意义相反)(2)同样是饮料,购进和售出所表达的意义一样吗?(不一样,意义相反)(3)汽车向东行驶和向南行驶,意义和前面一样吗?(不一样,后者意义不相反)(4)如果仅说汽车行驶3 km,1 km,你能知道汽车的行驶方向吗?(不能)(5)如果仅说超市的100箱饮料,90箱饮料,你能知道超市的进货和销售情况吗?(不能)2.类比思考请你再
9、举出一些具有相反意义的量的实例.3.问题总结向东和向西、购进和售出等都具有相反的意义.所以上面出现的每一对量中的两个量都是具有相反意义的量.活动2大家谈谈表示相反意义的量过渡语怎样用符号来表示具有相反意义的量呢?如图所示,天气预报是怎样表示气温的?在天气预报中,零上2 ,零上8 ,分别用+2 ,+8 来表示,零下2 ,零下10 和零下12 分别用 - 2 , - 10 和 - 12 来表示.设计意图观察天气预报图中表示气温的方法,感受“+”“ - ”的意义,为引出负数的定义做准备.一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”(读作“正”)来
10、表示;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“ - ”(读作“负”)来表示.知识拓展(1)用“+”和“ - ”表示的两个量,必须具有相反的意义,在数量上不一定是相等的.(2)具有相反意义的两个量中,可以任意规定一个量为“+”或“ - ”.活动3例题讲解(教材做一做第1题)请你仿照天气预报中对气温的表示方法,完成下表:意义向北走1.8 km向南走3 km运进粮食1200 kg运出粮食800 kg水位上升30 cm水位下降50 cm表示+1.8 km+1200 kg+30 cm解析表中有三组不同意义的量,其中一种量表示为“+”,此时需要确定另一种量是否是具有相反意义的量.只有具有相
11、反意义的量,才能用“+”或“ - ”表示它们之间的关系.解:如下表所示:意义向北走1.8 km向南走3 km运进粮食1200 kg运出粮食800 kg水位上升30 cm水位下降50 cm表示+1.8 km - 3 km+1200 kg - 800 kg+30 cm - 50 cm追问:如果上表中的表示方法这样变化,该如何填写?意义向北走1.8 km向南走3 km运进粮食1200 kg运出粮食800 kg水位上升30 cm水位下降50 cm表示+3 km+800 kg+50 cm设计意图通过对例题的讲解和对例题的变通,帮助学生深刻领会具有相反意义的量的表示方法,进一步感受数学与生活的密切联系.(
12、教材做一做第2题)用带“+”或“ - ”的数表示下列具有相反意义的量:(1)如果将开进汽车站汽车28辆记作+28辆,那么从该汽车站开出汽车24辆,可记作辆.(2)如果把公司第一季度亏损2万元记作 - 2万元,那么第二季度盈利2.5万元,可记作万元.(3)如果规定高于海平面为正,那么:珠穆朗玛峰高于海平面8844.43 m,可记作m;吐鲁番盆地最低点低于海平面154.31 m,可记作m.(4)如果规定收入为正,那么:小亮家今年收入34200元,可记作元;支出27450元,可记作元.解析两个具有相反意义的量,如果对其中一种量用“+”或“ - ”表示进行了规定,那么在表示另一种量的时候,必须用与其相
13、反的符号去表示.解:(1) - 24(2)+2.5(3)+8844.43 - 154.31(4)+34200 - 27450一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”(读作“正”)来表示;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“ - ”(读作“负”)来表示.1.下列不具有相反意义的量的是()A.前进5 m和后退5 mB.节约3 t和浪费10 tC.身高增加2 cm和体重减少2千克D.超过5 g和不足2 g解析:常见的具有相反意义的量有:零上与零下、前进与后退、海平面以上与海平面以下、收入与支出、向东与向西、升高与降低、买进
14、与卖出、盈利与亏损等.身高增加2厘米和体重减少2千克不是互为相反意义的量.故选C.2.(2015崇左中考)一个物体做左右方向的运动,如果规定向右运动4 m记作+4 m,那么向左运动4 m记作()A. - 4 mB.4 mC.8 mD. - 8 m解析:本题考查表示相反意义的量,解题的关键是理解具有相反意义的量.把一个物体向右运动4 m记作+4 m,那么这个物体向左运动4 m应记作 - 4 m.故选A.3.在电视上看到的天气预报中,某天的气温为“ - 5 ”,“ - 5 ”表示的意思是.解析:零上和零下表示相反意义,零上记为正,零下记为负,所以“ - 5 ”表示的意思是零下5 .故填零下5 .4
