1、2022 年上海年上海市市中考数学中考数学试卷试卷 一选择题一选择题 1. 8的相反数是（ ） A 8 B. 8 C. 18 D. 18 2. 下列运算正确的是（ ） A. a +a =a6 B. （ab）2 =ab2 C. （a+b） =a +b D. （a+b） （a-b）=a -b2 3. 已知反比例函数 y=kx（k0） ，且在各自象限内，y随 x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费 6 元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种
2、情况计算出的数据一样的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 6. 有一个正 n边形旋转90后与自身重合，则 n为（ ） A 6 B. 9 C. 12 D. 15 二填空题二填空题 7. 计算：3a2a_ 8. 已知 f（x）=3x，则 f（1）=_ 9. 解方程组2213xyxy的结果为_ 10. 已知 x-2 3x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是_ 11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到
3、甲和乙的概率为_ 12. 某公司 5月份的营业额为 25万， 7月份的营业额为 36 万， 已知 5、 6 月的增长率相同， 则增长率为_ 13. 为了解学生阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示） （每组数据含最小值，不含最大值） （0-1 小时 4 人，1-2 小时 10人，2-3 小时 14人，3-4 小时16 人，4-5 小时 6 人） ，若共有 200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于 3 小时的人数是_ 14. 已知直线 y=kx+b过第一象限且函数值随着 x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_ 15. 如图所示，在口A
4、BCD中，AC，BD交于点 O，,BOa BCb则DC=_ 16. 如图所示，小区内有个圆形花坛 O，点 C 在弦 AB 上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_ （结果保留） 17. 如图，在 ABC 中，A=30 ，B=90 ，D为 AB中点，E 在线段 AC上，ADDEABBC，则AEAC_ 18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等等弦圆弦圆”，现在有一个斜边长为 2 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_ 三解答题三解答题 19. 计算：112212|3| ( )1233 1 20. 解关于 x的
5、不等式组34423xxxx 21. 一个一次函数的截距为 1，且经过点 A（2，3） （1）求这个一次函数的解析式； （2）点 A，B在某个反比例函数上，点 B横坐标为 6，将点 B 向上平移 2 个单位得到点 C，求 cosABC的值 22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆 AB的长 （1）如图 1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 AB底部 a 米的点 D处，测角仪高为 b米，从 C 点测得 A点的仰角为 ，求灯杆 AB的高度 （用含 a，b，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图 2所示，现将一高度为2 米的木杆
6、CG放在灯杆 AB 前，测得其影长 CH为 1米，再将木杆沿着 BC 方向移动 1.8 米至 DE 的位置，此时测得其影长 DF为 3米，求灯杆 AB的高度 23. 如图所示， 等腰三角形ABC中， AB=AC， 点E， F在线段BC上， 点Q在线段AB上， 且CF=BE， AE =AQ AB求证： （1）CAE=BAF； （2）CF FQ=AF BQ 24. 已知：212yxbxc经过点21A ，03B， （1）求函数解析式； （2）平移抛物线使得新顶点为,P m n（m0） 倘若3OPBS，且在xk的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围； P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，120BPQ
7、时，求P点坐标 25. 平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE （1）若AECE， 证明ABCD为菱形； 若5AB，3AE ，求BD的长 （2）以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且2CEAE若F在直线CE上，求ABBC值 2022 年上海年上海市市中考数学中考数学试卷试卷 一选择题一选择题 1. 8的相反数是（ ） A. 8 B. 8 C. 18 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得 【详解】解：8 的相反数是8， 故选 A 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题
8、的关键 2. 下列运算正确的是（ ） A. a +a =a6 B. （ab）2 =ab2 C. （a+b） =a +b D. （a+b） （a-b）=a -b2 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式加法判定 A；运用积的乘方计算关判定 B；运用完全平方公式计算并判定 C；运用平方差公式计算并判定 D 【详解】解：A.a +a 没有同类项不能合并，故此选项不符合题意； B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意； C.（a+b） =a +2ab+b ，故此选项不符合题意 D （a+b） （a-b）=a -b2，故此选项符合题意 故选：D 【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，
