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    天津市南开区2021年高三上期中数学试卷(含答案)

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    天津市南开区2021年高三上期中数学试卷(含答案)

    1、天津市南开区2021-2022学年高三上期中数学试题参考公式:球的表面积公式,其中R表示球的半径.柱体的体积公式,其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若全集,则( ).A.B.C.D.2.命题“,”的否定是( ).A.,B.,C.,D.,3.己知在复平面内,复数对应的点是,则复数的共扼复数( ).A.B.C.D.4.函数的图象大致为( ).A.B.C.D.5.设,则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知,若,则的值是( ).A.2B.-2C.1D.-17.已,

    2、则a,b,c的大小关系为( ).A.B.C.D.8.下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( ).A.B.C.D.9.设函数.若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是( ).A.B.C.D.第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;2.本卷共12小题,共110分。二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分。10.设i为虚数单位,则实数_.11.计算:_.12.已知体积为的圆柱的底面是一个球的截面,圆柱的底面积为,则该球的表面积是_.13.曲线在处的切线方程为_;若该切线也是曲线的切线,则_.14.已知正实数a,b满足,则的最小值为_.15.边长为a的菱形满足,则_;一

    3、直线与菱形的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若,则_.三、解答题:本大题共5题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(本小题满分14分)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,.()求;()求;()求的值.17.(本小题满分15分)设二次函数满足条件:当时,的最大值为0,且成立;二次函数的图象与直线交于,两点,且.(I)求的解析式;()求的解集;()求最小的实数,使得存在实数,只要当时,就有成立.18.(本小题满分15分)如图,已知多面体,均垂直于平面,.()证明:平面;()求平面与平面所成角的正弦值;()线段上是否存在一点,使直线与平面所

    4、成的角的正弦值为,若存在,求的长,若不存在,请说明理由.19.(本小题满分15分)已知函数的导数为,函数.()求;()求最小正周期及单调递减区间;()若,不是单调函数,求实数的取值范围.20.(本小题满分16分)已知函数,.()当时,求的极大值;()求的单调区间;()当时,设函数,若实数满足:且,求证:.20212022学年度第一学期南开区期中考试试卷参考答案高三年级 数学学科一、选择题:(本题共9小题,每题5分,共45分)题号123456789答案BCDABACDC二、填空题:(本题共6小题,每题5分,共30分)10.0;11.;12.13.,2(第一个空2分,第二个空3分);14.;15.

    5、0,(第一个空2分,第二个空3分).三、解答题:(其他正确解法请比照给分)16.解:()由余弦定理得,所以,即,解得.所以.()由正弦定理,得,解得.()由,可知为锐角.所以由()可得.所以,所以.17.解:()由知函数的对称轴为,由的最大值为0,可设.令,得,由得,解得.所以.()由()知,即,解得或,所以的解集为.()由可得,即,解得.又在时恒成立,可得,由(2)得.令,易知单调递减,所以,由于只需存在实数,故,则能取到的最小实数为-9.此时,存在实数,只要当时,就有成立.18.解:()如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标

    6、如下:,因此,由得.由得.所以平面.()设平面与平面所成的角为.由()可知,设平面的法向量为,由得可取.设平面的法向量,由得可取.所以,所以.因此,平面与平面所成角的正弦值是.另解:因为平面,所以,所以即为平面与平面所成角的平面角.因为,所以.()设点坐标为,则,依题意有,解得,.所以的长为或.(19)解:().(),所以的最小正周期为,由,得,所以的单调递减区间为,.(),因为,所以,所以,所以,若函数不是单调函数,则.20.解:函数的定义域为.()当时,令得.列表:1+0-极小值所以的极大值为.().令得,记.()当时,所以在区间单调递减;()当时,当且仅当时,所以在区间单调递减;()当时,由得,若,则,由,得,;由,得.所以,的单调递减区间为,单调递增区间为;若,由()知单调递增区间为,单调递减区间为;若,则,由,得;由,得.所以,的单调递减区间为,单调递增区间为.(),由,得.因为,所以(舍),或.所以.由得(*)因为,所以(*)式可化为,即.令,整理,得.记,令得(舍),列表:-+所以,在单调递减,在单调递增,又因为,所以,从而.


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