1、江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高二上期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角的大小为 A. B. C. D. 2. 平行直线与之间的距离为（ ）A. B. C. D. 3. 等差数列中，已知，则A. 1B. 2C. 3D. 44. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 5. 已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 6. 若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A. B. C D. 7. 曲线围成的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的有
2、（ ）个 过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为方程表示的曲线是双曲线若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线若椭圆的离心率为，则实数A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确是（ ）A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B. 若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D. 过两点的直线方程为10. 长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的
3、是（ ）A. 点在曲线内B. 直线与曲线没有公共点C. 曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上D. 曲线上有且仅有两个点到直线的距离为11. 已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 当时，D. 12. 在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（ ）A. 若直线与准线交于点，则B. 对任意的直线，C. 的最小值为D. 以为直径的圆与轴公共点个数为偶数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设直线，直线.当_时，14. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经
4、过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经过的路程为_.15. 已知圆，直线，为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围是_.16. 已知椭圆，过椭圆的上顶点作一条与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于另一点，关于轴的对称点为. 若直线， 与轴交点的横坐标分别为，. 则它们的积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17. （1）求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；（2）已知为抛物线的
5、焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.18. 如图所示，正方形的顶点.（1）求边所在直线方程；（2）写出点C的坐标，并写出边所在直线的方程.19. 在； ；. 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：已知数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.20. 已知圆.（1）过点向圆引切线，求切线的方程；（2）记圆与、轴正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.21. 已知双曲线.（1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双
6、曲线的左顶点，求证：直线过定点.22. 设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）求的离心率；（2）过的直线与相交于，两点.当为常数时. 若成等差数列，且公差不为，求直线的方程；当时. 延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆位置关系，并说明理由.江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高二上期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角的大小为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】考点：直线的倾斜角专题：计算题分析：因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以欲求直线的倾斜角，只需求出直线的斜率即可，把直线化为斜截式，可得斜率，问题得解解答：解：x-y+1=0可
7、化y=x+，斜率k=设倾斜角为，则tan=k=，0，）=故选A点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于直线方程的基础题型，需要学生对基础知识熟练掌握2. 平行直线与之间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将化简，再套用两平行线间的距离公式即可.【详解】因，所以，又，所以两平行线之间的距离，故选：B3. 等差数列中，已知，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】已知等差数列中一个独立条件，考虑利用等差中项求解.【详解】因为为等差数列，所以，由，,故选B.【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列中若，则,或用基本量、表示，整体代换计算可
8、得,属于简单题.4. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程求得，的值即可求解.【详解】由双曲线可得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：C.5. 已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】椭圆方程的分母均大于0且不相等，进而解出t.【详解】由题意，.故选：B.6. 若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据等差中项求出，再套用离心率公式即可求解.【详解】因为，所以，解得，所以，则，所以 故选：D7. 曲线围成的图形的
9、面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意做出曲线的图像，围成的图形为四个半圆和一个正方形，最后计算出答案即可【详解】曲线 关于轴和可知轴对称，图形如图所示：即四个半圆和一个正方形构成，正方形的边长为，半圆的半径为，所以面积为，故选：A8. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（ ）个 过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为方程表示的曲线是双曲线若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线若椭圆的离心率为，则实数A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直线被双曲线所截线段长最小值为，所以该命题错误；方程表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故
10、该命题错误；圆心的轨迹是抛物线，故该命题正确；当焦点在轴上时，解得，故该命题错误【详解】解：过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为，所以该命题错误；方程的几何意义是平面内动点到两个定点，距离差等于6的点的轨迹，表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故该命题错误；若动圆过点且与直线相切，则圆心到的距离等于到直线的距离，则圆心的轨迹是抛物线，故该命题正确；椭圆的离心率为，当焦点在轴上时，则，则，解得，故该命题错误故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的
11、是（ ）A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B. 若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D. 过两点的直线方程为【答案】AD【解析】【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；C选项：当直线经过坐标原点时，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；故选：AD.10. 长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运
12、动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（ ）A. 点在曲线内B. 直线与曲线没有公共点C. 曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上D. 曲线上有且仅有两个点到直线的距离为【答案】ABC【解析】【分析】直接法求得线段中点的轨迹为圆，再根据直线与圆的位置关系判断各选项.【详解】设线段中点，则，故，即，表示以原点为圆心，为半径的圆，故C选项正确；A选项，点满足在曲线内，A选项正确；B选项，直线，即，圆心到直线的距离，故直线与圆无公共点，B选项正确；D选项，圆心到直线的距离为，又，所得由三个点到直线的距离为，D选项错误；故选：ABC.11. 已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）A B
13、. C. 当时，D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据题意知数列是等差数列，且，可求出首项与公差的关系，在对选项逐一验证即可得到答案.【详解】，故A错误.，故B正确. 当时，等差数列单调递减，故C正确.，即，当时，故成立；当时，成立，故成立，D正确.故选：BCD.12. 在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（ ）A. 若直线与准线交于点，则B. 对任意的直线，C. 的最小值为D. 以为直径的圆与轴公共点个数为偶数【答案】ABC【解析】【分析】先表示出点的坐标再将直线和抛物线联立可求出， 的关系，进而可以判断出选项，根据焦半径和均值不等式
14、可判断出C选项的正误，求出以为直径的圆的圆心和半径可以确定D的正误.【详解】对于A选项，两点在抛物线上，所以，因为直线与准线交于点，所以直线为：，由得，所以 设直线 的方程为，联立 得， 所以，所以，即，所以，故A正确；对于B选项，由A可知，故 B正确；对于C选项，由B选项可知， 当且仅当，即时等号成立，故 C 正确；对于D选项，设直线的方程为 在抛物线上，所以， 以为直径的圆的半径，的中点坐标为，所以以为直径的圆与轴相切，所以，以为直径的圆与轴公共点个数为1，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设直线，直线.当_时，【答案】【解析】【分析】根据两直线
15、与垂直的等价条件是，列关系求参数即可.【详解】因为两直线垂直，所以，解得.故答案为：.14. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经过的路程为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义再结合已知条件可选出答案.【详解】如图，由题可知，光线经过点后，会到达点，然后再回到点，根据椭圆的定义，又椭圆的方程为，所以，小球经过的路程为：故答案为：15. 已知圆，直线，为直线上一点，若圆
16、上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先确定从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，进而求出的长度为4，故可转化为在直线上找到一点，使它到点的距离为4【详解】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为，则为时，为，所以的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点的距离为4设，或4满足条件的点横坐标的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，属于中档
17、题16. 已知椭圆，过椭圆的上顶点作一条与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于另一点，关于轴的对称点为. 若直线， 与轴交点的横坐标分别为，. 则它们的积为_.【答案】【解析】【分析】设 ，则 ，得到 AP和AQ的直线方程，分别令 求解.【详解】因为椭圆，所以椭圆的上顶点为，设 ，则 ，所以 AP的直线方程为 ，令 ，得 ，即 ，AQ的直线方程为 ，令 得 ，即 ，故答案为：3四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17. （1）求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；（2）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.【答案】（1）；（2）.