9、平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键 3. 已知反比例函数 y=kx（k0） ，且在各自象限内，y随 x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出 k0，再根据 k=xy，逐项判定即可 【详解】解：反比例函数 y=kx（k0） ，且在各自象限内，y随 x的增大而增大，, k=xy0，点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、-2 30，点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、3 0
10、=0，点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、-3 0=0，点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键 4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费 6 元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上 6 得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得
11、出答案 【详解】解：将这组数据都加上 6得到一组新的数据， 则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变； 故选：D 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键 5. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案 【详解】解：A、命题一定有逆
12、命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、 假命题的逆命题定不一定是假命题， 如： 相等的两个角是对顶角的逆命题是： 对顶角相等， 它是真命题，故此选项不符合题意 故选：A 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题 6. 有一个正 n边形旋转90后与自身重合，则
13、n为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90一致或有倍数关系的则符合题意 【详解】如图所示，计算出每个正多边形中心角，90是30的 3 倍，则可以旋转得到 A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正 12 边形旋转 90 后能与自身重合 故选 C 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系 二填空题二填空题 7. 计算：3a2a_ 【答案】a 【解析】 【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a2a=（32）a=a 8. 已知
14、 f（x）=3x，则 f（1）=_ 【答案】3 【解析】 【分析】直接代入求值即可 【详解】解：f（x）=3x， f（1）=31=3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可 9. 解方程组2213xyxy的结果为_ 【答案】21xy 【解析】 【分析】利用平方差公式将分解因式变形，继而可得3xy，联立利用加减消元法，算出结果即可 【详解】解：2213xyxy 由，得：3xyxy， 将代入，得：13xy，即3xy， +，得：24x， 解得：2x ， ，得：22y ， 解得：1y ， 方程组2213xyxy的结果为 21xy 【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平
15、方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键 10. 已知 x-2 3x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是_ 【答案】m0，即(-23)2-4m0，求解即可 【详解】解：x-2 3x+m=0有两个不相等的实数根， =(-23)2-4m0 解得：m3， 故答案为: m0；当方程有两个相等的实数根，=0；当方程没有实数根，0”是解题的关键 11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_ 【答案】13 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【详解】解：画树
16、形图如下： 由树形图可知所有可能情况共 6 种，其中分到甲和乙的情况有 2中， 所以分到甲和乙的概率为21=63， 故答案为：13 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比 12. 某公司 5月份的营业额为 25万， 7月份的营业额为 36 万， 已知 5、 6 月的增长率相同， 则增长率为_ 【答案】20% 【解析】 【分析】根据该公司 5、6两个月营业额的月均增长率为 x 结合 5 月、7月营业额即可得出关于 x的一元二次方程，