15、.用“+”或“ - ”表示下列具有相反意义的量.(1)电梯上升了100米和电梯下降了20米.(2)股市涨了80点和股市跌了30点.解:(1)+100米和 - 20米.(2)+80点和 - 30点.第1课时活动1观察与思考感受相反意义的量活动2大家谈谈表示相反意义的量活动3例题讲解一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题第1题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各组数中,不是具有相反意义的量的是()A.向东走5米和向西走2米B.收入10元和支出20元C.上升7米和下降3米D.长大1岁和减少2千克2.如果从银行支取5元记作 - 5元,那么存入8元记作()A.+8元 B
16、. - 8元C. - 13元 D.3元3.(2015南通中考)如果水位升高6 m时水位变化记作+6 m,那么水位下降6 m时水位变化记作()A. - 3 mB.3 mC.6 mD. - 6 m4.球赛时,如果赢了2局记作+2,那么 - 2表示.【能力提升】5.(2015宜昌中考)陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶,高出海平面约8844 m,记为+8844 m;陆地上最低处是地处亚洲西部的死海,低于海平面约415 m,记为()A.+415 mB. - 415 mC.415 mD. - 8844 m6.如果规定电梯上升为“+”,那么 - 10米表示()A.电梯下降了10米B.电梯上升了10米C.电梯上
17、升了0米D.电梯下降了0米7.(1)如果节约电20千瓦时记作+20千瓦时,那么浪费10千瓦时记作什么?(2)如果 - 20.50元表示亏本20.5元,那么+100.57元表示什么?(3)如果+20%表示增加20%,那么 - 6%表示什么?【拓展探究】8.王老师在数学课上提出“温度上升6 ,再上升 - 2 ”的意义是.9.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑了1008 m记作 - 1008 m,那么他折回来又继续跑了1010 m是什么意思?这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向?小明共跑了多少米?【答案与解析】1.D(解析:具有相反意义的量必须是同类量.)2.A(解析
18、:支取和存入是具有相反意义的量.)3.D(解析:升高和下降具有相反意义,既然升高记为正,那么下降就记为负.水位升高用正数表示,则水位下降用负数表示,下降6 m应记作 - 6 m.)4.输了2局(解析:如果赢用“+”表示,那么与其具有相反意义的量,即输球用“ - ”表示.)5.B(解析:常见的具有相反意义的量有:零上与零下、前进与后退、海平面以上与海平面以下、收入与支出、向东与向西、升高与降低、买进与卖出、盈利与亏损等.因为高出海平面8844 m记为+8844 m,所以低于海平面415 m应记作 - 415 m.故选B.)6.A(解析:“ - ”表示与其具有相反意义的量,电梯上升为正,那么电梯下
19、降为负,所以 - 10米表示电梯下降了10米.故选A.)7.解:(1)浪费10千瓦时记作 - 10千瓦时.(2)+100.57元表示盈利100.57元.(3) - 6%表示减少6%.8.温度先上升6 ,再下降2 (解析:上升 - 2 表示下降2 .)9.解:如果把向北跑了1008 m记作 - 1008 m,那么他折回来又继续跑了1010 m表示小明又向南跑了1010 m.此时他在A地的南边,小明共跑了1008+1010=2018(米).答:他在A地的南边,小明共跑了2018米.本课时在帮助学生感受数学与生活密切联系的理念指导下,贯彻引导学生发现问题、思考问题的原则,较好地帮助学生理解了具有相反
20、意义的量及其表示方法,为中学数学课程的学习开了一个好头,为下一课时的学习打下了基础.在例题讲解的过程中,发挥学生的主动性不够,老师的示范和讲解略多.课前帮助学生回忆为什么要引进小数和分数的概念,进而为数的范围扩大做好心理准备.在例题的处理过程中,老师可以放手交给学生独立去完成,最后老师总结指导.练习(教材第4页)1.解:(1)(2)(3)中的量是具有相反意义的.2.(1) - 300(2)+3 - 2(3)+2000 - 1500习题(教材第4页)1.解:答案不唯一.(1)气温是零下8 .(2)向北走100 m.(3)转盘逆时针转3圈.(4)乙地低于海平面500 m.2.解:(1)上升15 m