18、【解析】【分析】（1）求出椭圆的长轴端点和焦点坐标，得双曲线的，计算出后可得标准方程；（2）由抛物线的焦半径公式求得值得抛物线方程【详解】解：（1）椭圆的长轴端点为，焦点为，设所求双曲线方程为，则，所以所以所求双曲线方程为； （2）由抛物线定义知，所以所以抛物线的方程为18. 如图所示，正方形的顶点.（1）求边所在直线的方程；（2）写出点C的坐标，并写出边所在直线的方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由求得边所在直线方程.（2）由求得点的坐标，结合求得边所在直线方程.【详解】（1）边所在直线的一个法向量为，边所在直线的方程为：，即（2）设，由已知得，解得：，即，因为边所在直线
19、的一个方向向量为，所以边所在直线的方程为.即.19. 在； ；. 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：已知数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.【答案】（1） （2）12【解析】【分析】（1）若选择条件，利用得数列的递推关系，证得数列是等差数列，求出后可得通项公式；若选择条件，直接利用得证数列是等差数列，易得通项公式；若选择条件，已知式变形栣出新数列是等差数列，求出后再由求得通项公式；（2）由等差数列前项和公式求得前项和，利用二次函数性质得最大值【小问1详解】若选择条件：因为所以，两式相减得，即，又，即，所以，又，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列
20、所以 若选择条件：由，得，即，所以数列是等差数列，公差为，又因为， 所以数列的通项公式为 若选择条件：由，变形为，在原式中令得，又，所以，所以，所以数列是等差数列，首项为6，公差为-2.所以，所以， 所以当时，符合上式，所以数列的通项公式为【小问2详解】因为，所以当或4时，取最大值为12 20. 已知圆.（1）过点向圆引切线，求切线的方程；（2）记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.【答案】（1）或. （2）有两个公共点，【解析】【分析】（1）切线斜率不存在，方程为符合题意，当斜率存在时，设切线方程为，利用圆心到直
21、线的距离等于半径列方程求得的值即可求解.（2）求出，两点坐标，再由两点间距离公式可得点的轨迹方程，由圆心距与半径之和、半径之差的关系可判断两圆是否有两个公共点，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，由圆心到直线的距离以及半径，由几何法可得公共弦长.【小问1详解】由圆可得圆心，半径为，若切线斜率不存在，则方程为与圆相切，所以符合题意； 若斜率存在，设方程为，即，则圆心到切线的距离，解得：，切线方程为即，综上所述：切线方程为或.【小问2详解】因为圆，所以，设，由可得：，化简得：，即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以圆心距，因为，所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程
22、为，圆心到直线的距离，所以公共弦长为.21. 已知双曲线.（1）过直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线方程，与双曲线联立，利用判别式可求；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合求出和关系即可证明.【小问1详解】由题意得直线的斜率必存在，设，联立，得若，即时，满足题意； 若，即时，令，解之得； 综上，的斜率为【小问2详解】证明：设，联立，得，则： 以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，即，由韦达定理知，.则，整理得，
23、解得或（均满足）.当时，直线：，此时，直线过点，不满足题意，故舍去； 当时，直线：，此时，直线恒过点，满足题意. 所以原题得证，即直线过定点.22. 设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）求的离心率；（2）过的直线与相交于，两点.当为常数时. 若成等差数列，且公差不为，求直线的方程；当时. 延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1） （2），；相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆方程求得离心率即可.（2）由成等差数列，且公差不为，知直线斜率存在，且，求得.设直线方程为，与椭圆联立，由弦长公式求AB的长，结合，求得直线斜率，写出直线方程；设，则，令，将直线方程与椭圆联立，分别表示出的坐标，求得的斜率，写出的方程，与椭圆联立，验证判别式与0的关系，从而确定直线与椭圆的关系.【小问1详解】由题意得， 因为，故， 即【小问2详解】成等差数列，且公差不为，直线斜率存在，且又，；设直线方程为，联立，得，则 ，解之得 故直线方程为，直线与椭圆的位置关系是：相切.理由如下：设，则，令联立，得，由韦达定理可知，并注意到，得， 即， 故， 得 同理得. 此时， 直线的方程为，整理得联立，得，注意到，故此时，故直线与椭圆的位置关系是：相切.
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