17、解此方程即可得解 【详解】解：设该公司 5、6两个月营业额的月均增长率为 x，根据题意得， 225(1)36x 解得，120.2,2.2xx （舍去） 所以，增长率为 20% 故答案为：20% 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据数量关系列出关于 x的一元二次方程是解题的关键 13. 为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示） （每组数据含最小值，不含最大值） （0-1 小时 4 人，1-2 小时 10人，2-3 小时 14人，3-4 小时16 人，4-5 小时 6 人） ，若共有 200名学生，则该学校六年级学生
18、阅读时间不低于 3 小时的人数是_ 【答案】88 【解析】 【分析】由 200 乘以样本中不低于 3 小时的人数的百分比即可得到答案 【详解】解：该学校六年级学生阅读时间不低于 3小时的人数是 16 62220020088,4 10 14 16 650+?+ 故答案为：88 【点睛】本题考查的是利用样本估计总体，求解学生阅读时间不低于 3 小时的人数的百分比是解本题的关键 14. 已知直线 y=kx+b过第一象限且函数值随着 x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_ 【答案】2yx （答案不唯一） 【解析】 【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论 【详解】直线ykxb过第一
19、象限且函数值随着 x的增大而减小， 0k ，0b， 符合条件的一条直线可以为：2yx （答案不唯一） 【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数ykxb（0k ） ，当0k ，0b时，函数图象过第一象限且函数值随着 x 的增大而减小 15. 如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点 O，,BOa BCb则DC=_ 【答案】2abrr 【解析】 【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解 【详解】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AC，BD交于点 O， 又BOa，BCb， 22BDBOa， 2DCBCBDba， 故答案为：2
20、abrr 【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则 16. 如图所示，小区内有个圆形花坛 O，点 C 在弦 AB 上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛面积为_ （结果保留） 【答案】400 【解析】 【详解】解：过点 O作 ODAB 于 D，连接 OB，如图， AC=11，BC=21， AB=AC+BC=32， ODAB于 D， AD=BD=12AB=16， CD=AD-AC=5， 在 RtOCD中，由勾股定理，得 OD=2222135OCCD=12, 在 RtOBD中，由勾股定理，得 OB=22221612BDCD=2
21、0， 这个花坛的面积=202=400， 故答案为：400 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键 17. 如图，在 ABC 中，A=30 ，B=90 ，D为 AB中点，E 在线段 AC上，ADDEABBC，则AEAC_ 【答案】12或14 【解析】 【分析】 由题意可求出12DEBC， 取AC中点 E1， 连接 DE1， 则DE1是ABC的中位线， 满足112DEBC，进而可求此时112AEAC，然后在 AC上取一点 E2，使得 DE1DE2，则212DEBC，证明DE1E2是等边三角形，求出 E1E214AC，即可得到214AEAC
22、，问题得解 【详解】解：D为 AB 中点， 12ADDEABBC，即12DEBC， 取 AC中点 E1，连接 DE1，则 DE1是ABC 的中位线，此时 DE1BC，112DEBC， 112AEADACAB， 在 AC上取一点 E2，使得 DE1DE2，则212DEBC， A=30 ，B=90 ， C=60 ，BC12AC， DE1BC， DE1E2=60 ， DE1E2是等边三角形， DE1DE2E1E212BC， E1E214AC， 112AEAC， 214AEAC，即214AEAC， 综上，AEAC的值为：12或14， 故答案为：12或14 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分
23、线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含 30 角的直角三角形的性质等，根据12DEBC进行分情况求解是解题的关键 18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等等弦圆弦圆”，现在有一个斜边长为 2 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_ 【答案】22#22 【解析】 【分析】如图，当等弦圆 O最大时，则O经过等腰直角三角形的直角顶点 C，连接 CO交 AB于 F，连接OE，DK，再证明DK经过圆心，CFAB，分别求解 AC，BC，CF， 设O的半径为, r 再分别表示,EF OF OE 再利用勾股定理求解半径 r 即可 【详解】
24、解：如图，当等弦圆 O 最大时，则O经过等腰直角三角形的直角顶点 C，连接 CO 交 AB 于 F，连接 OE，DK， ,90 ,CDCKEQACB=?Q 90 ,CODCOK ? DK过圆心 O，CFAB， ,90 ,2,ACBCACBAB=?Q 12,1,2ACBCAFBFCFAB= 设O的半径为, r 222,1,CDrrrEQ OFr OEr=+= -= ,CFAB 2,2EFQFr= ()22221,2rrr骣琪=-+琪桫 整理得：2420,rr-+ = 解得：1222,22,rr= += - ,OCCFQ 22r= +不符合题意，舍去， 当等弦圆最大时，这个圆的半径为22. 故答案
