1、江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知首项为的正项数列满足，若，则实数的值为A. B. C. D. 2. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）A B. 3C. 6D. 3. 17世纪法国数学家费马在平面与立体轨迹引论中证明，方程(k0，k1，a0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（ ）A. 椭圆的离心率B. 椭圆离心
2、率的平方C. 短轴长与长轴长的比D. 短轴长与长轴长比的平方4. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 5. 给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行若直线方向向量，平面的法向量，则若平面，的法向量分别为，则若平面经过三
3、点，向量是平面的法向量，则若点，点是点关于平面的对称点，则点与的距离为若、方差为，则、的方差为若，则与共线单位向量是A. B. C. D. 6. 对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（ ）A. B. C. ，D. ，7. 对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8. 已知正四面体的边长为，点P、Q分别为线段，上的动点，满足，M为线段的中点，则的最大值为（ ）A. B. 2C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20
4、分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9. 下列结论正确的是（ ）A. 若是直线方向向量，平面，则是平面的一个法向量；B. 坐标平面内过点的直线可以写成；C. 直线过点，且原点到的距离是，则的方程是；D. 设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为.10. 定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有A. B. C. D. 若，则11. 下列说法正确的是（ ）A. 椭圆上任意一点非左右顶点与左右顶点连线的斜率乘积为，B. 过双曲线焦点的弦中最短的弦长为，C. 抛物线上两点，
5、则弦经过焦点的充要条件是，D. 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与该抛物线相切12. 有一列数：，该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. ，若数列为等比数列，公比为，则D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知点和抛物线，过的焦
6、点且斜率为的直线与交于，两点若，则_14. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是_.15. 已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值是_.16. 已知双曲线的右焦点为，且经过点，则双曲线的标准方程为_；若直线与轴交于点，点是右支上一动点，且，直线与以为直径的圆相交于另一点，则的最大值是_四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在，这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，若问题中的存在，求的最小整数值；若不存在，请说明理由问题：设数列满足，数列的前n项和为若_，则是否存在
7、，使得？18. 直角三角形中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面（1）当时，证明：平面；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，M是AB的中点（1）求证:;（2）求二面角余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由20. 在平面中，已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线方程为，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.21. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=
8、0，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：AOB的周长为12；AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程.22. 已知数列中， ；（1）求，； （2）求证：是等比数列，并求的通项公式； （3）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知首项为的正项数列满足，若，则实数的
9、值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】整理已知关系式可得：，令，可得；利用对数法可证得为等比数列，从而可求得，进而得到，表示出后与已知条件对应，则可求得的值.【详解】由题意得：令，则，两边取对数得：又，则数列是首项为，公比为的等比数列 ，即 又 本题正确选项：【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列通项公式的问题，关键是能够将已知递推关系式化为的形式，从而采用对数法来求解通项公式.本题要求学生能够清晰掌握递推关系式的特征，根据递推关系式的形式确定配凑的方法.2. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最
10、小值为（ ）A. B. 3C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，两式相减，可得：， ，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选：C【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力3. 17世纪法国数学家费马在平面与立体轨迹引论中证明，方程(k0，k1，a0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（ ）A. 椭圆的离心率B
11、. 椭圆离心率的平方C. 短轴长与长轴长的比D. 短轴长与长轴长比的平方【答案】D【解析】【分析】特殊化，将P取为椭圆短轴端点.【详解】设椭圆方程为，为上顶点，则为原点. ，则.故选：D.4. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，
