1、第二章一元二次函数、方程和不等式易错题精选一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。)1(本题5分)（2021浙江平湖市当湖高级中学高一阶段练习）下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若则2(本题5分)（2020浙江诸暨中学高一阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD3(本题5分)（2021浙江高一期末）设mn0，则关于x的不等式(mx)(nx)0的解集是（）Ax|xmBx|nxmCx|xnDx|mx0，则关于x的不等式(mx)(nx)0的解集是（）Ax|xmBx|nxmCx|xnDx|mx1时，不等式的解集为x|1xa，显然x|1xa不是x|0x1的
2、子集，不满足题意，舍去，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当x|ax1是x|0x1的子集时， a0，则0a1，综上所述，a的取值范围是a|0a1，又a为整数，所以a=0或a=1.故选：AB12(本题5分)（2020浙江高一期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（）A若，则的最大值为B函数的最小值为2C已知，则的最小值为D若正数x，y满足，则的最小值是3【答案】AC【解析】【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.【详解】因为，所以，当且仅当即时，等号成立 ，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，当且仅当，即时等
3、号成立，故D错误.故选：AC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题(共4小题，每题5分，共20分)13(本题5分)（2021浙江高一期中）已知，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以的
4、取值范围是，故答案为：.14(本题5分)（2021浙江浙江高一期中）已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】因为、为两个正实数，由可得，因为，当且仅当时，等号成立.所以，因此，实数的取值范围是.故答案为：.15(本题5分)（2021浙江绍兴鲁迅中学高一阶段练习）若至少存在一个，使得关于x的不等式成立，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】不等式化为，作出函数和的图象，由数形结合求出满足条件实数的取值范围【详解】解：不等式可化为：；若对任意，都有，作函数与的图象如下，结合图
5、象可知，当或时，对任意，都有；所以实数m的取值范围是故答案为：，16(本题5分)（2020浙江高一课时练习）已知，且，则最小值为_【答案】【解析】【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】，结合可知原式，且，当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误四、解答题(共6小题，共70分。解答应写出文字说明)17(本题10分)（2021浙江桐乡市茅盾中学高一阶段练习）已知不等式的解集是.（1）若，求的取值范围；（2）若，求
6、不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得出，由此可解得实数的取值范围；（2）由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得的值，进而可求得不等式的解集.【详解】（1），则，解得，因此，实数的取值范围是；（2），和是方程的两个根，由韦达定理得，解得，所以，不等式即为，即，解得.因此，不等式的解集为.18(本题12分)（2021浙江金华第一中学高一开学考试）已知关于的不等式（1）若不等式的解集是或，求的值；（2）若不等式的解集是，求的值：（3）若不等式的解集是，求的取值范围；（4）若不等式的解集是，求的取值范围.【答案】（1），（2），（3），（4）【解析】【分
7、析】（1）由题意可得方程的两个根分别为和，把根代入方程中从而可求出的值，（2）由题意可得方程有两个相等的根为，且，从而可求出的值，（3）由题意可得且，从而可求出的取值范围，（4）由题意可得且，从而可求出的取值范围，【详解】（1）因为不等式的解集是或，所以方程的两个根分别为和，所以，解得，（2）因为不等式的解集是，所以方程有两个相等的根为，且，所以，且，解得或（舍去），（3）因为不等式的解集是，所以且，由，得，得或，因为，所以，所以的取值范围为，（4）不等式的解集是，所以且，由，得，解得或，因为，所以，所以的取值范围为19(本题12分)（2021浙江高一单元测试）中美贸易摩擦不断.特别是美国对我
8、国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）
9、；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.【解析】（1）由题意，按照、分类，转化等量关系即可得解；（2）按照、分类，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.【详解】（1）当时，；当时，； ；（2）若，当时，万元 ；若，当且仅当即时，万元 .答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.20(本题12分)（2021浙江高一单元测试）设；（1）若，和中有且仅有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分别求出命题和表示的范围，分真假和假真作答即可.
10、（2）是的充分不必要条件，则是的真子集，按集合间的关系求解即可.【详解】解：（1）时，；，解得为假，为真，与必然一真一假或，解得，或 （2）是的充分不必要条件，则，解得【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，是基础题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.21(本题12分)（2021浙江高一期中）已知，.（1）若，求的最小值及此时，的值；（2）若，求的最小值及此
11、时，的值；（3）若，求的最小值及此时，的值.【答案】（1）当，时，取得最小值；（2）当，时，取得最小值；（3）当，时，取得最小值.【解析】【分析】（1）根据配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式及取等条件可得结果；（2）利用可得符合基本不等式的形式，利用基本不等式及取等条件可得结果；（3）由已知等式得，根据，利用基本不等式及取等条件可得结果.【详解】（1），（当且仅当，即，时取等号），当，时，取得最小值；（2），（当且仅当，即，时取等号），当，时，取得最小值；（3），（当且仅当，即，时取等号），当，时，取得最小值.22(本题12分)（2019浙江绍兴高一期末）已知,函数.(1)当时,解不等式;(2)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)或;(2)或.【解析】【分析】（1）代入，把项都移到左边，合并同类项再因式分解，即可得到本题答案；（2）等价于，考虑的图象不在图象的上方，利用数形结合的方法，即可得到本题答案.【详解】(1)当时,由得，即,解得,或，所以,所求不等式的解集为或；(2)等价于,所以当时，的图象在图象的下方，所以或所以,或.【点睛】本题主要考查一元二次不等式以及利用数形结合的方法解决不等式的恒成立问题.
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