25、为：22 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键 三解答题三解答题 19. 计算：112212|3| ( )1233 1 【答案】13 【解析】 分析】原式分别化简|33 |=，121( )= 33，2= 3+131，1212 =2 3，再进行合并即可得到答案 【详解】解：112212|3| ( )1233 1 =333+1 2 3 =13 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 20. 解关于 x的不等式组34423xxx
26、x 【答案】-2x-2， 解得：x-1， -2x-1 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键 21. 一个一次函数的截距为 1，且经过点 A（2，3） （1）求这个一次函数的解析式； （2）点 A，B在某个反比例函数上，点 B横坐标为 6，将点 B 向上平移 2 个单位得到点 C，求 cosABC的值 【答案】 （1）y=x+1 （2）55 【解析】 【小问 1 详解】 解：设这个一次函数的解析式 y=kx+1， 把 A（2，3）代入，得 3=2k+1， 解得：k=1， 这个一次函数的解析式
27、为 y=x+1； 【小问 2 详解】 解：如图， 设反比例函数解析式为 y=mx， 把 A（2，3）代入，得 3=2m， 解得：m=6， 反比例函数解析式为 y=6x， 当 x=6时，则 y=66=1， B（6，1） ， AB=22(62)(1 3)2 5， 将点 B 向上平移 2个单位得到点 C， C（6，3） ，BC=2， A（2，3） ，C（6，3） ， ACx 轴， B（6，1） ，C（6，3） ， BCx 轴， ACBC， ACB=90 ， ABC是直角三角形， cosABC=2552 5BCAB 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得 ACBC
28、 是解题的关键 22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆 AB的长 （1）如图 1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 AB底部 a 米的点 D处，测角仪高为 b米，从 C 点测得 A点的仰角为 ，求灯杆 AB的高度 （用含 a，b，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图 2所示，现将一高度为2 米的木杆 CG放在灯杆 AB 前，测得其影长 CH为 1米，再将木杆沿着 BC 方向移动 1.8 米至 DE 的位置，此时测得其影长 DF为 3米，求灯杆 AB的高度 【答案】 （1）atan+b米 （2）3.8米 【解析】 【分析
29、】 （1）由题意得 BD=a，CD=b，ACE=，根据四边形 CDBE为矩形，得到 BE=CD=b，BD=CE=a，在 RtACE中，由正切函数 tan=AECE ，即可得到 AB的高度； （2） 根据 ABED， 得到ABFEDF， 根据相似三角形的对应边成比例得到EDABDFBF ， 又根据 ABGC，得出ABHGCH，根据相似三角形的对应边成比例得到ABGCBHCH 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【小问 1 详解】 解：如图 由题意得 BD=a，CD=b，ACE= B=D=CEB=90 四边形 CDBE为矩形， 则 BE=CD=b，BD=CE=a， 在 RtACE中，tan=AEC
30、E ， 得 AE=CE=CE tan=a tan 而 AB=AE+BE， 故 AB= a tan+b 答：灯杆 AB 的高度为 atan+b米 【小问 2 详解】 由题意可得，ABGCED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于 ABED， ABFEDF， 此时EDABDFBF 即2=31.83ABBC ， ABGC ABHGCH， 此时ABGCBHCH， 211ABBC 联立得 24.8321ABBCABBC， 解得：3.80.9ABBC 答：灯杆 AB 的高度为 3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉
31、相似三角形的判定与性质 23. 如图所示， 在等腰三角形ABC中， AB=AC， 点E， F在线段BC上， 点Q在线段AB上， 且CF=BE， AE =AQ AB求证： （1）CAE=BAF； （2）CF FQ=AF BQ 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用 SAS 证明ACEABF 即可； （2）先证ACEAFQ可得AEC=AQF，求出BQF=AFE，再证CAFBFQ，利用相似三角形的性质得出结论 【小问 1 详解】 证明：AB=AC， B=C， CF=BE， CE=BF， 在ACE和ABF 中，ACABCBCEBF ， ACEABF（SAS） ， CAE=
32、BAF； 【小问 2 详解】 证明：ACEABF， AEAF，CAE=BAF， AE =AQ AB，ACAB， AEABAQAE，即AEACAQAF， ACEAFQ， AEC=AQF， AEF=BQF， AEAF， AEF=AFE， BQF=AFE， B=C， CAFBFQ， CFAFBQFQ，即 CF FQ=AF BQ 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键 24. 已知：212yxbxc经过点21A ，03B， （1）求函数解析式； （2）平移抛物线使得新顶点为,P m n（m0） 倘若3OPBS，且在
33、xk的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围； P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，120BPQ时，求P点坐标 【答案】 （1）2132yx （2）k2 P的坐标为（23，3）或（-23，3） 【解析】 【分析】 （1）把21A ，03B，代入212yxbxc，求解即可； （2）由2132yx，得顶点坐标为(0，-3)，即点 B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了 m个单位，根据1332OPBSm，求得 m=2，在xk的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出 k 取值范围； 把 P（m，n）代入2132yx，得 n=2132m ，则 P（m， 2132m ） ，从而求得新抛物线解
