1、第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1下列命题中，真命题是A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内2直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为()ABCD3已知点，且满足，则点Q的坐标为（）ABCD4如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则（）ABCD5已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（）ABCD6已知平面和平面的法向量分别为，则（）ABC与相交但不垂直D以上都不对7在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是()ABCD8已知
2、D为三棱锥棱的中点，则（）ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知空间中三点，则下列结论正确的有（）AB与共线的单位向量是C与夹角的余弦值是D平面的一个法向量是10若两条异面直线所成的夹角为，这两条异面直线所在的方向向量的夹角可能为（）ABCD不一定11已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是()ABCD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12设，分别是两个不同平面，的法向量，当，时，与的位置关系为_.13已知平面，写出平面
3、的一个法向量_14已知向量，且与垂直，则k的值是_15已知，的起点坐标是，则的终点坐标为_四、解答题（本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16直三棱柱中，棱，是的中点(1)求的长；(2)求的值17如图，在四面体中，点在线段上，且，为的中点.（1）若，用向量，表示向量；（2）若四面体的棱长均为1，求.18已知空间三点，设，(1)求，；(2)求与的夹角；(3)若向量与互相垂直，求实数k的值19正四棱锥中，底面正方形的边长为，点是底面中心.且的中点.（1）求；（2）若求20已知在四棱锥中，平面平面平面，（1）求的长；（2）求二面角的余弦值21如图，已知正方形和矩形所在的平
4、面互相垂直，是线段的中点(1)求证：平面；(2)若线段上总存在一点，使得，求的最大值22如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面.(1)证明：.(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案1D【解析】【分析】由公理3可得过不共线的三点有且只有一个平面，即可判断；如墙角处的三条交线，就不能确定一个平面，即可判断；平面内两组对边相等的四边形是平行四边形，但空间中，两组对边相等的四边形不一定是平行四边形；运用公理3及推论，同时结合公理1，即可推出结论【详解】由公理3可知：过不共线的三点有且只有一个平面，而空间三点有可能在一条直线上，故错；比如墙角处的三条交线，就不能确定一
5、个平面，空间两两相交且不共点的三条直线才可确定一个平面，故错；平面内两组对边相等的四边形是平行四边形，但空间中，两组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如正四面体的两组对棱构成的四边形不是平行四边形，故错；设直线和三条平行线，由公理3的推论3得，设，确定平面，确定平面，再由公理1得直线均在内，即过，的两条相交直线有两个平面，这与公理3的推论2矛盾，故重合，即正确故选：2C【解析】【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】，又，在方向上的投影，P到l距离.故选：C.3A【解析】【分析】由空间向量数乘运算的坐标表示计算即可.【详解】设，则，由，则有，.故选：A4B【解析】【分析】根据空间向
6、量基底法相关知识进行计算转化即可.【详解】在平行六面体中，.故选：B5D【解析】【分析】结合平面法向量的概念及，即可得到答案.【详解】由题意，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，因为，可得.故选：D.6B【解析】【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面和平面的位置关系.【详解】解：，故选：B.7D【解析】【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解【详解】如图，、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量故选：D8C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，即得.【详解】D为三棱锥棱的中点，.故选：C.9AD【解析】【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B
7、选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.【详解】，故，A正确；不是单位向量，且与不共线，B错误；，C错误；设，则，所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.故选：AD10AB【解析】【分析】根据直线夹角与对应方向向量的夹角的关系，即可选择.【详解】因为异面直线的夹角与其所在方向向量的夹角相等或互补，则本题所求两条异面直线所在的方向向量的夹角为或.故选：.11ABD【解析】【分析】根据题意在一个长方体内部作出四面体ABCD，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判断即可【详解】由题可知，可做如图所
8、示的长方体，设.，故A正确；，故B正确；平面，但无法判断AE和BC是否垂直，故C不一定正确；由图易知，故0，故D正确.故选：ABD12平行【解析】【分析】根据法向量的位置关系即可判断平面，的位置关系.【详解】解：，分别是两个不同平面，的法向量，且，则即两个平面的法向量平行所以平面，平行故答案为：平行.13（答案不唯一）【解析】【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【详解】设法向量为，则有，令得：，所以故答案为：14#1.6【解析】【分析】两向量垂直，它们的数量积为零，据此即可求k的值.【详解】，因为与垂直，所以，即，即，解得故答案为：.15【解析】【分析】根据向量坐
9、标的求解方法，结合已知数据，求解即可.【详解】设的终点坐标为，由题可得：，故可得，即的终点坐标为.故答案为：.16（1）；（2）【解析】【分析】(1) 以为原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系,写出点的坐标，再求出和.(2)先求出，再利用公式求的值【详解】以为原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系(1)依题意，得.(2)依题意，得，.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.17（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算，即得解.（2）用数量积表示模长，再利用向量数量积的分配律打开
10、运算，即得解【详解】（1），点在上，且，为的中点，（2）因为空间四面体的棱长均为1.所以，.即.18(1)，(2)(3)【解析】【分析】（1）根据空间向量模的坐标运算公式即可求出结果；（2）由（1）可知的坐标，根据空间向量夹角的坐标运算公式，即可求出结果；（3）由（1）可求出，的坐标，由向量与互相垂直，可得，再根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程，即可求出结果.(1)解：因为，所以,所以；因为，所以，所以；(2)解：由（1）可知，又，所以，即与的夹角为.(3)解：由（1）可知，又向量与互相垂直，所以，所以，即，解得.19（1）；（2）.【解析】（1）根据正四棱锥的特点，以及点为原点，建立空
11、间直角坐标系，求，（2）根据条件，求，再代入（1）的结果求的值.【详解】（1）如图建立直角坐标系，.（2），则得，由（1）可知.【点睛】本题考查空间坐标法求向量所成的角，重点考查计算能力，属于基础题型.20（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析： （1）第（1）问，建立空间直角坐标系，利用向量公式解答. (2)第（2）问，直接利用向量法和二面角的公式求解.试题解析：（1）过作于垂足，. 过点在平面内作交于，建立以为坐标交点.为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系.，所求之长为. （2）设平面的法向量，而，由及可知：，取，则，.设平面的法向量，由得，可取. 设二面角的平面角为. 二面角的余弦值为.2
12、1(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）设，连接，通过证明即可得出；（2）设，求出，利用求出，即可得出的最大值.(1)设，连接，因为是正方形，所以是中点，又因为是矩形，是线段的中点，所以,所以四边形为平行四边形，所以,又平面，平面，所以平面；(2)正方形和矩形所在的平面互相垂直，则可得两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，因为点在线段上，设，其中，则，从而点坐标为，于是，而，则由可知，即，所以，解得，故的最大值为.22(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据余弦定理证明，再利用面面垂直的性质得到平面即可得到；（2）根据（1）结合四棱锥的体积为，可得，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可(1)因为在中，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故(2)由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.则，故，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
浙公网安备33030202001339号