1、第十五章第十五章 分式分式 一、单选题一、单选题 1下列运算中，错误的是( ) A0aaccbbc B1abab C0.55100.20.323abababab Dxyyxxyyx 2一只船顺流航行 90 千米与逆流航行 60 千米所用的时间相等，若水流的速度是 2 千米/时，求船在静水中的速度如果设船在静水中的速度为 x 千米/时，可列出的方程是（ ） A906022xx B906022xx C90603xx D60903xx 3分式222111aaaa化简后的结果为（ ） A11aa B31aa C1aa D2231aa 4若关于 x 的分式方程322xmxx有增根，则 m的值是（ ） A
2、1 B1 C2 D2 5方程1x233x的解是（ ） Ax2 Bx1 Cx1 Dx3 6化简2111aaa的结果是（ ） Aa Ba+1 Ca1 Da21 7已知0ba，则分式ab与11ab的大小关系是（ ） A11aabb B11aabb C11aabb D不能确定 8俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039的小洞，数据0.000000039用科学记数法表示为（ ） A83.9 10 B839 10 C70.39 10 D939 10 9计算234932acbbac的结果是（ ） A23366ab cabc B236
3、ab cabc C36abcac D26bc 10关于 x 的分式方程2mxx30 有解，则实数 m应满足的条件是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 二、填空题二、填空题 11一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2 , a a次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物乙车共运270吨，现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为_ 元.(按每吨运费20元计算) 12若一个分数的分子、分母同时加 1，得12；若分子、分母同时减 2，则得1
4、3，这个分数是_ 13如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数示例：即 4+3=7，则（1）用含 x 的式子表示 m_； （2）当 y2 时，n 的值为_ 14当_时，分式221xy的值为 0. 15计算2222242222yxxyxxyyxxy_ 16若分式32x的值为负数，则 x的取值范围是_ 17化简：1111xx_ 三、解答题三、解答题 18现有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，需要 12 天完成；若甲队先做 5 天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要 9 天才能完成求： （1）甲乙两个装修队单独完成分别需要几天？ （2）已知甲队每天施工费用 4000 元，乙队每天施
5、工费用为 2000 元，要使该工程施工总费用为 70000 元，则甲装修队施工多少天？ （3）甲装修队有装修工人 12 人，乙装修队有装修工人 10 人，该工程需要在 13 天内（包括 13 天）完成，该工程由甲乙两队合作完成，两队合作 4 天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？ 19按下列要求解题 （1）计算：3 122 488 （2）化简：508243 （3）计算：22211444aaaaa 20计算： （1）2332327 （2）2111xxxx 21解分式方程 （1）2373226xx （2）2241242xxx 22计算 (1)1012(2)3 ； (2)5 248
6、2(2)()()xxxx g 23 （1）解方程：2216124xxx （2）计算：211xxx 答案第 4 页，共 12 页 参考答案：参考答案： 1D 【解析】 【分析】 分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非 0 的数或式子，分式的值不变据此作答 【详解】 解：A、分式的分子、分母同时乘以同一个非 0 的数 c，分式的值不变，故 A 正确； B、分式的分子、分母同时除以同一个非 0 的式子（a+b） ，分式的值不变，故 B 正确； C、分式的分子、分母同时乘以 10，分式的值不变，故 C 正确； D、xyyxxyyx（），故 D 错误 故选 D 【点睛】 本题考查了分式的
7、基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为 0 2A 【解析】 【分析】 未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的关键描述语是：顺流航行 90 千米与逆流航行 60千米所用的时间相等，等量关系为：顺流航行 90 千米时间=逆流航行 60 千米所用的时间 【详解】 顺流所用的时间为：902x；逆流所用的时间为：602x.所列方程为：906022xx.故选 A 【点睛】 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，得到分式方程. 3B 【解析】 【分析】 根据异分母分式相加减的运算法则计算即可异分
8、母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算 【详解】 解：222111aaaa 21221111aaaaaa 答案第 5 页，共 12 页 222111aaaa 2222111aaaaa 3111aaaa 31aa 故选：B 【点睛】 本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键 4C 【解析】 【分析】 先把分式方程化为整式方程，再把增根 x=2 代入整式方程，即可求解 【详解】 解：322xmxx， 去分母得：32xxm， 关于 x的分式方程322xmxx有增根，增根为：x=2， 2 3 22m，即：m=2， 故选 C 【点睛】 本题主要考查解分式方程以及分