21、记作+15 m.(2) - 300元表示从银行取出300元.(3)低于标准质量2 g记作 - 2 g.3.解:答案不唯一.如向前走20米和向后走10米,零上10 和零下9 .(1)汽车向东行驶3.5千米和向西行驶2.5千米.如果规定向东为正,向西为负,那么向东行驶3.5千米记作千米;向西行驶2.5千米记作千米.(2)收入500元或支出237元.如果规定收入为正,支出为负,那么收入500元记作元;支出237元记作元.(3)水位升高1.2米或下降0.7米.如果规定水位升高为正,下降为负,那么水位升高1.2米记作米;下降0.7米记作米.答案(1)+3.5 - 2.5(2)+500 - 237(3)+
22、1.2 - 0.7第课时理解有理数的定义和分类.借助于相反意义的量,引入有理数的概念.理解数学与生活的联系,强化数学的应用意识.【重点】有理数的定义.【难点】有理数的分类.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】回忆具有相反意义的量的表示方法.导入一:师:同学们小学都学过哪些数?生:整数、小数、分数、奇数、偶数师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现了自然数,人们用数“0”表示没有,随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数,那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢?设计意图通过介绍数的产生与发展,帮助学生理解数的发展源于生产和生活的实
23、际需要.导入二:(1)如果飞机上升200 m记作+200 m,那么飞机下降300 m可记作m.(2)如果规定铅球的质量高于标准质量为正,低于标准质量为负,那么:甲铅球高于标准质量3 g,可记作g;乙铅球低于标准质量2 g,可记作g.(3)如果规定木材公司购进木材为正,售出木材为负,那么:该公司购进木材2000 m3,可记作m3;售出木材1500 m3,可记作m3.问题:我们用带“+”和“ - ”的数统一地表示出具有相反意义的量,从而得到了 - 3, - 800, - 50, - 24, - 2, - 154.31, - 27450等这样形式的数,它们都是在已学过的数(0除外)的前面添上“ -
24、”得到的,这样的数是什么数?和我们之前学过的数的意义相同吗?设计意图通过设问提出与有理数相关的问题,进而为学习有理数打下基础.过渡语数字前面加上“+”和“ - ”,这样的数是什么数呢?活动1有理数的定义1.负数前面,我们用带“+”和“ - ”的数统一地表示出具有相反意义的量,从而得到了 - 3, - 800, - 50, - 24, - 2, - 154.31, - 27450等这样形式的数,它们都是在已学过的数(0除外)的前面添上“ - ”得到的,这样的数叫做负数.问题思考:(1)负数能表示实际意义吗?请举例说明;(2)下面这些负数应该怎样进行分类?(负整数和负分数) - 1, - 2, -
25、 3, - 14, - 227, - 834.设计意图深刻领会负数的意义,初步领会分类思想,为探讨有理数的分类做好准备.2.正数+1.8,+1200,+30,+28,+2.5,+8844.43,+34200等这样的数,都是在已学过的数(0除外)的前面添上“+”得到的,这样的数叫做正数.问题思考:(1)正数能表示实际意义吗?请举例说明;(2)下面这些正数应该怎样进行分类?(正整数和正分数)+1,2,3,12,113,312.(3)正数中的“+”可以省略吗?(可以)(4)0是正数还是负数?(0既不是正数,也不是负数)3.有理数正整数、0和负整数统称为整数,正分数和负分数统称为分数,整数和分数统称为
26、有理数.知识拓展对正数和负数的理解要注意以下几点:(1)并不一定要将某一种量规定为正,若将一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.(2)负数前面的“一”表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”,不能省略,但正数前面的“+”可以省略.活动2有理数的分类根据有理数的意义,我们知道有理数可作如下分类:有理数整数分数你能进一步将整数和分数分类吗?有理数还有其他分类方法吗?把你的想法与同学交流.1.按照以上的定义,你能画出一张有理数的分类图吗?你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗?(是按照整数和分数来划分的)师生共同总结出:有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数2.如果按照正负来分,那么有理数
