1、第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1在一幅长 50cm，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示） ，如果要使整个挂图的面积是 3000cm2，设边框的宽为 xcm，那么 x满足的方程是（ ） A （502x） （402x）3000 B （50+2x） （40+2x）3000 C （50 x） （40 x）3000 D （50+x） （40+x）3000 2如图，一次函数 y=-3x+4 的图象交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，点 P在线段 AB上（不与点 A，B 重合） ，过点 P分别作 OA和 OB 的垂线，垂足为 C，D
2、若矩形 OCPD 的面积为 1 时，则点 P的坐标为（ ） A （13，3） B （12，2） C （12，2）和（1，1） D （13，3）和（1，1） 3关于x的一元二次方程22223xaax的两根应为（ ） A22a B2a，22a C224a D2a 4扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A3302020 304xx B13022020 304xx C1302 2020 304xx D33022020 304xx 5下列方程中，一定是关于 x的一元二次方程的是（
3、 ） A20axbxc B230 x C2111xx D22(1)0 xx x 6关于 x 的一元二次方程2(3)10 xkxk 根的情况，下列说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 7在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55次，则参加酒会的人数为（ ） A9 人 B10人 C11人 D12人 8把方程 x2+2x5（x2）化成 ax2+bx+c0 的形式，则 a，b，c 的值分别为（ ） A1，3，2 B1，7，10 C1，5，12 D1，3，10 9已知ABC为等腰三角形，若 BC6，且 AB，AC为方程 x28x+m0 两根，
4、则 m 的值等于（ ） A12 B16 C12 或16 D12 或 16 10生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182 件，如果全组有 x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A1182x x B1182x x C21182x x D1182 2x x 二、填空题二、填空题 11菱形的一条对角线长为 8，其边长是方程 x28x150 的一个根，则该菱形的面积为_ 12关于x的方程2690kxx，k=_时，方程有实数根 13已知关于 x 的一元二次方程22430(0)xmxmm的一个根比另一个根大 2，则 m的值为_ 14如图，在一块长 12m，宽 8
5、m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积 77m ，设道路的宽为 x m，则根据题意，可列方程为_. 15如果关于x的一元二次方程210(0)axbxa 的一个解是1x，那么代数式2021 a b 的值是_ 16如果关于 x 的方程 x23x+k0（k 为常数）有两个相等的实数根，那么 k 的值是_ 17“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 x3x0，它的解是_ 三、解答题三、解答题 18解方程 （1） （x+1）264=0 （2）x24x+1=0 （3）x2 + 2x20（配方法） （4）x 2-2
6、x-8=0 19某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为 1 元，日销售量将减少 10 千克，现该商场要保证每天盈利 8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 20解关于 y 的方程：by21y2+2 21已知1x，2x是一元二次方程2220 xxk的两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2） 是否存在实数 k， 使得等式12112kxx成立？如果存在， 请求出 k 的值，如果不存在， 请说明理由 22已知关于 x 的一元二次方程24280 xxk有两个实数根12,x x （
7、1）求 k 的取值范围； （2）若33121224x xx x，求 k 的值 23水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10 元，每天可售出 600kg经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销量将减少 20kg (1)若以每千克能盈利 17 元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元； (2)现市场要保证每天总毛利润为 7500 元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元； (3)现需按毛利润的 10%缴纳各种税费， 人工费每日按销售量每千克支出 1.5 元， 水电房租费每日 300 元 若每天剩下的总纯利润要达到 6000 元，求每千克应涨价多少元 答案
8、第 5 页，共 12 页 参考答案：参考答案： 1B 【解析】 【分析】 根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程 【详解】 解：设边框的宽为 x cm， 所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm， 根据题意，得： （50+2x） （40+2x）=3000， 故选：B 【点睛】 本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程 2D 【解析】 【分析】 由点 P在线段 AB上可设点
9、 P 的坐标为（m，-3m+4） （0m43） ，进而可得出 OC=m，OD=-3m+4，结合矩形 OCPD的面积为 1，即可得出关于 m的一元二次方程，解之即可得出 m的值，再将其代入点 P 的坐标中即可求出结论 【详解】 解：点 P在线段 AB上（不与点 A，B重合） ，且直线 AB 的解析式为 y=-3x+4， 设点 P 的坐标为（m，-3m+4） （0m43） ， OC=m，OD=-3m+4 矩形 OCPD 的面积为 1， m（-3m+4）=1， m1=13，m2=1， 点 P的坐标为（13，3）或（1，1） 故选：D 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，