9、式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键 5D 【解析】 【分析】 根据解分式方程的方法求解，即可得到答案 【详解】 1x233x 332xx 3x 经检验，当3x 时，x与33x均不等于 0 答案第 6 页，共 12 页 方程1x233x的解是：x3 故选：D 【点睛】 本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解 6B 【解析】 【分析】 先把原式转化成同分母的分式，然后相加，运用平方差公式把分子因式分解，然后分子分母同时除以公因式（a-1）即可. 【详解】 解：原式=2211(1)(1)11111aaaaaaaaa ， 故本题答案为：B. 【点睛
10、】 分式的化简是本题的考点，运用平方差公式把分子进行因式分解找到分子分母的公因式是解题的关键. 7A 【解析】 【分析】 将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解 【详解】 解：111111a bb aaaabbbb bb b， 0ba， 1011aaabbbb b， 11aabb， 故选：A 【点睛】 本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键 8A 【解析】 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10-n，与较大数的科学记数法不同的是其 答案第 7 页，共 12 页 所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决
11、定 【详解】 解：80.0000000393.9 10， 故选：A 【点睛】 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 9D 【解析】 【分析】 先求出两个分式的乘积，然后根据分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为 0 的数，分式的值不变，进行求解即可 【详解】 解：2233249366326acbab cbbacabccg ， 故选 D 【点睛】 本题主要考查了分式的乘法和分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 10B 【解析】 【分析】 解分式方程得：63mxx即46x
12、m，由题意可知2x，即可得到68m. 【详解】 解：302mxx 方程两边同时乘以2x得：630mxx ， 46xm， 分式方程有解， 20 x， 2x， 68m， 2m ， 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键. 答案第 8 页，共 12 页 112160 【解析】 【分析】 根据“甲、乙两车单独运这批货物分别用 2a 次、a 次能运完”甲的效率应该为 12a，乙的效率应该为1a，那么可知乙车每次货运量是甲车的 2 倍根据“若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了 180 吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批
13、货物时，乙车共运了 270 吨”这两个等量关系来列方程 【详解】 设这批货物共有 T吨，甲车每次运 t甲吨，乙车每次运 t乙吨， 2at甲=T，at乙=T,t甲:t乙=1:2， 由题意列方程：180270180270TTtt甲乙， t乙=2t甲， 180270180135TT， 解得 T=540. 甲车运 180 吨，丙车运 540180=360 吨， 丙车每次运货量也是甲车的 2 倍， 甲车车主应得运费15402021605 (元)， 故答案为2160. 【点睛】 考查分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 12511 【解析】 【分析】 设这个分数为ab，根据已知条件
14、列两个方程，再这两解方程即可求解. 【详解】 解：设这个分数为ab， 依题意得，1112ab，2123ab， 解之得：511ab， 经检验，511ab，是的所列方程的解且符合题意， 答案第 9 页，共 12 页 故答案为：511. 【点睛】 本题主要考查了用方程解决问题，找出题中的等量关系是关键 13 32x 114 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可以用含 x的式子表示出 m； （2）根据图形，可以用 x的代数式表示出 y，列出关于 x的分式方程，从而可以求得 x的值，进而得到 n的值 【详解】 解： （1）由图可得11322mxxx， 故答案为：32x； （2）1112()(3)322
15、ymnxxxx，2y ， 232x， 解得，2x ， 111324nx， 故答案为：114 【点睛】 本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解 142x 且12y 【解析】 【分析】 根据分式的值为零，分子等于 0，分母不等于 0 即可求解. 【详解】 由题意得：20 x且210y 解得：2x 且12y 答案第 10 页，共 12 页 故填：2x 且12y . 【点睛】 主要考查分式的值为零的条件，注意：分式的值为零，分子等于 0，分母不等于 0. 15242xyxxy 【解析】 【分析】 根据分式的运算法则计算即可 【详解】 解：2