27、还可以怎样进行分类呢?师生共同总结出:有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数有时我们习惯上将“正有理数和0”又称作非负有理数;将“负有理数和0”称作非正有理数;将“正整数和0”又称作非负整数,将“负整数和0”又称作非正整数,因此要注意0的特殊性,0是整数、自然数、有理数,但0既不是正数,也不是负数.知识拓展对有理数及其分类要注意以下几点:(1)整数包括三类,其中0是单独的一类,不要忽视.(2)分数包括两类,正分数和负分数,不包括0.(3)现在我们学过的数中,除了或跟有关的数,如2,3, - 等,其他的数都是有理数.(4)由有理数的两种分类方法可以发现有理数可被细分为正整数、正分数、0
28、、负整数、负分数五类.(5)通常把正整数和0统称为非负整数,也叫自然数;负整数和0统称为非正整数;正有理数和0统称为非负有理数;负有理数和0统称为非正有理数.所以一定不要误认为一个数非正即负.设计意图学生的思维方式不同,研究问题的角度也不尽相同.在教学中通过对问题多角度的考虑,有利于培养学生的探索精神,使学生体验到重要的数学思想分类思想.活动3例题讲解(教材第6页练习第3题)把下列各数分别填在相应的圈内: - 7,4.8,+15, - 3.5,12,512.解析正数的判断不能简单地依据是否带有“+”,负数的判定必须依据是否带有“ - ”.解:正数:4.8,+15,12,512;负数: - 7,
29、 - 3.5.整数和分数统称为有理数.按照有理数的定义和正负这两种分类方法对有理数进行分类,同学们要掌握这两种分类方法,并能正确地对有理数进行分类.强调:对于每一个有理数,不但要看它的数字特点,还要看它的符号特点,例如 - 200,从数字看200是整数,从符号看 - 200是负数,所以它既属于整数,又属于负数,也属于有理数.1.(2015贺州中考)下列各数是负数的是()A.0B.+67C.2.5D. - 1解析:因为1是正数,所以在1前面加“ - ”的数是负数,即 - 1是负数.故选D.2.下列说法中错误的是()A.有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类B.一个有理数不是整数就是分
30、数C.正有理数分为正整数和正分数D.负整数、负分数统称为负有理数解析:A把有理数的两种分类方法混合在一起来说,显然概念重复,故A是错误的;B,C,D都是正确地对有理数中的概念进行了分类.故选A.3.写出 - 1和0之间的任意一个负数( - 1除外):.解析:这是一个开放性题目,答案不唯一,在 - 1和0之间的负数有无数个,只要写出一个符合要求的即可.故可填 - 0.3, - 12等.4.把下列各数分别填入相应的括号内:+8,3.275, - 67,513, - 1.25, - 0.32.正数:;负数:.解:正数:+8,3.275,513,;负数: - 67, - 1.25, - 0.32.,.
31、第2课时活动1有理数的定义活动2有理数的分类活动3例题讲解一、教材作业【必做题】教材第6页做一做.【选做题】教材第6页练习第1题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015广州中考)四个数: - 3.14,0,1,2中为负数的是()A. - 3.14B.0 C.1 D.22.下列结论中正确的是()A.小学里学过的数都是正数B.小学里学过的数前面加上“ - ”后都是负数C.0是自然数,也是偶数D.一个数不是正数就是负数3.下列各数中既是负数又是分数的是()A. - 9B.18C. - 18D.04.下列说法中正确的个数是()a是正数; - 5是负数;正数前面加上“ - ”即为负数;+3是正数.A.1
32、B.2C.3D.4【能力提升】5.在0,1, - 2, - 3.5这四个数中,是负整数的是()A.0B.1C. - 2D. - 3.56.下列说法正确的是()A.0 表示没有温度B.0既可看作正数又可看作负数C.0既不是正数也不是负数D.以上均不正确7.下列叙述正确的是()A.一个数不是正数就是负数B.小数可以用分数表示C.正数和分数统称有理数D.有理数中有最大的负整数和最小的正整数8.已知0.2, - 0.11, - 15, - 3.14,0.101001,其中有理数有个.【拓展探究】9.观察下列各数: - 1,12, - 13,14, - 15,这列数的第2015项是.10.写出5个数(不