10、利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于 m 的一元二次方程是解题的关键 答案第 6 页，共 12 页 3B 【解析】 【分析】 先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程即可 【详解】 2x23ax+2a2=0， =(3a)2422a2=a2， x=2322aa. 所以 x1=2a,x2=22a. 故答案选 B. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据公式法解一元二次方程. 4D 【解析】 【分析】 根据空白区域的面积34矩形空地的面积可得. 【详解】 设花带的宽度为xm，则可列方程为33022020 3(4()0 xx， 故选 D 【点睛】 本题主要考查由
11、实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 5B 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的概念（只含一个未知数，并且含有未知数的项的次数最高为 2 次的整式方程是一元二次方程）逐一进行判断即可得 【详解】 解： A、20axbxc， 当0a时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、230 x ，是一元二次方程，符合题意； 答案第 7 页，共 12 页 C、2110 xx，不是整式方程，故不符合题意； D、2210 xx x ，整理得：20 x，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 6A 【解析】
12、【分析】 先计算判别式，再进行配方得到 =（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到 0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根 【详解】 =(k-3)2-4(1-k) =k2-6k+9-4+4k =k2-2k+5 =(k-1)2+4， （k-1）2+40，即 0， 方程总有两个不相等的实数根 故选：A 【点睛】 本题考查的是根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与 =b2-4ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立 7C 【解析】 【分析】 设参加酒会的人数为
13、 x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】 设参加酒会的人数为 x 人，依题可得： 12x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去） ， 故答案为 C. 答案第 8 页，共 12 页 【点睛】 考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 8D 【解析】 【分析】 先把 x2+2x5（x2）化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到 a、b、c 的值 【详解】 解：x2+2x5（x2） ， x2+2x5x10， x2+2x5x+100， x23x+100， 则
14、a1，b3，c10， 故选：D 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键 9D 【解析】 【分析】 由ABC为等腰三角形，BC6，且 AB，AC 为方程 x28x+m0 两根，可得两种情况：BC6AB，把6 代入方程得 3648+m0ABAC，此时方程的判别式为 0，分别求解即可 【详解】 解：ABC为等腰三角形， 若 BC6，且 AB，AC 为方程 x28x+m0 两根， 则BC6AB，把 6 代入方程得 3648+m0， m12； ABAC，此时方程的判别式为 0， 644m0， m16 故 m 的值等于 12 或 16 故选：D 【点睛
15、】 本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键 10B 【解析】 答案第 9 页，共 12 页 【分析】 由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)件标本，x名同学需赠送出 x(x-1) 件标本，即可列出方程 【详解】 解：由题意可得， x（x-1）=182， 故选 B 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键 1124 【解析】 【分析】 利用因式分解法解方程得到 x1=3，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为 5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算 【详解】 解：x2-8x+15=
16、0， （x-3） （x-5）=0， x-3=0 或 x-5=0， x1=3，x2=5， 菱形一条对角线长为 8， 菱形的边长为 5， 菱形的另一条对角线长=22254=6， 菱形的面积=12 6 8=24 故答案为：24 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了菱形的性质 121k 【解析】 【分析】 由于最高次项前面的系数不确定，所以进行分类讨论：当0k 时，直接进行求解；当0k 时，方程为一元二次方程，利用根的判别式，确定 k 的取值范围，最后综合即可求出满足题意的 k 的取值范围
17、【详解】 解：当0k 时，方程化为：690 x ， 答案第 10 页，共 12 页 解得：32x ，符合题意； 当0k 时， 方程有实数根， 0， 即26490k ， 解得：1k ， 1k 且0k ； 综上所述，当1k 时，方程有实数根， 故答案为：1k 【点睛】 题目主要考查方程的解的情况，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情况讨论方程的解是解题关键 131 【解析】 【分析】 利用因式分解法求出 x1,x2，再根据根的关系即可求解 【详解】 解22430(0)xmxmm （x-3m） （x-m）=0 x-3m=0 或 x-m=0 解得 x1=3m,x2=m， 3m-m=2 解得 m=
18、1 故答案为：1 【点睛】 此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用 14 （12-x） （8-x）=77 【解析】 【分析】 道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解 【详解】 道路的宽为 x 米依题意得： 答案第 11 页，共 12 页 (12-x)(8-x)=77， 故答案为(12-x)(8-x)=77. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系 152020 【解析】 【分析】 根据关于x的一元二次方程210(0)axbxa 的一