34、析式为：y=12(x-m)2+n=12x2-mx+m2-3，则 Q(0，m2-3)，从而可求得 BQ=m2，BP2=2222411(33)24mmmm ，PQ2=22222411(3)(3)24mmmmm，即可得出 BP=PQ，过点 P作 PCy 轴于 C，则 PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得 BC=12BQ=12m2，BPC=12BPQ=12 120 =60 ，再根据 tanBPC= tan 60 =2123|mBCPCm，即可求出 m 值，从而求出点 P坐标 【小问 1 详解】 解：把21A ，03B，代入212yxbxc，得 1223bcc ，解得：03bc ， 函数解析式为：21
35、32yx； 【小问 2 详解】 解：2132yx， 顶点坐标为(0，-3)，即点 B 是原抛物线的顶点， 平移抛物线使得新顶点为,P m n（m0） 抛物线向右平移了 m 个单位， 1332OPBSm， m=2， 平移抛物线对称轴为直线 x=2，开口向上， 在xk的右侧，两抛物线都上升， 又原抛物线对称轴为 y 轴，开口向上， k2， 把 P（m，n）代入2132yx，得 n=2132m ， P（m， 2132m ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=12(x-m)2+n=12x2-mx+m2-3， Q(0，m2-3)， B（0，-3） ， BQ=m2，BP2=2222411(33)24mmm
36、m ， PQ2=22222411(3)(3)24mmmmm， BP=PQ， 如图，过点 P 作 PCy轴于 C，则 PC=|m|， BP=PQ，PCBQ， BC=12BQ=12m2，BPC=12BPQ=12 120 =60 ， tanBPC= tan 60 =2123|mBCPCm， 解得：m= 23， n=2132m =3， 故 P 的坐标为（23，3）或（-23，3） 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般 25. 平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE
37、（1）若AECE， 证明ABCD为菱形； 若5AB，3AE ，求BD的长 （2）以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且2CEAE若F在直线CE上，求ABBC的值 【答案】 （1）见解析；6 2 （2）105 【解析】 【分析】 （1）连接 AC交 BD 于 O，证AOECOE(SSS)，得AOE=COE，从而得COE=90 ，则ACBD，即可由菱形的判定定理得出结论； 先证点 E是ABC的重心，由重心性质得 BE=2OE，然后设 OE=x，则 BE=2x，在 RtAOE 中，由勾股定理，得 OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在 RtAOB 中，由
38、勾股定理，得 OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=2,即可得 OB=3x=32，再由平行四边形性质即可得出 BD长； （2）由A与B相交于 E、F，得 ABEF，点 E是ABC的重心，又F在直线CE上，则 CG 是ABC的中线，则 AG=BG=12AB，根据重心性质得 GE=12CE22AE，CG=CE+GE=3 22AE，在 RtAGE中，由勾股定理， 得 AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,则 AG=22AE,所以 AB=2AG=2AE， 在 RtBGC 中，由勾股定理，得 BC2=BG2+CG2=12AE
39、2+（3 22AE）2=5AE2，则 BC=5AE，代入即可求得ABBC的值 【小问 1 详解】 证明：如图，连接 AC交 BD 于 O， 平行四边形ABCD， OA=OC， AE=CE，OE=OE， AOECOE(SSS)， AOE=COE， AOE+COE=180 ， COE=90 ， ACBD， 平行四边形ABCD， 四边形ABCD是菱形； OA=OC， OB是ABC 的中线， P为BC中点， AP 是ABC的中线， 点 E是ABC的重心， BE=2OE， 设 OE=x，则 BE=2x， 在 RtAOE 中，由勾股定理，得 OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2, 在 RtAOB
40、中，由勾股定理，得 OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2, 9-x2=25-9x2， 解得：x=2, OB=3x=32， 平行四边形ABCD， BD=2OB=62； 【小问 2 详解】 解：如图， A 与B 相交于 E、F， ABEF， 由（1）知点 E是ABC的重心， 又F在直线CE上， CG是ABC 的中线， AG=BG=12AB，GE=12CE， CE=2AE， GE=22AE，CG=CE+GE=3 22AE， 在 RtAGE 中，由勾股定理，得 AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2, AG=22AE, AB=2AG=2AE， 在 RtBGC 中，由勾股定理，得 BC2=BG2+CG2=12AE2+（3 22AE）2=5AE2， BC=5AE， 21055ABAEBCAE= 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目
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