33、能重复),同时满足下列三个条件:其中三个数是非正数;其中三个数是非负数;五个数都是有理数,这五个数是:(只写出一组即可).11.(1)把下列各数填在相应的大括号内: - 312,0, - 2,7,115,37, - 43, - 3.14,+8848.正整数集合:;负分数集合:;非负数集合:;自然数集合:.(2)活动课上,贝贝对京京说字母a永远是一个正数,京京表示怀疑,你认为呢?12.有一位同学对老师说,因为像2,+2.37,这样的正数是有理数,像 - 1, - 3.1, - 6,这样的负数也是有理数,同样0也是有理数,所以得出结论:有理数包括正数、0和负数.请问这位同学得出的结论是否正确?若不
34、正确,请说明理由.【答案与解析】1.A(解析: - 3.14是负数,0既不是正数也不是负数,1和2都是正数.)2.C(解析:A错,因为0既不是正数也不是负数;B和A犯同样的错误;C正确;D也漏掉了0,不正确.故选C.)3.C(解析:先判断哪些数是负数,再判断哪个数是分数.)4.C(解析:a可能是正数,也可能是负数和0,所以错误,均正确.)5.C(解析:负数有 - 2, - 3.5,而 - 3.5是负分数, - 2是负整数.)6.C(解析:0 表示一个确定的温度;0既不是正数也不是负数.)7.D(解析:0既不是正数也不是负数;无限不循环小数不可以用分数表示;整数和分数统称为有理数;最大的负整数是
35、 - 1,最小的正整数是1, - 1和1是有理数.)8.4(解析:不是有理数,同时无限不循环小数,即0.101001也不是有理数.)9. - 12015(解析: - 1可以看作 - 11,这样一来,这列数的分子都是1,分母是从1开始的连续自然数,分母上自然数与该数的项数相同,其中奇数项的符号都是“ - ”号,偶数项的符号都是“+”号,所以第2015项是 - 12015.)10. - 1, - 2,0,3,5(解析:有三个非正数,三个非负数,且放到一起只有五个数,可确定五个数中一定有一个数既是非正数,也是非负数,故这个数是0.另外两个非正数可以任意写两个负数,如: - 1, - 2,而另外两个非
36、负数可以任意写两个正数,如:3,5.故这五个数可以为 - 1, - 2,0,3,5.)11.解:(1)正整数集合:7,+8848,;负分数集合: - 312, - 43, - 3.14,;非负数集合:0,7,115,37,+8848,;自然数集合:0,7,+8848,.(2)京京的怀疑是正确的,字母a不一定是一个正数,当a0时,a表示一个正数;当a=0时,a既不是正数也不是负数;当a0时,a表示一个负数.12.解:不正确.理由如下:如是正数,但不是有理数,所以不能说有理数包括正数,0和负数,应改为有理数包括正有理数、0和负有理数.本课时在教学的过程中注意问题的引导和渗透,把概念的总结和数学的分
37、类思想紧密结合起来.学生通过老师的引导提示,在思考的过程中理解了有理数的定义,体验了不同方法对有理数进行分类带来的乐趣.在学习有理数定义的过程中,忽略了对先前知识的复习,可能给部分学生学习有理数的定义带来困难.在进行有理数分类的时候,分两个层次和阶段进行,首先完成教材上的做一做的基本练习,然后在此基础上让学生尝试有理数的分类,并互相倾听分类的依据.练习(教材第6页)1.解:正数:+12,19,+0.4,3.14,+13;负数: - 3, - 25, - 0.01.2.解:有,0既不是正数,也不是负数.3.解:正数:4.8,+15,12,512;负数: - 7, - 3.5.习题(教材第6页)A
38、组1.解:(1)规定零上为正,零下为负,则零下220 可表示为 - 220 ,零下250 可表示为 - 250 .(2)规定高于海平面为正,低于海平面为负,则高于海平面3812 m可表示为+3812 m,低于海平面422 m可表示为 - 422 m.2.解:答案不唯一.正数:1,2,13,负数: - 12, - 2, - 3.4,.B组1.解:是整数,但不是正数的数:0, - 7;是分数,但不是负数的数:13,0.24.2.解:正整数:+15,负整数: - 12,正数:0.618,+15,13,29,负数: - 23, - 34, - 0.3, - 12,.观察下面一列数: - 12, - 2
39、3, - 34, - 45, - 56, - 67,.(1)写出第7个数和第8个数;(2)第400个数是多少?(3)如果这一列数无限排列下去,那么与哪个数越来越接近?解析认真观察这列数,可发现均为负数,分子分别为1,2,3,分母相应地为2,3,4,利用这些规律,问题便可得解.解:(1)第7个数是 - 78,第8个数是 - 89.(2)第400个数是 - 400401.(3)与 - 1越来越接近.解题策略注意分子、分母的排列及它们与项数之间的关系,由简单的、特殊的入手,发现规律,进一步验证后,再推广到一般.1.2数轴知道数轴的三个要素:原点、正方向和单位长度,会画数轴.经历从现实情境抽象出数轴的
