1、2021-2022学年北京市高三上期中模拟考试数学试卷（3）一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)1已知集合A=xN|1x4Ck8Dk82对于实数，“”是“”的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要3若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD4如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是（ ）A10 mB10mC10mD10m5等差数列的前项和为，若，则（ ）ABCD6已知cos ，则sin等于（ ）ABCD7已知是各项为整数的递增数列，且，若
2、，则的最大值为（ ）A9B10C11D128在中，则等于（ ）ABCD9几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ）ABCD10已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11设向量a=1,0,b=-1,m，若ama-b，则m=_.12写出一个周期为且值域为的函数的解析式_.13设等差数列的前n项和为，已知，则_14某食品的保鲜时间y
3、（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时.15已知函数为偶函数，当时，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为_三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)16函数的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的单调递增区间；（3）若，有两个不同的解，求实数的取值范围17已知函数有极小值6.（1）求的单调区间；（2）求的值；（3）求在3，4上的最大值和最小值.18等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；
4、（2）若数列为递增数列，求数列的前n项和.19已知ABC的内角，的对边分别为，且（1）求证：是钝角；（2）请从下列四个条件中选择三个；是否存在ABC满足您选择的这三个条件，若存在，求边长的值；若不存在，请说明理由20设函数（1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a；（2）若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围21以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：中的元素有正整数，也有负整数；若，则（1）若，求证：；（2）求证：；（3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由参考答案1D【分析】首先确定集合A，由此得到log2k 3，即可求k的取值范围.【详解】集合A=xN|1x 3，可得k 8.故选：
5、D.2A【分析】由充分条件和必要条件的定义，即可判断【详解】由题意，“”可推出“”，故充分性成立；“”不可推出“”，故必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A3D【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法进行判断即可.【详解】选项A：由，所以，因此本选项不正确；选项B：若，显然，因此本选项不正确；选项C：若，显然，因此本选项不正确；选项D：，因为，所以，因此有，所以本选项正确，故选：D4D【分析】在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，利用正弦定理求得BC，在RtABC中，根据，即可得出答案.【详解】解：在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD15
6、90105，DBC30，由正弦定理，得，BC10（m）.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010（m）.故选：D.5B【分析】根据条件可得，求出，再利用通项公式，即可得到答案；【详解】由，有即则，故选：.6C【分析】由同角三角函数关系及角的范围可得sin ，再应用两角和正弦公式求sin即可.【详解】，且cos ，sin ，sin.故选：C7C【分析】数列是递增的整数数列，要取最大，即递增幅度尽可能为小的整数，用特殊值法代入验证，即可求解【详解】解：数列是递增的整数数列，要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，假设递增的幅度为1，则，当时，即可继续增大，非最大值，当时，不满足题意，即为
7、最大值故选：8A【分析】由余弦的二倍角公式计算，再由余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，因为，在中，由余弦定理可得：，所以，故选：A.9D【分析】设，得到，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解.【详解】设，可得圆的半径为，又由，在直角中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号故选：D.10C【分析】分、三种情况讨论，利用参变量分离法结合导数、基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】当时，恒成立；当时，恒成立，令，当且仅当时，等号成立，所以，即；当时，恒成立，令，其中，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最小值，所以综上，的取值范围是故选：C.11【分析】利用向量垂直的坐标表
8、示列方程，化简求得的值.【详解】，由得：，解得.故答案为：12（答案不唯一）【分析】根据正弦型函数的周期和值域推导即可得到结果.【详解】周期为，值域为，满足题意.故答案为：（答案不唯一）13【分析】由等差数列的前项和性质：片断和仍然成等差数列计算，即可计算出，【详解】根据等差数列的性质，可知成等差数列，即，解得.故答案为：66.1424【分析】根据数据，代入条件，得再求时的保鲜时间.【详解】由题意得：，所以时，.故答案为：15【分析】作出函数与的图象，可知这两个函数图象有个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】令，可得，所以，函数与的图象有个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的
9、图象有个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.16（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由最小值和周期可求得，代入可求得，从而得到解析式；（2）利用整体代入法可求得单调递增区间，结合可得结果；（3）根据的范围可求得的范围，设，通过数形结合的方式可求得结果.【详解】（1）由图象可知：的最小值为，；又，；图象过点，解得：，又，；（2）令，解得：，即的单调递增区间为，函数的单调递增区间；（3），设，则有两个不同的解等价于与在上有两个不同的交点，在平面直角坐标系中作出与大致图象如下图所示：由图象可知：的取值范围为.17（1）单调递减区间为（1，3），单调递增区间为（，1），（3，+）；（2）3；（
10、3）最大值为，最小值为.【分析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）由的极小值列方程，由此求得的值.（3）比较极值点和区间端点的函数值，求得在上的最大值和最小值.【详解】（1），令，解得或，令，解得，所以单调递减区间为（1，3），单调递增区间为（，1），（3，+）.（2）由（1）知，的极小值为，解得.（3）由（1）知，在（3，1）单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，所以在3，4上的最大值为，最小值为.18（1）或；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为d，由已知列出方程，解之可求得数列的公差，由此可求得数列的通项公式； （2）由（1）得的通项公式为.再由等差数列的求和公
11、式求得，根据裂项求和法可求得数列的前项和.【详解】解：（1）由为等差数列，设其公差为d，则由，可得，又，解得或，所以或；（2）因为数列为递增数列，所以的通项公式为.则，所以，所以的前项和为：.19（1）证明见解析；（2）只有满足时存在，【分析】（1）由题意结合正弦定理得到,求得，得到，即可求解；（2）若满足，由正弦定理化简得到，求得，得到，结合余弦定理，即可求解；若满足，由（1）为钝角，得到，可得，得到得到这种情况不成立；若满足，由为钝角，所以，得到，得到这种情况不成立；【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为，可得，所以,由，可得，即，又由，可得，所以，因为，所以为钝角.（2）若满足，由正弦
12、定理可得，即，所以，又由，所以，在中，所以或，而由（1）可得，所以可得，所以若满足，由（1）为钝角，为锐角，及，可得，所以不符合为钝角，故这种情况不成立；若满足，由为钝角，所以，而，所以，这时，不符合为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足时存在，20（1）1；（2）【分析】（1）利用求得.（1）先求得，对进行分类讨论，结合是的极小值点求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，由题设知，即，解得a1，此时，所以a的值为1.（2）若，则当时，；当时，所以f(x)在x2处取得极小值；若，则当时，所以，所以不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是21（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）集合为无限集；理由见解析【分析】（1）设，得，进一步得到；（2）设，进一步得到，同理得到，从而得到；（3）利用反正法进行证明，从而得出结论【详解】（1）由若则可得：若，则，（2）证明：由，可设且；即为正整数，为正整数，由可知，个相加属于集合，即，同理，个相加属于集合，即，；（3）判断：集合为无限集假设集合为有限集，则集合中必最大值，且最大值为正数，不妨设最大值为，由（2）若，则可得：与集合的最大值为矛盾，所以集合为无限集
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