19、个解是1x，可以得到a b的值，然后将所求式子变形，再将a b的值代入，即可解答本题 【详解】 解：关于x的一元二次方程210(0)axbxa 的一个解是1x， 10a b ， 1ab ， 20212021 12020ab 故答案为：2020 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义 1694 【解析】 【分析】 根据判别式的意义得到 =（-3）2-4k=0，然后解一元一次方程即可 【详解】 解：根据题意得 =（-3）2-4k=0， 解得 k=94 故答案为94 【点睛】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b2-4ac：当
20、 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 171230,1,1xxx 【解析】 【分析】 先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 答案第 12 页，共 12 页 【详解】 解：30,xx-=Q ()()110,x xx+-= 则0 x或10 x 或10,x 解得：1230,1,1.xxx=-= 故答案为：1230,1,1.xxx=-= 【点睛】 本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程， 掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键. 18 （1）x1=7，x2=-9； （2）x1=2+3，x2=2-3
21、； （3）x1=-1+3，x2=-1-3； （4）x1=-2，x2=4 【解析】 【分析】 （1）方程移项后，运用直接开平方法求解即可； （2）根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算即可； （3）根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算即可； （4）根据因式分解法求解即可 【详解】 解： （1） （x+1）2=64 x+1= 8 x1=7，x2=-9 （2）x24x=-1 x24x+4=-1+4 （x-2）2=3 x-2=3 x1=2+3，x2=2-3 （3）x2 + 2x2 x2 + 2x+12+1 （x+1）2=3 x+1=3 x1=-1+3，x2=-1-3 （4） （x+2） （x-4）=
22、0 x+2=0 或 x-4=0 x1=-2，x2=4 【点睛】 答案第 13 页，共 12 页 本题考查一元二次方程的求解，选择适合的方法是解题关键 19每千克应涨价 10 元 【解析】 【分析】 设每千克应涨价 x元，根据每千克涨价 1 元，日销售量将减少 10 千克，每天盈利 8000 元，列出方程，求解即可 【详解】 解：设每千克应涨价 x元，由题意得： 10500 108000 xx， 解得110 x ，230 x ， 要使顾客得到实惠，应取 x=10， 答：每千克应涨价 10 元 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关
23、系 20当 b1 时，原方程的解为 y331bb；当 b1 时，原方程无实数解 【解析】 【分析】 把 b 看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为 1，即可得出答案 【详解】 解：移项得：by2y22+1， 合并同类项得： （b1）y23， 当 b1 时，原方程无解； 当 b1 时，原方程的解为 y331bb； 当 b1 时，原方程无实数解 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论 21 （1）1k ； （2）6k 【解析】 【分析】 （1）根据方程的系数结合0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围； 答案第 14 页
24、，共 12 页 （2）根据根与系数的关系可得出 x1x22，x1x2k2，结合12112kxx，即可得出关于 k 的方程，解之即可得出 k 值，再结合（1）即可得出结论 【详解】 解： （1）一元二次方程有两个实数根， 2( 2)4(2) 0k 解得1k ； （2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2xxx xk 12112kxx， 1212222xxkx xk 即(2)(2)2kk，解得6k 又由（1）知：1k ， 6k 【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是： （1）牢记“当 0 时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112kxx，找出关于
25、k 的方程 22(1) 2k ；(2) =3k 【解析】 【分析】 (1)根据0 建立不等式即可求解； (2)先提取公因式对等式变形为2121212()224x xxxx x，再结合韦达定理求解即可 【详解】 解：(1)由题意可知，2( 4)4 1 ( 28)0 k， 整理得：16+8320k， 解得：2k ， k的取值范围是：2k 故答案为：2k (2)由题意得：3321212121212()224x xx xx xxxx x， 由韦达定理可知：12+=4xx，1228 x xk， 故有：2( 28) 42( 28)24kk， 答案第 15 页，共 12 页 整理得：2430kk， 解得：1
26、2=3,1kk， 又由(1)中可知2k ， k的值为=3k 故答案为：=3k 【点睛】 本题考查了一元二次方程判别式、 根与系数的关系、 韦达定理、 一元二次方程的解法等知识点， 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根 23(1)每天的总毛利润为 7820 元； (2)每千克应涨价 5 元； (3)每千克应涨价 15 元或203元 【解析】 【分析】 （1）设每千克盈利 x 元，可售 y 千克，由此求得关于 y与 x的函数解析式，进一步代入求得答案即可； （2）利用每千克的盈利 销售的千克数总利润，列出方程解答即可； （3）利用每天总毛
27、利润税费人工费水电房租费每天总纯利润，列出方程解答即可 (1) 解：设每千克盈利 x 元，可售 y 千克， 设 y=kx+b， 则当 x10 时，y600， 当 x11 时，y60020580， 由题意得，1060011580kbkb， 解得20800kb 所以销量 y 与盈利 x 元之间的关系为 y20 x+800， 当 x17 时，y460， 则每天的毛利润为 17 4607820 元； (2) 解：设每千克盈利 x 元，由（1）可得销量为（20 x+800）千克， 由题意得 x（20 x+800）7500， 解得：x125，x215， 要使得顾客得到实惠，应选 x15， 每千克应涨价 15105 元； 答案第 16 页，共 12 页 (3) 解：设每千克盈利 x 元， 由题意得 x（20 x+800）10%x（20 x+800）1.5（20 x+800）3006000， 解得：x125，x2503， 则每千克应涨价 251015 元或50310203元 【点睛】 此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键
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