1、7.1.7.1.2 2 全 概 率 公 式全 概 率 公 式 ()()()P ABP B AP A 1.条件概率公式 ()( ),.AABP BP B当且仅当事件 与 相互独立时 有2.概率的乘法公式 ()( ) ()P ABP A P B A 复习引入 3.条件概率与独立性的关系 思考：思考：从有从有a个红球和个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出个球，摸出的球不再放回的球不再放回. 显然，第显然，第1次摸到红球的概率为次摸到红球的概率为 . 那么第那么第2次摸到红次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ aab
2、问题探究 下面我们给出严格的推导. 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. aab3 3 2 事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2. 212121212()()()()P RP R RB RP R RP B R1()P R1()P B1R1B2R2B2R2B12R R12R B12B R12B B问题探究 利用概率的加法公式和乘法公式，得 111aabaabababab121121() (|)() (|)P R P RRP B P RBaab用 Ri
3、表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2. 按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. 1R11R B 1BR2 探究新知 12B R12R R212121212()()()()P RP R RB RP R RP B R121121() (|)() (|)P R P RRP B P RB思考：思考：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,.An)互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ )()()()(21nBAPBAPBAP
4、BPA1 A2 A3 An A 4 B 12.nBBABABA)|()()|()()|()(2211nnABPAPABPAPABPAPniiiABPAP1)|()( 加法公式加法公式 乘法公式乘法公式 求和符号探究新知 全概率公式 概念形成 一般地，设A1, A2, , An是一组两两互斥的事件，A1A2An=，且P(Ai)0，i=1, 2, , n，则对任意的事件 ，有 我们称上面的公式为全概率公式 B ( )() ()1niiiP BP A P B A全概率公式使用条件: A1, A2, , An是一组两两互斥的事件；A1A2An=； A1 A2 A3 An A 4 B 1()1niiP
5、AP(Ai)0, 且 . 对全概率公式的理解 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,n)发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 解: 11211111 ,1 ,2 ,. AABBAAABAB 设“第 天去餐厅用餐”“第 天去餐厅用餐”“第 天去餐厅用餐”则且
6、 与 互斥112121()()0.5, ()0.6, ()0.8P AP BP A AP A B根据题意，得由全概率公式，得)()()()()(1211212BAPBPAAPAPAP8 . 05 . 06 . 05 . 07 . 0,2 0.7.A因此 王同学第 天去 餐厅用餐的概率为1()P A1()P B1A1B2B2A2A2B21(/)P AA21(/)P BA21(/)P AB21(/)P BB12A A12AB12B A12B B典例分析 例1 某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6; 如果第1天去B餐
7、厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 设设事件事件 写概率写概率 代公式代公式 全概率公式求概率的步骤：全概率公式求概率的步骤： 1.设事件设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, , An 看作导致结果的若干个原因； 2.写概率写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai ),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai )； 3.代公式代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 1( )() (|)niiiP BP A P B A由因求果由因求果 方法总结 例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次
8、品率为6%，第2, 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1, 2, 3台车床加工的零件数分别占总数的25%, 30%, 45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1, 2, 3)台车床加工的概率。 A1 A2 A3 A3B A1B A2B 典例分析 解: 123123, (1,2,3),.iBAiiAAAA A A 设“任取一个零件为次品”“零件为第 台车床加工”则且两两互斥根据题意，得,45. 0)(, 3 . 0)(,25. 0)(321APAPAP.05. 0)()(,06. 0)(321ABPABPABP 设
9、设事件事件 写概率写概率 (1),由全概率公式 得)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP05. 045. 005. 03 . 006. 025. 0.0525. 0( )0.0525,P B .,)2(发生的概率事件发生的条件下就是计数在由题意知iAB123()0.25, ()0.3, ()0.45,P AP AP A123()0.06, ()()0.05,P B AP B AP B A1111() ()()0.25 0.062()( )( )0.05257P A P B AP ABP A BP BP B2222() ()()0.3 0.052()( )(
10、)0.05257P A P B AP A BP A BP BP B730525. 005. 045. 0)()()()()()(3333BPABPAPBPBAPBAP 代公式代公式 思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？ 探究新知 P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额. 2 2 3,7 7 7已知结果求原因 已知原因求结
11、果 *贝叶斯公式：贝叶斯公式： 将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式. 探究新知 () ()() ()(), , .( )() ()11 2iiiiinkkkP A P B AP A P B AP A BinP BP A P B A注：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayer,1702-1762)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系. 设设A1, A2, , An是一组两两互斥的事件，是一组两两互斥的事件，A1A2An=，且且P(Ai )0，i=1, 2, , n，则对任意的事件，则对任意的事件 ，P(B)0，有，有 B 对分子用乘对分子用乘法法公公式式 对分母用全概率公式
12、对分母用全概率公式 我们把事件B看作某一过程的结果， 12,nAAA把看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， ()nP A即已知()nP B A即已知而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式 ()iP A B即求*贝叶斯公式的使用：贝叶斯公式的使用： 执果寻因执果寻因 例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1; 发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.
