1、2021-2022学年北京市海淀区高二（上）期中数学试卷一、选择题1. 长方体中，化简（ ）A. B. C. D. 2. 已知，若，则实数，的值分别为（ ）A. ，B. ，C. 5，2D. ，3. 过点且与向量垂直的向量（ ）A. 有且只有一个B. 有无数个且共面C. 只有两个且方向相反D. 有无数个且共线4. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是A. B. C. D. 6. 已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 以上都
2、不对7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若，平行于平面，则与平行C. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面D. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线9. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与直线异面
3、，直线平面10. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 二、填空题11. 已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、，则这个长方体的外接球的表面积为_.12. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_13. 平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为_14. 已知，则以，为邻边的平行四边形的面积为_.15. 正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_16. 已知关于向量命题，（1）是，共线的充分不必要条件；（2）若，则存在唯一的实数，使；（3），则；（4）若为空间的一个基底，则构成
4、空间的另一基底；（5）在以上命题中，所有正确命题的序号是_三、解答题17. 正四棱柱中，为中点，为下底面正方形中心求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；（3）点到平面的距离18. 如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点，且（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角平面角的余弦值19. 在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点（1）证明：ACSB；（2）求二面角N-CM-B正切值大小；（3）求点B到平面CMN的距离2021-2022学年北京市海淀区高二（上）期中
5、数学试卷一、选择题1. 长方体中，化简（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图：，故选：C.2. 已知，若，则实数，的值分别为（ ）A. ，B. ，C. 5，2D. ，【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的共线得到方程组即可求解【详解】，故选：A3. 过点且与向量垂直的向量（ ）A. 有且只有一个B. 有无数个且共面C. 只有两个且方向相反D. 有无数个且共线【答案】B【解析】【分析】以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设为平面，则平面中过点的向量都符合题意，从而得到结果【详解】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有
6、一个，设为平面，则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面，故选：B4. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由题可知，要使直线与平面垂直，即求直线的方向向量和平面的法向量共线即可，结合向量坐标即得.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，时满足，对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误,故选：C5. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.【详解】由于直线与平面的
7、夹角为，其中，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.6. 已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】写出点关于平面的对称点的坐标，再求的值【详解】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以故选：A7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到
8、答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.8. 已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若，平行于平面，则与平行C. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面D. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除A.B，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除B.C，若与垂直于同一
9、平面则，所以C正确.D，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除D.故选：C9. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）A 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与直线异面，直线平面【答案】A【解析】【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.【详解】连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练
10、掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.10. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相
11、等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题11. 已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、，则这个长方体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【详解】【分析】解：长方体从同一顶点出发的三条
12、棱的长分别为1、2、3， 长方体的对角线长为：长方体的对角线长恰好是外接球的直径球半径为R=，可得球的表面积为4R2=14故答案为1412. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_【答案】【解析】【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2r=R，r=R2=r2+h2，h=R所以,故答案：13. 平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为_【答案】平面或平面【解析】【分析】根据题意，分平面和平面两种情况讨论，分别得到直线与平面的位置关系即可【详解】由题意，平面的法向量为，向量，若平面，则成立，若平面，则平面，直线与平面的位置关系为平面或平面，故答案为：平面或平面14. 已知，则以，
13、为邻边的平行四边形的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，易得以，为邻边的平行四边形为菱形，结合菱形面积公式，即可求解.【详解】由题意知，因此以，为邻边的平行四边形为菱形.因，所以，所以.故答案为：.15. 正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_【答案】#【解析】【分析】利用正四棱锥的性质可得为侧面与底面所成二面角的平面角，在直角三角形EFO中即求【详解】如图正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、，由正四棱锥的性质知平面，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，故答案为：16. 已知关于向量的命题，（1）是，共线的充分不必
14、要条件；（2）若，则存在唯一的实数，使；（3），则；（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；（5）在以上命题中，所有正确命题的序号是_【答案】（1）（4）【解析】【分析】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解【详解】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；（2）若向量，中有一个零向量，则存无数个实数，使，即（2）错误；（3）若，说明，不一定存在，即（3）错误；（4）令，则，所以，无解，即，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（5），即（5）错误命题（1）
15、（4）正确故答案为：（1）（4）三、解答题17. 正四棱柱中，为中点，为下底面正方形的中心求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；（3）点到平面的距离【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）用平移直线法，转化为解直角三角形问题；（2）作二面角的平面角，转化为解直角三角形问题；（3）用等体积法求解【小问1详解】取中点，连接，因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，所以，所以为异面直线与所成角，所以异面直线与所成角的余弦值为【小问2详解】取中点，取上底面正方形的中心，连接，由正四棱锥特性知平面，所以为二面角的平面角，所以，所以二面角的余弦值为【小问3详解】设点到平面的距
16、离为，由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，因为，所以，所以，所以点到平面的距离为18. 如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点，且（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值【答案】（1）与底面所成的角为45，与所成角的大小为60 （2）为中点，【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系利用向量法即求；（2）先用两点间距离公式，列方程确定P点位置，再用向量数量积计算二面角余弦值【小问1详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，又因为，所以，所以与底面所成的角为45因，所以，所以与所成的余弦值为
17、，所以与所成角的大小为60【小问2详解】，设，则，因为，所以，解得，于是，即为中点，又，设平面的法向量为，令，平面的法向量可取，因为二面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为19. 在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点（1）证明：ACSB；（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；（3）求点B到平面CMN的距离【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【详解】 取AC中点O，连结OS、OB平面平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO平面ABC， SOBO如图建立空间直角坐标系Oxyz：则 由得设为平面CMN的一个法向量，则，取则又为平面ABC的一个法向量 由得为平面CMN的一个法向量点B到平面CMN的距离【点睛】本题关键是由已知条件找到建立空间直角坐标系的合适位置，进而找到相关点，向量的坐标，代入线面角点面距的向量计算公式求解，有一定的难度
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