16、222242222yxxyxxyyxxy， 22=222yxyxx xyxyxy， 2=2xyxxy， 242=xyxxy， 故答案为：242xyxxy 【点睛】 此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则 162x 【解析】 【分析】 根据分式值为负的条件列出不等式求解即可 【详解】 解：32x0 x-20，即2x 故填：2x 【点睛】 本题主要考查了分式值为负的条件，根据分式小于零的条件列出不等式成为解答本题的关键 1711x 【解析】 答案第 11 页，共 12 页 【分析】 根据分式的运算法则化简，即可求解 【详解】 1111xx1 1 111111xxxxxxx 故答案为：1
17、1x 【点睛】 此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则 18 （1）甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要 20 天、30 天； （2）10 天； （3）2 人 【解析】 【分析】 （1） 等量关系为： 甲的工作效率 5+甲乙合作的工作效率 9=1， 先算出甲单独完成此项工程需要多少个月 而后算出乙单独完成需要的时间； （2）两个关系式：甲乙两个工程队需完成整个工程；工程施工总费用为 70000 元 （3）设乙队调走 m人，利用（1）中所求数据得出甲乙两队每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出即可 【详解】 解： （1）设甲装修队单独完成此项工程需要 x 天 根据题意，得59
18、112x， 解得 x=20， 经检验，x=20 是原方程的解 111301220， 答：甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要 20，30 天 （2）设实际工作中甲、乙两装修队分别做 a、b 天 根据题意，得 120304000200070000abab， 解得 a=10，b=15 答：要使该工程施工总费用为 70000 元，甲装修队应施工 10 天 （3）设乙装修队调走 m人， 由题意可得： 答案第 12 页，共 12 页 1111101492030203010m， 解得：m259， m 的最大整数值为 2， 答：乙队最多调走 2 人 【点睛】 本题考查了分式方程的应用以及不等式解法与应用，
19、利用总工作量为 1 得出等式方程是解决问题的关键 19 （1）2 32 2； （2）6； （3）2(2)(1)aaa 【解析】 【分析】 （1）化成最简二次根式后合并即可； （2）先化成最简二次根式，分母有理化后再合并即可； （3）先分子分母因式分解，把除法运算转化成乘法运算，约分即可 【详解】 (1) 3 122 488 =3 232 4322 =638322 =2322； (2) 508243 5 22 22 63 62 6 6 ； (3) 22211444aaaaa =21(2)(2)(2)(1)(1)aaaaaa =2(2)(1)aaa 【点睛】 本题考查了分式的乘除和二次根式的化简，
20、熟练掌握运算法则是解题的关键 20 （1）23； （2）1x 答案第 13 页，共 12 页 【解析】 【分析】 （1）原式先化简绝对值、二次根式以及立方根，然后再进行外挂； （2）原式先计算括号内的，再把除法转化为乘法，再进行约分即可 【详解】 解： （1）2332327 =( 32) | 3| ( 3) =323 3 =23； （2）2111xxxx =2211xxxxx =2(1)1xxxx =1x 【点睛】 本题主要考查了实数的混合运算以及分式的加减乘除混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键 21 （1）x=-2； （2）无解 【解析】 【分析】 （1）观察可得最简公分母是 2（x+3
21、） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 （2）观察可得最简公分母是（x+2） （x-2） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 【详解】 解： 23713226xx 43(3)7x 4397x 36x 2x 经检验2x 时，230 x 2x 是原分式方程的解； 22412242xxx 答案第 14 页，共 12 页 2412222xxxx 2242xx 2442xx 2x 经检验2x 时，220 xx 2x 不是原分式方程的解； 原分式方程无解； 【点睛】 本题考查了分式方程的解法，注： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
22、程求解 （2）解分式方程一定注意要验根 22 （1）2 ； （2）103x 【解析】 【分析】 （1）根据负整数指数幂以及零指数幂运算即可求解； （2）根据同底数幂相乘（除） ，底数不变，指数相加（减） ，即可求解 【详解】 解： （1）原式=2 1 3=2 ； （2）原式1225 24 8101012 2101010221=24443xxxxxxxxxxx 【点睛】 本题目考查整数指数幂，涉及知识点有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂等，难度一般，熟练掌握整数指数幂的运算法则是顺利解题的关键 23 （1）原分式方程无解 （2）11x 【解析】 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）首先将式子通分，化成同分母，分子合并同类项即可 【详解】 解： （1）2216124xxx 222164xx 2x 答案第 15 页，共 12 页 经检验：2x 是增根 所以原方程无解 （2）原式=2(1)1xxx =2(1)(1)11xxxxx =22111xxxx =11x 【点睛】 本题考查了解分式方程和分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法和分式的化简运算法则
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