12、根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即【详解】设，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又所以，因为，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短.5. 给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行若直线的方向向量，平面的法向量，则若平面，的法向量分别为，则若平面经过三点，向量是平面的法向量，则若点，点是点关于平面的对称点，则点与的距离为若、的方差为，则、的方差为若，则与共线的单位向量是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的性质和
13、空间向量的坐标运算，逐项检验，即可得到结果.【详解】对于（1），由可得，显然不存在，所以与不平行，故（1）错误；对于（2），由可得，所以或 ，故（2）错误；对于（3），由，可得不垂直，所以平面，不垂直，故（3）错误；对于（4），由题意，因为是平面的法向量，所以，且，两式联立可得，故（4）正确；对于（5），因为点是点关于平面的对称点，则点，又，所以，故（5）正确；对于（6），、的方差为，则、的方差为，故（6）正确；对于（7），因为，所以与共线的单位向量是，故（7）正确所以正确的命题有个故选:D6. 对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值
14、点”为（ ）A. B. C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】先求出，再得到，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解【详解】因为，所以，当，所以，因为函数在上单调递增，所以时，数列为单调递增数列，所以，所以数列的“谷值点”为，故选：C.7. 对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：由题意,，则，很明显n2时,，两式作差可得：，则an=2(n+1),对a1
15、也成立，故an=2(n+1)，则ankn=(2k)n+2，则数列ankn为等差数列，故SnS6对任意的恒成立可化为：a66k0,a77k0；即，解得：.实数的取值范围为.本题选择B选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8. 已知正四面体的边长为，点P、Q分别为线段，上的动点，满足，M为线段的
16、中点，则的最大值为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，将用表示，得，再两边平方并化简得，结合，利用三角换元可求出结果.【详解】如图：设，所以所以，所以，因为，所以令，所以，因，所以，所以，所以，所以，所以，所以的最大值为.故选：A【点睛】关键点点睛：设基向量，将用基向量表示，再利用基向量的长度和夹角求解是解题关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9. 下列结论正确的是（ ）A. 若是直线方向向量，平面，则是平面的一个法向量；B. 坐标平面内过点的直线可以写成；
17、C. 直线过点，且原点到的距离是，则的方程是；D. 设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为.【答案】BD【解析】【分析】A选项，当时，不能作为平面的法向量；B选项，设过点的直线方程一般式为，可得，代入直线得；C选项，直线斜率存在和不存在两种情况；D选项，求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点，再利用圆的标准方程性质可判断.【详解】对于A，当时，不能作为平面的法向量，故A错误；对于B，设过点的直线方程一般式为，可得，即，代入直线方程得提取公因式得，故B正确；对于C，当直线斜率不存在时，即，检验原点到的距离是2，所以符合；当直线斜率存在时，设为k，则方程为：
18、，即，利用原点到直线距离，解得，所以，故直线的方程是或，故C错误；对于D，由题知，二次函数的图象与坐标轴的三个交点为，设过这三个点的圆的方程为，令的两根为2019，-2020，由韦达定理知，令的其中一个根为，所以另一个根为1，即圆过点(0，1)，故D正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：本题考查直线与圆的问题，直线方程有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式的直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为0；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化成一般式.10. 定义空间两个向量的一种运算，则关于空间
19、向量上述运算的以下结论中恒成立的有A. B. C. D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】和需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；由定义验证若，且，结论成立，从而得到原结论不成立；根据数量积求出，再由平方关系求出，的值，代入定义进行化简验证即可【详解】解：对于，故恒成立；对于，故不会恒成立；对于，若，且，显然不会恒成立；对于，即有则恒成立故选：11. 下列说法正确的是（ ）A. 椭圆上任意一点非左右顶点与左右顶点连线的斜率乘积为，B. 过双曲线焦点的弦中最短的弦长为，C. 抛物线上两点，则弦经过焦点的充要条件是，D. 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与该抛物线相切【答案
20、】AB【解析】【分析】由圆锥曲线的性质，对选项逐一判断即可【详解】对于选项A，设椭圆的左右顶点分别为，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，又点在椭圆上，代入，得，故A正确；对于选项B，设双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线右支相交于，当直线斜率不存在时，则直线方程为，则当直线斜率存在时，则直线方程为，联立得，由所以，所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为故B正确对于选项C，充分性：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，因为，所以，此时直线过焦点当直线的斜率存在时，设直线方程为由，得，所以，且，又因为且，所以，解得或，所以直线方程为或当直线时，取时，直线过焦点当直线时，取时，直线过点所以充分
21、性不成立必要性：当直线过焦点时，设过焦点的直线的方程为，代入，可得，则，则，所以必要性成立所以抛物线上两点，则弦经过抛物线的焦点的必要不充分条件是，故C错误对于选项D，直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，故D错误故选：AB12. 有一列数：，该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）A.
