1、2021 北京海淀高三上期中数学北京海淀高三上期中数学试卷试卷 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)在复平面内，复数(2)zii对应的点的坐标为 A.(1，2) B.(-1，2) C. (2，1) D.(2，-1) (2)已知向量( ,2),( 1,1)axb ，若ab，则x A. 1 B.-l C. 2 D.-2 (3)已知全集12 3 4U ， ， ，集合1A ，C ()3UAB ，则集合 B 可能是 A. 4 B.1,4 C.2，4 D.1，2，3 (4 )已知命题1:(0)2paaa ，则p是 A. 1(0,
2、),2aaa B. 1(0,),2aaa C. 1(0,),2aaa D. 1(0,),2aaa (5)下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是 A.sinyx B. yx x C.tanyx D. 1yxx (6)“abc”是“abac”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (7)已知等比数列na的公比为 q.若na为递增数列且20a ,则 A. q-1 B. -1q0 C. 0q1 (8)将函数sin2yx的图像向右平移6个单位，得到函数( )f x的图像，则下列说法正确的是 A.( )sin(2)6f xx B.3x 是函数( )f x
3、的图像的一条对称轴 C. ( )f x在,63 上是减函数 D. ( )f x在5,12 12上是增函数 (9)下列不等关系中正确的是 A. 5ln2ln32ln2 B. 11ln3ln232 C. ln2 ln3 1 D. ln33ln22 (10)如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为 0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为 2.2m 时，下列描述正确的是(参考数据：721.991) A.点 A 在轮子的左下位置，距离地面约为 0.15m B. 点 A 在轮子的右下位置，距离地面约为 0.15m C. 点 A 在轮子的左下位置，距离地面约为 0.26m D. 点
4、 A 在轮子的右下位置，距离地面约为 0.04m 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 (11)已知nS是数列na的前 n 项和.若2nSn，则2a _. (12)已知函数2(1),1,( )2 ,1,xxexf xxx x则函数( )f x的零点个数为_. (13)已知ABC中，2,1,120ABACBAC，则AB AC_,AB BC_. (14)已知命题 p:若ABC满足sincosAB，则ABC是直角三角形.说明 p 为假命题的一的一组角为A=_,B=_. (15)某生物种群的数量 Q 与时间 t 的关系近似地符合10( )9tte
5、Q te 给出下列四个结论： 该生物种群的数量不会超过 10； 该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； 该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； 该生物种群数量的增长速度最大的时间0(2,3)t . 根据上述关系，其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (16)(本小题共 14 分) 已知等差数列na满足142nnaan. (I)求数列na的通项公式； (II)若数列nnba是公比为 3 的等比数列，且13b ，求数列 nb的前 n 项和nS. (17)(本小题共 14 分) 已知函数( )2cos()cos()4
6、4f xxx. (I)求函数( )f x的最小正周期； (II)设函数( )( )cosg xf xx，求( )g x的值域. (18)(本小题共 14 分) 已知函数( )ln , ( )ef xx g xx. (I)直接写出曲线( )yf x与曲线( )yg x的公共点坐标，并求曲线( )yf x在公共点处的切线方程； (II)已知直线xa分别交曲线( )yf x和( )yg x于点 A，B.当 a(0,e)时，设OAB的面积为( )S a，其中 O 是坐标原点，求( )S a的最大值. (19)(本小题共 14 分) 设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，且sin3 co
7、saBbA (I)求角 A 大小； (II)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC的面积 第组条件：19,5ac； 第组条件：1cos,4 23Cc 第组条件：AB 边上的高3,3ha 注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. (20)(本小题共 14 分) 设函数2( )(3),Rf xx xxa a (I)当 a=-9 时，求函数( )f x的单调增区间； (II)若函数( )f x在区间(1,2)上为减函数，求 a 的取值范围； (III)若函数在区间(0,2)内存在两个极值点12
8、,x x， 且满足1212( )()( )()f xf xf xf x， 请直接写出 a的取值范围. (21)(本小题 15 分) 设正整数3n，集合12( ,),R1,2, ,nkAa ax xxxkn，对应集合 A 中的任意元素12( ,)nax xx和12(,)nby yy， 及 实 数 ， 定 义 ： 当 且 仅 当(1,2, )kkxy kn时112212;(,);(,).nnnab abxy xyxyaxxx若 A 的子集123 ,Ba a a满足：当且仅当1230时，1 12233(0,0,0)aaa，则称 B 为 A 的完美子集. (I)当 n=3 时，已知集合12(1,0,0