13、05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率; *(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 典例分析 发送发送0( 0(A) ) 发送发送1( 1( ) ) 接收接收0(B)0(B) 接收接收1( 1( ) ) | = . | = . 解: 0 ,0 ,1 ,1 .ABAB设“发送的信号为 ”“接收到的信号为 ”“发送的信号为”“接收到的信号为”, ( )( )0.5, ()0.9,P AP BP B A由题意得()0.1, ()0.05, ()0.95.P B AP B AP B A(1)( ) ()( )( ) ()P BP A P B AP A P
14、 B A0.5 0.9 0.5 0.050.475( )1( )1 0.4750.525.P BP B ( ) ()( )(2)P AP A BP B AP B475. 005. 05 . 0 .191解: , , , .AABAAAA设事件“对所选的题有思路”“对所选的题完全没有思路”事件“做对所选的题目”则且与互斥9331, ( ), ( )124124P AP A易知1.现有12道四选一的单选题, 学生张君对其中9道题有思路, 3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9, 没有思路的题只好任意猜一个答案, 猜对的概率为0.25. (1)张君从这12道题中随机选择1题, 求他做对该
15、题的概率; (2)若他做对了该题, 求他选择的是完全没有思路的题的概率. 巩固练习 ()0.9, ()0.25.P B AP B A(2)(),P A B要求的是)()()()()()(BPABPAPBPBAPBAP7325. 025. 041.595.595思路的题的概率为即他选择的是完全没有 (1),由全概率公式 得)()()()()(ABPAPABPAPBP.7375. 025. 0419 . 043.7375. 0即他做对该题的概率为2.同批同种规格的产品, 第一批占40%,次品率为5%; 第二批占60%, 次品率为4%. 将两批产品混合, 从混合产品中任取1件. (1)求这件产品是合
16、格品的概率; *(2)已知取到的合格品, 求它取自第一批产品的概率. 解: ,1,2, ,iBiiA 设“产品取自第 批”“产品是合格品”1212() ()() ()(P BP A P B AP A P B A0.4 0.95 0.6 0.960.9.561212, ()0.4, ()0.6, ()0.95, ()0.96.P AP AP B AP B A由题意得(1),由全概率公式 得(2),由贝叶斯公式 得111() ()(P A P B APBPAB956. 095. 04 . 0.23995巩固练习 拓展练习 3. 小王每天17：0018：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有
17、篮球、羽毛球、游泳三种已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表： 已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？ 前一天 当天 篮球 羽毛球 游泳 篮球 0.5 0.2 0.3 羽毛球 0.3 0.1 0.6 游泳 0.3 0.6 0.1 拓展练习 解: 用A, B, C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用Pn( A), Pn(B), Pn(C)(nN*)分别表示第n天小王进行A, B, C三种运动项目的概率. 因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为 P2(A)=0.3，P
18、2(B) =0.1，P2(C) =0.6 第3天小王做三项运动的概率分别为 P3(A)=P2(A)0.5+ P2(B)0.3+P2(C)0.3 =0.36 P3(B) =P2(A)0.2 + P2(B)0.1 +P2( C)0.6 =0.43 P3(C) =P2( A)0.3 +P2(B)0.6 +P2( C)0.1 =0.21 因此小王第三天打羽毛球的可能性最大. 由因求果由因求果 执果寻因执果寻因 1.设事件设事件 2.写概率写概率 3.代公式代公式 课堂小结 全概率公式全概率公式 P(B)P(BA1)P(BA2)P(BAn) =P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(An)P(B|An) 条件概率条件概率P(B|A) 乘法乘法公式公式P(AB)P(A)P(B|A) ()( )P ABP A*贝叶斯公式贝叶斯公式 1() ()() ()(),1,2, .( )() ()iiiiinkkkP A P B AP A P B AP A BinP BP A P B A
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