22、B. C. ，若数列为等比数列，公比为，则D. 【答案】BD【解析】【分析】根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列中的项，发现数列是周期为的周期数列，然后利用周期性即可判断选项A，利用等比数列的定义结合新定义即可判断选项C，利用，列举，然后迭加即可判断选项D【详解】解：由题意得：，所以，左右相累加得：即，即，故D正确；若数列为等比数列，公比为，则，所以，故C错误；数列中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，则易得是周期为的数列所以，故A错误；，故B正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的
23、直线与交于，两点若，则_【答案】2【解析】【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】详解：设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,，因为M为AB中点，所以MM平行于x轴因为M(-1,1)所以，则即故答案为2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率14. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数
24、n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.【详解】由，当时，两式相减可得：，由，显然成立，设，当时，当时，因此，数列单调递增，当时，数列单调递减，由，故当或时，数列取最大值，且最大值为，对任意，所有的正整数n都有成立，可得，因此，即对任意恒成立，由，当且仅当，即时取最小值，则，实数k的取值范围是.故答案为：.15. 已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值是_.【答案】#【解析】【分析】利用空间坐标系计算点的运动轨迹方程，确定点的位置，从而求得角的最大值【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，设，由 ，得，化简得，故点
25、在以为球心，为半径的球面上，又点是正方体表面上一动点，当点在正方体的下底面与球的交线上，到点距离最短时，与平面所成的角最大，所以在中， ，故答案为:16. 已知双曲线的右焦点为，且经过点，则双曲线的标准方程为_；若直线与轴交于点，点是右支上一动点，且，直线与以为直径的圆相交于另一点，则的最大值是_【答案】 . . 【解析】【分析】设双曲线的标准方程为，利用待定系数法可求得双曲线的标准方程，利用平面向量数量积的运算法则可得出，求出的最小值，即可得解.【详解】由题意可设双曲线的标准方程是，则，解得，所以，双曲线标准方程为.直线的斜率为，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，所以，点为
26、线段的中点，故以为直径的圆的圆心为，且半径为，如图，连接、，由于点是以为直径的圆上异于、的一点，则，由双曲线的几何性质可知，.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是会转化，会根据向量数量积的几何意义把转化为，再根据平面向量的知识求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在，这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，若问题中的存在，求的最小整数值；若不存在，请说明理由问题：设数列满足，数列的前n项和为若_，则是否存在，使得？【答案】当选择时，存在，且的最小整数值为1；当选择时， 存在，且的最小整数值为24；选择
27、时，存在，且的最小整数值为0.【解析】【分析】先根据，利用数列通项和前n项和的关系求得，若选择，得到，利用裂项相消法求解；若选择，得到，利用等差数列的前n项和公式求解；若选择，得到，利用裂项相消法求解.【详解】因为，当时，解得，当时，由，得，两式相减得：，则，又适合上式，所以，当选择时，因为，所以，所以存在，且的最小整数值为1；当选择时，所以，所以存在，且的最小整数值为24；选择时，所以，当时， 所以存在，且的最小整数值为0；18. 直角三角形中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面（1）当时，证明：平面；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出
28、的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】试题分析：(1)由题意可得，取的中点，连接交于，当时，由几何关系可证得平面.则.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量与平面的法向量计算可得存在，使得与平面所成的角的正弦值为.试题解析：（1）在中，即，则，取的中点，连接交于，当时，是的中点，而是的中点，是的中位线，.在中，是的中点，是的中点.在中，则.又平面平面，平面平面，平面.又平面，.而，平面.（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，由（1）知是中点，而平面平面.平面，则.假设存在
29、满足题意的，则由.可得，则.设平面的一个法向量为，则即令，可得，即.与平面所成的角的正弦值.解得（舍去）.综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.【详解】19. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，M是AB的中点（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 在线段EC上存在点P,理由见解析.【解析】【分析】（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明（2）推导出，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦
30、值（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且【详解】证明：，M是AB的中点，平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，解：（2） 平面ABCD，是正三角形，、MC、ME两两垂直建立如图所示空间直角坐标系则0，0，0，0，0，设y，是平面BCE的一个法向量，则，令，得，轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量，二面角的余弦值为（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为0，设，则，直线AP与平面ABE所成的角为，由，解得，在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角
31、为，且【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题20. 平面中，已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线方程为，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据椭圆过点，且离心率，由求解.（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理利用弦长公式求得，再求得点到的距离，建立三角形面积模型求解.【详解】（1）因为椭圆过点
32、，且离心率.所以，解得，则，所以椭圆方程为：.（2）设直线方程为，、，联立方程组整理得：，所以，由弦长公式得：，点到的距离为.所以.当且仅当，即时取到最大值，最大值为：2.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：AOB的周长为12；AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.（3）若直
33、线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；直线方程为3x4y120（3）3x3y100【解析】【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标.（2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程.（3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程.【详解】（1）依题意直线方程为，即，即，所以由，解得，故直线过定点.（2）依题意设直线方程为，将代入得.则，则，解得或其中不满足，满足.所以存在直线，即满足条件.（3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴
34、分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角，所以，所以，令，由于，所以，所以，所以.则可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即，也即.【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22. 已知数列中， ；（1）求，； （2）求证：是等比数列，并求的通项公式； （3）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，分别令和，即可求得和的值；（2）由化简可得 ，得出数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得数列的通项公式； （3）求出 ，利用错位相减可求出 再根据恒成立条件，分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）由题意，数列中，当时，可得；当时，可得.（2）由，可得 ，即， 又由，可得 所以数列是以 为首项，3为公比的等比数列. 则，可得.（3）由，可得 两式相减得 ，所以，所以，若为偶数，则，可得；若为奇数，则，可得，即，综上可得，即的取值范围.
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