9、),(0,1,0),(0,0,1),(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6),BB分别判断这两个集合是否为 A 的完美子集，并说明理由； (II)当 n=3 时，已知集合(2 ,1),( ,2 ,1),( ,1,2 )Bm m mmm mm mm.若 B 不是 A 的完美子集，求m 的值； (III)已知集合123 ,Ba a aA，其中12(,)(1,2,3)iiiinaxxxi.若 1232iiiiixxxx对任意 i=1,2,3 都成立，判断 B 是否一定为 A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 参考答案参考答案
10、一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 B D C C B D C D B A 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 2 2 1, 5 2 ,36 说明：13 题两空前 3 后 2；15 题全选对 5 分，漏选 3 分，其他情况 0 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16） （本小题共 14 分） 解：
11、（）因为142nnaan, 所以当1n 时，216aa. 当2n时，3210aa, 得314aa. 因为 na为等差数列，设公差为d, 所以3124daa，则2d , 由可得126ad，所以12a ， 所以1(1)2 (1,2,)naandn nL. （）因为nnba 是公比为 3 的等比数列，又知13b ， 所以11111() 3=(32) 3=3nnnnnbaba， 所以11332nnnnban， 所以0121(3333)+2(123)nnSn LL 1 32 (1)1 32nnn 1(31)(1)2nn n. （17） （本小题共 14 分） 解： （）因为( )2cos()cos()4
12、4f xxx 2cos()cos()424xx 2sin()cos()44xx sin(2)2x cos2x 或者( )2cos()cos()44f xxx 2(cos cossin sin)(cos cossin sin)4444xxxx 22112(cossin)22xx cos2x 所以( )f x的最小周期22|2T. （）因为( )( )cosg xf xx， 所以( )cos2cosg xxx 22coscos1xx 2192(cos)48x 因为cos 1,1x ， 所以依据二次函数的性质可得( )g x的值域为9,28. （18） （本小题共 14 分） 解： （）公共点(e,
13、1). 因为1( )fxx， 所以1(e)ef， 所以切线的方程为11(e)eyx ，即exy . （）11e( )|ln|22S aaABaaa，(0,e)a. 因为(0,e)a时，e1,ln1aa，所以elnaa， 所以e1( )ln22S aaa，(0,e)a， 1( )(1ln )2S aa ， 令( )0S a ，得1ea ， 所以( ), ( )S a S a的情况如下： a 1(0, )e 1e 1( ,e)e ( )S a 0 ( )S a 极大值 因此，( )S a的极大值，也是最大值为1e1( )e22eS. （19） （本小题共 14 分） 解： （）由正弦定理sinsi
14、nabAB及sin3 cosaBbA得 sinsin3sincosABBA， 因为0,B，所以sin0B 所以sin3cosAA， 所以tan3A， 因为0,A， 所以3A. （）选选： 因为1cos3C ，0,C， 所以2212 2sin1cos133CC. 由正弦定理sinsinacAC得34 2sin23 3sin2 23cAaC. 由ABC得 3112 22 23sinsinsincoscossin23236BACACAC. 所以112 23sin3 34 24 33 2226ABCSacB. 选选： 因为3A，AB边上的高3h， 所以32sin32hbA. 由余弦定理2222cosa
15、bcbcA得2942cc，即2250cc， 解得16c （舍负） 所以16c 所以1133 2163222ABCSch. （20） （本小题共 14 分） 解： （）当9a 时，2( )(39)f xx xx， 2( )3693(1)(3)fxxxxx， ( ), ( )fxf x的情况如下： x (, 1) 1 ( 1,3) 3 (3,) ( )fx 0 0 ( )f x 所以，函数( )f x的增区间为(, 1 和3,) （）由2( )(3)f xx xxa得2( )36fxxxa， 因为( )f x在区间(1,2)上为减函数， 所以( )0fx在(1,2)内恒成立， 因为22( )363
16、(1)3fxxxaxa， 所以(1,2)x时，( )(3, )fxaa， 所以(,0a . （）所以a的取值范围为9(0, )4 （21） （本小题共 15 分） 解： （）1B是完美集； 设1 12233(0 0 0)，aaa， 即1230 所以1B是完美集 2B不是完美集 设1 12233(0 0 0)，aaa， 即12312312324023503460， 令3=1，则12=2=3， 所以2B不是完美集 （）因为 B 不是完美集， 所以存在123()(0 0 0)， ，使得1 12233(0 0 0)，aaa， 即123123123202(1)0(1)(1)20mmmmmmmmm， 因为
17、 (21) ( 21) (1 2 )Bmmmmmmmmm， ， ， ， 由集合的互异性得，0m 且1m 所以12320，3122 ，12()(0 0)， 所以1212(2)(1)0( 31)(1)0mmmm ， 所以1( 41)0m 所以14m 或10 检验： 当14m 时，存在1235,7,3 使得1 12233(0 0 0)，aaa 当10时，因为1m ，所以230,0，舍 所以14m （）B 一定是完美集 假设存在不全为 0 的实数123, 满足1 12233(0 0 0)， ，aaa， 不妨设123，则10（否则与假设矛盾） 由1 112213310 xxx，得3211213111xxx 所以32112131213111xxxxx 与111121312 xxxx，即112131xxx矛盾 所以假设不成立 所以10 所以230 所以 B 一定是完美集
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