40、过程,体会数学与现实生活的联系.能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的数学思想.【重点】1.认识数轴的三要素.2.会画数轴.【难点】画数轴,体会数形结合思想.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有理数的定义和有理数的分类.导入一:我们已经知道可以用直线上依次排列的点来表示自然数,并由此直观地反映出自然数的大小关系,那么有理数可以用直线上的点来表示吗?设计意图开门见山地提出问题,联系以往知识,通过类比让学生联想怎样去表示有理数.导入二:在一条东西方向的马路上有一个汽车站,汽车站东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图
41、表示这一情境.处理方式理解题意,思考,并根据题意画图.教师指导,根据学生的画图情况用实物投影展示,对于作图较好的学生给予表扬.设计意图结合实例使学生以轻松愉快的心情进入本节课的学习,在生活中发现数学,感受到点与数之间的关系,从而由点表示数的感性认识上升到理性认识,同时对新知识的学习有了期待,创设问题情境,激发学生的学习热情,培养学生的学习兴趣.过渡语(针对导入二)怎样能把上述事物的位置、方向和距离准确地用数字表示出来呢?某市公交公司在一条东西方向的马路旁设置的站点如图所示,相邻两站点之间的距离均为2 km.活动1用方向和距离说明事物的位置如果你在实验学校站点处,怎样说明其他站点的位置呢?问题思
42、考:(1)实验学校以东和以西有什么站点?(2)假如不看图,怎样说明才能让人明确其他站点的位置和远近?问题参考:人民公园、新华书店分别在实验学校以西4 km和2 km处,科技馆、花园小区分别在实验学校以东2 km和4 km处.设计意图帮助学生理解确定了参照点、方向和距离才能准确说明一个事物的位置,为引入数轴三要素做认知准备.活动2用有理数表示事物的位置以实验学校为参照点,并用0表示该点,规定实验学校以东的位置用正数表示,实验学校以西的位置用负数表示,以1 km为单位长度.请你在图中用有理数标出所有站点的位置.问题提示:(1)为什么要确定参照点?(参照点两旁的数字具有相同的性质)(2)为什么要规定
43、哪个方向用正数表示,哪个方向用负数表示?(只有这样规定才能用有理数进行表示)问题参考:人民公园、新华书店、科技馆、花园小区用有理数分别表示为 - 4, - 2,2,4.设计意图帮助学生初步领会用有理数表示事物的位置,为进一步引出数轴的概念做准备.活动3自行确定零点和方向,并用有理数表示事物的位置在实验学校东3 km处是华龙超市,实验学校西1 km处是东方商场,请你在图中标出它们的位置及其对应的有理数.问题思考:(1)是否需要确定零点?(需要)(2)只确定零点就能够用有理数表示事物的位置吗?(不能)(3)只确定方向就能用有理数表示事物的位置吗?(不能)问题提示:学生如果规定的正负方向不同,那么表
44、示具体位置的有理数也不同.设计意图这个过程实际上是让学生通过生活情境体验建立数轴的过程.遵循了从具体到抽象的认知规律.活动4数轴的建立过渡语能否更简洁、直观地表示同一条直线上任意一点的位置呢?画一条水平的直线,在这条直线上任取一点作为原点,用这个点表示0,规定这条直线上的一个方向(一般取从左到右的方向)为正方向,用箭头表示,相反的方向为负方向,选取某一长度作为单位长度,就得到了如图所示的图形.像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.强调:(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可;(2)直线一般画水平的;(3)原点可取直线上任意一点,但一旦取定就不再改变;(4)正方向用箭头表示,一般取从左到右.活动5例题讲解(教材例题)(1)如图所示,数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数?(2)画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:1, - 2, - 3.5,2.5,0.解析(1)要想确定四个点的位置,需要明确数轴的原点、单位长度和正方向,这样才能从性质和数量两方面确定该点所表示的有理数.(2)画数轴表示
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